Đang tải... (xem toàn văn)
b) Xác định vị trí của điểm M trên cung AB để diện tích tứ giác ABDC nhỏ nhất.. a) Chứng minh : Tích AC.BD không đổi khi M lưu động trên cung AB... b) Xác định vị trí của điểm M trên cun[r]
(1)GIẢI MỘT SỐ ĐỀ TOÁN TUYỂN SINH 10 ĐỀ SỐ 1
(Thời gian : 120 phút) Bài 1.
Cho biểu thức A =
2 2
1 :
2 2
a a
a a a a a a
với điều kiện biểu thức có nghĩa
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm giá trị A a = 2009 2008
Bài Cho phương trình bậc hai ẩn x : x2 – 2mx + 2m – = 0
a) Chứng minh pt có hai nghiệm phân biệt với giá trị m
b) Giả sử x1 ; x2 hai nghiệm pt Tìm m để biểu thức y = x12 + x22 đạt giá trị nhỏ Bài Cho hàm số
2
1 y x
a) Vẽ đồ thị (P) hàm số
b) Viết phương trình đường thẳng (d) qua hai điểm A, B nằm (P) có hồnh độ – ; Bài
Cho đường tròn (O) dây cung AB Trên tia AB lấy điểm C nằm ngồi đường trịn Từ điểm P cung lớn AB kẻ đường kính PQ đường trịn, đường kính cắt AB D Tia CP cắt đường tròn M, dây AB QM cắt K
a) Chứng minh CM.CP = CA.CB
b) Chứng tỏ MC tia phân giác góc ngồi đỉnh M tam giác ABM
c) Giả sử A, B, C cố định Chứng minh đường thẳng QM qua điểm cố định đường (O) thay đổi qua hai điểm A, B
Giải
Bài 1 a) Ta có A =
2 2 2
:
2 ( 2) 2( 2)
a a a
a a a a a
=
22 1 2 2
:
2 ( 2)( 2)
a a
a a a a
=
22 2 2
:
2 ( 2)( 2)
a a a
a a a
=
22 22
:
2 ( 2)( 2)
a a
a a a
= 2
2 ( 2)( 2)
2 2
a a a
a a
= a2 b) Ta có a = 2009 2008 =
2
2008 1
a2 = 2008 1 + = 2008 1 Bài 2.
a) Ta có : ’ = m2 – 2m + = m2 – 2m + + =(m – 1)2 + > 0, m chứng tỏ phương trình ln có hai nghiệm phân biệt m
b) y = x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 = 4m2 – 2(2m – 2) = 4m2 – 4m + = 4(m2 – m + 1) = 4[(m2 – 2.
1 2m +
1 4 +
3
4) = 4(m -
2)2 + ≥ , m y đạt giá trị nhỏ m =
1 Bài a) Vẽ đồ thị hàm số
2
(2)x 2 1
y 2
1
0
2 vẽ đồ thị hàm số
f(x)=-(1/2)x^2 x(t)=-2 , y(t)=t x(t)=t , y(t)=-2 x(t)=2 , y(t)=t x(t)=-1 , y(t)=t x(t)=t , y(t)=-1/2 f(x)=-(1/2)*x-1
-5 -4 -3 -2 -1
-4 -3 -2 -1
x f(x)
b) giả sử pt đường thẳng AB có dạng : y = ax + b Ta có A( – ;
1
) B(2 ; – 2), nên tọa độ chúng thỏa pt đường thẳng :
1 2
a b a b
1 a b
Vậy pt đường thẳng AB :
1 y x
Bài
