6 de ts 10 co dap an

b) Xác định vị trí của điểm M trên cung AB để diện tích tứ giác ABDC nhỏ nhất.. a) Chứng minh : Tích AC.BD không đổi khi M lưu động trên cung AB... b) Xác định vị trí của điểm M trên cun[r]

GIẢI MỘT SỐ ĐỀ TOÁN TUYỂN SINH 10 ĐỀ SỐ 1

(Thời gian : 120 phút) Bài 1.

Cho biểu thức A =

2 2

1 :

2 2

a a

a a a a a a

   

 

   

        

   với điều kiện biểu thức có nghĩa

a) Rút gọn biểu thức A

b) Tìm giá trị A a = 2009 2008

Bài Cho phương trình bậc hai ẩn x : x2 – 2mx + 2m – = 0

a) Chứng minh pt có hai nghiệm phân biệt với giá trị m

b) Giả sử x1 ; x2 hai nghiệm pt Tìm m để biểu thức y = x12 + x22 đạt giá trị nhỏ Bài Cho hàm số

2

1 y x

a) Vẽ đồ thị (P) hàm số

b) Viết phương trình đường thẳng (d) qua hai điểm A, B nằm (P) có hồnh độ – ; Bài

Cho đường tròn (O) dây cung AB Trên tia AB lấy điểm C nằm ngồi đường trịn Từ điểm P cung lớn AB kẻ đường kính PQ đường trịn, đường kính cắt AB D Tia CP cắt đường tròn M, dây AB QM cắt K

a) Chứng minh CM.CP = CA.CB

b) Chứng tỏ MC tia phân giác góc ngồi đỉnh M tam giác ABM

c) Giả sử A, B, C cố định Chứng minh đường thẳng QM qua điểm cố định đường (O) thay đổi qua hai điểm A, B

Giải

Bài 1 a) Ta có A =

2 2 2

:

2 ( 2) 2( 2)

a a a

a a a a a

                        =

 22 1 2 2

:

2 ( 2)( 2)

a a

a a a a

              =

 22 2 2

:

2 ( 2)( 2)

a a a

a a a

  

  

=

 22  22

:

2 ( 2)( 2)

a a

a a a

     =     2

2 ( 2)( 2)

2 2

a a a

a a

  

 

= a2 b) Ta có a = 2009 2008 =  

2

2008 1

 a2 = 2008 1 + = 2008 1 Bài 2.

a) Ta có : ’ = m2 – 2m + = m2 – 2m + + =(m – 1)2 + > 0, m chứng tỏ phương trình ln có hai nghiệm phân biệt m

b) y = x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 = 4m2 – 2(2m – 2) = 4m2 – 4m + = 4(m2 – m + 1) = 4[(m2 – 2.

1 2m +

1 4 +

3

4) = 4(m -

2)2 + ≥ , m y đạt giá trị nhỏ m =

1 Bài a) Vẽ đồ thị hàm số

2

x 2 1

y 2

1 

0 

2  vẽ đồ thị hàm số

f(x)=-(1/2)x^2 x(t)=-2 , y(t)=t x(t)=t , y(t)=-2 x(t)=2 , y(t)=t x(t)=-1 , y(t)=t x(t)=t , y(t)=-1/2 f(x)=-(1/2)*x-1

-5 -4 -3 -2 -1

-4 -3 -2 -1

x f(x)

b) giả sử pt đường thẳng AB có dạng : y = ax + b Ta có A( – ;

1 

) B(2 ; – 2), nên tọa độ chúng thỏa pt đường thẳng :

1 2

a b a b 

   



  

 

1 a b 

     

Vậy pt đường thẳng AB :

1 y x

Bài

Cho đường tròn (O) dây cung AB Trên tia AB lấy điểm C nằm đường trịn Từ điểm P cung lớn AB kẻ đường kính PQ đường trịn, đường kính cắt AB D Tia CP cắt đường tròn M, dây AB QM cắt K

a) Chứng minh CM.CP = CA.CB

b) Chứng tỏ MC tia phân giác góc ngồi đỉnh M tam giác ABM

c) Giả sử A, B, C cố định Chứng minh đường thẳng QM qua điểm cố định đường (O) thay đổi qua hai điểm A, B

