Trong tam gi¸c vu«ng CMN cã ME lµ trung tuyÕn nªn. 1.[r]
(1)Sở giáo dục đào tạo Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên
Tỉnh ninh bình năm học 2008 - 2009 Môn: Toán
Thi gian lm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm 05 câu 01 trang)
C©u (3,5 ®iĨm):
Cho biĨu thøc
15 11 2
2 3
x x x
P
x x x x
1 Rút gọn biểu thức P 2 Tìm giá trị x để
1
P
Câu (3,5 điểm):
Cho hai số thực a b, thoả mÃn điều kiÖn
a b ab
.
Tìm giá trị nhá nhÊt cđa biĨu thøc:
2 a b Q
a b
.
Câu (4,0 điểm):
Mt on hc sinh tổ chức tham quan ô tô Ngời ta nhận thấy rằng, ô tô chở 22 học sinh cịn thừa học sinh Nếu bớt tơ phân phối học sinh tơ cịn lại Hỏi lúc đầu có tơ có học sinh tham quan, biết ô tô chở đợc không 32 học sinh
Câu (5,5 điểm):
Cho hỡnh vuụng ABCD Điểm M di động tia đối tia CD (M khơng trùng với C) Đờng thẳng vng góc với AM A cắt đờng thẳng BC N
1 Chứng minh tam giác MAN vuông cân.
2 Gọi E trung điểm đoạn thẳng MN Chứng minh ba điểm D, B, E thẳng hàng
3 Xác định vị trí điểm M cho tam giác EAC tam giác đều. Câu (3,5 điểm):
1 Cho tam giác có độ dài cạnh a b c, , thoả mãn điều kiện a2 b2 c2
Gọi p r h, , c lần lợt nửa chu vi, độ dài bán kính đờng trịn nội tiếp, độ dài đờng cao thuộc cạnh c tam giác Chứng minh
2
c r h .
2 T×m tất cặp số nguyên (x y; ) thoả m·n :x2 (2009y x) 5 y0
3 Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn Gọi M điểm di động cung BC không chứa điểm A Xác định vị trí điểm M cho 2008 MB + 2009 MC đạt giá trị lớn
-Hết -Họ tên thí sinh:.SBD: .Số CMND: Chữ ký giám thị 1: Chữ ký giám thị 2: .
Hớng dẫn chấm thi Môn Toán
Tuyển sinh vào lớp 10 THPT Chuyên năm học 2008-2009
( Híng dÉn chÊm thi gåm trang)
(2)I. Híng dÉn chung:
-Dới HD tóm tắt cách giải, làm học sinh tiết, lập luận chặt chẽ, tính tốn xác đợc điểm tối đa
-Bài làm học sinh đến đâu giám khảo cho điểm đến -Học sinh đợc sử dụng kết câu trớc để áp dụng cho cõu sau
-Trong hình học sinh không vẽ hình vẽ hình sai không cho ®iÓm
-Với cách giải khác với đáp án tổ chấm trao đổi thống điểm chi tiết nhng không vợt số điểm dành cho câu phần
-Mọi vấn đề phát sinh trình chấm phải đợc thống tổ chấm cho điểm theo thống tổ chấm
-Điểm toàn tổng số điểm phần chấm,khơng làm trịn II Đáp án biểu điểm:
Câu Hớng dẫn chấm Điểm
Câu 1
(3.5 đ) 1 Điều kiện x0; x1 Ta cã
(15 11) (3 2)( 3) (2 3)( 1) ( 3)( 1)
x x x x x
P x x =
5 ( 1)( 2) ( 2)
( 3)( 1) ( 3)( 1) ( 3)
x x x x x
x x x x x
2 Ta cã
1 1
2 11 121
x
P x x
x 0.5 0.5 0.75 1.75 Câu 2 (3.5 đ) Ta cã:
2 ( )2 2 2 4
( ) ( )
a b a b ab ab
Q a b a b
a b a b a b a b
áp dụng kết quả: x y; 0 : ( x y)2 0 x y 2 x y DÊu b»ng xÈy vµ chØ x=y
Ta cã:
4
2 ( )
( )
Q a b
a b
DÊu b»ng xÈy vµ chØ khi:
4 1 3
1 3 a a b
a b b
ab a a b b
Vậy giá trị nhỏ Q
( Học sinh phải CM kết x y; 0 : ( x y)2 0 x y 2 x y sau đó mới áp dụng, n ếu HS khơng CM trừ 0.5 điểm phần này)
