6 đề ts 10 có đáp án

GIẢI MỘT SỐ ĐỀ TOÁN TUYỂN SINH 10 ĐỀ SỐ (Thời gian : 120 phút) Bài  2a    2a − Cho biểu thức A = 1 − ÷:  ÷ với điều kiện biểu thức có nghĩa  a + ÷  a + a a + a + 2a + ÷     a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị A a = 2009 − 2008 Bài Cho phương trình bậc hai ẩn x : x2 – 2mx + 2m – = a) Chứng minh pt có hai nghiệm phân biệt với giá trị m b) Giả sử x1 ; x2 hai nghiệm pt Tìm m để biểu thức y = x12 + x22 đạt giá trị nhỏ Bài Cho hàm số y = − x2 a) Vẽ đồ thị (P) hàm số b) Viết phương trình đường thẳng (d) qua hai điểm A, B nằm (P) có hồnh độ – ; Bài Cho đường tròn (O) dây cung AB Trên tia AB lấy điểm C nằm ngồi đường trịn Từ điểm P cung lớn AB kẻ đường kính PQ đường trịn, đường kính cắt AB D Tia CP cắt đường tròn M, dây AB QM cắt K a) Chứng minh CM.CP = CA.CB b) Chứng tỏ MC tia phân giác góc ngồi đỉnh M tam giác ABM c) Giả sử A, B, C cố định Chứng minh đường thẳng QM qua điểm cố định đường (O) thay đổi qua hai điểm A, B Giải  a + − 2a    2a − Bài a) Ta có A =  ÷:  ÷  ÷  a +2 a+2 a (a + 2) + 2(a + 2) ÷     ( = ( = a− ) a+2 a− a+2 ) (   2a = : −  a + ( a + 2)( a + 2) ÷ ÷   : ( a− ) ( a + 2)( a + 2) b) Ta có a = 2009 − 2008 = = ( ( a− a+2 ) 2008 − ) a− ) a+2 : a + − 2a ( a + 2)( a + 2) (a + 2)( a + 2) ⇒ ( a− a +2 = ) = a +2 2008 − + = 2008 + Bài a) Ta có : ∆’ = m2 – 2m + = m2 – 2m + + =(m – 1)2 + > 0, ∀m chứng tỏ phương trình ln có hai nghiệm phân biệt ∀m b) y = x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 = 4m2 – 2(2m – 2) = 4m2 – 4m + = 4(m2 – m + 1) 1 = 4[(m2 – m + + ) = 4(m - )2 + ≥ , ∀m 4 y đạt giá trị nhỏ m = 2 Bài a) Vẽ đồ thị hàm số y = − x Lập bảng giá trị : −2 x −1 y − −2 − −2 vẽ đồ thị hàm số f(x) f(x)=-(1/2)x^2 x(t)=-2 , y(t)=t x(t)=t , y(t)=-2 x(t)=2 , y(t)=t x(t)=-1 , y(t)=t x(t)=t , y(t)=-1/2 f(x)=-(1/2)*x-1 x -5 -4 -3 -2 -1 A -1 B -2 y = − x2 y = − x −1 -3 -4 b) giả sử pt đường thẳng AB có dạng : y = ax + b Ta có A( – ; − ) B(2 ; – 2), nên tọa độ chúng thỏa pt đường thẳng : 1    − = −1.a + b a = − ⇔   −2 = 2.a + b b = −1   Vậy pt đường thẳng AB : y = − x − Bài Cho đường tròn (O) dây cung AB Trên tia AB lấy điểm C nằm ngồi đường trịn Từ điểm P cung lớn AB kẻ đường kính PQ đường trịn, đường kính cắt AB D Tia CP cắt đường tròn M, dây AB QM cắt K a) Chứng minh CM.CP = CA.CB b) Chứng tỏ MC tia phân giác góc đỉnh M tam giác ABM c) Giả sử A, B, C cố định Chứng minh đường thẳng QM qua điểm cố định đường (O) thay đổi qua hai điểm A, B Giải : a) Chứng minh : CM.CP = CA.CB Ta có : ∆CMB ∼ ∆CAP · · (Góc C chung, CBM = CPA chắn cung AM) CB CM = Suy : ⇒ CM.CP = CA.CB CP CA » » · b) Theo gt : PQ vng góc dây cung AB⇒ QA = QB nên · AMQ = BMQ Do : MQ phân giác góc · AMB · Mặt khác MQ ⊥ MP ( PMQ = 1v chắn nửa đường tròn) C, M P thẳng hàng nên MQ ⊥ MC Vậy MC phân giác góc ngồi đỉnh M tam giác ABM c) Khi (O) thay đổi qua hai điểm A, B , suy O chạy đường thẳng PQ » » với QA = QB MQ ln phân giác ∆AMB Suy MQ cắt AB K thuộc AB , theo tính chất phân giác , ta có : KA MA CA CA = = mà A, B, C cố định nên không đổi ⇒ K cố định KB MB CB CB Vậy MQ qua điểm K cố định Q A K D O P B C M GIẢI MỘT SỐ ĐỀ TOÁN TUYỂN SINH 10 ĐỀ SỐ (Thời gian : 120 phút) Bài + 11 + − 11 =  x + y = 74  b) Giải hệ phương trình :  2 ( x + 2) + ( y + 4) = 18  a) Chứng minh : Bài Cho phương trình : x2 – 2mx + 2m – = , m tham số thực a) Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt với giá trị m b) Giả sử x1 ; x2 hai nghiệm phương trình Tìm m để biểu thức x1 − x đạt giá trị nhỏ tính giá trị nhỏ Bài 2 Gọi (P) đồ thị hàm số y = x (d) đồ thị hàm số y = x + a) Vẽ (P) (d) hệ trục tọa độ b) Dùng đồ thị (P) (d) suy nghiệm phương trình x2 – x – = Bài Cho đường trịn (O) , đường kính AB = 2R M điểm lưu động cung AB (M khác A B) Tiếp tuyến đường tròn M cắt tiếp tuyến A B C D a) Chứng minh : Tích AC.BD không đổi M lưu động cung AB b) Xác định vị trí điểm M cung AB để diện tích tứ giác ABDC nhỏ GIẢI : Bài a) Ta có : + 11 = 3 + + + 2 = 33 + 3 22 + 32 + 23 = ( + 2)3 Tương tự − 11 = ( − 2)3 Vậy + 11 + − 11 = 3+ 2+ 3− = (đfcm) b) Giải hệ phương trình :  x + y = 74   ⇔ 2 ( x + 2) + ( y + 4) = 18   x + y = 74  x + y = 74   ⇔  x + x + + y + y + 16 = 18  x + + y + 16 + 74 = 18   x + y = 74  x + y = 74 (2 y + 19) + y = 74 5 y + 76 y + 361 = 74 ⇔ ⇔ ⇔  x + y = −76  x + y = −19  x = −2 y − 19  x = −2 y − 19   y = −7 13  x=−  5 y + 76 y + 287 =  x = −5   41  ∨ ⇔  ⇔  y = − ⇔  y = −7  41   x = −2 y − 19  y=−   x = −2 y − 19   ⇔ 13  x = −  x = −5  Vậy hệ có nghiệm :   y = −7   y = − 41   Bài Cho phương trình : x2 – 2mx + 2m – = , m tham số thực a) Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt với giá trị m b) Giả sử x1 ; x2 hai nghiệm phương trình Tìm m để biểu thức x1 − x đạt giá trị nhỏ tính giá trị nhỏ a) Ta có : ∆’ = m2 – 2m + = m2 – 2m + + = (m – 1)2 + > , với m phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với m 2 b) Ta có : ( x1 − x ) = ( x1 − x ) = ( x1 + x ) − x1.x = 4m2 – 4(2m – 5) = 4m2 – 8m + 20 = 4(m2 – 2m + + 4) = 4(m – 1)2 + 16 ≥ 16 Vậy x1 − x đạt giá trị nhỏ m = Bài 2 Gọi (P) đồ thị hàm số y = x (d) đồ thị hàm số y = x + a) Vẽ (P) (d) hệ trục tọa độ Bảng giá trị hàm số y = x x -2 -1 y 2 2 Bảng giá trị hàm số y = x + x -2 y Đồ thị (P) (d) f(x) f(x)=(1/2)x^2 f(x)=(1/2)x +1 x(t )=-1 , y(t )=t y = x2 x(t )=2 , y(t )=t y= x +1 x -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 b) Lập phương trình hồnh độ giao điểm : x = x + ⇔ x2 – x – = 2 Vậy số nghiệm pt số giao điểm có hai đồ thị (P) (d) Dựa vào đồ thị , ta có (P) (d) cắt hai điểm có hồnh độ x = -1 x = Suy nghiệm phương trình x2 – x – = có hai nghiệm x = - ; x = Bài Cho đường trịn (O) , đường kính AB = 2R M điểm lưu động cung AB (M khác A B) Tiếp tuyến đường tròn M cắt tiếp tuyến A B C D a) Chứng minh : Tích AC.BD khơng đổi M lưu động cung AB b) Xác định vị trí điểm M cung AB để diện tích tứ giác ABDC nhỏ a) AC.BD không đổi D M C A O B Theo định lí hai tiếp tuyến ta có CA = CM DM = DB (1) · Và OC phân giác góc · AOM , OD phân giác góc MOB · Mà · AOM MOB kề bù nên suy CO ⊥ OD Mặt khác OM ⊥ CD OM = R (CD tiếp tuyến (O) tiếp điểm M) Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng OCD có : MC.MD = OM2 = R2 (không đổi) Kết hợp với (1) suy : AC.BD = MC.MD = R2 (không đổi) M lưu động cung AB b) Vì AC VÀ BD hai tiếp tuyến (O) A B nên AC // BD (AC BD vng góc với AB), suy tứ giác ABDC hình thang vng Diện tích S ABDC = AB ( AC + BD ) = R(CM + MD) = R.CD (cmt) với R không đổi Nên S ABDC nhỏ chì CD nhỏ Và CD nhỏ CD hai tiếp tuyến A B ¼ ¼ ⇔ M điểm cung AB , MC = MD GIẢI MỘT SỐ ĐỀ TOÁN TUYỂN SINH 10 ĐỀ SỐ (Thời gian : 120 phút) Bài 2 x+2  − x 3x − x + + − ÷: − Cho M =  (điều kiện biểu thức có nghĩa) x +1 3x  3x  x +1 a) Rút gọn biểu thức M b) Với giá trị x M < c) Tìm x để M có giá trị nguyên Bài Giả sử x1 ; x2 hai nghiệm phương trình : x2 – (m + 1)x + m2 – 2m + = a) Tìm giá trị m để phương trình vơ nghiệm, có nghiệm kép, có hai nghiệm phân biệt b) Tìm m để x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất, lớn Bài Cho tam giác ABC vuông A, AB = a ; AC = b nội tiếp đường tròn tâm O Kéo dài đường phân giác AD tam giác ABC cắt đường tròn O M Vẽ đường thẳng DE ⊥ AB , DF ⊥ AC a) Chứng minh AEDF hình vng b) Tính DE theo a, b , từ suy EF c) Chứng minh AB.AC = AM.AD diện tích tam giác ABC ln diện tích tứ giác AEMF A di động nửa đường trịn có đường kính BC Bài Tìm số có hai chữ số biết nhân số với 37 lấy kết chia cho 31 ta số dư 15 GIẢI Bài a) Ta có ; x ≠ −1 ( x + 2)( x + 1) + 2.3 x − x( x + 1) x + x − x + −8 x + 3x − x + − − M= = x( x + 1) − 4x 3x 3x(2 − x) 3x điều kiện : x ≠ ; x ≠ = −4 x + x − x + ( −4 x + 1) − (1 − x)(3 x − x + 1) − = 3x(1 − x) 3x 3x(1 − x) (1 − x)(1 + x) − (1 − x)(3 x − x + 1) (1 + x) − (3 x − x + 1) x + x x + = = = = 3x(1 − x) 3x 3x x +1 b) M < ⇔ < ⇔ x + < ⇔ x < −1 x +1 c) M ∈  ⇔ ∈  ⇔ x + chia hết cho ⇔ x + = 3k, k ∈  ⇔ x = 3k – , k ∈  Hay x số nguyên chia cho dư Bài Giả sử x1 ; x2 hai nghiệm phương trình : x2 – (m + 1)x + m2 – 2m + = (1) a) Tìm giá trị m để phương trình vơ nghiệm, có nghiệm kép, có hai nghiệm phân biệt Ta có : ∆ = (m + 1)2 – 