Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (IBC) và (KAD) ?.. 2: Trong không gian cho ba tia Ox ; Oy ; Oz không đồng phẳng. 5: Chứng minh trong một tứ diện các đừơng thẳng nối đỉnh với trọng [r]
(1)BÀI 1: ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Vấn đề : TÌM GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG VÀ :
I J
Muốn tìm giao tuyến hai mặt phẳng ta tìm hai điểm chung I ; J = I J
Khi tìm điểm chung ta ý :
Cách gọi tên hai mặt phẳng để phát điểm chung
M d d M
b ; a
M b
a (P)
M điểm chung
1 1: 1)Cho tứ diện ABCD có E trung điểm AB Hãy xác định giao tuyến mặt phẳng (ECD) với mặt phẳng (ABC) ; (ABD) ; (BCD) ; (ACD)
2)Cho tứ diện SABC điểm I đoạn SA; d đường thẳng (ABC) cắt AB; BC J ; K Tìm giao tuyến mặt phẳng (I,d) với mặt phẳng sau : (SAB) ; (SAC) ; (SBC)
1 2: 1)Cho tứ giác lồi ABCD điểm S không nằm mặt phẳng chứa tứ giác Tìm giao tuyến :
a) (SAC) (SBD) b) (SAB) (SCD) c) (SAD)
(SBC)
2)Cho hình chóp S.ABCDE Hãy xác định giao tuyến mặt phẳng (SAC) với mặt phẳng (SAD) ; (SCE)
1 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD tứ giác lồi ; M điểm cạnh CD Tìm giao tuyến mặt phẳng :
a)(SAM) (SBD) b)(SBM) ; (SAC)
1 4: Cho tứ diện ABCD; M điểm nằm ABC; N điểm nằm ACD Tìm giao tuyến : a) (AMN) (BCD) b) (CMN) (ABD)
1 5: Cho tứ diện ABCD M nằm AB cho AM = 4
MB ; N nằm AC cho AN = 3NC; điểm I nằm BCD Tìm giao tuyến :
a) (MNI) (BCD) b) (MNI) (ABD) c) (MNI) (ACD) 1 6: Cho tứ diện ABCD ; gọi I ; J trung điểm AD; BC
a) Tìm giao tuyến : (IBC) (JAD)
b)M điểm AB; N điểm AC Tìm giao tuyến (IBC) (DMN) 1 7: Cho hai đường thẳng a ; b (P) điểm S không thuộc (P) Hãy xác định giao tuyến mặt phẳng chứa a S với mặt phẳng chứa b S ?
1 8: Cho tứ diện ABCD ; AB ; AC lấy hai điểm M N cho : NC
AN MB AM
Tìm giao tuyến (DMN) (BCD)
(2)1 10 : Trong mặt phẳng cho hình thang ABCD có đáy AB ; CD ; S điểm nằm mặt phẳng hình thang Tìm giao tuyến :
a) (SAD) (SBC) b) (SAC) (SBD)
1.11 Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang hai đáy AD ; BC Gọi M ; N trung điểm AB ; CD G trọng tâm SAD Tìm giao tuyến :
a) (GMN) (SAC) b) (GMN) (SBC)
Vấn đề 2: CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG VÀ BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY
A C
B
Chứng minh A; B; C thẳng hàng : Chỉ A ; B ; C
Chỉ A ; B ; C
Kết luận : A; B; C A; B; C thẳng hàng
M N
a
b P
Chứng minh a ; b ; MN đồng quy : Đặt a b = P
Chứng minh M ; N ; P thẳng hàng Kết luận :MN ; a ; b đồng quy P
2 1: Cho hai mặt phẳng cắt theo giao tuyến d Trên lấy hai điểm A ; B khơng thuộc d O điểm ngồi hai mặt phẳng Các đường thẳng OA ; OB cắt A’ ; B’ AB cắt d C
a)Chứng minh O; A; B không thẳng hàng ?
b)Chứng minh A’ ; B’ ; C’ thẳng hàng ? Từ suy AB ; A’B’; d đồng quy
2 2: Trong không gian cho ba tia Ox ; Oy ; Oz không đồng phẳng Trên Ox lấy A ; A’ ; Oy lấy B ; B’ Oz lấy C ; C’ cho AB cắt A’B’ D ; BC cắt B’C’ E ; AC cắt A’C’ F Chứng minh D; E ; F thẳng hàng ?
2 3: Cho A; B; C khơng thẳng hàng ngồi mặt phẳng Gọi M ; N ; P giao điểm AB ; BC ; AC với Chứng minh M; N; P thẳng hàng ?
2 4: 1) Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình bình hành ; O giao điểm hai đường chéo ; M ; N trung điểm SA ; SD Chứng minh ba đường thẳng SO ; BN ; CM đồng quy
2)Cho tứ diện ABCD.Mặt phẳng không song song AB cắt AC ; BC ; AD ; BD M ; N ; R ; S Chứng minh AB ; MN ; RS đồng quy ?
(3)2.6 Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang hai đáy AD ; BC Gọi M ; N trung điểm AB ; CD G trọng tâm SAD Tìm giao tuyến :
a) (GMN) (SAB) b) (GMN) (SCD)
c) Gọi giao điểm AB CD I ; J giao điểm hai giao tuyến câu a câu b Chứng minh S ; I ; J thẳng hàng ?
Vấn đề 3: CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU, VÀ CÁC ĐIỂM ĐỒNG PHẲNG
Chứng minh đường thẳng a ; b chéo : b
a
Giả sử : a không chéo b
Từ suy hai đường thẳng a b nằm mặt phẳng ( đồng phẳng )
Từ suy điều mâu thuẫn với gỉa thiết mâu thuẫn với điều
Chứng minh A, B, C, D nằm mặt phẳng – đồng phẳng
A
B C D
A
B C
D
Chứng minh hai đường thẳng tạo thành từ bốn
điểm cắt song song với
3 1: Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng
a)Chứng minh ba số điểm không thẳng hàng b)Chứng minh AB chéo với CD ?