Cho đường tròn (O) dây cung AB Trên tia AB lấy điểm C nằm đường trịn Từ điểm P cung lớn AB kẻ đường kính PQ đường trịn, đường kính cắt AB D Tia CP cắt đường tròn M, dây AB QM cắt K
a) Chứng minh CM.CP = CA.CB
b) Chứng tỏ MC tia phân giác góc ngồi đỉnh M tam giác ABM
c) Giả sử A, B, C cố định Chứng minh đường thẳng QM qua điểm cố định đường (O) thay đổi qua hai điểm A, B
Giải :
a) Chứng minh : CM.CP = CA.CB
A
B
1 y x
2
(3)Ta có :
CMB CAP
(Góc C chung, CBM CPA chắn cung AM) Suy :
CB CM
CP CA CM.CP = CA.CB
b) Theo gt : PQ vng góc dây cung AB QA QB nên AMQ BMQ Do : MQ phân giác góc AMB
Mặt khác MQ MP (PMQ = 1v chắn nửa đường tròn) C, M P thẳng hàng nên MQ MC
Vậy MC phân giác góc ngồi đỉnh M tam giác ABM
c) Khi (O) thay đổi qua hai điểm A, B , suy O chạy đường thẳng PQ với QA QB MQ ln phân giác AMB
Suy MQ cắt AB K thuộc AB , theo tính chất phân giác , ta có : KA MA CA
KBMBCB mà A, B, C cố định nên CA
CBkhông đổi K cố định Vậy MQ qua điểm K cố định
K
M
P Q
D C
A B
(4)GIẢI MỘT SỐ ĐỀ TOÁN TUYỂN SINH 10 ĐỀ SỐ 2
(Thời gian : 120 phút)
Bài 1.
a) Chứng minh :
39 11 2 39 11 2
3
b) Giải hệ phương trình :
2
2
74
( 2) ( 4) 18 x y x y Bài 2.
Cho phương trình : x2 – 2mx + 2m – = , m tham số thực
a) Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt với giá trị m
b) Giả sử x1 ; x2 hai nghiệm phương trình Tìm m để biểu thức x1 x2 đạt giá trị nhỏ tính giá trị nhỏ
Bài
Gọi (P) đồ thị hàm số
2
1 y x
(d) đồ thị hàm số
1 y x a) Vẽ (P) (d) hệ trục tọa độ
b) Dùng đồ thị (P) (d) suy nghiệm phương trình x2 – x – = 0
Bài Cho đường trịn (O) , đường kính AB = 2R M điểm lưu động cung AB (M khác A B)
Tiếp tuyến đường tròn M cắt tiếp tuyến A B C D a) Chứng minh : Tích AC.BD khơng đổi M lưu động cung AB
b) Xác định vị trí điểm M cung AB để diện tích tứ giác ABDC nhỏ GIẢI :
Bài 1
a) Ta có : 11 2 = 3 2 2 = 333 22 3 32 2 23 = ( 3 2)3
Tương tự 11 ( 3 2)3
Vậy
39 11 2 39 11 2
2
3
2
(đfcm) b) Giải hệ phương trình :
2
2
74
( 2) ( 4) 18 x y x y 2 2 74
4 16 18
x y
x x y y
2 74
4 16 74 18 x y x y
2 74
4 76
x y x y
2 74
2 19 x y x y 2
(2 19) 74
2 19 y y x y
5 76 361 74 19 y y x y
(5)Vậy hệ có nghiệm :
5 x y
13 41
5 x y
Bài 2.