Giải :

a) Chứng minh : CM.CP = CA.CB

A

B

1 y x

2

Ta có :

CMB CAP

(Góc C chung, CBM CPA chắn cung AM) Suy :

CB CM

CP CA  CM.CP = CA.CB

b) Theo gt : PQ vng góc dây cung AB QA QB  nên AMQ BMQ Do : MQ phân giác góc AMB

Mặt khác MQ  MP (PMQ = 1v chắn nửa đường tròn) C, M P thẳng hàng nên MQ  MC

Vậy MC phân giác góc ngồi đỉnh M tam giác ABM

c) Khi (O) thay đổi qua hai điểm A, B , suy O chạy đường thẳng PQ với QA QB  MQ ln phân giác AMB

Suy MQ cắt AB K thuộc AB , theo tính chất phân giác , ta có : KA MA CA

KBMBCB mà A, B, C cố định nên CA

CBkhông đổi  K cố định Vậy MQ qua điểm K cố định

K

M

P Q

D C

A B

GIẢI MỘT SỐ ĐỀ TOÁN TUYỂN SINH 10 ĐỀ SỐ 2

(Thời gian : 120 phút)

Bài 1.

a) Chứng minh :

39 11 2 39 11 2

3

  



b) Giải hệ phương trình :

2

2

74

( 2) ( 4) 18 x y x y            Bài 2.

Cho phương trình : x2 – 2mx + 2m – = , m tham số thực

a) Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt với giá trị m

b) Giả sử x1 ; x2 hai nghiệm phương trình Tìm m để biểu thức x1 x2 đạt giá trị nhỏ tính giá trị nhỏ

Bài

Gọi (P) đồ thị hàm số

2

1 y x

(d) đồ thị hàm số

1 y x a) Vẽ (P) (d) hệ trục tọa độ

b) Dùng đồ thị (P) (d) suy nghiệm phương trình x2 – x – = 0

Bài Cho đường trịn (O) , đường kính AB = 2R M điểm lưu động cung AB (M khác A B)

Tiếp tuyến đường tròn M cắt tiếp tuyến A B C D a) Chứng minh : Tích AC.BD khơng đổi M lưu động cung AB

b) Xác định vị trí điểm M cung AB để diện tích tứ giác ABDC nhỏ GIẢI :

Bài 1

a) Ta có : 11 2 = 3 2 2   = 333 22 3 32 2 23 = ( 3 2)3

Tương tự 11 ( 3   2)3

Vậy

39 11 2 39 11 2

2

  

 3

2

  



(đfcm) b) Giải hệ phương trình :

2

2

74

( 2) ( 4) 18 x y x y             2 2 74

4 16 18

x y

x x y y

             

2 74

4 16 74 18 x y x y           

2 74

4 76

x y x y        

2 74

2 19 x y x y         2

(2 19) 74

2 19 y y x y         

5 76 361 74 19 y y x y         

Vậy hệ có nghiệm :

5 x y

  





13 41

5 x y 

       

Bài 2.

Cho phương trình : x2 – 2mx + 2m – = , m tham số thực

a) Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt với giá trị m

b) Giả sử x1 ; x2 hai nghiệm phương trình Tìm m để biểu thức x1 x2 đạt giá trị nhỏ tính giá trị nhỏ

a) Ta có : ’ = m2 – 2m + = m2 – 2m + + = (m – 1)2 + > , với m

vậy phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với m b) Ta có :  

2

1

x  x

= x1 x22=  

1

x x  x x = 4m2 – 4(2m – 5) = 4m2 – 8m + 20 = 4(m2 – 2m + + 4) = 4(m – 1)2 + 16 ≥ 16