3 2: Cho hai đường thẳng chéo a b.Trên a lấy hai điểm A, B ; b lấy hai điểm C, D
a)Chứng minh AC chéo BD ?
b)Lấy M nằm đoạn AC; N nằm đoạn BD Đường thẳng MN có song song AB CD khơng ?
c)O trung điểm MN Chứng minh A, O, C, N đồng phẳng
3 3: Cho đường thẳng a cắt hai đường thẳng b c Hỏi ba đường thẳng a, b, c có đồng phẳng không ? Tại ?
3 4: Cho tứ diện ABCD Gọi I ; J trung điểm AD; BC
(4) d
a M
Vấn đề 4: TÌM GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG D VÀ MẶT PHẲNG
Giả sử phải tìm giao điểm d = ? Phương pháp 1:
Tìm a
Chỉ a ,d nằm mặt phẳng chúng cắt M d = M ( hình vẽ )
M
d
a
Phương pháp 2:
Tìm chứa d thích hợp
Giải tốn tìm giao tuyến a Trong : a d = M d = M ( hình vẽ b)
4 1: Cho tứ diện SABC; M ; N điểm nằm SAB ; SBC MN cắt (ABC) P Xác định giao điểm P
4 2: Cho tứ diện ABCD ; M trung điểm AB; N P điểm nằm AC; AD cho AN : AC = : ; AP : AD = : Tìm giao điểm :
a) MN với (BCD) b) BD với (MNP)
c) Gọi Q trung điểm NP.Tìm giao điểm MQ với (BCD)
4 3: A; B ; C ; D bốn điểm không đồng phẳng M; N trung điểm AC; BC Trên đoạn BD lấy P cho BP = 2PD Tìm giao điểm :
a) CD với (MNP) b) AD với (MNP)
4 4: Cho hình chóp SABC ; O điểm ABC ; D E điểm năm SB ; SC.Tìm giao điểm a) DE với (SAO) b) SO với (ADE)
4 5: Cho tứ diện SABC I ; H trung điểm SA; AB Trên đoạn SC lấy điểm K cho CK = 3KS
a)Tìm giao điểm đường thẳng BC với (IHK) ?
b)Gọi M trung điểm HI Tìm giao điểm đường thẳng KM với (ABC) ?
(5)4 7: Gọi I ; J hai điểm nằm ABC; ABD tứ diện ABCD M điểm tuỳ ý CD Tìm giao điểm IJ mặt phẳng (AMB)
4 8: Hình chóp SABCD đáy hình bình hành ABCD M trung điểm SD a)Tìm giao điểm I BM (SAC) ? Chứng minh : BI = 2IM ?
b)Tìm giao điểm J của SA (BCM) ? Chứng minh J trung điểm SA ? c) N điểm tuỳ ý BC Tìm giao điểm MN với (SAC) ?
Vấn đề 5: THIẾT DIỆN TẠO BỞI MẶT PHẲNG VỚI KHỐI ĐA DIỆN
A
B
D
C E
F
Lần lượt xét giao tuyến với mặt khối đa diện đồng thời xét giao điểm
các cạnh đa diện với mặt phẳng
Khi đoạn giao tuyến tìm khép kín thành đa giác ta thiết diện phải tìm.
Việc chứng minh tiết diện có hình
dạng đặc biệt hình bình hành; hình thang ; mặt phẳng nhờ vào trình đi tìm giao tuyến giao điểm
Trong phần ta xét hai cách làm : I Xác định thiết diện cách kéo dài giao tuyến II.Xác định thiết diện cách vẽ giao tuyến phụ
5 1: 1) Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ Gọi M ; N ; P trung điểm AA’ ; AD ; DC Tìm thiết diện tạo mặt phẳng qua M; N; P với hình lập
(6)2) Cho hình hộp ABCDA’B’C’D’ Gọi M ; N ; P trung điểm DC ; AD ; BB’ Tìm thiết diện tạo mặt phẳng (MNP) với hình hộp giao tuyến (MNP) với mặt phẳng (A’B’C’D’)
5 2: 1)Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình bình hành Gọi E; F; K là trung điểm SA ; AB ; BC Xác định thiết diện hình chóp mặt phẳng qua ba điểm E; F ; K
2) Cho hình chóp S.ABCD Gọi A’ ; B’ ; C’ điểm nằm SA ; SB; SC Xác định thiết diện tạo mặt phẳng (A’B’C’) với hình chóp
*5 3: Cho tứ diện ABCD ; điểm I nằm BD BD cho ID = 3IB; M ; N hai điểm thuộc cạnh AD ; DC cho MA =
1
MD ; ND =
NC a)Tìm giao tuyến PQ (IMN) với (ABC) ?
b)Xác dịnh thiết diện tạo (IMN) với tứ diện ? c)Chứng minh MN ; PQ ; AC đồng qui ?
*5 4: 1)Cho tứ diện ABCD ; điểm I ; J trọng tâm ABC ; DBC ; M trung điểm AD Tìm tiết diện tạo (MJI) tứ diện ?
2) Cho hình chóp S.ABCDE Lấy ba điểm M ; N ; K SA ; BC ; SD Xác định thiết diện tạo mặt phẳng (MNK) với hình chóp
5 5: Hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thang với AB đáy Gọi M ; N trung điểm SB ; SC
a)Tìm giao tuyến (SAD) (SBC) ?
b)Tìm giao điểm SD với mặt phẳng (AMN) ?
c)Tìm tiết diện tạo mặt phẳng (AMN) với hình chóp
*5 6: Hình chóp SABCD có đáy ABCD hình bình hành M trung điểm SC a)Tìm giao điểm I AM với (SBD) ? Chứng minh IA = 2IM
b)Tìm giao điểm F SD với (AMB) ? Chứng minh F trung điểm SD ? c)Xác định hình dạng tiết diện tạo (AMB) với hình chóp
d)Gọi N điểm cạnh AB Tìm giao điểm MN với (SBD) ?