Cho phương trình : x2 – 2mx + 2m – = , m tham số thực
a) Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt với giá trị m
b) Giả sử x1 ; x2 hai nghiệm phương trình Tìm m để biểu thức x1 x2 đạt giá trị nhỏ tính giá trị nhỏ
a) Ta có : ’ = m2 – 2m + = m2 – 2m + + = (m – 1)2 + > , với m
vậy phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với m b) Ta có :
2
1
x x
= x1 x22=
1
x x x x = 4m2 – 4(2m – 5) = 4m2 – 8m + 20 = 4(m2 – 2m + + 4) = 4(m – 1)2 + 16 ≥ 16
Vậy x1 x2 đạt giá trị nhỏ m = 1
Bài
Gọi (P) đồ thị hàm số
2
1 y x
(d) đồ thị hàm số
1 y x a) Vẽ (P) (d) hệ trục tọa độ
Bảng giá trị hàm số
2
1 y x
x -2 -1
y
1
2 0
1
2 2
Bảng giá trị hàm số
1 y x
x -2
y
Đồ thị (P) (d)
f(x)=(1 /2)x^2 f(x)=(1 /2)x +1 x(t)=-1 , y (t)=t x(t)=2 , y(t)=t
-5 -4 -3 -2 -1
-4 -3 -2 -1
x f(x)
b) Lập phương trình hồnh độ giao điểm :
2
1 2x =
1
2x x2 – x – = 0
1
y x 1
(6)Vậy số nghiệm pt số giao điểm có hai đồ thị (P) (d)
Dựa vào đồ thị , ta có (P) (d) cắt hai điểm có hồnh độ x = -1 x = Suy nghiệm phương trình x2 – x – = có hai nghiệm x = - ; x = 2
Bài Cho đường tròn (O) , đường kính AB = 2R M điểm lưu động cung AB (M khác A B)
Tiếp tuyến đường tròn M cắt tiếp tuyến A B C D a) Chứng minh : Tích AC.BD khơng đổi M lưu động cung AB
b) Xác định vị trí điểm M cung AB để diện tích tứ giác ABDC nhỏ a) AC.BD khơng đổi
D
C
B
O
A
M
Theo định lí hai tiếp tuyến ta có CA = CM DM = DB (1)
Và OC phân giác góc AOM , OD phân giác góc MOB Mà AOMvà MOB kề bù nên suy CO OD
Mặt khác OM CD OM = R (CD tiếp tuyến (O) tiếp điểm M)
Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng OCD có : MC.MD = OM2 = R2 (không đổi) Kết hợp với (1) suy : AC.BD = MC.MD = R2 (không đổi) M lưu động cung AB
b) Vì AC VÀ BD hai tiếp tuyến (O) A B nên AC // BD (AC BD vng góc với AB), suy tứ giác ABDC hình thang vng
Diện tích
1
( )
2
ABDC AB AC BD
S
= R(CM + MD) = R.CD (cmt) với R không đổi Nên SABDC nhỏ chì CD nhỏ
Và CD nhỏ CD hai tiếp tuyến A B
(7)GIẢI MỘT SỐ ĐỀ TOÁN TUYỂN SINH 10 ĐỀ SỐ 3
(Thời gian : 120 phút)
Bài 1.
Cho M =
2
2 2
3 :
3 1
x x x x
x x x x
(điều kiện biểu thức có nghĩa)
a) Rút gọn biểu thức M
b) Với giá trị x M < c) Tìm x để M có giá trị nguyên
Bài 2.
Giả sử x1 ; x2 hai nghiệm phương trình : x2 – (m + 1)x + m2 – 2m + = 0
a) Tìm giá trị m để phương trình vơ nghiệm, có nghiệm kép, có hai nghiệm phân biệt b) Tìm m để x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất, lớn
Bài 3.
Cho tam giác ABC vuông A, AB = a ; AC = b nội tiếp đường tròn tâm O Kéo dài đường phân giác AD tam giác ABC cắt đường tròn O M Vẽ đường thẳng DE AB , DF AC
a) Chứng minh AEDF hình vng b) Tính DE theo a, b , từ suy EF
c) Chứng minh AB.AC = AM.AD diện tích tam giác ABC ln diện tích tứ giác AEMF A di động nửa đường trịn có đường kính BC
Bài 4.