Vậy x1 x2 đạt giá trị nhỏ m = 1

Bài

Gọi (P) đồ thị hàm số

2

1 y x

(d) đồ thị hàm số

1 y x a) Vẽ (P) (d) hệ trục tọa độ

Bảng giá trị hàm số

2

1 y x

x -2 -1

y

1

2 0

1

2 2

Bảng giá trị hàm số

1 y x

x -2

y

Đồ thị (P) (d)

f(x)=(1 /2)x^2 f(x)=(1 /2)x +1 x(t)=-1 , y (t)=t x(t)=2 , y(t)=t

-5 -4 -3 -2 -1

-4 -3 -2 -1

x f(x)

b) Lập phương trình hồnh độ giao điểm :

2

1 2x =

1

2x  x2 – x – = 0

1

y x 1

Vậy số nghiệm pt số giao điểm có hai đồ thị (P) (d)

Dựa vào đồ thị , ta có (P) (d) cắt hai điểm có hồnh độ x = -1 x = Suy nghiệm phương trình x2 – x – = có hai nghiệm x = - ; x = 2

Bài Cho đường tròn (O) , đường kính AB = 2R M điểm lưu động cung AB (M khác A B)

Tiếp tuyến đường tròn M cắt tiếp tuyến A B C D a) Chứng minh : Tích AC.BD khơng đổi M lưu động cung AB

b) Xác định vị trí điểm M cung AB để diện tích tứ giác ABDC nhỏ a) AC.BD khơng đổi

D

C

B

O

A

M

Theo định lí hai tiếp tuyến ta có CA = CM DM = DB (1)

Và OC phân giác góc AOM , OD phân giác góc MOB Mà AOMvà MOB kề bù nên suy CO  OD

Mặt khác OM  CD OM = R (CD tiếp tuyến (O) tiếp điểm M)

Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng OCD có : MC.MD = OM2 = R2 (không đổi) Kết hợp với (1) suy : AC.BD = MC.MD = R2 (không đổi) M lưu động cung AB

b) Vì AC VÀ BD hai tiếp tuyến (O) A B nên AC // BD (AC BD vng góc với AB), suy tứ giác ABDC hình thang vng

Diện tích

1

( )

2

ABDC AB AC BD

S  

= R(CM + MD) = R.CD (cmt) với R không đổi Nên SABDC nhỏ chì CD nhỏ

Và CD nhỏ CD hai tiếp tuyến A B

GIẢI MỘT SỐ ĐỀ TOÁN TUYỂN SINH 10 ĐỀ SỐ 3

(Thời gian : 120 phút)

Bài 1.

Cho M =

2

2 2

3 :

3 1

x x x x

x x x x

   

 

  

 

 

  (điều kiện biểu thức có nghĩa)

a) Rút gọn biểu thức M

b) Với giá trị x M < c) Tìm x để M có giá trị nguyên

Bài 2.

Giả sử x1 ; x2 hai nghiệm phương trình : x2 – (m + 1)x + m2 – 2m + = 0

a) Tìm giá trị m để phương trình vơ nghiệm, có nghiệm kép, có hai nghiệm phân biệt b) Tìm m để x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất, lớn

Bài 3.

Cho tam giác ABC vuông A, AB = a ; AC = b nội tiếp đường tròn tâm O Kéo dài đường phân giác AD tam giác ABC cắt đường tròn O M Vẽ đường thẳng DE  AB , DF  AC

a) Chứng minh AEDF hình vng b) Tính DE theo a, b , từ suy EF

c) Chứng minh AB.AC = AM.AD diện tích tam giác ABC ln diện tích tứ giác AEMF A di động nửa đường trịn có đường kính BC

Bài 4.