*5.7 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành tâm O Gọi M ; N ; P trung điểm SB ; SD ; OC
a) Tìm giao tuyến (MNP) với (SAC) ? b) Dựng thiết diện (MNP) với hình chóp ?
c) Tính tỉ số mà (MNP) chia cạnh SA ; BC ; CD ? ĐS: c) : ; : ; :
5.8 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành; gọi M trung điểm SB ; G trọng tâm SAD
(7)d) Dựng tiết diện (CGM) với hình chóp ?
*5.9 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O ; I ; J trọng tâm SAB ; SAD
a) Tìm giao điểm JI với (SAC) ?
b) Dựng thiết diện tạo (JIO) với hình chóp
5.10 Cho hình chóp SABCD Gọi I ; M ; N ba điểm SA ; AB ; CD a) Tìm giao tuyến (SAN) (SDM) ?
b) Hãy xác định thiết diện tạo (IMN) với hình chóp BÀI TẬP TỔNG HỢP
1: Cho tứ diện ABCD ; I điểm nằm đoạn BD Mặt phẳng () qua I cắt AB; BC; CD; DA M; N; P; Q
a) Chứng minh I ; M ; Q thẳng hảng ba điểm I ; N ; P thẳng hàng ? b) Chứng minh MN; AC; PQ đồng qui ?
2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành M trung điểm SD; E điểm cạnh BC
a) Tìm giao điểm N SC với (AME) ? b) Tìm giao tuyến (AME) với (SAC) ?
c) Tìm giao điểm K SA với (MBC) ? Chứng minh K trung điểm SA
3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành F trung điểm CD; E là điểm cạnh SC cho SE = 2EC Tìm tiết diện tạo (AEF) với hình
4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành I trung điểm SD; E điểm cạnh SB cho SE = 3EB
a) Tìm giao điểm F CD với mặt phẳng (AIE) ? b) Tìm giao tuyến d (AIE) với (SBC) ?
c) Chứng minh BC ; AF ; d đồng qui ?
5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD tứ giác lồi F trung điểm SC; E điểm cạnh BC cho BE = 2EC
a)Tìm tiết diện tạo (AEF) với hình chóp ? b) Tìm giao điểm SB với (AEF) ?
6: Hình chóp SABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O ; M trung điểm SB; G trọng tâm SAD
a) Tìm giao điểm I GM với (ABCD) chứng minh I nằm đường thẳng CD IC = 2ID ?
(8)c)Tìm giao điểm K (OMG) với SA ? Tính KS KA
HD: b) c) 7: Cho tứ diện ABCD; AD lấy N cho
AN = 2ND ; M trung điểm AC ; BC lấy Q cho BQ =
BC a) Tìm giao điểm I MN với (BCD) ? Tính IC:ID
b) Tìm giao điểm J BD với (MNP) ? Tính JB:JD
8 Cho tứ diện ABCD Gọi I ; J hai điểm cố định nằm AB ; AC ỊJ không song song với BC Mặt phẳng quay quanh IJ cắt cạnh CD ; BD M ; N
a) Chứng minh MN qua điểm cố định ? b) Tìm tập hợp giao điểm IN JM ?
c)Tìm tập hợp giao điểm IM JN ?
9 Cho hình chóp SABC Gọi A’ ; B’ ; C’ điểm di động SA ; SB ; SC thoả :
SA’ = n 1
SA ; SB’ =2n 1
SB ; SC’ = 3n 1
SC
a) Chứng minh A’B’ qua điểm cố định I A’C’ qua điểm cố định J n thay đổi ?
b) Chứng minh (A’B’C’) chừa đường thẳng cố định HD: a) dùng định lí menelaus b) đường IJ
BÀI 2: HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG
Vấn đề 1: Chứng minh đờng thẳng song song với mặt phẳng
Phương pháp :
Có thể dùng cách sau :
- Chứng minh hai đường thẳng đồng phẳng , áp dụng phương pháp chứng minh song song rong hình học phẳng (như tính chất đường trung bình, định lý
đảo định lý Ta-lét )
- Chứng minh hai đường thẳng song song song với đường thẳng thứ 3. - Áp dụng định lý giao tuyến
Bài1 Cho tứ diện SABC có I, J lần lợt trung điểm AB BC CMR: với M
SB (M B) ta có IJ // (ACM)
Bµi Cho tø diƯn ABCD gọi M N lần lợt trọng tâm ABD vµ ACD CMR: M N // (BCD) vµ MN // (ABC)
Bài Cho hai hình bình hành ABCD ABEF có chung cạnh AB khơng đồng phẳng Trên cạnh AD, BE lần lợt lấy điểm M, N cho
AM BN k
AD BE (0 < k < 1) Chøng minh r»ng MN // (CDE)
Bµi 1: Cho tứ diện ABCD Gọi I, J lần lợt trọng tâm tam giác ABC ABD Chứng minh IJ//CD
(9)a, Chøng minh MN//CD
b, Tìm giao điểm P SC mp(AND) Kéo dài AN DP cắt I Chứng minh SI//AB//CD Tứ giác SABI hình gì?