4(m2 – 2m + 2) = – 3m2 + 10m – = (1 – m )(3m – 7) + (1) vô nghiệm ⇔ ∆ < ⇔ (1 – m )(3m – 7) < ⇔ m < m > + (1) có nghiệm kép ⇔ ∆ = ⇔ (1 – m )(3m – 7) = ⇔ m =1 m = + (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ < ⇔ (1 – m )(3m – 7) > ⇔ < m < (*) b) Tìm m để x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất, lớn b   x1 + x = − a = m +  Theo Vi-et, ta có :   x1.x = c = m − 2m +  a  Nên : đặt E = x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 = (m + 1)2 – 2(m2 – 2m + 2) = – m2 + 6m – + Ta có : – m2 + 6m – = – (m2 – 6m + ) = – (m2 – 2.3m + – ) = – (m – 3)2 Nhưng (1) có nghiệm x1 ; x2 ≤ m ≤ Giá trị lớn E : – ( 7 50 − )2 = Giá trị nhỏ E : – (1 – 3)2 = * Chú ý điều kiện : ≤ m ≤ , không giải thường mắc sai lầm sau : – m2 + 6m – = – (m2 – 6m + ) = – (m2 – 2.3m + – ) = – (m – 3)2 ≤ E đạt giá trị lớn m = giá trị lớn E = E giá trị nhỏ Bài A N F a b E O B D C M a) Chứng minh AEDF hình vng Ta có tứ giác AEDF có µ = E = F = 1v đường chéo AD phân giác góc EAD nên AEDF hình vng A µ µ b) Tính DE theo a, b , từ suy EF Áp dụng định lí Py ta go cho ∆vng ABC : BC2 = AB2 + AC2 = a2 + b2 ⇒ BC = a + b Áp dụng tính chất phân giác AD : ⇒ DB AB a DB + DC AB + AC = = ⇒ = DC AC b DC AC BC a + b b a + b2 = ⇒ DC = DC = DC b a+b Từ chứng minh trênAEDF hình vng nên DF // AB ⇒ CD DF = CB AB b a + b2 DF b ab = ⇒ ⇒ DF = , mà AE = DF (cmt) a + b = DF ⇒ a a+b a+b 2 a a +b ab EF đường chéo hình vng cạnh DF , nên : EF = DF = a+b c) Chứng minh AB.AC = AM.AD diện tích tam giác ABC ln diện tích tứ giác AEMF A di động nửa đường trịn có đường kính BC + Ta có : ∆ABD ∼∆AMC : · · BAD = MAC (AD phân giác) · ABD = · AMC (góc nội tiếp chắn cung AC) Suy : AB AD = ⇒ AB.AC = AM.AD AM AC Khi A di động (O) tam giác ABC tam giác vuông, nên AEDF hình vng AB.AC = AM.AD Do AEDF hình vng ⇒ AD ⊥ EF AD = EF ⇒ SAEDF = 1 AM EF = AM AD = AB AC = SABC 2 Bài Tìm số có hai chữ số biết nhân số với 37 lấy kết chia cho 31 ta số dư 15 Gọi số có hai chữ số có dạng : x = ab = 10a + b (a ≠ , < a, b ≤ 9, a, b ∈), x nguyên dương Theo đề ta có : 37(10a + b) = 31.k + 15 , k∈ ⇔ 37x – 31k = 15 (*) (37, 31) = (ước chung lớn hay gọi nguyên tố nhau) Bài tốn trở thành tìm nghiệm ngun dương phương trình (*) Suy : 31k = 37x – 15 ⇒ k = 31x + x − 15 x − 15 =x+ (nguyên dương ) 31 31 x − 15 , t nguyên dương ⇒ 31t = 6x – 15 ⇒ 6x = 31t + 15 31 30t + t + 12 + t +3 ⇒x= = 5t + + 6 t +3 Đặt u = , u nguyên dương ⇒ 6u = t + ⇒ t = 6u – Đặt t = Thế vào x, k tính theo u : x = 5t + + u = 5(6u – 3) + + u = 31u – 13 k = x + t = 31u – 13 + 6u – = 37u – 16  x = 31u − 13,10 ≤ x ≤ 99  k = 37u − 16 Vậy nghiệm phương trình có dạng tổng quát :  + Chọn u = ⇒ k = 21 ⇒ x = 18 Thử lại : 37.18 – 15 = 651 