Tìm số có hai chữ số biết nhân số với 37 lấy kết chia cho 31 ta số dư 15 GIẢI
Bài 1
a) Ta có
điều kiện : x ≠ ; x ≠
2; x ≠ 1 M =
2
( 2)( 1) 2.3 ( 1)
3 ( 1)
x x x x x x x x
x x x x
=
2
8
3 (2 )
x x x
x x x
=
2
4
3 (1 )
x x x
x x x
=
2
( 1) (1 )(3 1) (1 )
x x x x
x x
=
2
(1 )(1 ) (1 )(3 1) (1 )
x x x x x
x x
=
2
(1 ) (3 1)
x x x
x = x x x = x
b) M <
1 x
< x + < x < 1
c) M
1 x
x + chia hết cho x + = 3k, k x = 3k – , k
Hay x số nguyên chia cho dư
Bài 2.
Giả sử x1 ; x2 hai nghiệm phương trình : x2 – (m + 1)x + m2 – 2m + = (1)
(8)Ta có : = (m + 1)2 – 4(m2 – 2m + 2) = – 3m2 + 10m – = (1 – m )(3m – 7)
+ (1) vô nghiệm < (1 – m )(3m – 7) < m < m >
7 + (1) có nghiệm kép = (1 – m )(3m – 7) = m =1 m =
7 + (1) có hai nghiệm phân biệt < (1 – m )(3m – 7) > < m <
7 3 (*) b) Tìm m để x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất, lớn
Theo Vi-et, ta có :
1
2
1
1
2
b m x x
a c
m m
x x a
Nên : đặt E = x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 = (m + 1)2 – 2(m2 – 2m + 2) = – m2 + 6m – + Ta có : – m2 + 6m – = – (m2 – 6m + ) = – (m2 – 2.3m + – ) = – (m – 3)2
Nhưng (1) có nghiệm x1 ; x2 ≤ m ≤ Giá trị lớn E : – (
7
3 )2 = 50
9 Giá trị nhỏ E : – (1 – 3)2 = * Chú ý điều kiện : ≤ m ≤
7
3, không giải thường mắc sai lầm sau : – m2 + 6m – = – (m2 – 6m + ) = – (m2 – 2.3m + – ) = – (m – 3)2 ≤ E đạt giá trị lớn m = giá trị lớn E = E khơng có giá trị nhỏ
(9)a b N
F E
D
M
B
O
C A
a) Chứng minh AEDF hình vng
Ta có tứ giác AEDF có A E F 1v đường chéo AD phân giác góc EAD nên AEDF hình vng. b) Tính DE theo a, b , từ suy EF
Áp dụng định lí Py ta go cho vuông ABC : BC2 = AB2 + AC2 = a2 + b2
BC a2b2
Áp dụng tính chất phân giác AD :
DB AB a DC AC b
DB DC AB AC
DC AC
BC a b DC b
DC =
2
b a b DC
a b
Từ chứng minh trênAEDF hình vng nên DF // AB
CD DF CB AB
2
2
b a b
DF a b
a a b
DF b a a b
ab DF
a b
, mà AE = DF (cmt)
EF đường chéo hình vng cạnh DF , nên : EF = DF 2= ab
a b
c) Chứng minh AB.AC = AM.AD diện tích tam giác ABC ln diện tích tứ giác AEMF A di động nửa đường trịn có đường kính BC
+ Ta có : ABD AMC :
BAD MAC (AD phân giác)
(10)Suy :
AB AD
AM AC AB.AC = AM.AD
Khi A di động (O) tam giác ABC ln tam giác vng, nên AEDF ln hình vng AB.AC = AM.AD
Do AEDF hình vuông AD EF AD = EF
SAEDF =
1
2AM EF2AM AD =
2AB AC = SABC
Bài Tìm số có hai chữ số biết nhân số với 37 lấy kết chia cho 31 ta số dư 15
Gọi số có hai chữ số có dạng : x = ab10a b (a ≠ , < a, b ≤ 9, a, b ), x nguyên dương Theo đề ta có : 37(10a + b) = 31.k + 15 , k
37x – 31k = 15 (*) (37, 31) = (ước chung lớn hay gọi nguyên tố nhau)
Bài toán trở thành tìm nghiệm nguyên dương phương trình (*) Suy : 31k = 37x – 15 k =
31 15 31 x x
= x + 15
31 x
(nguyên dương ) Đặt t =
6 15 31 x
, t nguyên dương 31t = 6x – 15 6x = 31t + 15 x =
30 12
6 t t
= 5t + + t
Đặt u = t
, u nguyên dương 6u = t + t = 6u –
Thế vào x, k tính theo u :
x = 5t + + u = 5(6u – 3) + + u = 31u – 13 k = x + t = 31u – 13 + 6u – = 37u – 16
Vậy nghiệm phương trình có dạng tổng quát :
31 13,10 99 37 16
x u x
k u
+ Chọn u = k = 21 x = 18
Thử lại : 37.18 – 15 = 651 651 : 31 = 21 + Tương tự chọn u = k = 58 , x = 49
+ chọn u = k = 95 ; x = 80
+ Chọn u = k = 132 , x = 111 (loại)
(11)GIẢI MỘT SỐ ĐỀ TOÁN TUYỂN SINH 10 ĐỀ SỐ 4
(Thời gian : 120 phút)
Bài 1.