Tìm số có hai chữ số biết nhân số với 37 lấy kết chia cho 31 ta số dư 15 GIẢI

Bài 1

a) Ta có

điều kiện : x ≠ ; x ≠

2; x ≠ 1 M =

2

( 2)( 1) 2.3 ( 1)

3 ( 1)

x x x x x x x x

x x x x

       



  =

2

8

3 (2 )

x x x

x x x

   

 

=

2

4

3 (1 )

x x x

x x x

   



 =

2

( 1) (1 )(3 1) (1 )

x x x x

x x

     



=

2

(1 )(1 ) (1 )(3 1) (1 )

x x x x x

x x

     

 =

2

(1 ) (3 1)

x x x

x     = x x x  = x

b) M < 

1 x

<  x + <  x < 1

c) M 

1 x

 x + chia hết cho  x + = 3k, k   x = 3k – , k 

Hay x số nguyên chia cho dư

Bài 2.

Giả sử x1 ; x2 hai nghiệm phương trình : x2 – (m + 1)x + m2 – 2m + = (1)

Ta có :  = (m + 1)2 – 4(m2 – 2m + 2) = – 3m2 + 10m – = (1 – m )(3m – 7)

+ (1) vô nghiệm  <  (1 – m )(3m – 7) <  m < m >

7 + (1) có nghiệm kép  =  (1 – m )(3m – 7) =  m =1 m =

7 + (1) có hai nghiệm phân biệt  <  (1 – m )(3m – 7) >  < m <

7 3 (*) b) Tìm m để x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất, lớn

Theo Vi-et, ta có :

1

2

1

1

2

b m x x

a c

m m

x x a 

    

 

    

 

Nên : đặt E = x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 = (m + 1)2 – 2(m2 – 2m + 2) = – m2 + 6m – + Ta có : – m2 + 6m – = – (m2 – 6m + ) = – (m2 – 2.3m + – ) = – (m – 3)2

Nhưng (1) có nghiệm x1 ; x2 ≤ m ≤ Giá trị lớn E : – (

7

3  )2 = 50

9 Giá trị nhỏ E : – (1 – 3)2 = * Chú ý điều kiện : ≤ m ≤

7

3, không giải thường mắc sai lầm sau : – m2 + 6m – = – (m2 – 6m + ) = – (m2 – 2.3m + – ) = – (m – 3)2 ≤ E đạt giá trị lớn m = giá trị lớn E = E khơng có giá trị nhỏ

a b N

F E

D

M

B

O

C A

a) Chứng minh AEDF hình vng

Ta có tứ giác AEDF có A E F   1v đường chéo AD phân giác góc EAD nên AEDF hình vng. b) Tính DE theo a, b , từ suy EF

Áp dụng định lí Py ta go cho vuông ABC : BC2 = AB2 + AC2 = a2 + b2

 BC a2b2

Áp dụng tính chất phân giác AD :

DB AB a DC AC b 

DB DC AB AC

DC AC

 





BC a b DC b

 

 DC =

2

b a b DC

a b  



Từ chứng minh trênAEDF hình vng nên DF // AB 

CD DF CB AB



2

2

b a b

DF a b

a a b



 

 

DF b a a b 

ab DF

a b 

 , mà AE = DF (cmt)

EF đường chéo hình vng cạnh DF , nên : EF = DF 2= ab

a b

c) Chứng minh AB.AC = AM.AD diện tích tam giác ABC ln diện tích tứ giác AEMF A di động nửa đường trịn có đường kính BC

+ Ta có : ABD AMC :

 

BAD MAC (AD phân giác)

 

Suy :

AB AD

AM AC  AB.AC = AM.AD

Khi A di động (O) tam giác ABC ln tam giác vng, nên AEDF ln hình vng AB.AC = AM.AD

Do AEDF hình vuông  AD  EF AD = EF

 SAEDF =

1

2AM EF2AM AD =

2AB AC = SABC

Bài Tìm số có hai chữ số biết nhân số với 37 lấy kết chia cho 31 ta số dư 15

Gọi số có hai chữ số có dạng : x = ab10a b (a ≠ , < a, b ≤ 9, a, b ), x nguyên dương Theo đề ta có : 37(10a + b) = 31.k + 15 , k

 37x – 31k = 15 (*) (37, 31) = (ước chung lớn hay gọi nguyên tố nhau)

Bài toán trở thành tìm nghiệm nguyên dương phương trình (*) Suy : 31k = 37x – 15  k =

