Cho tam giác ABC có hai đường cao BF và CE cắt nhau tại H.[r]
(1)ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP THỊ XÃ, NĂM HỌC: 2016-2017 MƠN THI: GIẢI TỐN TRÊN MTCT LỚP 9
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian phát đề)
Bài 1: (10điểm) Cho biểu thức: P(x) = (2+x2)15 = a
0 + a1x + a2x2 + a3x3 + + a29x29 + a30x30 Tính xác giá trị biểu thức: Q = -2 a1 + 22 a2 – 23a3 + 24a4 -25a5 + + 228a
28 - 229a29 + 230a30
Bài 2: (10điểm) Cho phương trình: √a+b√1− x=1+√a −b√1 − x a Tính x theo a b
b Tính giá trị x biết a = 241209; b = 251209 (Lấy kết với tất chữ số máy)
Bài 3: (10điểm) Kí hiệu x phần nguyên x
Giải phương trình:
3
31 2 3 x 1 855
Bài 4: (10điểm)
a Tìm số tự nhiên có chữ số abcde thỏa điều kiện sau: abcde x = edcba. b Tính giá trị biểu thức: P= 6 6 6 6
Bài 5: (10điểm)
a Cho tam giác ABC có hai đường cao BF CE cắt H Biết góc BHC = 1190 23'57'' SAEF 6,7cm2 Tính diện tích tứ giác BEFC (chính xác đến 0,00001)
b Cho tứ giác ABCD có đường chéo AC = 21cm biết góc DAC = 250, góc DCA = 370, góc BCA = 320 Tính chu vi P diện tích S tứ giác ABCD (chính xác đến 0,0001)
(2)KỲ THI CHỌN HSG CẤP THỊ XÃ, NĂM HỌC: 2016-2017 HƯỚNG DẪN CHẤM: GIẢI TOÁN TRÊN MTCT LỚP 9
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian phát đề)
Bài 1: (10điểm)
Ta có: P(0) = (2+02)15 = a
0 + a1.0 + a2 02 + a3 03 + + a29 029 + a30 030 (1điểm)
a0 = 32768 (1điểm)
Ta có:
P(-2) = [(2+(-22)]15 (1điểm)
= 32768- a1 + 22 a2 – 23a3 + 24a4 -25a5 + + 228a28 - 229a29 + 230a30 (1điểm)
= 32768 + Q (1điểm)
=> Q = P(-2) - 32768 = 615 – 32768 (1điểm) Bấm 615 = 4,701849846x1011
ấn – 4x1011 = 7,018498458x1010 (1điểm)
ấn - x1010 = 184984576 (1điểm)
Vậy 615 = 470184984576 (1điểm)
Q = 470184984576– 32768 = 470184951808 (1điểm) Bài 2: (10điểm)
a √a+b√1− x=1+√a −b√1 − x
⇔√a+b√1 − x −√a −b√1 − x=1 (0,5điểm)
⇔(√a+b√1 − x −√a − b√1 − x)2=12 (1điểm)
⇔ a+b√1− x +a − b√1 − x −2√a2− b2(1 − x )=1 (1điểm)
⇔2√a2−b2(1 − x )=2 a −1 (1điểm)
⇔(2√a2−b2(1− x))2=(2 a− 1)2 (1điểm)
⇔ 4[a2−b2(1− x)]=4 a2− a+1 (1điểm)
⇔ a2− b2
+4 b2x=4 a2− a+1 (1điểm)
⇔ b2x=4 b2− a+1 (1điểm)
⇒ x= b2− a+1
4 b2
(0,5điểm)
b Khi a = 241209 , b = 251209 x = 0,9999961777 (2điểm) Bài 3: (10điểm)
Ta có:
31 1
;
3 2 1, 25992105 1
;
3 3 1, 44224957 1
; …;
3 6 1,817120593 1
;
3 7 1,912931183 1
(3)3 8 2
;
3 9 2,080083823 2
; …;
3 26 2,962496068 2
(0,5điểm) 27 3
;
3 28 3, 036588972 3
;…;
3 63 3,979057208 3
(0,5điểm)
3 64 4
;
3 65 4, 020725759 4
;…;
3124 4,986630952 4
(0,5điểm) 3125 5
;