651 : 31 = 21 + Tương tự chọn u = ⇒ k = 58 , x = 49 + chọn u = ⇒ k = 95 ; x = 80 + Chọn u = ⇒ k = 132 , x = 111 (loại) Vậy số có hai chữ số thỏa mãn yêu cầu đề : 18 ; 49 ; 80 GIẢI MỘT SỐ ĐỀ TOÁN TUYỂN SINH 10 ĐỀ SỐ (Thời gian : 120 phút) Bài a) Tìm x biết x 12 + 18 = x + 27 b) Chứng minh đẳng thức :  x +2 x −  x +1 − =  ÷ với x > , x ≠  x + x +1 ÷ x −1  x −1 x  Bài Cho hàm số y = ax2 y = – 2x + m có đồ thị (P) (d) trục số a) Tìm a để (P) qua điểm A(1 ; ), tìm m để (d) qua A b) Vẽ đồ thị (P) (d) với a m vừa tìm c) Với a vừa tìm câu a), tìm m để (d) tiếp tuyến (P) Bài Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm (O) ; H trực tâm tam giác, M điểm cung BC khơng chứa A a) Xác định vị trí M để tứ giác BHCM hình bình hành b) Gọi N , E điểm đối xứng M qua đường thẳng AB, AC Chứng minh ba điểm N, H, E thẳng hàng c) Xác định vị trí điểm M để NE có độ dài lớn Bài Chứng minh a + b + c = abc ≠ 1 + + =0 2 2 a +b −c c +a −b b + c2 − a2 GIẢI Bài a) x 12 + 18 = x + 27 ⇔ 2x + = 2x + 3  x +2 b)    x + x +1 = − ( x + 2)( x − 1) − ( x − 2)( x + 1) ) ⇔ 2x = ⇔ x = ⇔ 2x( – ) = 3( – x −  x +1 = ÷ x −1 ÷ x  ( x + 1) ( x − 1) x +1 x x = (đpcm) x −1 x x −1 Bài Cho hàm số y = ax2 y = – 2x + m có đồ thị (P) (d) trục số ), tìm m để (d) qua A 1 = a.12 ⇔ a = ⇒ y = x2 2 5 = – 2.1 + m ⇔ m = ⇒ y = – 2x + 2 a) Tìm a để (P) qua điểm A(1 ; )⇔ (d) qua A(1 ; ) ⇔ (P) qua A(1 ; 2 b) Vẽ đồ thị (P) (d) với a m vừa tìm Bảng giá trị (P) : x -2 -1 y= x 2 2 Bảng giá trị (d) : x 2 y = – 2x + Đồ thị (P) (d) : f(x) f(x)=(1/2)x^2 f(x)=-2*x+5/2 x(t)=1 , y(t)=t x(t)=t , y(t)=1/2 14 12 10 x -10 -8 -6 -4 -2 10 12 -2 c) Với a vừa tìm câu a), tìm m để (d) tiếp tuyến (P) Lập pt hoành độ giao điểm : x = – 2x + m ⇔ x2 + 4x – 2m = ∆’ = + 2m Để (d) tiếp xúc với (P) pt hồnh độ giao điểm phải có nghiệm kép Tức : + 2m = ⇔ m = – A Vậy (d) tiếp tuyến (P) m = – Bài Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn tâm (O) ; J trực tâm tam giác, M điểm cung H BC không chứa A K H a) Xác định vị trí M để tứ giác BHCM hình bình hành N E b) Gọi N , E điểm đối xứng M qua đường thẳng AB, AC O Chứng minh ba điểm N, H, E thẳng hàng c) Xác định vị trí điểm M để NE có độ dài lớn B C L Giải : a) Ta có : BH ⊥ AC CH ⊥ AB nên để BHCM hình bình hành MC ⊥ AC C M MB ⊥ AB B Do AM đường kính đường trịn tâm (O) b) Ta có : E đối xứng M qua AC ⇒ EC ⊥ AC EC = MC ⇒ EC // BH EC = BH Vậy BHEC hình bình hành Chứng minh tương tự : BNHC hình bình hành Suy : HE // BC HN // BC Theo Tiên đề Euclide, qua H có Một đường thẳng song song với BC Hay nói khác : N, H, E thẳng hàng c) Theo cmt : BC = NE ⇒ NE lớn BC lớn tức dây cung BC lớn BC đường kính tam giác ABC vng A nên trực tâm H trùng với A M điểm