Đang tải... (xem toàn văn)
Còng thÊy ®îc r»ng kh«ng ph¶i bµi tËp nµo thuéc d¹ng to¸n nµo còng lµm ®îc nh vËy... Phan Xu©n Giang.[r]
(1)Đề tài: Vai trò tứ giác nội tiếp giải toán I- Đặt vấn đề.
Trong chơng trình hình học lớp việc chứng minh đợc vận dung nhiều đến khái niệm góc liên quan đến đờng tròn, nên việc sử dụng tứ giác nội tiếp chứng minh đóng vai trị quan trọng Nhng học sinh lớp chứng minh tứ giác nội tiếp đờng tròn hạn chế tính chất “ Tổng hai góc đối diện hai góc vng “ học sinh trung bình , thờng gặp khó khăn việc giải tốn hình học lớp Vì qua đề tài tơi muốn giúp em nhìn lại dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp đặc biệt vận dụng tứ giác nội tiếp đờng tròn để chứng minh số dạng toán khác mức độ đơn giản để em hiểu rõ việc chứng minh tứ giác nội tiếp vai trò tứ giác nội tiếp giải toán
II- Nội dung đề tài. 1) Xây dựng kiến thức
Bài toán: Cho tứ giác ABCD Hai đờng chéo AC BD cắt N, hai cạnh AB CD cắt M Các điều kiện sau tơng đơng
a) Tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn b) ACB = ADB
c) ABC + ADC = 1800
d) DAB = MCB
e) MA.MB = MC.MD f) NA.NC = NB.ND
g) AB.CD + AD.BC = AC.BD (Định lý Ptô-lê-mê)
2) Tìm hiểu chứng minh tứ giác nội tiếp thông qua tập.
Bi 1: Cho đờng trịn (O) điểm A nằm ngồi (O) Qua A kẻ tiếp tuyến AB cát tuyến AMN với đờng tròn (O) Lấy I trung điểm MN Chứng minh A, B, O, I thuộc đờng trịn
H
íng dÉn:
*) T/h Cát tuyến AMN tiếp tuyến AB nằm nửa mp bờ đờng thẳng chứa đoạn thẳng OA
Ta cã ABO + AIO = 900 + 900 = 1800
ABOI nội tiếp đờng tròn
*) T/h Cát tuyến AMN tiếp tuyến AB nằm nửa mp bờ đờng thẳng chứa đoạn thẳng OA
+ Lợi dụng định nghĩa đờng tròn Lấy C trung điểm OA => CA = CB = CO = CI
ABIO nội tiếp đờng trịn
+ Lỵi dơng cung chøa gãc
Ta cã I vµ B cïng thuéc cung chøa gãc 900 dùng trªn OA
N A
D
M
C B
I
N M
O B
A
// // C I
N
M O
B
(2) ABIO nội tiếp đờng tròn
Bài tập 2: Cho nửa đờng trịn đờng kính AB Trên nửa đờng trịn lấy điểm C D cho AC = CD = DB, tiếp tuyến kẻ từ C B đờng tròn cắt I Hai tia AC BD cắt K Chứng minh tứ giác KIBC nội tiếp đờng tròn (bằng hai cách)
H íng dÉn: C¸ch 1:
Ta cã KCI = KBI
Tứ giác KIBC nội tiếp đờng trịn
C¸ch Gọi giao điểm DK CI M
KMI = DMC (c- g - c)
Nªn KI // CD => KIB = KCB = 900
Tứ giác KIBC nội tiếp đờng tròn
Nhận xét : Qua hai tập nêu phần cho học sinh thấy đợc việc chứng minh tứ giác nội tiếp đờng tròn nhiều cách Do qua tập rèn thêm học sinh dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp đờng trịn Với đề tài tơi mục đích khai thác khai thác tứ giác nội tiếp để chứng minh số yếu tố thông qua tập để học sinh thấy đợc vai trò tứ giác nội tiếp giải tốn có phần qua trọng nh th no
3) Vai trò tứ giác nội tiếp đ ờng tròn giải toán.