3126 5,013297935 5
;…
3 215 5,990726415 5
;
(0,5điểm) 216 6
(0,5điểm)
Nên ta có:
3 n 1
khi n = 1; 2; 3; 4; 5; 6; (gồm số)
(0,5điểm) n 2
khi n = 8; 9; 10; 11…; 25; 26 (gồm 19 số) (0,5điểm)
3 n 3
khi n = 27; 28; 29;…; 61; 62; 63 (gồm 37 số)
(0,5điểm) n 4
khi n = 64; 65; 66;…; 122; 123; 124 (gồm 61 số) (0,5điểm)
3 n 5
khi n = 125; 126; 127;…; 213; 214; 215 (gồm 91 số) (0,5điểm)
Do :
3
3
3 n k k n k 1
(0,5điểm)
Vậy:
31 2 3 x 1 855
(1) (0,5điểm)
31 2 215 1.7 2.19 3.37 4.61 5.91 855
(0,5điểm)
31 2 215 855
(2) (0,5điểm)
Từ (1) (2), suy ra:
3
3 x 1 215
(0,5điểm)
3 1 215
x
(4)3 216
x
(0,5điểm)
6 x
(0,5điểm)
Vậy S 6 (0,5điểm)
Bài 4: (10điểm)
a Tìm số tự nhiên có chữ số abcde thỏa điều kiện sau: abcde x = edcba Để số có năm chữ số nhân với số năm chữ số thì:
1
0
1
a e
b b
b b
(1điểm) * Trường hợp 1: b =
- Vì b = nên d = (1điểm)
- Vì abcde chia hết c = c = 9. (1điểm) - Thử máy tính cầm tay ta c = (1điểm) * Trường hợp 2: b =
- Vì b = nên d = 7
- Vì abcde chia hết c = c = 9.
- Thử máy tính cầm tay c = c = không thỏa điều kiện (1điểm) Vậy số cần tìm 10989
b) Tính giá trị biểu thức: P= 6 6 6 6
Điều kiện P > (1điểm)
P2 = 6+ 6 6 6 6 (1điểm)
<=> P2 = + P (1điểm)
<=> P2 - P - = (1điểm)
Giải phương trình máy tính cầm tay ta được:
2
p p
2
p p
Vậy P = (1điểm)
Bài 5: (10điểm)
a) Hình vẽ: (0,5điểm) A
Ta có A = 3600 (900900119 23 57 )0 = 60 36 30
(0,5điểm)
AEF
1
S AE.AF.sin A
(0,5điểm) AEF
2S AE.AF
sin A
=
2 6,7 sin 60 36
15,38071368 (0,5điểm) E F
(5)Mà AE = AC cosA (0,5điểm) AF= AB cosA (0,5điểm)
Suy AE.AF = AB.AC cos2 A (0,5điểm) B C AE.AF AB.AC cos A 63,82726018 (0,5điểm)
Vậy ABC
1
S AB.AC.sinA
27,80382 cm2 (0,5điểm)
Do SBEFC SABC SAEF 27,80382 – 6,7 21,10382 cm2 (0,5điểm) b Hình vẽ đúng: (0,5điểm)
Áp dụng định lí hàm số sin:
Trong ADC: 0 0
21
sin(180 25 37 ) sin 37 sin 25
AD CD
(0,5điểm)
0 21sin 37 sin118 AD ; 0 21.sin 25 sin118 CD (0,5điểm)
Trong ABC: 0 0
21
sin(180 35 32 )sin 32 sin 35
AB BC (0,5điểm) 0 21.sin 32 sin113 AB ; 0 21.sin 35 sin113 BC (0,5điểm)
Chu vi tứ giác ABCD là: P = AB + BC + CD + DA =
0 21.sin 32 sin113 + 0 21.sin 35 sin113 + 0 21sin 25 sin118 +
0
21sin 37
sin118 (0,5điểm)
=
0 0
0 0
sin 32 sin 35 sin 25 sin 37 21
sin113 sin113 sin118 sin118
49,5398(cm) (0,5điểm)
Diện tích tứ giác ABCD là: SABCD =
0
1
.sin 25
2 AD AC +
0
1
.sin 35
2AB AC =
0
1
( sin 25 sin 35 )
2 AC AD AB (0,5điểm)
=
0
0
0
1 21sin 37 21.sin 32
.21( sin 25 sin 35 )
2 sin118 sin113 (0,5điểm)
=
2 0 0
0
21 sin 37 sin 25 sin 32 sin 35
2 sin118 sin113