đối tâm A NE = 3.04 cm N'E' = 13.91 cm A N' E' J K N H R B' C' O B C L M Bài Chứng minh a + b + c = abc ≠ 1 + + =0 2 2 a +b −c c +a −b b + c2 − a2 Ta có : a + b = -c ; b + c = - a ; c + a = - b (a + b)2 = c2 ⇒ a2 + b2 – c2 = – 2ab (b + c)2 = a2 ⇒ b2 + c2 – a2 = – 2bc (c + a)2 = b2 ⇒ c2 + a2 – b2 = – 2ca Do : 1 1 1 + + =− − − 2 2 2 2ab 2bc 2ca a +b −c c +a −b b +c −a 1 a b c  1a+b+c + + =–  ÷= −  ÷ = với abc ≠  abc abc abc   abc  E GIẢI MỘT SỐ ĐỀ TOÁN TUYỂN SINH 10 ĐỀ SỐ (Thời gian : 120 phút) Bài Cho biểu thức P = x − Q = + x x − a) Tìm x để biểu thức P có nghĩa Tìm x để biểu thức Q có nghĩa b) Với giá trị x P = Q c) Với giá trị x P có nghĩa cịn Q khơng có nghĩa Bài Cho phương trình : 3x2 + mx + 12 = (1) a) Tìm m để (1) có hai nghiệm phân biệt b) Tìm m để (1) có nghiệm 1, tìm nghiệm lại Bài Một xe máy từ tỉnh A đến tỉnh B thời gian dự định Nếu vận tốc tăng thêm 14km/h đến sớm giờ, giảm vận tốc 4km/h đến muộn Tính vận tốc dự định thời gian dự định lúc đầu Bài Từ S ngồi đường trịn (O) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC cát tuyến AKD cho BK cắt AC I a) Nêu cách dựng cát tuyến cho BD // AC b) Chứng minh IC2 = IK.IB · c) Cho góc BAC = 60o Chứng minh cát tuyến AKD qua O GIẢI Bài Cho biểu thức P = x − Q = + x x − a) Tìm x để biểu thức P có nghĩa Tìm x để biểu thức Q có nghĩa Ta có : P = x − có nghĩa x − ≥ ⇔ (x + 3)(x – 3) ≥ (Áp dụng xét dấu tích hai thừa số không âm chúng dấu) ⇔ x ≤−3 x ≥ 3 + x ≥  x ≥ −3 ⇔ ⇔ x≥3 x − ≥ x ≥ Q = + x x − có nghĩa  b) Với giá trị x P = Q Ta có : P = Q ⇔ x ≥ c) Với giá trị x P có nghĩa cịn Q khơng có nghĩa Để P có nghĩa cịn Q khơng có nghĩa x ≤−3 Bài Cho phương trình : 3x2 + mx + 12 = (1) a) Tìm m để (1) có hai nghiệm phân biệt (1) có hai nghiệm phân biệt ∆ = m2 – 4.3.12 > ⇔ m2 – 144 > ⇔ (m – 12)(m + 12) > ⇔ m < – 12 m > 12 b) Tìm m để (1) có nghiệm 1, tìm nghiệm cịn lại BD // AC Nối (1) có nghiệm x1 = ⇔ a + b + c = ⇔ + m + 12 = ⇔ m = – 15 Khi nghiệm cịn lại : x2 = c 12 = =4 a Bài Một xe máy từ tỉnh A đến tỉnh B thời gian dự định Nếu vận tốc tăng thêm 14km/h đến sớm giờ, giảm vận tốc 4km/h đến muộn Tính vận tốc dự định thời gian dự định lúc đầu Gọi x vận tốc dự định hết quãng đường AB (x > , km/h) y quãng đường AB (y > 0, km) Thời gian dự định : y x Nếu tăng vận tốc lên 14km/h thời gian hết quãng đường : Theo đề : y x + 14 y y − = (1) x x + 14 Nếu giảm vận tốc km/h thời gian hết quãng đường : y (x > 4) x−4 y y − = (2) x−4 x y y  x − x + 14 =  Ta có hệ phương trình :   y − y =1 x−4 x   y ( x + 14) − xy = x ( x + 14) 14 y = x( x + 14) ⇔  ⇔ ( x, y ≠ 0)  xy − y ( x − 4) = x ( x − 4)  y = x( x − 4) Theo đề : 2( x + 14) = ⇔ 7x – 28 = 4x + 56 ⇔ 3x = 84 ⇔ x = 28 x−4 28.24 = 