Bài 3: Cho tø diÖn ABCD Gäi M, N, P, Q, R, S lần lợt trung điểm AB, CD, BC, AD, AC, BD
a, Chứng minh MNPQ hình bình hành
b, Chứng minh MN, PQ, RS cắt trung điểm đoạn
Bi 4: Cho tam giác ABC nằm mp(P) Gọi Bx; Cy nửa đờng thẳng song song nằm phía mp(P) M N điểm di động lần lợt x, Cy cho CN = 2BM
a, Chứng minh MN qua điểm cố định I M, N di động b, E điểm thuộc đoạn AM
1
EM EA
3
Gọi F giao điểm IE AN, Q giao điểm BE CF Chứng minh AQ//Bx//Cy (QMN) chứa đờng thẳng cố định M, N di động
Bài 5: Cho hình chóp SABCD có đáy hình bình hành Gọi M, N, P, Q điểm BC, SC, SD AD cho MN//SB, NP//CD, MQ//CD
a, Chøng minh PQ//SA
b, Gọi K giao điểm MN PQ Chøng minh SK//AD//BC
c, Qua Q dùng Qx//SC; Qy//SB Tìm giao điểm Qx mp(SAB); giao điểm Qy vµ mp(SCD)
Bµi 6: Cho hai hình bình hành ABCD ABEF không nằm mặt phẳng
Trên hai đường thẳng chéo AC BF lấy hai điểm M ; N cho AM : AC = BN : BF = 1: Chứng minh MN // DE
Bµi 7: Cho hai hình bình hành ABCD ABEF khơng nằm mặt phẳng
Trên hai đường thẳng chéo AC BF lấy hai điểm M ; N cho AM : AC = BN : BF = Dựng MM' AB với M' AD; NN' AB với N' AF Chứng minh : a) MM' NN' // CD b) M’N// DF
Vấn đề 2: Tìm giao tuyến hai mặt phẳng – Thiết diện qua một điểm song song với đờng thẳng cho trớc
Bài 1: Cho hình chóp SABCD có đáy hình thang với cạnh đáy AB CD Gọi I; J trung điểm AD BC Gọi G trọng tâm tam giác SAB
a, T×m giao tuyÕn cđa (SAB) vµ (IJG)
b, Xác định thiết diện hình chóp với mp(IJG) Thiết diện hình gì? Tìm điều kiện AB CD để thiết diện hình bình hành
Bài 2: Cho hình chóp SABCD có đáy hình hình bình hành Gọi I, J trọng tâm tam giác SAB SAD M trung điểm CD Xác định thiết diện hình chóp cắt mp(IJM)
Bài 3: Cho hình chóp SABCD có đáy hình thang với cạnh đáy AD = a; BC = b Gọi I; J trọng tâm tam giác SAD SBC
a, Tìm đoạn giao tuyến mp(ADJ) vớimp(SBC); cđa (BCI) vµ (SAD)
b, Tìm độ dài đoạn giao tuyến mặt phẳng (ADJ) (BCI) giới hạn mp (SAB) (SCD)
Bài 4: Cho tứ diện ABCD cạnh a Gọi I J lần lợt trung điểm AC BC Gọi K điểm cạnh BD với KB = 2KD
a, Xác định thiết diện tứ diện với mp(IJK) Chứng minh thiết diện hình thang cân
b, TÝnh diƯn tchs cđa thiÕt diƯn theo a
Bài 5: Cho hình chóp SABCD có đáy hình vng tâm O cạnh a Mặt bên SAB tam giác đều, SAD 900 Gọi Dx đờng thẳng qua D song song với SC.
(10)b, Tìm thiết diện hình chóp cắt mp(AIC) tính diện tích thiết diện Bài 6: Cho hình chóp SABCD có đáy hình bình hành; I, J lần lợt trung điểm SA AB M điểm nửa đờng thẳng Ax chứa C Biện luận theo vị trí M Ax dạng thiết diện hình chóp cắt mp(IJM)
Bài 7: Cho hình chóp SABCD đáy hình vng cạnh a; mặt bên SAB tam giác đều; SC = SD = a 3 Gọi H K lần lợt trung điểm SA; SB M điểm trên
c¹nh AD Mặt phẳng (HKM) cắt BC N a,Chứng minh HKMN hình thang cân
b, t AM = x 0 x a Tính diện tích tứ giác HKMN theo a x Tìm x để diện tích nhỏ nht
c, Tìm tập hợp giao điểm HM vµ KN; HN vµ KM
Bài 8: Cho tứ diện ABCD cạnh a, lấy M cạnh BA; P cạnh CD cho a
AM DP
3
Xác định thiết diện tứ diện mặt phẳng qua MP song song với AC Tính diện tích thiết diện
(11)Phương pháp chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng P
Ta chứng minh d không nằm (P) song song với đường thẳng a chứa (P)
Ghi : Nếu a khơng có sẵn hình ta chọn mặt phẳng (Q) chứa d lấy a giao tuyến (P) (Q)
Bài 1: Cho hình chóp SABCD có đáy hình bình hành Gọi M, N lần lợt trung điểm AB CD
a, Chøng minh MN // mp SBC vµ MN // mp SAD
b, Gọi P trung điểm SA Chứng minh SB vµ SC song song víi mp(MNP)
c, Gọi G1 G2 lần lợt trọng tâm tam giác ABC SBC Chứng minh
G1G2//mp(SAC)
Bµi 2: Cho tø diƯn ABCD G lµ trọng tâm tam giác ABD, M BC cho MB = 2MC Chøng minh MG//mp(ACD)
Bài 3: Cho tứ diện ABCD Gọi O O’ lần lợt tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ABC ABD Chứng minh:
a, Điều kiện cần đủ để OO’//mp(BCD)
BC AB AC BD AB AD
b, Điều kiện cần đủ để OO’//mp(BCD) mp(ACD) BC = BD AC = AD Bài 4: Cho hai hình bình hành ABCD ABEF không nằm mặt phẳng a, Gọi O O’ lần lợt tâm ABCD ABEF Chứng minh OO’//(ADF); OO’// (BCE)
b, Trên AE BD lấy M N cho
1
AM AE; BN BD
3
Chøng minh MN//mp(CDEF)
Bµi 5: Cho tứ diện ABCD Trên cạnh AD lấy trung điểm M ; BC lấy điểm N bất
kì.Gọi () mặt phẳng chứa đường thẳng MN song song với CD a)Tìm tiết diện tứ diện ABCD với () ?
b)Xác định vị trí N BC cho tiết diện hình bình hành ?