31 15 31 x x

= x + 15

31 x

(nguyên dương ) Đặt t =

6 15 31 x

, t nguyên dương  31t = 6x – 15  6x = 31t + 15  x =

30 12

6 t t  

= 5t + + t

Đặt u = t

, u nguyên dương  6u = t +  t = 6u –

Thế vào x, k tính theo u :

x = 5t + + u = 5(6u – 3) + + u = 31u – 13 k = x + t = 31u – 13 + 6u – = 37u – 16

Vậy nghiệm phương trình có dạng tổng quát :

31 13,10 99 37 16

x u x

k u

   

 

 

 + Chọn u =  k = 21  x = 18

Thử lại : 37.18 – 15 = 651 651 : 31 = 21 + Tương tự chọn u =  k = 58 , x = 49

+ chọn u =  k = 95 ; x = 80

+ Chọn u =  k = 132 , x = 111 (loại)

GIẢI MỘT SỐ ĐỀ TOÁN TUYỂN SINH 10 ĐỀ SỐ 4

(Thời gian : 120 phút)

Bài 1.

a) Tìm x biết x 12 18x 8 27 b) Chứng minh đẳng thức :

2 2

1

2

x x x

x x

x x x

    

 

 

     

  với x > , x ≠ 1

Bài 2.

Cho hàm số y = ax2 y = – 2x + m có đồ thị (P) (d) trục số a) Tìm a để (P) qua điểm A(1 ;

1

2), tìm m để (d) qua A. b) Vẽ đồ thị (P) (d) với a m vừa tìm

c) Với a vừa tìm câu a), tìm m để (d) tiếp tuyến (P)

Bài

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn tâm (O) ; H trực tâm tam giác, M điểm cung BC không chứa A

a) Xác định vị trí M để tứ giác BHCM hình bình hành

b) Gọi N , E điểm đối xứng M qua đường thẳng AB, AC Chứng minh ba điểm N, H, E thẳng hàng

c) Xác định vị trí điểm M để NE có độ dài lớn

Bài 4.

Chứng minh a + b + c = abc ≠

2 2 2 2 2

1 1

0 a b  c c a  b b c  a 

GIẢI

Bài 1.

a) x 12 18x 8 27  2x 3 + 3 2 = 2x 2+ 3

 2x( 3– 2) = 3( 3– 2)  2x = 

3 x

b)

( 2)( 1) ( 2)( 1)

2 1

1

2 ( 1) ( 1)

x x x x

x x x x

x

x x x x x x

          

 

 

      

 

=

2

x

x x =

1

x (đpcm)

Bài 2.

Cho hàm số y = ax2 y = – 2x + m có đồ thị (P) (d) trục số a) Tìm a để (P) qua điểm A(1 ;

1

2), tìm m để (d) qua A. (P) qua A(1 ;

1 2) 

1

2 = a.12 a =

2  y = 2x2 (d) qua A(1 ;

1 2) 

1

2 = – 2.1 + m  m =

2 y = – 2x + b) Vẽ đồ thị (P) (d) với a m vừa tìm

Bảng giá trị (P) :

y =

2x2 2

1

2 0

1

2 2

Bảng giá trị (d) :

x

y = – 2x +

5

1 Đồ thị (P) (d) :

f(x)=(1/2)x^2 f(x)=-2*x+5/2 x(t)=1 , y(t )=t x(t)=t , y(t)=1/2

-10 -8 -6 -4 -2 10 12

-2 10 12 14

x f(x)

c) Với a vừa tìm câu a), tìm m để (d) tiếp tuyến (P) Lập pt hoành độ giao điểm :

1

2x2 = – 2x + m  x2 + 4x – 2m =

’ = + 2m

Để (d) tiếp xúc với (P) pt hồnh độ giao điểm phải có nghiệm kép Tức : + 2m =  m = –