a) Tìm x biết x 12 18x 8 27 b) Chứng minh đẳng thức :
2 2
1
2
x x x
x x
x x x
với x > , x ≠ 1
Bài 2.
Cho hàm số y = ax2 y = – 2x + m có đồ thị (P) (d) trục số a) Tìm a để (P) qua điểm A(1 ;
1
2), tìm m để (d) qua A. b) Vẽ đồ thị (P) (d) với a m vừa tìm
c) Với a vừa tìm câu a), tìm m để (d) tiếp tuyến (P)
Bài
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn tâm (O) ; H trực tâm tam giác, M điểm cung BC không chứa A
a) Xác định vị trí M để tứ giác BHCM hình bình hành
b) Gọi N , E điểm đối xứng M qua đường thẳng AB, AC Chứng minh ba điểm N, H, E thẳng hàng
c) Xác định vị trí điểm M để NE có độ dài lớn
Bài 4.
Chứng minh a + b + c = abc ≠
2 2 2 2 2
1 1
0 a b c c a b b c a
GIẢI
Bài 1.
a) x 12 18x 8 27 2x 3 + 3 2 = 2x 2+ 3
2x( 3– 2) = 3( 3– 2) 2x =
3 x
b)
( 2)( 1) ( 2)( 1)
2 1
1
2 ( 1) ( 1)
x x x x
x x x x
x
x x x x x x
=
2
x
x x =
1
x (đpcm)
Bài 2.
Cho hàm số y = ax2 y = – 2x + m có đồ thị (P) (d) trục số a) Tìm a để (P) qua điểm A(1 ;
1
2), tìm m để (d) qua A. (P) qua A(1 ;
1 2)
1
2 = a.12 a =
2 y = 2x2 (d) qua A(1 ;
1 2)
1
2 = – 2.1 + m m =
2 y = – 2x + b) Vẽ đồ thị (P) (d) với a m vừa tìm
Bảng giá trị (P) :
(12)y =
2x2 2
1
2 0
1
2 2
Bảng giá trị (d) :
x
y = – 2x +
5
1 Đồ thị (P) (d) :
f(x)=(1/2)x^2 f(x)=-2*x+5/2 x(t)=1 , y(t )=t x(t)=t , y(t)=1/2
-10 -8 -6 -4 -2 10 12
-2 10 12 14
x f(x)
c) Với a vừa tìm câu a), tìm m để (d) tiếp tuyến (P) Lập pt hoành độ giao điểm :
1
2x2 = – 2x + m x2 + 4x – 2m =
’ = + 2m
Để (d) tiếp xúc với (P) pt hồnh độ giao điểm phải có nghiệm kép Tức : + 2m = m = –
Vậy (d) tiếp tuyến (P) m = –
Bài
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn tâm (O) ; H trực tâm tam giác, M điểm cung BC không chứa A
a) Xác định vị trí M để tứ giác BHCM hình bình hành
(13)Chứng minh ba điểm N, H, E thẳng hàng
c) Xác định vị trí điểm M để NE có độ dài lớn Giải :
a) Ta có : BH AC CH AB nên để BHCM hình bình hành MC AC C
và MB AB B
Do AM đường kính đường trịn tâm (O) b) Ta có : E đối xứng M qua AC
EC AC EC = MC
EC // BH EC = BH Vậy BHEC hình bình hành Chứng minh tương tự :
BNHC hình bình hành Suy : HE // BC HN // BC
Theo Tiên đề Euclide, qua H có Một đường thẳng song song với BC Hay nói khác : N, H, E thẳng hàng c) Theo cmt : BC =
1
2NE NE lớn BC lớn nhất tức dây cung BC lớn BC đường kính
khi tam giác ABC vuông A nên trực tâm H trùng với A M điểm đối tâm A
NE = 13.04 cm
N'E' = 13.91 cm
E' N'
R C'
N
K
E
M L
J
H
O A
B C
B'
Bài 4.