Dạng 1: Vai trò tứ giác nội tiếp chứng minh c¸c gãc b»ng nhau.
Bài tập 1a: Cho đờng trịn tâm (O) điểm C ngồi đờng tròn Từ C kẻ hai tiếp tuyến CE,CF cát tuyến CMN tới đờng tròn Đờng thẳng CO cắt đờng tròn (O) hai điểm A B Gọi I giao điểm AB với EF
Chøng minh r»ng AIM = BIN H íng dÉn:
Ta cã CM CN = CI CO (= CE2)
L¹i cã CEM = CNE (cïng ch¾n cung ME)
CMI CON (c- g - c)
Tứ giác IONM nội tiếp đờng trịn
Nªn IOM = INM =
2 s® MM/
s® AM =
2 s® MM/
AM = AM/
VËy AIM = BIN (= AIM/)
Bài tập 1b: Cho đờng tròn (O) đờng kính AB Trên (O) lấy điểm C , gọi H chân đờng vng góc kể từ C xuống AB M N lần lợt tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ACH BCH Gọi giao điểm MN với AC BC lần lợt P Q
a) Chøng minh CPQ = MHC
M
K I
B O
A
C D
/ M N
M I
B
A
C O
E
F
(3)b) Khi C chạy nửa đờng trịn tâm O đờng trung trực PQ qua điểm cố định
H
íng dÉn:
Ta cã NCH MAH (g- g) V× MHA = NCH = 450 vµ MAH = NCH
=> MHN AHC (c- g - c) Nên tứ giác APMH nội tiếp đờng tròn
CPQ = MHC (đpcm)
Tam giác PCQ vuông cân C
Đờng trung trực PQ qua im c nh
Dạng 2: Vai trò tứ giác nội tiếp chứng minh đoạn thẳng b»ng nhau.
Bài tập 2a: Cho tam giác ABC (AB < AC) , đờng trung tuyến AD đờng phân giác AE Đờng tròn ngoại tiếp tam giác ADE cắt AB AC lần lợt M N Chứng minh BM = CN
H
íng dÉn:
Vẽ đờng tròn ngoại tiếp ABE cắt AC F Vì BAE = CAE => EB = EF EM = EN Do tứ giác ABEF tứ giác AMEN
BEF = MEN BEM = FEN
Nên BEM = FEN (c-g-c) => BM = FN (1) Lại có tứ giác AEDN nội tiếp nên CDN = EBF (= EAN) Do DN // BF
XÐt CBF cã DB = DC, DN // BF => CN = FN (2) Tõ (1) (2) => BM = CN (đpcm)
Bi 2b: Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm O, đờng phân giác AD. Gọi H,K theo thứ tự tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABD ACD Chứng minh OH = OK
H
íng dÉn:
Ta cã OH, OK HK lần lợt trung trực AB, AC AD
Nên AIHM AMNK c¸c tø gi¸c néi tiÕp Do BAD = CAB => OHK = OKH
OH = OK
Bài tập 2c: Từ điểm A bên ngồi đờng trịn (O) , vẽ tiếp tuyến AB, AC (B và C tiếp điểm) cát tuyến ADE Đờng thẳng qua D vng góc với OB cắt BC , BE theo thứ tự H K Chứng minh DH = HK
H
íng dÉn:
Kẻ OM DE, điểm B, C, M thuộc đờng tròn đờng kính AO => BCM = BAM
L¹i cã BAM = HDM (soletrong) => HDM = BCM
Q P
N M
H O B
A
C
S S
F
N M
D E A
B C
K
H N
M I
D O A
B
C
H
K
E D
M
A O
B
(4)Do tứ giác CDHM nội tiếp đờng trịn
DCH = HMD
L¹i cã DCH = AEB => HMD = AEB => MH // EB Nên DH = HK (đpcm)
Dạng 3: Vai trò tứ giác nội tiếp chứng minh ba điểm thẳng hàng.