168 Thế vào : 4y = x(x – 4) ta : y = Chia vế , ta : Thời gian dự định : Vận tốc dự định : 28 km/h * Cách khác : Gọi y thời gian hết AB theo dự định x vận tốc dự định , ta có : AB = xy = (x + 14)(y – 2) (1) 14 y − x = 28  x = 28 ⇔  −4 y + x = y = AB = xy = (x - 4)(y + 1) (2) ⇒  Vậy thời gian dự định giờ, vận tốc dự định : 28 km/h Bài Từ A ngồi đường trịn (O) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC cát tuyến AKD cho BK cắt AC I a) Nêu cách dựng cát tuyến cho BD // AC b) Chứng minh IC2 = IK.IB · c) Cho góc BAC = 60o Chứng minh cát tuyến AKD qua O giải : a) Kẻ đường kính CE, AC ⊥ CE , mà BD // AC nên BD ⊥ CE Vậy kẻ BD vng góc CE cắt đường trịn D b) Chứng minh : IC2 = IK.IB Xét ∆IBC ∆ICK có : góc I chung BD // AC Nối 1» · Ta có : ICK = KC (góc tiếp tuyến dây cung) 1» · KBC = KC (góc nội tiếp chắn cung KC) · · Nên ICK = KBC IC IK = Do : ∆IBC ∼ ∆ICK ⇒ ⇒ IC2 = IK.IB IB IC · c) Khi BAC = 60o ∆cân BAC trở thành tam giác Nên AB = AC = BC Tứ giác ACOB nội tiếp suy o o · · BOC = 120 ⇒ BDC = 60 (góc nội tiếp chắn cung BKC) Mà BC = CD nên ∆BDC cân Do : ∆ BDC tam giác BD = AC = CD = AB Vậy tứ giác ABDC hình thoi · ⇒ AD phân giác BAC · Trùng với AO phân giác BAC · Vậy BAC = 60o cát tuyến AKD qua O E B D K O A I C GIẢI MỘT SỐ ĐỀ TOÁN TUYỂN SINH 10 ĐỀ SỐ (Thời gian : 120 phút) Bài Chứng minh A = 40 − 57 − 40 + 57 số nguyên Bài Cho biểu thức B = y2 – xy – 12x2 a) Phân tích B thành nhân tử b) Tìm cặp số (x ; y) thỏa B = x – y + = Bài Cho hàm số y = (m2 – 6m + 12)x2 a) Tìm giá trị m biết x = y = b) Chứng tỏ hàm số nghịch biến x < đồng biến x > Bài Cho phương trình : 2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m + = (m tham số) a) Giải phương trình m = – b) Khi phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 phân biệt , tìm m để biểu thức M = x1 x − x1 − x đạt giá trị lớn Bài Cho đường trịn tâm O, bán kính R, đường kính AB Đường thẳng qua trung điểm H đoạn OB cắt đường tròn M N, gọi I trung điểm MN, vẽ AK vng góc với MN, BI cắt AK D a) Tứ giác DMBN hình ? b) Chứng minh D trực tâm tam giác AMN c) Biết AM.AN = 3R2 AN = R Tính diện tích tam giác AMN GIẢI Bài Chứng minh A = 40 − 57 − 40 + 57 số nguyên Ta có : 40 + 57 = 32 + 25 + 2.5.4 = (4 )2 + 2.5.4 + 52 = (4 + 5)2 2 40 − 57 = 57 − 40 = 32 − 2.5.4 + 25 = (4 2) − 2.4 2.5 + = (4 − 5) = (4 − 5) Vậy A = − − (4 + 5) = – 10 : số nguyên Bài Cho biểu thức B = y2 – xy – 12x2 a) Phân tích B thành nhân tử 2   1 49    7  x =  y − x ÷ −  x ÷ =  y − x + x ÷ y − x − x ÷ Ta có B = y − xy + x − 2  2  4  2    = ( y − 3x ) ( y − x ) b) Tìm cặp số (x ; y) thỏa B = x – y + =   y − 3x = ( y − 3x ) ( y − x ) =  y − 3x =  y − 4x =   Ta có :  ⇔  y − 4x = ⇔   x − y + = x − y + = x − y + =  x − y + =   x = x =  ⇔   y =  y = 16   Bài Cho hàm số y = (m2 – 6m + 12)x2 a) Tìm giá trị m biết x = y = m = + Với x = y = ta có : = m2 – 6m + 12 ⇔ m2 – 6m + = ⇔  m = −  b) Chứng tỏ hàm số nghịch biến x < đồng biến x > Ta có : y = ax2 a > 0, nghịch biến x < đồng biến x > Mà a = m2 – 6m + + = (m – 3)2 + > , với giá trị m Vậy hàm số y = (m2 – 6m + 12)x2 nghịch biến x < đồng biến x >0 Bài Cho phương trình : 2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m + = (1) (m tham số) a) Giải phương trình m = – Ta có : m = – pt trở thành : 2x2 - 8x + = ⇔ 2(x2 - 4x + 4) = ⇔ 2(x - 2)2 = ⇔ x = b) Khi phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 phân biệt , tìm m để biểu thức M = x1 x − x1 − x đạt giá trị lớn Pt (1) có hai nghiệm x1 ; x2 phân biệt ∆’ = (m + 1)2 – 2(m2 + 4m + 3) > ⇔ – m2 – 6m – > ⇔ m2 + 6m + < ⇔ (m + 1)(m + 5) < ⇔ – < m < – (*) b   x + x = − a = −m −  Khi theo định lí Vi-et :   x x = c = m + 4m +  a  Do : m + 4m + +2( m + 1) m + 8m + ( m + 7)( m + 1) x1.x2 – 2x1 – 2x2 = x1.x2 – 2(x1 + x2) = = = 2 Vì m phải tìm thỏa (*) nên với điều kiện (m + 7)(m + 1) < m + 8m + − m − 8m − − (m + 4) Suy M = = = ≤ 2 2 Vậy giá trị lớn M m = – thỏa (*) a) Ta có : AK ⊥ MN M Bài Mà I trung điểm MN nên OI ⊥ MN K Cho đường tròn tâm O, bán kính R, đường kính AB Đường thẳng qua trung điểm H đoạn OB cắt đường tròn M N, Suy làOI ĐTB MN, vẽ ⇒ Ivng góc với MN, BI cắt AK D gọi I : trung điểm ∆ADB AK trung điểm DB, tứ giác hình ?có hai đường a) Tứ giác DMBN MDNB chéoChứng minh D lànhautâm trung điểm I AMN D b) MN DB cắt trực tam giác I Biết AM.AN = 3R2 hình bình hành diện tích tam giác AMN đường , nên DMBN AN = R Tính c) Do : MD // NB (1) A o H b) · ANB = 90 (chắn nửa đường tròn) O B ⇒ BN ⊥ AN, kết hợp với (1) M' Suy MD ⊥ AN N MD, AK hai đường cao tam giác AMN, nên D trực tâm tam giác AMN c) Biết AM.AN = 3R2 AN = R ⇒ AM = R = AN suy tam giác AMN cân A Trong tam giác vng ABN có AN = R ; AB = 2R ⇒ sin · ABN = AN o ⇒ · = ABN = 60 AB ⇒ · AMN = 60o (cùng chắn cung AN) Vậy tam giác AMN cân có góc 60o tam giác cạnh R Diện tích AMN = 3R (đvdt) ... Tìm số có hai chữ số biết nhân số với 37 lấy kết chia cho 31 ta số dư 15 Gọi số có hai chữ số có dạng : x = ab = 10a + b (a ≠ , < a, b ≤ 9, a, b ∈), x nguyên dương Theo đề ta có : 37(10a + b)... + + 6 t +3 Đặt u = , u nguyên dương ⇒ 6u = t + ⇒ t = 6u – Đặt t = Thế vào x, k tính theo u : x = 5t + + u = 5(6u – 3) + + u = 31u – 13 k = x + t = 31u – 13 + 6u – = 37u – 16  x = 31u − 13 ,10. .. ; x = 80 + Chọn u = ⇒ k = 132 , x = 111 (loại) Vậy số có hai chữ số thỏa mãn yêu cầu đề : 18 ; 49 ; 80 GIẢI MỘT SỐ ĐỀ TOÁN TUYỂN SINH 10 ĐỀ SỐ (Thời gian : 120 phút) Bài a) Tìm x biết x 12 +