Bµi 6: Cho hình chóp SABCD với đáy ABCD hình thang có đáy lớn AD Gọi M
là điểm cạnh AB () mặt phẳng qua M song song AD SD a)Mặt phẳng () cắt SABCD theo tiết diện hình ?
b)Chứng minh SA // ()
Bµi 7: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình bình hành Mặt phẳng () di
động luôn song song BC đồng thời qua trung điểm C’ SC a)Mặt phẳng () cắt cac cạnh SA ; SB ; SD A’ ; B’ ; D’ tiết diện A’B’C’D’ hình ?
b)Chứng minh () chuyển động luôn chứa đường thẳng cố định c)Gọi M giao điểm A’C’ B’D’ Chứng minh () di động M di động đường thẳng cố định
Bµi 8: Cho hình chóp S.ABCD đáy bình hành.Gọi M điểm di động cạnh
(12)a)Chứng minh () luôn qua đường thẳng cố định M chuyển động cạnh SC
b) () cắt SB SD E ; F Trình bày cách dựng E F ?
c)Gọi I giao điểm ME CB; J giao điểm MF CD Chứng minh ba điểm I ; J ; A thẳng hàng
Vấn đề 2: Tìm giao tuyến hai mặt phẳng – Thiết diện song song với đờng thẳng cho trớc
Bài 1: Cho hình chóp SABCD Gọi M N hai điểm SB CD mặt phẳng qua MN song song víi SC
a, Tìm giao tuyến mp với mặt phẳng (SBC); (SCD); SAC) b, xác định thiết diện hình chóp cắt mp
Bµi 2: Cho tø diƯn ABCD cã AB = a; CD = b Gọi I, J lần lợt trung điểm AB CD (P) mặt phẳng qua M IJ song song với AB CD
a, T×m giao tun cđa mp(P) víi mp(IJD)
b, Xác định thiết diện hình chóp cắt mo(P) Thiết diện hình gì?
Bài 3: Cho hình chóp SABCD có đáy hình bình hành Gọi C’ trung điểm SC; M điểm di động SA, (P) mặt phẳng di động qua C’M song song với BC
a, Chứng minh (P) chứa đờng thẳng cố dịnh
b, Xác định hiế diện cua hinh chóp cắ mp(P) Xác định điêm M đê thiết diện hình bình hành
c, Tìm tập hợp giao điểm hai cạnh đối thiết diện M di chuyển cạnh SA
Bài 4: Cho hình chóp SABCD đáy hình thang với đáy lớn BC = 2a; AD = a AB = b Mặt bên SAD ta, giác đều, (P) mặt phẳng qua điểm M đoạn AB song song với SA BC, pm(P) cắt CD; SC; SB lần lợt I; J; K
a, Chứng minh MIJK hình thang cân
b, Tính diện tích thiết diện hình chóp cắt mp(P) theo a x = AM
Bài 5: Cho hình chóp SABCD Gọi M N hai điểm AB CD (P) mặt phẳng qua MN song song với SA
a, Tìm giao tuyến (P) với (SAB) (SAC) b, Xác định thiết diện hình chóp cắt mp(P) c, Tìm điều kiện M; N để thiết diện hình thang
Bài 6: Cho hình chóp SABCD có đáy hình bình hành tâm O; M điểm di động SC (P) mặt phẳng qua AM song song với BD
a, Chứng minh (P) chứa đờng thẳng c nh
b, Tìm giao điểm H K cđa (P) víi SB vµ SD Chøng minh
SB SD SC
SHSK SM lµ mét h»ng sè
c, Thiết diện hình chóp với mp(P) hình thang đợc hay khơng
Bài 7: Cho tứ diện ABCD cạnh a; M P hai điẻm di động cạnh AD BC cho AM=CP=x (0 < x < a) Một mặt phẳng qua MP song song với CD cắt tứ diện theo thiết diện
a, Chứng minh thiết diện thơng thờng hình thang cân b, Tính x để diện tích thiết diện nhỏ
Bµi Cho hình chóp S.ABCD gọi M, N hai điểm SB CD ( ) mặt phẳng qua MN song song với SC
(13)Bài Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình bình hành tâm O M trung điểm SB Xác địnhthiết diện hình chóp SABCD tạo mặt phẳng () biết
a () qua M vµ song song SO vµ AD b () qua O vµ song song AM vµ SC
Bµi 10 Cho hình chóp S.ABCD; G trọng tâm ABC; M, N, P, Q, R, H lần lợt trung ®iĨm cđa SA, SC, CB, BA, QN, AG
a Chứng minh rằng: S, R, G thẳng hàng SH = 2MH = 4RG
b G1 trọng tâm SBC Chøng minh r»ng GG1 // (SAB); GG1 // (SAC)
c mặt phẳng () qua GG1 song song BC Xác định thiết diện hình chóp
tạo mặt phẳng ()
Bi 11 Cho hỡnh chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang đáy lớn AD Một điểm M nằm AB, () mặt phẳng qua M song song AD SB
a Xác định thiết diện hình chóp tạo mặt phẳng () Thiết diện hình gì?