Vậy (d) tiếp tuyến (P) m = –

Bài

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn tâm (O) ; H trực tâm tam giác, M điểm cung BC không chứa A

a) Xác định vị trí M để tứ giác BHCM hình bình hành

Chứng minh ba điểm N, H, E thẳng hàng

c) Xác định vị trí điểm M để NE có độ dài lớn Giải :

a) Ta có : BH  AC CH  AB nên để BHCM hình bình hành MC  AC C

và MB  AB B

Do AM đường kính đường trịn tâm (O) b) Ta có : E đối xứng M qua AC

 EC  AC EC = MC 

EC // BH EC = BH Vậy BHEC hình bình hành Chứng minh tương tự :

BNHC hình bình hành Suy : HE // BC HN // BC

Theo Tiên đề Euclide, qua H có Một đường thẳng song song với BC Hay nói khác : N, H, E thẳng hàng c) Theo cmt : BC =

1

2NE  NE lớn BC lớn nhất tức dây cung BC lớn BC đường kính

khi tam giác ABC vuông A nên trực tâm H trùng với A M điểm đối tâm A

NE = 13.04 cm

N'E' = 13.91 cm

E' N'

R C'

N

K

E

M L

J

H

O A

B C

B'

Bài 4.

Chứng minh a + b + c = abc ≠

2 2 2 2 2

1 1

0 a b  c c a  b b c  a  Ta có :

a + b = -c ; b + c = - a ; c + a = - b (a + b)2 = c2 a2 + b2 – c2 = – 2ab (b + c)2 = a2 b2 + c2 – a2 = – 2bc (c + a)2 = b2 c2 + a2 – b2 = – 2ca Do :

2 2 2 2 2

1 1 1

2ab 2bc 2ca a b  c c a  b b c  a   

N

K

E

M

L J

H

O A

= –

a b c

abc abc abc

 

 

 

 =

1

a b c abc  

 

  

GIẢI MỘT SỐ ĐỀ TOÁN TUYỂN SINH 10 ĐỀ SỐ 5

(Thời gian : 120 phút)

Bài 1.

Cho biểu thức P = x2 9 Q = 3x x 

a) Tìm x để biểu thức P có nghĩa Tìm x để biểu thức Q có nghĩa b) Với giá trị x P = Q

c) Với giá trị x P có nghĩa cịn Q khơng có nghĩa

Bài

Cho phương trình : 3x2 + mx + 12 = (1) a) Tìm m để (1) có hai nghiệm phân biệt

b) Tìm m để (1) có nghiệm 1, tìm nghiệm cịn lại

Bài 3.

Một xe máy từ tỉnh A đến tỉnh B thời gian dự định Nếu vận tốc tăng thêm 14km/h đến sớm giờ, giảm vận tốc 4km/h đến muộn Tính vận tốc dự định thời gian dự định lúc đầu

Bài 4.

Từ S ngồi đường trịn (O) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC cát tuyến AKD cho BD // AC Nối BK cắt AC I

a) Nêu cách dựng cát tuyến cho BD // AC b) Chứng minh IC2 = IK.IB

c) Cho góc BAC= 60o Chứng minh cát tuyến AKD qua O. GIẢI

Bài 1.

Cho biểu thức P = x2 9 Q = 3x x 

a) Tìm x để biểu thức P có nghĩa Tìm x để biểu thức Q có nghĩa

Ta có : P = x2 9 có nghĩa x2 0  (x + 3)(x – 3) ≥ 0 (Áp dụng xét dấu tích hai thừa số khơng âm chúng dấu)

 x ≤3 x ≥

Q = 3x x  3 có nghĩa

3

3

3

x x

x

x x

  

 

  

 

  

 

b) Với giá trị x P = Q Ta có : P = Q  x ≥

c) Với giá trị x P có nghĩa cịn Q khơng có nghĩa Để P có nghĩa cịn Q khơng có nghĩa x ≤3

Bài

Cho phương trình : 3x2 + mx + 12 = (1) a) Tìm m để (1) có hai nghiệm phân biệt

b) Tìm m để (1) có nghiệm 1, tìm nghiệm cịn lại

(1) có nghiệm x1 =  a + b + c =  + m + 12 =  m = – 15 Khi nghiệm cịn lại : x2 =

12 c

a  

Bài 3.