1.0 0.5 0.5 1.0 0.5 Câu 3 (4.0đ)
Gọi x số ô tô ban đầu
Sau bớt ô tô số ô tô lại (x-1); Điều kiện x>1;x N Do ô tô chở 22 học sinh thừa học sinh nên số học sinh tham quan (22x+1)
(3)Số học sinh có « t« cđa (x-1) « t« lµ:
22 1
x x
Theo gi¶ thiết toán ta có
*
22 1 22
32
x
N x
x x
Mặt khác ta có:
22 22( 1) 23 23 22
1 1
x x
x x x
Do
22 1
x x
* 23 *
( 1)
N N
x
,hay (x-1) lµ íc cđa 23
x-1=1 x2 Khi
22 1
x x
=45>32 nên không thoả mÃn
x-1=23 x24.Khi
22 1
x x
=23<32 nên thoả mÃn
Vậy Số ô tô ban đầu 24
Số học sinh tham quan 529
0.75 0.5 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25
Câu 4 (5.5 đ)
( Hc sinh v hỡnh cho 0.25 đ)
a Ta có: Tứ giác MCAN có MAN MCN 900 nên tứ giác MCAN nội tiếp đ-ợc đờng trịn đờng kính MN
Suy ra: AMN ACN 450 ( hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung AN)
Mặt khác theo giả thiết: MAN 900
Vậy tam giác MAN vuông cân đỉnh A b Trong tam giác vng CMN có ME trung tuyến nên
1
CE MN
Trong tam giác vuông AMN có AE trung tuyến nên
1
AE MN
Từ suy CE=AE, hay E thuộc đờng trung trực AC
0.5 0.5 0.5 0.25 0.5 0.5 0.5 0.5
D
A B
E
N
(4)*.Do ABCD hình vuông nên DA=DC; BA=BC nên B, D thuộc vào đ-ờng trung trực AC
Do ú ba điểm D, B, E thẳng hàng c Gọi a độ dài cạnh hình vng.
Do tam giác EAC cân đỉnh E nên: EAC EA AC a
* Trong tam giác vuông AMN: MN=2AE=2a Khi ú AM= 2a
* Trong tam giác vuông DAM ta cã: DM2=AM2-AD2=4a2-a2=3a2 Hay DM=a
Kết luận: Tam giác EAC tam giác M thuộc tia đối tia CD và DM=DC
0.5 0.5 0.5
Câu 5 1.( 1.5 điểm)
Gi S diện tích tam giác Học sinh phải chứng minh S=p.r ( p: nửa chu vi tam giác; r : Bán kính đờng trịn nội tiếp tam giác)
Mặt khác S=
1
2 c hc nªn c
r c c
h p a b c :
2 2 ( )2 2( 2) 2
2 ( 1)
2
5
a b c a b a b c
a b c a b c c
c a b c
Vậy ta có điều phải chứng minh
( N ếu học sinh không chứng minh S=p r trừ ®i 0.5 ®iÓm)
2 ( 1,0 ®iÓm):
Ta cã:
2
2
(2009 ) ( 1) 2007( 1) ( 1) 2003 ( 1) 2007( 1) ( 1) 2003
( 1) ( 1) 2007 2003
x y x y x x x x y
x x x y
x x y
Từ phơng trình suy (x-1) ớc 2003 Mặt khác 2003 số nguyên tố nên xẩy bốn khả sau
* x1 1 x 2 y4009 * x1 1 x 0 y5 * x1 2003 x2004 y5 * x12003 x2002 y4009
V Ëy cã cỈp sè nguyên (x;y) thoả mÃn là: (2; - 4009);(0; - 5); (2004; -5);(- 2002; - 4009) 3 (1.0 ®iĨm)
Trên tia đối tia MB lấy điểm E cho
2008 2009
MC ME
Khi CME BAC ( bù với BMC) CME có góc khơng đổi
CEM
không đổi 3 điểm B, C, E nằm đờng tròn cố định.
Ta dựng đờng thẳng vng góc với BC C, cắt đờng tròn ngoại tiếp tam giác BCE F Khi BF đờng kính đờng trịn ngoại tiếp tam giác
0.5 0.25
0.5 0.25
0.5
0.5
0.25 0.25
(5)BCE F điểm cố định
.Gọi M0 giao điểm thứ BF đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Suy M0 điểm cố định
Ta cã 2008 MB + 2009 MC=2008.MB + 2008 ME=2008 BE2008BF
D Êu b»ng xÈy vµ chØ M M0
Vậy 2008.MB + 2009.MC đạt giá trị lớn M M0