Chứng minh a + b + c = abc ≠
2 2 2 2 2
1 1
0 a b c c a b b c a Ta có :
a + b = -c ; b + c = - a ; c + a = - b (a + b)2 = c2 a2 + b2 – c2 = – 2ab (b + c)2 = a2 b2 + c2 – a2 = – 2bc (c + a)2 = b2 c2 + a2 – b2 = – 2ca Do :
2 2 2 2 2
1 1 1
2ab 2bc 2ca a b c c a b b c a
N
K
E
M
L J
H
O A
(14)= –
a b c
abc abc abc
=
1
a b c abc
(15)GIẢI MỘT SỐ ĐỀ TOÁN TUYỂN SINH 10 ĐỀ SỐ 5
(Thời gian : 120 phút)
Bài 1.
Cho biểu thức P = x2 9 Q = 3x x
a) Tìm x để biểu thức P có nghĩa Tìm x để biểu thức Q có nghĩa b) Với giá trị x P = Q
c) Với giá trị x P có nghĩa cịn Q khơng có nghĩa
Bài
Cho phương trình : 3x2 + mx + 12 = (1) a) Tìm m để (1) có hai nghiệm phân biệt
b) Tìm m để (1) có nghiệm 1, tìm nghiệm cịn lại
Bài 3.
Một xe máy từ tỉnh A đến tỉnh B thời gian dự định Nếu vận tốc tăng thêm 14km/h đến sớm giờ, giảm vận tốc 4km/h đến muộn Tính vận tốc dự định thời gian dự định lúc đầu
Bài 4.
Từ S ngồi đường trịn (O) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC cát tuyến AKD cho BD // AC Nối BK cắt AC I
a) Nêu cách dựng cát tuyến cho BD // AC b) Chứng minh IC2 = IK.IB
c) Cho góc BAC= 60o Chứng minh cát tuyến AKD qua O. GIẢI
Bài 1.
Cho biểu thức P = x2 9 Q = 3x x
a) Tìm x để biểu thức P có nghĩa Tìm x để biểu thức Q có nghĩa
Ta có : P = x2 9 có nghĩa x2 0 (x + 3)(x – 3) ≥ 0 (Áp dụng xét dấu tích hai thừa số khơng âm chúng dấu)
x ≤3 x ≥
Q = 3x x 3 có nghĩa
3
3
3
x x
x
x x
b) Với giá trị x P = Q Ta có : P = Q x ≥
c) Với giá trị x P có nghĩa cịn Q khơng có nghĩa Để P có nghĩa cịn Q khơng có nghĩa x ≤3
Bài
Cho phương trình : 3x2 + mx + 12 = (1) a) Tìm m để (1) có hai nghiệm phân biệt
(16)b) Tìm m để (1) có nghiệm 1, tìm nghiệm cịn lại
(1) có nghiệm x1 = a + b + c = + m + 12 = m = – 15 Khi nghiệm cịn lại : x2 =
12 c
a
Bài 3.