Một xe máy từ tỉnh A đến tỉnh B thời gian dự định Nếu vận tốc tăng thêm 14km/h đến sớm giờ, giảm vận tốc 4km/h đến muộn Tính vận tốc dự định thời gian dự định lúc đầu Gọi x vận tốc dự định hết quãng đường AB (x > , km/h)

y quãng đường AB (y > 0, km) Thời gian dự định :

y x

Nếu tăng vận tốc lên 14km/h thời gian hết quãng đường : 14 y x Theo đề : 14

y y

x  x  (1)

Nếu giảm vận tốc km/h thời gian hết quãng đường : y

x (x > 4) Theo đề :

y y

x  x  (2)

Ta có hệ phương trình :

2 14

1

y y

x x

y y

x x



 



 



  

  



( 14) ( 14) ( 4) ( 4) y x xy x x xy y x x x

   

 

   

 

14 ( 14)

4 ( 4)

y x x y x x

 

 

 

 ( x, y ≠ 0)

Chia vế , ta :

7 2( 14)

2

x x

 

  7x – 28 = 4x + 56  3x = 84  x = 28

Thế vào : 4y = x(x – 4) ta :

28.24 168

y 

Thời gian dự định : Vận tốc dự định : 28 km/h

* Cách khác : Gọi y thời gian hết AB theo dự định x vận tốc dự định , ta có : AB = xy = (x + 14)(y – 2) (1)

AB = xy = (x - 4)(y + 1) (2) 

14 28

4

y x y x

 

 

  

 

28 x y

  

 

Vậy thời gian dự định giờ, vận tốc dự định : 28 km/h

Bài 4.

Từ A đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC cát tuyến AKD cho BD // AC Nối BK cắt AC I

a) Nêu cách dựng cát tuyến cho BD // AC b) Chứng minh IC2 = IK.IB

c) Cho góc BAC= 60o Chứng minh cát tuyến AKD qua O. giải :

a) Kẻ đường kính CE, AC  CE , mà BD // AC nên BD  CE

b) Chứng minh : IC2 = IK.IB

Xét IBC ICK có : góc I chung

Ta có : ICK = 

2KC (góc tiếp tuyến dây cung) 

KBC = 

2KC (góc nội tiếp chắn cung KC) Nên ICK KBC

Do : IBC  ICK 

IC IK

IB IC  IC2 = IK.IB c) Khi BAC = 60o cân BAC trở thành tam giác Nên AB = AC = BC

Tứ giác ACOB nội tiếp suy 

BOC = 120o BDC = 60o (góc nội tiếp chắn cung BKC) Mà BC = CD nên BDC cân

Do :  BDC tam giác

BD = AC = CD = AB

Vậy tứ giác ABDC hình thoi

 AD phân giác BAC

Trùng với AO phân giác BAC

Vậy BAC = 60o cát tuyến AKD qua O

I K

E

D

C B

O

GIẢI MỘT SỐ ĐỀ TOÁN TUYỂN SINH 10 ĐỀ SỐ 6

(Thời gian : 120 phút) Bài 1.

Chứng minh A = 40 57  40 57 số nguyên Bài 2.

Cho biểu thức B = y2 – xy – 12x2 a) Phân tích B thành nhân tử

b) Tìm cặp số (x ; y) thỏa B = x – y + = Bài 3.

Cho hàm số y = (m2 – 6m + 12)x2 a) Tìm giá trị m biết x = y =

b) Chứng tỏ hàm số nghịch biến x < đồng biến x > Bài 4.

Cho phương trình : 2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m + = (m tham số) a) Giải phương trình m = –

b) Khi phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 phân biệt , tìm m để biểu thức M = x x1 2 2x1 2x2 đạt giá trị lớn Bài

Cho đường tròn tâm O, bán kính R, đường kính AB Đường thẳng qua trung điểm H đoạn OB cắt đường tròn M N, gọi I trung điểm MN, vẽ AK vng góc với MN, BI cắt AK D

a) Tứ giác DMBN hình ?

b) Chứng minh D trực tâm tam giác AMN

c) Biết AM.AN = 3R2 AN = R 3 Tính diện tích tam giác AMN. GIẢI Bài 1.