Bài tập 3a: Tứ giác ABCD cã ABC = 700, ADC = 1100 Gäi H, I, K theo thø tù lµ
chân đờng vng góc kẻ từ D đến đờng thẳng AB, AC BC Chứng minh điểm H, I, K thẳng hàng
H
íng dÉn:
Ta có tứ giác AHDI DIKC néi tiÕp
DIH + DIK = DAH + 1800 – DKC (1)
Do tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn Nên DCK = DAH (2) Từ (1) (2) => DIH + DIK = 1800
Nên ba điểm H, I, K thẳng hàng
Bi 3b: Cho tam giỏc nhọn ABC, đờng cao AD, trực tâm H Gọi AM, AN là tiếp tuyến đờng tròn (O) đờng kính BC (M, N tiếp điểm) Chứng minh ba điểm M, H, N thẳng hàng
H íng dÉn:
Ta cã AN2 = AE AC
Do tứ giác DHEC nội tiếp đờng tròn Nên AE AC = AH AD
=> AN2 = AH AD => AHN AND (c- g - c)
=> AHN = AND
Chøng minh t¬ng tù ta cã AHM = AMD Do tø gi¸c AMDN néi tiÕp (c/m dƠ dµng)
AHN + AHM = AND + AMD = 1800
Ba ®iĨm M, H, N thẳng hàng (đpcm)
Bài tập 3c: Đờng tròn tâm O néi tiÕp tam gÝc ABC , tiÕp xóc víi cạnh AB, AC lần lợt F E Gọi H hình chiếu B CO; K hình chiếu C BO Chứng minh điểm E, F, H, K thẳng hàng
H
íng dÉn:
Ta cã tứ giác HFOB HKCB nội tiếp
OHF = FBO = KBC vµ CHK = CBK
Do OHF = CHK => H, F, K thẳng hàng Chứng minh tơng tự ta có H, E, K thẳng hàng Vậy điểm E, F, H, K thẳng hàng (đpcm) Dạng 4: Vai trò tứ giác nội tiếp để tìm quỹ tích.
1100
700
I
K H
A
B
C D
M
H
E
C O
D B
N A
S
F
E K
H
O A
(5)Bài tập 4a: Cho đờng tròn (O, R) AB CD hai dây đờng tròn (O) sao cho AB // CD M điểm chuyển động (O) MD cắt AB tai Q Tìm quỹ tích tâm đ -ờng trịn ngoại tiếp tam giác MCQ
H
íng dÉn: PhÇn thn:
Xét M chạy cung lớn CD (O) Tại C kể tiếp tuyến (O) Gọi giao điểm Của tiếp tuyến C với AB E => E cố định Ta có MCE = MQE = MDC
MECQ néi tiÕp
Nên tâm I đờng tròn ngoại tiếp tam giác MCQ trùng với tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác MEC => Tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác MCQ thuộc trung trực CE
Xét M chạy cung nhỏ CD (O) Tại C kể tiếp tuyến (O) Gọi giao điểm Của tiếp tuyến C với AB E => E cố định Ta có xCM = EQD => EQM + ECM = 1800
MCEQ néi tiÕp
Nên tâm I đờng tròn ngoại tiếp tam giác MCQ trùng với tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác MEC => Tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác MCQ thuộc trung trực CE
Vậy M chuyển động (O) tâm đờng trịn ngoại tiếp tam giác MCQ thuộc trung trực EC
Phần đảo:
Lấy I/ thuộc trung trực EC Vẽ đờng tròn (I/; I/C) cắt AB ntại Q/ cắt (O;R) M/
chøng minh Q/, M/ , D thẳng hàng (chứng minh dễ dàng)
Vậy quỹ tích tâm đờng trịn ngoại tiếp tam giác MCQ trung trực CE
Bài tập 4b: Cho hình vng ABCD tâm O Một đờng thẳng xy quay quanh O và cắt hai cạnh AD BC lần lợt M N Trên CD lấy điểm K cho DK = DM Gọi H hình chiếu K xy Tìm quỹ tích điểm H
H
íng dÉn PhÇn thn:
Ta có tứ giác MHKD, NHKC nội tiếp Nên DMK = DHK =450
Vì CN = AM DM = DK => CK = CN
KHC = KNC = 450
Do DHC = 90 0
Vậy H nằm đờng tròn đờng kính CD Giới han: Điểm H nằm nửa đờng tròn
Q
B
E
O
C
D A
M
x
Q B
E
O
C
D A
M
// =
H
K
N O
B A
D C
(6)đờng kính CD nằm hình vng Phần đảo:
Lấy H nằm đờng trịn đờng kính CD Vẽ đờng thẳng HO cắt cạnh AD BC M N,
lÊy ®iĨm K trªn CD cho DK = DM Chøng minh H hình chiếu K MN Ta cã tø gi¸c HOCD néi tiÕp => DHM = DCO = 450
Mặt khác DKM = 450 => DHM = DKM => tø gi¸c HKDM néi tiÕp
=> KHM = 900 => KH MN => H hình chiếu K trªn MN
Vậy: Quỹ tích điểm H nửa đờng trịn đờng kính CD nằm hình vng Dạng 5: Vai trị tứ giác nội tiếp chứng minh điểm cố định.