b Chøng minh SC song song ()
Bài 12 Cho tứ diện ABCD cạnh a I trung điểm AC , J AD cho AJ = 2JD M điểm di động BCD cho mặt phẳng (MIJ) song song AB
a Tìm tập hợp điểm M
b TÝnh diƯn tÝch thiÕt diƯn cđa tø diƯn t¹o mặt phẳng (MIJ)
BI 4: HAI MT PHNG SONG SONG Vấn Đề 1: MẶT PHẲNG SONG SONG
Phương pháp Chứng minh hai mặt phẳng song song Phương pháp :
* Chứng minh mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt song song với hai đường thẳng cắt nằm mặt phẳng
Bài 1: Cho hình chớp SABCD có đáy hình bình hành tâm O Gọi M, N lần lợt trung điểm SA CD
a, Chøng minh: mp(OMN) // mp(SBC)
b, I trung điểm SC J điểm nằm mp(ABCD) cách AB CD Chứng minh IJ // mp(SAB)
c, Giả sử tam giác SAB ABC cân A Gọi AE AF đờng phân giác tam giác ACD SAB Chứng minh EF // mp(SAD)
Bài 2: Cho hai hình vng ABCD ABEF khơng nằm mặt phẳng Trên AC BF lấy M N cho AM = BN Các đờng thẳng song song với AB vẽ từ M, N lần lợt cắt AD; AF M’, N’
a, Chøng minh: (CBE) // (ADF)
b, Chøng minh: mp (DEF) // mp(MNN’M’)
c, Gọi I trung điểm MN, tìm tập hợp I M, N di động
Bài 3: Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD Chứng minh đờng phân giác góc BAC, CAD, DAB đồng phẳng
Bài 4: Cho hình chóp SABCD có đáy hình bình hành tâm O Gọi M, N trung điểm SA, SD
a, Chøng minh mp(OMN) // mp(SBC)
b, Gọi P Q lần lợt trung ®iĨm cđa AB vµ ON Chøng minh PQ // mp(SBC)
Bài 5: Cho tứ diện ABCD Gọi I J hai điểm di động lần lợt AD BC cho
IA JB
(14)Bài 6: Cho hình chóp SABCD có đáy hình bình hành với AB = a; AD = 2a, mặt bên SAB tam giác vuông cân A Trên AD lấy M, đặt AM = x (0 < x < 2a) Mặt phẳng
qua M song song với mp(SAB) cắt BC; SC; SD t¹i N, P, Q a, Chøng minh MNPQ hình thang vuông
b, Gọi I giao điểm MQ NP Tìm tập hợp I M chạy AD c, Tính diện tích MNPQ theo a vµ x
Bài 7: Cho đờng thẳng a b chéo Tìm tập hợp điểm I đoạn MN chia MN theo tỉ số k cho trớc trờng hợp:
a, M, N di động lần lợt a, b
b, M, N di động a, b MN song song với mặt phẳng nằm mặt phẳng cho trớc cắt a b
Bµi 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành Gọi H,I,K
trung điểm SA,SB,SC
a) Chứng minh (HIK)// (ABCD)
b) Gọi M giao điểm AI KD, N giao điểm DH CI Chứng minh (SMN) //(HIK)
Bµi 9: Cho hình hộp ABCD.ÁB’C’D’
a) Chứng minh (BA’D) // (B’D’C)
b) Chứng minh AC’ qua trọng tâm G G’ tam giác A’BD CB’D’
Bµi 10: Cho hình chóp S.ABCD, đáy hình bình hành tâm O Gọi M,N
trung điểm SA ,CD
a) Cm: (OMN) //(SBC)
b) Giả sử tam giác SAD, ABC cân A Gọi AE,A F đường phân giác tam giác ACD SAB Cm: E F //(SAD)
Bµi 11: Cho hai hình vuông ABCD, ABE F không nằm mặt phẳng
Trên đường chéo AC,BF lấy điểm M,N cho AM=BN Các dường thẳng // AB vẽ từ M,N cắt AD, A F M’,N’
a)Cm: (CBE) //(AD F) b) Cm: (DE F)//(MNN’M’)
VẤN ĐỀ 2: T×m giao tun cđa hai mặt phẳng Thiết diện cắt mặt phẳng song song với mặt phẳng cho trớc
Bi 1: Cho hình chóp SABCD có đáy hình bình hành tâm O có AC = a; BD = b; tam giác SBD Mặt phẳng di động song song với mp(SBD) qua I đoạn AC
a, Xác định thiết diện hình chóp cắt mp b, Tính diện tích thiết diện theo a, b x = AI
(15)Bài 3: Từ đỉnh hình bình hành ABCD vẽ nửa đờng thẳng song song chiều Ax; By; Cz; Dt không nằm mp(ABCD) Một mp cắt nửa đờng thẳng A’; B’; C’; D’
a, Chøng minh (Ax; By) // (Cz; Dt)
b, Chøng minh ABCD hình bình hành c, Chứng minh AA + CC’ = BB’ + DD’
Bµi 4: Cho tứ diện ABCD, gọi G1; G2; G3 lần lợt trọng tâm tam giác ABC, ACD,
ABD
a, Chøng minh (G1G2G3) // mp(BCD)
b, T×m thiÕt diƯn cđa tø diƯn c¾t bëi mp(G1G2G3) TÝnh diƯn tÝch thiÕt diƯntheo diƯn
tÝch cđa tam gi¸c BCD
c, M di động tứ diện cho G1M // (ACD) Tìm tập hợp điểm M
Bài 5: Cho hình chóp SABCD đáy hình thang, đáy lớn AB = 3a; AD = CD = a, tam giác SAB cân S SA = 2a Mặt phẳng di động song song với mp(SAB) cắt AD; BC; SC; SD M; N; P; Q
a, Chứng minh MNPQ hình thang cân
b, t x = AM (0 < x < a) Tìm x để MNPQ ngoại tiếp đ ờng trịn Tính bán kính đơng trịn
c, Gọi I giao điểm MQ NP Tìm tập hợp I M động AD
Gọi J giao điểm MP NQ Chứng minh IJ có phơng không đổi J di động mp cố định
Bài 6: Cho hình chóp SABCD có đáy hình bình hành tâm O, E trung điểm SB Biết tam giác ACE AC = OD = a Mp di động song song với mp(ACE) qua I OD, mp cát AD, CD, SC, SB, SA lần lợt M, N, P, Q, R
a, Nhận xét tam giác PQR tứ giác MNPR
b, Tỡm hp giao điểm MP NR I di động đoạn OD
c, Tính diện tích MNPQR theo a x = DI Xác định x để diện tích lớn
Bài 7: Cho hình chóp SABCD có đay hình bình hành Mặt phẳng (P) cắt SA; SB; SC; SD lần lợt A’; B’; C’; D’ Chứng minh điều kiện cần đủ để A’B’C’D’ hình bình hành mp(P) // (ABCD)
Bài 8: Cho hình chóp SABC, mp(P) di động song song với mp(ABC) cắt SA; SB; SC lần lợt A’; B’; C’ Tìm tập hợp điểm chung mặt phẳng (A’BC), (B’AC), C’AB)
Bµi 9: Cho tø diƯn ABCD Gäi E; F; J theo thø tù lµ trung ®iĨm cđa BC; BD; AD
Mp
qua EF vµ song song víi BJ, mp qua BJ vµ song song víi CD a, Thiết diện mp cắt tứ diện hình g×?