Chứng minh A = 40 57  40 57 số nguyên

Ta có : 40 57 = 32 + 25 + 2.5.4 = (4 2)2 + 2.5.4 + 52 = (4 2 + 5)2 40 57 = 57 40 2 = 32 2.5.4 25  =

2

(4 2)  2.4 2.5 5 =

2

(4 5) = (4 5)

Vậy A = 5  (4 2 + 5) = – 10 : số nguyên Bài 2.

Cho biểu thức B = y2 – xy – 12x2 a) Phân tích B thành nhân tử

Ta có B =

2 2.1 49

2 4

y  xy x  x =

2

1

2

y x x

   

 

   

    =

1 7

2 2

y x x y x x

   

   

   

   

= y 3x y   4x

Ta có :

   

y x y x x y             4 y x y x x y              y x x y       



4 y x x y          x y     

4 16 x y          Bài 3.

Cho hàm số y = (m2 – 6m + 12)x2 a) Tìm giá trị m biết x = y =

Với x = y = ta có : = m2 – 6m + 12  m2 – 6m + = 

3 m m        b) Chứng tỏ hàm số nghịch biến x < đồng biến x >

Ta có : y = ax2 a > 0, nghịch biến x < đồng biến x > 0 Mà a = m2 – 6m + + = (m – 3)2 + > , với giá trị m

Vậy hàm số y = (m2 – 6m + 12)x2 nghịch biến x < đồng biến x >0

Bài 4.

Cho phương trình : 2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m + = (1) (m tham số) a) Giải phương trình m = –

Ta có : m = – pt trở thành : 2x2 - 8x + =  2(x2 - 4x + 4) =  2(x - 2)2 =  x =

b) Khi phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 phân biệt , tìm m để biểu thức M = x x1 2 2x1 2x2 đạt giá trị lớn Pt (1) có hai nghiệm x1 ; x2 phân biệt ’ = (m + 1)2 – 2(m2 + 4m + 3) >

 – m2 – 6m – >  m2 + 6m + <  (m + 1)(m + 5) <  – < m < – (*)

Khi theo định lí Vi-et :

1 2 b m x x a

c m m

x x a                Do :

x1.x2 – 2x1 – 2x2 = x1.x2 – 2(x1 + x2) =

2 4 3

2 m  m

2(m 1)   =

2 8 7

2 m  m

=

( 7)( 1) m m Vì m phải tìm thỏa (*) nên với điều kiện (m + 7)(m + 1) <

Suy M =

2 8 7

2 m  m

=

2 8 7

2

m m

  

=

2

9 ( 4)

2

m

 



Vậy giá trị lớn M

2 m = – thỏa (*) Bài

Cho đường trịn tâm O, bán kính R, đường kính AB Đường thẳng qua trung điểm H đoạn OB cắt đường tròn M N, gọi I trung điểm MN, vẽ AK vng góc với MN, BI cắt AK D

a) Tứ giác DMBN hình ?

b) Chứng minh D trực tâm tam giác AMN

c) Biết AM.AN = 3R2 AN = R 3 Tính diện tích tam giác AMN.

M' D K I N H A O B M

a) Ta có : AK  MN

Mà I trung điểm MN nên OI  MN

Suy : OI ĐTB ADB  I trung

c) Biết AM.AN = 3R2 AN = R 3 AM = R 3= AN suy tam giác AMN cân A

Trong tam giác vuông ABN có AN = R 3; AB = 2R 



sin

2 AN ABN

AB

 

 ABN = 60o  AMN= 60o (cùng chắn cung AN)

Vậy tam giác AMN cân có góc 60o tam giác cạnh R Diện tích AMN =

2

3

4 R