Bài tập 5a: Cho góc vng xAy, điểm B cố định Ay, điểm C di chuyển trên Ax Đờng tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AC, BC theo thứ tự M N Chứng minh đờng thẳng MN qua điểm cố định
H
íng dÉn:
Gäi giao ®iĨm MN víi AI lµ H
Ta có tứ giác CNIM nội tiếp đờng tròn => BNH = BIA (cùng 900 +
¿
C
^
❑
¿
)
Tứ giác BIHN nội tiếp đờng trịn
Nªn BNI = BHI = 900 hay BNI = BHA = 900
BH AI
Do tia AI điểm B cố định
H cố định (đpcm )
Bài tập 5b: Cho điểm A, B, C theo thứ tự thẳng hàng Đờng thẳng D vng góc với AB C , điểm M di động d , vẽ BD vuông góc với AM D , BD cắt d N Gọi E giao điểm AN BM
a) Chứng minh đờn trịn đờng kính MN qua điểm cố định
b) Chứng minh đờng tròn ngoại tiếp tam giác AMN qua điểm cố định c) Chứng minh tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác AMN thuộc đờng cố định d) Chứng minh đờng thẳng DE qua điểm cố định
H
íng dÉn:
a) Gọi giao điểm AB với đờng tròn đờng kính MN J L
ta cã CJ CL = CM CN = CA CB = h»ng sè mµ CJ = CL
J L cố định
Vậy: Đờng trịn đờng kính MN qua điểm ccố định J, L nằm AB
b) Gäi S lµ giao ®iĨm thø cđa AB víi (AMN)
y
x H
N
M I
A
(7)ta cã MC NC = AC SA = CA CB = h»ng sè
điểm S cố định
Vậy : Đờng trịn ngoại tiếp tam giác AMN ln qua điểm cố định A S nằm AB
b) Gọi O tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác AMN
OA = OM = ON = OS (c/m trªn)
Do A S cố định => tâm O năm trên trung trực SA (cố định) c) Gọi giao điểm DE với AB K
Ta thấy tứ giác JLNE nội tiếp đờng tròn => AJ AL = AE AN (1)
Ta chứng minh đợc tứ giác KSNE nội tiếp đờng tròn => AK SA = AE AN (2)
Tõ (1) vµ (2) => SA AK = AL AJ
Do A, S, L, J cố định (c/m trên) => K cố định
Vậy: DE qua điểm K cố định nằm AB mà AK = AL AJ SA Dạng 6: Vai trò tứ giác nội tiếp chứng minh cực trị hình học.