b, Xác định thiết diện mp cắt tứ diện Chứng minh //
c, AC AD cắt mp lần lợt H, K Gọi I giao điểm AC mp Chứng minh HE; KF AB đồng quy M
d, Gi¶ sư tam giác ABC ABD vuông B Tính chu vi tam gi¸c MHK biÕt chu vi tam gi¸c ACD b»ng a
Bài 10: Cho hình chóp SABCD đay hình thang với cạnh đáy AB; CD với CD = pAB (0 < p < 1) Gọi S0 diện tích tam giác SAB l mt phng qua M trờn
cạnh AD song song với mp(SAB) Đặt
DM
x x
AD
(16)b, Tính x để diện tích thiết diện
S
Bài 11: Cho hình chóp SABC, I trung điểm SB J nằm đoạn SC cho
1
JC JS
2 vµ O trọng tâm tam giác ABC
a, Xỏc định thiết diện hình chóp với mp(OIJ), gọi s diện tích thiết diện b, mặt phẳng qua M nửa đờng thẳng BC mp song song trùng với mp(OIJ) Đặt
BM
x x
BC Tìm x để mp cắt hình chóp c, Biện luận theo x dạng thiết diện hình chóp với mp d, Gọi H(x) diện tích thiết diện nói câu c Tính H(x) theo s x
Bài 12: Cho hình chóp SABCD có E giao ®iĨm cđa AD vµ BC Mp(P) song song víi SE cắt SA, SB, SC, SD theo thứ tự J, K, H, I
a, Tứ giác IJKH hình g×?
b, Tìm điều kiện cần đủ để tứ giác IJKH hình bình hành
Bµi 13: Cho tø diÖn ABCD cã AD = a; BC = b; AB = c Lấy M AB, mặt phẳng qua M song song với AD BC cắt c¹nh AC, CD, BD t¹i N, P, Q
a, Tứ giác MNPQ hình gì?
b, Đặt AM = x Tính cạnh tứ giác MNPQ
c, Muốn tứ giác MNPQ hình chữ nhật phải có thêm điều kiện gì? Tìm diện tích tứ giác trờng hợp Tìm vị trí M AB để tứ giác có diện tích lớn Bài 14: Cho tứ diện ABCD cạnh a, Mp(P) qua A song song với BC, cắt BD CD M, N, đặt BM = x Tính AM2MN2AN2
BÀI 5: Phép chiếu song song – Hình lăng trụ – Hình hộp Bài 1: Cho lăng trụ tam giác ABCA’B’C’ Mp qua đờng chéo A’C song song với đ-ờng chéo BC’ chia AB theo tỉ số nào?
Bµi 2: Cho lăng trụ ABCABC Lấy MA ' B ', NAB, PCC ' tho¶ m·n:
AM ' BN C ' P MB ' NA PC 2
Mp(MPN) cắt BC Q Tìm C ' Q B ' C '
Bài 3: Cho lăng trụ ABCABC Gọi H trung điểm cña A’B’ a, Chøng minh C’B // mp(AHC’)
b, Tìm giao điểm AC mp(BCH)
c, Mp(P) qua trung điểm CC’ song song với AH CB’ Xác định thiết diện tỉ số mà đỉnh thiết diện chia cạnh tơng ứng lng tr
Bài 4: Cho lăng trụ ABCABC
a, Tìm giao tuyến (ABC) (BAC)
b, Gọi M N điểm AA BC Tìm giao điểm BC với mp(AAN), MN với (ABC)
Bài 5: Cho lăng trụ ABCABC Gọi G G lần lợt trọng tâm tam giác ABC ABC Chứng minh mặt phẳng (ABC), (BCA) (CAB) có điểm chung O trªn GG’ TÝnh tØ sè OG : OG’
Bài 6: Cho hình hộp ABCDABCD a, Chứng minh mp(BDA’) // mp(B’D’C)
b, Chứng minh đờng chéo AC’ qua trọng tâm G1; G2 tam giác BDA’ B’D’C
(17)Bài 7: Chứng minh hình hộp, tổng bình phơng đờng chéo tổng bình phơng tất cạnh
Bài 8: Cho lăng trụ tam giác ABCABC
a, Gọi I, K, G lần lợt trọng tâm tam giác ABC; ABC ACC Chứng minh (IGK) // (BB’C’C) vµ (A’KG) // (AIB’)
b, Gọi M, N lần lợt trung điểm BB’ CC’ Hãy dựng đờng thẳng qua trọng tâm tam giác ABC cắt AB’ MN
Bài 9: Cho lăng trụ ABCA’B’C’ Gọi M, N trung điểm BC CC’, P đối xứng với C qua A
a, Xác định thiết diện lăng trụ với mp(A’MN) b, Xác định thiết diện lăng trụ với mp(MNP)
Bài 10: Cho hình lập phơng ABCDABCD cạnh a Gọi M, N, P lần lợt trung điểm AB, B’C’; DD’
a, Chøng minh mp(MNP) // mp(A’B’D) vµ (BDC’)
b, Xác định thiết diện hình lập phơng với mp(MNP)? Thiết diện hình gì? Tính diện tích thiết diện
Bài 11: Cho hình lăng trụ ABCA’B’C’ đáy tam giác cạnh a, ABB’A’, ACC’A’ hình vng Gọi I, J tâm ABB’A’, ACC’A’ O tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC
a, Chøng minh IJ // mp(ABC)
b, Xác định thiết diện lăng trụ với mp(IJO) Chứng minh thiết diện hình thang cân
ƠN TẬP TỔNG HỢP
Bài1: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ADBC hình thoi cạnh a; SA = SB = a; SC = SD = a √3 Gọi E, F lần lợt trung điểm cạnh SA, SB; M điểm cạnh BC
1) Xác định thiết diện hình chóp S.ABCD với mặt phẳng (MEF) Thiết diện hình gỡ?
2) Đặt BM = x (0 x a) TÝnh FM vµ diƯn tÝch thiÕt diƯn theo a x KQ: S = 3a
16 √16x
+8 ax+3a2
Bài2: Cho tứ diện ABCD AB vng góc với CD AB = AC = CD = a; M là điểm cạnh AC với AM = x (0 < x < a); () mặt phẳng qua M song song với AB CD
1) Xác định thiết diện tứ diện tạo mặt phẳng () Thiết diện hình gì?