Một xe máy từ tỉnh A đến tỉnh B thời gian dự định Nếu vận tốc tăng thêm 14km/h đến sớm giờ, giảm vận tốc 4km/h đến muộn Tính vận tốc dự định thời gian dự định lúc đầu Gọi x vận tốc dự định hết quãng đường AB (x > , km/h)
y quãng đường AB (y > 0, km) Thời gian dự định :
y x
Nếu tăng vận tốc lên 14km/h thời gian hết quãng đường : 14 y x Theo đề : 14
y y
x x (1)
Nếu giảm vận tốc km/h thời gian hết quãng đường : y
x (x > 4) Theo đề :
y y
x x (2)
Ta có hệ phương trình :
2 14
1
y y
x x
y y
x x
( 14) ( 14) ( 4) ( 4) y x xy x x xy y x x x
14 ( 14)
4 ( 4)
y x x y x x
( x, y ≠ 0)
Chia vế , ta :
7 2( 14)
2
x x
7x – 28 = 4x + 56 3x = 84 x = 28
Thế vào : 4y = x(x – 4) ta :
28.24 168
y
Thời gian dự định : Vận tốc dự định : 28 km/h
* Cách khác : Gọi y thời gian hết AB theo dự định x vận tốc dự định , ta có : AB = xy = (x + 14)(y – 2) (1)
AB = xy = (x - 4)(y + 1) (2)
14 28
4
y x y x
28 x y
Vậy thời gian dự định giờ, vận tốc dự định : 28 km/h
Bài 4.
Từ A đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC cát tuyến AKD cho BD // AC Nối BK cắt AC I
a) Nêu cách dựng cát tuyến cho BD // AC b) Chứng minh IC2 = IK.IB
c) Cho góc BAC= 60o Chứng minh cát tuyến AKD qua O. giải :
a) Kẻ đường kính CE, AC CE , mà BD // AC nên BD CE
(17)b) Chứng minh : IC2 = IK.IB
Xét IBC ICK có : góc I chung
Ta có : ICK =
2KC (góc tiếp tuyến dây cung)
KBC =
2KC (góc nội tiếp chắn cung KC) Nên ICK KBC
Do : IBC ICK
IC IK
IB IC IC2 = IK.IB c) Khi BAC = 60o cân BAC trở thành tam giác Nên AB = AC = BC
Tứ giác ACOB nội tiếp suy
BOC = 120o BDC = 60o (góc nội tiếp chắn cung BKC) Mà BC = CD nên BDC cân
Do : BDC tam giác
BD = AC = CD = AB
Vậy tứ giác ABDC hình thoi
AD phân giác BAC
Trùng với AO phân giác BAC
Vậy BAC = 60o cát tuyến AKD qua O
I K
E
D
C B
O
(18)GIẢI MỘT SỐ ĐỀ TOÁN TUYỂN SINH 10 ĐỀ SỐ 6
(Thời gian : 120 phút) Bài 1.
Chứng minh A = 40 57 40 57 số nguyên Bài 2.
Cho biểu thức B = y2 – xy – 12x2 a) Phân tích B thành nhân tử
b) Tìm cặp số (x ; y) thỏa B = x – y + = Bài 3.
Cho hàm số y = (m2 – 6m + 12)x2 a) Tìm giá trị m biết x = y =
b) Chứng tỏ hàm số nghịch biến x < đồng biến x > Bài 4.