Bài tập 6a: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đờng tròn (O) Gọi M điểm cung ABC Vẽ MD BC ; ME AC; MF AB Xác định vị trí M để EF có độ dài lớn
H
íng dÉn:
Theo 3a ta có ba điểm D, E, F thẳng hàng Do bốn điểm F, D, M, B nằm
trên đờng tròn => DFM = DBM tơng tự ta có DCM = DEM
nªn MFE MBC (g-g) => EF
BC= MF MB=
ME
MC ≤1 => EF ≤ BC
Do EF lớn E trùng với C, F trùng với B Khi MA đờng kính đờng tròn (O)
Bài tập 6b: Cho tam giác ABC nhọn điểm M di chuyển cạnh BC Gọi P, Q hình chiếu M AB , AC Xác định vị trí điểm M để PQ có độ dài nhỏ
H
íng dÉn:
Do tứ giác APMQ nội tiếp đờng tròn
Gọi O tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác APMQ Kẻ OH PQ Đặt BAC = => POH =
Ta cã PQ = 2PH = 2.OP.sin = AM sin
Do khơng đổi
Nªn PQ nhá nhÊt AM nhá nhÊt
D
F E
O C
A
B M
S
H O
P
Q A
(8)Do AM nhỏ AM BC Vậy PQ nhỏ AM BC 4) Các tập tự luyện
Bài 1: Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đờng tròn (O), điểm D thuộc tia đối tia AD, CD cắt đờng tròn (O) E tiếp tuyến đờng tròn (O) B cắt EA F Chứng minh FD song song với BC
Bài 2: Cho tam giác ABC cân A vẽ đờng tròn (O) tiếp xúc với AB B và tiếp xúc với AC C Gọi I điểm thuộc cạnh BC (IB > IC) đờng vng góc với OI I cắt AB, AC theo thứ tự D E Chứng minh OD = OE BD = CE
Bài 3: Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) , điểm E nằm Cvà D Vẽ đờng tròn (O) qua E tiếp xúc với AD D Vẽ đờng tròn (O/) qua E tiếp xúc
với AC C Gọi K giao điểm thứ hai hai đờng trịn Chứng minh ba điểm K, E, B thẳng hàng
Bài 4: Cho góc vng xOy , điểm A cố định thuộc tia Oy, điểm B dy chuyển tia Ox Gọi C đỉnh góc vng tam giác vng ABC (C O khác phía AB) Tìm quỹ tích điểm C
Bài 5: Cho tứ giác ABCD đờng thẳng AB CD cắt M, đờng thẳng AD BC cắt N Chứng minh cá đờng tròn ngoại tiếp bốn tam giác MBC, MAD, NAB, NCD qua điểm
Bài 6: Cho đờng tròn (O;R) BC dây cung cố định khác đờng kính Điểm A di động cung lớn BC cho tam giác ABC nhọn Kẻ đờng cao AD, BE, CF tam giác ABC Xác định vị trí điểm A để chu vi tam giác DEF đạt giá trị lớn III- Kết luận :
Qua q trình giảng dạy tơi áp dụng đối vói nhiều đối tợng học sinh từ học sinh yếu đến học sinh giỏi nhận thấy:
- Học sinh đợc rèn luyện nhiều việc chứng minh tứ giác nội tiếp đờng tròn cách thành thạo
- Học sinh tiếp thu cách chủ động , tích cực khám phá đợc tốt tính chất tứ giác nội tiếp đờng trịn giúp cho học sinh tránh đợc nhầm lẫn đáng tiếc chứng minh tứ giác nội tiếp đờng tròn nắm đợc tất dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp đờng tròn
- Học sinh đợc hiểu thêm chất tứ giác nội tiếp đờng tròn mối quan hệ góc với cung bị chắn
- Rèn luyện thêm cho học sinh kỹ kỹ xảo chứng minh biết cachs vận dụng hợp lý tứ giác nội tiếp chứng minh thơng qua góc nội tiếp góc tạo tia tiếp tuyến dây cung.Cũng từ giúp em củng cố khắc sâu đợc chất tứ giác nội tiếp
Trên số suy nghĩ thân việc chứng minh tứ giác nội tiếp đờng tròn vai trị giải tốn Cũng thấy đợc khơng phải tập thuộc dạng tốn làm đợc nh Do chứng minh điều cần phải xem xét cách đầy đủ toàn diện để chọn phơng án chứng minh hợp lý, có nh giúp cho em say sa giải tập mang lại hiệu cao học tập
Vậy mong thầy cô đồng nghiệp đọc giúp hồn thiện đề tài Tơi xin chân thành cảm ơn !!!
(9)