2) Tính diện tíchthiết diện theo a x Xác định x để diện tích thiết diện lớn S = x(a - x) < x < a x = a
2
Bài3: Trong mặt phẳng () cho ABC cạnh a, gọi O trung điểm cạnh AC; lấy điểm S () cho SA = a SA BO; () mặt phẳng chứa BO song song với SA
1) () c¾t tø diƯn SABC theo thiÕt diện hình gì? 2) Tính diện tích thiết diện trªn theo a S = a
2
3
Bài4: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình bình hành với AB = 2a, AD = a SAB tam giác vuông cân A Gọi M điểm cạnh AD với AM = x (0 < x < a) () mặt phẳng qua M song song với (SAB)
1) () cắt hình chóp theo thiết diện hình gì?
2) Tính diện tích thiết diện theo a vµ x S = 2(a2− x2)
(18)1) Chứng minh IJMN hình thang Xác định vị trí M để IJMN hình bình hành
2) Gọi K giao điểm IM JN Tìm tập hợp điểm K M di động đoạn BD
Bài6: Từ bốn điểm hình bình hành ABCD vẽ bốn nửa đờng thẳng song song cùng chiều Ax, By, Cz, đấng thẳng cho chúng cắt mặt phẳng (ABCD) Một mặt phẳng () cắ bốn nửa đờng thẳng lần lợt A', B', C', D'
1) Chøng minh: (Ax; By) // (Cz; Dt)
2) Chứng minh tứ giác A'B'C'D' hình bình hành
3) Gọi O, O' lần lợt tâm hình bình hành ABCD, A'B'C'D' Chứng minh đờng thẳng OO' // AA' AA' + CC' = BB' + DD'
Bµi7: Cho tø diƯn ABCD víi AB CD, BCD vuông C có = 300 M điểm
di ng trờn cnh BD, () l mặt phẳng qua M song song với AB CD 1) () cắt tứ diện ABCD theo thiết diện hình gì?
2) Gi¶ sư AB = BD = a, BM = x TÝnh diÖn tÝch S cđa thiÕt diƯn thao a vµ x
3) Vẫn lấy giả thiết câu2) Xác định x để thiết diện có đờng chéo vng góc KQ: 2) S = √3
2 x(a − x) 3) x = 2(2−√3a)
Bài8: Cho hình chóp S.ABCD với ABCD hình thoi cạnh a, SAD tam giác đều. Gọi M điểm AB, () mặt phẳng qua M song song với (SAD) cắt CD, SC, SB lần lợt N, P, Q
1) Chứng minh MNPQ hình thang c©n
2) Gọi I giao điểm MQ NP Tìm tập hợp điểm I M chạy từ A đến B 3) Đặt AM = x Tính diện tích thiết diện MNPQ theo a x
S = √3
4 (a
2− x2)
Bài9: Cho tứ diện SABC cạnh a Gọi I, K, L lần lợt trung điểm AB, AI, SB. () mặt phẳng qua KL song song với CI Tính diện tích thiết diện () với tứ
diƯn S = a
2
√5
Bài10: Cho hình chóp S.ABCD có hình bình hành tâm O.
1) Từ điểm M di động đoạn SA dựng đờng thẳng song song với AD cắt SD N, NB cắt SO P Chứng minh MP qua điểm cố định
2) Trên cạnh CD lấy điểm Q cho: CQ
CD= SM
SA Chøng minh MQ lu«n sonh song
với mặt phẳng cố định
3) Tìm vị trí M SA để MNQ có diện tích lớn nhất?
Bµi11: Cho hình lập phơng ABCD.A'B'C'D'; E, F, G lần lợt trung điểm AA', BB', CC' Chứng minh rằng:
1) (EFG) // (ABCD)
2) Xác định giao tuyến hai mặt phẳng (ABD) (C'D'D) 3) Tìm giao điểm A'C (C'DB)
4) Gọi O O' lần lợt giao điểm hai đờng chéo ABCD A'B'C'D' Chứng minh AO' C'O chia A'C thành ba đạon
Bài12: Cho tứ diện ABCD Gọi G1, G2 lần lợt tâm ABD BCD; I
là trung điểm AC
1) CM: G1G2 // (ABC); G1G2 // (ACD)
2) mặt phẳng () qua G1, G2 song song với BC Tìm thiết diện () tứ
diện ABCD Thiết diện hình ? Tại sao?
3) G tâm tứ diện ABCD K trung điểm G1G2 Chứng minh G,
I, K thảng hàng
Bi13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang mà đáy lớn cạnh AD Một điểm M cạnh AB mặt phẳng () qua M // AD SB
(19)Bµi14: Cho hình hộp ABCD.A"B'C'D' có Q trung điểm cạnh DD', I điểm đoạn BD cho DI = 3IB T×m thiÕt diƯn cđa h×nh hép ABCD.A"B'C'D' tạo bới mặt phẳng () qua IQ // AC
Bài15: Cho tứ giác ABCD nằm mp (P) Hai đờng thẳng AB CD cắt tại E; AD BC cắt F Một điểm S nằm mặt phẳng (P) mặt phẳng (Q) di động cắt SA, SB, SC I, J, K
1) Tìm giao điểm K (Q) vµ SD
2) Chứng minh điều kiện cần đủ để IJ // KL SE // (Q)
3) Tìm điều kiện SF (Q) để IL // JK Chứng minh IJKL ln hình bình hành (Q) ln song song với mặt phẳng cố định
Bài16: Cho hình vng ABCD có cạnh a tam giác vng cân ADF (AD = AF) nằm hai mặt phẳng khác Biết BF = a √2 , đoạn AC, FD lần lợt lấy hai điểm M, N di động cho: AM = FN = x (0 < x < a √2 )
1) Chøng minh r»ng MM // (ABF) 2) Chøng minh: AN = MN = BM