Cho phương trình : 2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m + = (m tham số) a) Giải phương trình m = –
b) Khi phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 phân biệt , tìm m để biểu thức M = x x1 2 2x1 2x2 đạt giá trị lớn Bài
Cho đường tròn tâm O, bán kính R, đường kính AB Đường thẳng qua trung điểm H đoạn OB cắt đường tròn M N, gọi I trung điểm MN, vẽ AK vng góc với MN, BI cắt AK D
a) Tứ giác DMBN hình ?
b) Chứng minh D trực tâm tam giác AMN
c) Biết AM.AN = 3R2 AN = R 3 Tính diện tích tam giác AMN. GIẢI Bài 1.
Chứng minh A = 40 57 40 57 số nguyên
Ta có : 40 57 = 32 + 25 + 2.5.4 = (4 2)2 + 2.5.4 + 52 = (4 2 + 5)2 40 57 = 57 40 2 = 32 2.5.4 25 =
2
(4 2) 2.4 2.5 5 =
2
(4 5) = (4 5)
Vậy A = 5 (4 2 + 5) = – 10 : số nguyên Bài 2.
Cho biểu thức B = y2 – xy – 12x2 a) Phân tích B thành nhân tử
Ta có B =
2 2.1 49
2 4
y xy x x =
2
1
2
y x x
=
1 7
2 2
y x x y x x
= y 3x y 4x
(19)Ta có :
y x y x x y 4 y x y x x y y x x y
4 y x x y x y
4 16 x y Bài 3.
Cho hàm số y = (m2 – 6m + 12)x2 a) Tìm giá trị m biết x = y =
Với x = y = ta có : = m2 – 6m + 12 m2 – 6m + =
3 m m b) Chứng tỏ hàm số nghịch biến x < đồng biến x >
Ta có : y = ax2 a > 0, nghịch biến x < đồng biến x > 0 Mà a = m2 – 6m + + = (m – 3)2 + > , với giá trị m
Vậy hàm số y = (m2 – 6m + 12)x2 nghịch biến x < đồng biến x >0
Bài 4.
Cho phương trình : 2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m + = (1) (m tham số) a) Giải phương trình m = –
Ta có : m = – pt trở thành : 2x2 - 8x + = 2(x2 - 4x + 4) = 2(x - 2)2 = x =
b) Khi phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 phân biệt , tìm m để biểu thức M = x x1 2 2x1 2x2 đạt giá trị lớn Pt (1) có hai nghiệm x1 ; x2 phân biệt ’ = (m + 1)2 – 2(m2 + 4m + 3) >
– m2 – 6m – > m2 + 6m + < (m + 1)(m + 5) < – < m < – (*)
Khi theo định lí Vi-et :
1 2 b m x x a
c m m
x x a Do :
x1.x2 – 2x1 – 2x2 = x1.x2 – 2(x1 + x2) =
2 4 3
2 m m
2(m 1) =
2 8 7
2 m m
=
( 7)( 1) m m Vì m phải tìm thỏa (*) nên với điều kiện (m + 7)(m + 1) <
Suy M =
2 8 7
2 m m
=
2 8 7
2
m m
=
2
9 ( 4)
2
m
Vậy giá trị lớn M
2 m = – thỏa (*) Bài
Cho đường trịn tâm O, bán kính R, đường kính AB Đường thẳng qua trung điểm H đoạn OB cắt đường tròn M N, gọi I trung điểm MN, vẽ AK vng góc với MN, BI cắt AK D
a) Tứ giác DMBN hình ?
b) Chứng minh D trực tâm tam giác AMN
c) Biết AM.AN = 3R2 AN = R 3 Tính diện tích tam giác AMN.
M' D K I N H A O B M
a) Ta có : AK MN
Mà I trung điểm MN nên OI MN
Suy : OI ĐTB ADB I trung
(20)c) Biết AM.AN = 3R2 AN = R 3 AM = R 3= AN suy tam giác AMN cân A
Trong tam giác vuông ABN có AN = R 3; AB = 2R
sin
2 AN ABN
AB
ABN = 60o AMN= 60o (cùng chắn cung AN)
Vậy tam giác AMN cân có góc 60o tam giác cạnh R Diện tích AMN =
2
3
4 R