M laø giao ñieåm cuûa AE vaø BF. Qua ñieåm E thuoäc AB, H thuoäc AC veõ caùc ñöôøng thaúng song song vôùi BD, caét caùc caïnh coøn laïi cuûa töù giaùc taïi F, G. a) Coù theå keát luaän [r]
(1)HÌNH THANG VÀ CHÙM ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY
A Kiến thức
1) Bổ đề hình thang:
“Trong hình thang có hai đáy khơng nhau, đường thẳng qua giao điểm đường chéo qua giao điểm đường thẳng chứa hai cạnh bên qua trung điểm hai đáy”
Chứng minh:
Gọi giao điểm AB, CD H, AC, BD G, trung điểm AD, BC E F
Nối EG, FG, ta có: ADG CBG (g.g) , nên :
AD AG 2AE AG AE AG
CB CG 2CF CG CF CG (1)
Ta lại có : EAG FCG (SL ) (2)
Từ (1) (2) suy : AEG CFG (c.g.c)
Do đó: AGE CGF E , G , H thẳng hàng (3)
Tương tự, ta có: AEH BFH AHE BHF H , E , F thẳng hàng (4)
Tõừ (3) (4) suy : H , E , G , F thẳng hàng
2) Chùm đường thẳng đồng quy:
Nếu đường thẳng đồng quy cắt hai đường thẳng song song chúng định hai đường thẳng song song đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ
Nếu m // n, ba đường thẳng a, b, c đồng quy O chúng cắt m A, B, C cắt n A’, B’, C’
// //
/ /
H
G E
F D
C B
A
O
n m
A' B' C'
C B
(2)AB BC AC =
A'B' B'C'A'C'
AB A'B' AB A'B' = ;
BC B'C' ACA'C'
* Đảo lại:
+ Nếu ba đường thẳng có hai đường thẳng cắt nhau, định hai đường thẳng song song cặp đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ ba đường thẳng đồng quy
+ Nếu hai đường thẳng bị cắt ba đường thẳng đồng quy tạo thành cặp đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ chúng song song với
B p dụng: 1) Bài 1:
Cho tứ giác ABCD có M trung điểm CD, N trung điểm CB Biết AM, AN cắt BD thành ba đoạn Chứng minh ABCD hình bình hành
Giaûi
Gọi E, F giao điểm AM, AN với BD; G, H giao điểm MN với AD, BD
MN // BC (MN đường trung bình BCD)
Tứ giác HBFM hình thang có hai cạnh bên địng
quy A, N trung điểm đáy BF nên theo bổ đề hình thang N trung điểm đáy MH
MN = NH (1)
Tương tự : hình thang CDEN M trung điểm GN GM = MN (2)
Từ (1) (2) suy GM = MN = NH
Ta coù BNH = CNM (c.g.c) BHN = CMN BH // CM hay AB // CD (a)
Tương tự: GDM = NCM (c.g.c) DGM = CNM GD // CN hay AD // CB (b)
Từ (a) (b) suy tứ giác ABCD có cặp cạnh đối song song nên hình bình hành
H
G F
E
N
M D
C B
(3)2) Baøi 2:
Cho ABC có ba góc nhọn, trực tâm H, đường thẳng qua H cắt AB, AC thứ
tự tạ P, Q cho HP = HQ Gọi M trung điểm BC Chứng minh: HM PQ
Giaûi
Gọi giao điểm AH BC I Từ C kẻ CN // PQ (N AB),
ta chứng minh MH CN HM PQ
Tứ giác CNPQ hình thang, có H trung điểm PQ, hai
cạnh bên NP CQ đồng quy A nên K trung điểm CN MK đường
trung bình BCN MK // CN MK // AB (1)
H trực tâm ABC nên CHA B (2)
Từ (1) (2) suy MK CH MK đường cao củaCHK (3)
Từ AH BC MCHK MI đường cao CHK (4)
Từ (3) (4) suy M trực tâm CHK MHCN MHPQ 3) 3:
Cho hình chữ nhật ABCD có M, N thứ tự trung điểm AD, BC Gọi E điểm thuộc tia đối tia DC, K giao điểm EM AC
Chứng minh rằng: NM tia phân giác KNE
Giaûi
Gọi H giao điểm KN DC, giao điểm AC MN I IM = IN Ta có: MN // CD (MN đường trung bình hình chữ nhật ABCD)
Tứ giác EMNH hình thang có hai cạnh bên EM HN đồng quy K I
I K N
M
Q P
H
C B
(4)Trong ENH NC vừa đường cao, vừa đường
trung tuyến nên ENH cân N NC tia phân
giác ENH mà NC MN (Do NM BC – MN //
AB) NM tia phân giác góc ngồi N ENH
Vậy NM tia phân giác KNE
Baøi 4:
Trên cạnh BC = cm hình vng ABCD lấy điểm E cho BE = cm Trên tia đối tia CD lấy điểm F cho CF = cm Gọi
M giao điểm AE BF Tính AMC
Giải
Gọi giao điểm CM AB H, AM DF G
Ta coù:
BH AB BH
=
CF FG FG
Ta lại có
AB BE
= = CG = 2AB = 12 cm CG EC 4 2
FG = cm
BH
BH = cm
3 9 BH = BE
BAE = BCH (c.g.c) BAE = BCH maø BAE + BEA = 900
Mặt khác BEA = MEC ; MCE = BCH MEC + MCE = 900 AMC = 900
Baøi 5:
Cho tứ giác ABCD Qua điểm E thuộc AB, H thuộc AC vẽ đường thẳng song song với BD, cắt cạnh lại tứ giác F, G
a) Có thể kết luận đường thẳng EH, AC, FG
b) Gọi O giao điểm AC BD, cho biết OB = OD Chứng minh ba đường thẳng EG, FH, AC đồng quy
Giaûi
// //
I
H E
N M
K
D C
B A
H
M
G F
E
D C
(5)a) Nếu EH // AC EH // AC // FG
Nếu EH AC khơng song song EH, AC, FG đồng quy
b) Gọi giao điểm EH, HG với AC
Trong hình thang DFEB có hai cạnh bên DF, BE đồng quy A OB = OD nên theo bổ đề hình thang M trung điểm EF
Tương tự: N trung điểm GH Ta có
ME MF
=
GN HN nên ba đường thẳng EG, FH, AC đồng quy O
O
H
G F
E
N M
D C
B