Cơ sở và dãy cơ sở

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ====== TẠ THỊ THU HÀ CƠ SỞ VÀ DÃY CƠ SỞ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành : Tốn Giải tích HÀ NỘI, 2019 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ====== TẠ THỊ THU HÀ CƠ SỞ VÀ DÃY CƠ SỞ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chun ngành: Tốn Giải tích Người hướng dẫn Khoa học TS Bùi Kiên Cường HÀ NỘI, 2019 LỜI CẢM ƠN Trong trình nghiên cứu thực khóa luận, với cố gắng thân hướng dân giúp đỡ nhiệt tình thầy cô giáo bạn sinh viên em hồn thành khóa luận Em xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới tồn thể thầy cơng tác khoa Tốn, Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội thầy cô trực tiếp giảng dạy, truyền thụ cho em kiến thức quý báu chuyên môn kinh nghiệm nghiên cứu thời gian vừa qua Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo, tiến sĩ Bùi Kiên Cường, người tận tình giúp đỡ, bảo cung cấp cho em kiến thức tảng để em hồn thành khóa luận Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2019 Sinh viên Tạ Thị Thu Hà LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan hướng dẫn thầy giáo Bùi Kiên Cường khóa luận em hồn thành khơng trùng với đề tài khác, thơng tin trích dẫn khóa luận rõ nguồn gốc rõ ràng Trong thực đề tài em sử dụng tham khảo thành tựu nhà khoa học với lòng biết ơn trân trọng Hà Nội, tháng năm 2019 Sinh viên Tạ Thị Thu Hà i Mục lục Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Banach 1.1.1 Không gian định chuẩn 1.1.2 Một số ví dụ 1.1.3 Một số khái niệm định lí 1.1.4 Không gian liên hợp 1.1.5 Sự hội tụ yếu không gian Banach 1.2 Không gian Hilbert 1.2.1 Không gian tiền Hilbert 1.2.2 Không gian Hilbert 1.2.3 Các ví dụ 1.2.4 Một số tính chất Cơ sở dãy sở 2.1 Một số định nghĩa 2.2 Chuỗi Fourier 15 2.3 Sự tương đương sở dãy sở 19 Kết luận 25 Tài liệu tham khảo 25 Mở đầu Lý chọn đề tài: Lý thuyết hàm giải tích hàm có tầm quan trọng đặc biệt tốn học toán học ứng dụng Nội dung phong phú, đa dạng Do kiến thức lớp với lượng thời gian eo hẹp nên khó sâu nghiên cứu số vấn đề giải tích hàm Với mong muốn tìm hiểu sâu mơn góc độ sinh viên sư phạm toán phạm vi khóa luận tốt nghiệp với giúp đỡ thầy giáo – TS Bùi Kiên Cường, em lựa chọn đề tài: “Cơ sở dãy sở” Phương pháp nghiên cứu: - Phương pháp nghiên cứu lí thuyết - Phương pháp giải tích hàm Cấu trúc khóa luận: Ngồi phần mục lục, mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo phụ lục, khóa luận gồm hai chương Chương Trình bày kiến thức chuẩn bị Nội dung trình bày số khái niệm không gian định chuẩn, Banach, Hilbert Chương Trình bày sở dãy sở Nội dung chương trình bày số khái niệm vè sở dãy sở, nêu ví dụ dãy Fourier, tương đương sở dãy sở Do thời gian thực đề tài không nhiều, kiến thức cịn hạn chế nên khóa luận khơng thể tránh khỏi sai sót Em mong nhận đóng góp ý kiến phản biện từ quý thầy cô bạn Em xin chân thành cảm ơn! Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Banach 1.1.1 Không gian định chuẩn Định nghĩa 1.1 Cho X không gian véctơ trường số K (K trường số thực R trường số phức C) Một ánh xạ : X → R gọi chuẩn X thỏa mãn tiên đề: x ≥ với x ∈ X, x = x = λx = |λ| x với vô hướng λ, với x ∈ X x + y ≤ x + y với x, y ∈ X Không gian véctơ X với chuẩn nó, gọi khơng gian tuyến tính định chuẩn hay khơng gian định chuẩn Kí hiệu (X, ) hay đơn giản X Định nghĩa 1.2 Cho X không gian định chuẩn a) Một dãy véctơ {xn } X hội tụ tới x ∈ X lim xn −x = n→∞ nghĩa là, nếu: ∀ε > 0, ∃N, ∀n N, xn − x < ε Trong trường hợp ta viết lim xn = x xn → x (n → ∞) n→∞ b) Một dãy véc tơ {xn } X dãy Cauchy xm = nghĩa là, nếu: ∀ε > 0, ∃N, ∀m, n N, xn − xm < ε lim m,n→∞ xn − Dễ thấy dãy hội tụ không gian định chuẩn dãy Cauchy Tuy nhiên điều ngược lại nói chung khơng Ta nói khơng gian định chuẩn X không gian Banach dãy Cauchy X hội tụ Định nghĩa 1.3 Dãy {xn } không gian Banach X gọi là: a) Bị chặn inf xn > b) Bị chặn sup xn < ∞ c) Chuẩn hóa xn = 1, ∀n Định nghĩa 1.4 Cho không gian véctơ X , X Hai chuẩn 2 hai chuẩn gọi tương đương tồn số dương α, β cho α x 1.1.2 ≤ x ≤ β x ∀x ∈ X Một số ví dụ Ví dụ 1.1 Cho f hàm giá trị phức xác định tập E ⊂ R Khi đó, với ≤ p < ∞, đặt: Lp (E) = {f : E → C : |f (x) |p dx < ∞} E 1/p Đây không gian Banach với chuẩn f Lp p |f (x) | dx = E Ví dụ 1.2 Cho khơng gian véctơ k chiều E k , E k = {x = (x1 , x2 , , xk ) : xj ∈ R} E k = {x = (x1 , x2 , , xk ) : xj ∈ C} Ta đặt n |xj |2 x = j=1 Khi E k khơng gian Banach Ví dụ 1.3 Cho không gian véctơ L[a,b] Đối với hàm số x (t) ∈ L[a,b] ta đặt b |x (t) |dt x = a Khi L[a,b] khơng gian Banach Ví dụ 1.4 Với ≤ p < ∞, đặt lp = {c = (cn ) : |cn |p < ∞ Đây n∈Z không gian với chuẩn 1/p c lp = cn lp |cn |p = n∈Z 1.1.3 Một số khái niệm định lí Định lý 1.1 (Bất đẳng thc Hăolder) Vi p < v xỏc định p thỏa mãn hệ thức p + p = Đặt = ∞ ∞ = Nếu f ∈ Lp (E) g ∈ Lp (E) f g ∈ L1 (E) fg L1 ≤ f Lp g Lp Với < q < ∞, bất đẳng thức tương đương với 1/p   |f (x) |p  |f (x) g (x) |dx ≤  E 1/p |g (x) |p   E Định nghĩa 1.5 Không gian tuyến tính định chuẩn X gọi khơng gian tách đươc tồn tập đếm trù mật X Ví dụ 1.5 Với ≤ p < ∞ khơng gian lp , Lp (E) tách Định nghĩa 1.6 Cho {xn } dãy tùy ý không gian định chuẩn X a) Bao tuyến tính hữu hạn dãy {xn } tập hợp tất tổ hợp tuyến tính hữu hạn phần tử dãy {xn } Kí hiệu N span{xn } = { an xn , ∀N > 0, ∀a1 , a2 , , an ∈ K} n=1 b) Bao đóng tuyến tính {xn } bao đóng bao tuyến tính hữu hạn kí hiệu span{xn } c) {xn } đầy X span{xn } = X hay span{xn } trù mật X Định nghĩa 1.7 (Toán tử tuyến tính) Cho hai khơng gian tuyến tính định chuẩn X Y trường K Một ánh xạ A : X → Y gọi toán tử Nếu Y = K tốn tử A : X → K phiếm hàm X Toán tử A gọi Tuyến tính A(ax + by) = aAx + bAy, ∀a, b ∈ K, ∀x, y ∈ X Đơn ánh Ax = Ay ⇔ x = y Toàn ánh lên Rang(A) = Y Trong ảnh hay miền giá trị A Rang(A) = A(X) = {Ax : x ∈ X} Bị chặn tồn số M > cho Ax ≤ M x Chuẩn toán tử tuyến tính bị chặn A số A = sup T x x =1 Toán tử A gọi bảo toàn chuẩn đẳng cự Ax x X , ∀x Y = ∈ X Định lý 1.2 (Ngun lí ánh xạ mở Banach) Nếu A tốn tử tuyến tính liên tục ánh xạ khơng gian Banach X lên khơng gian Banach Y , A ánh xạ mở Định lý 1.3 (Nguyên lí đồ thị đóng Banach) Cho tốn tử tuyến tính A ánh xạ không gian Banach X vào không gian Banach Y Toán tử A liên tục A tốn tử đóng Định lý 1.4 (Ngun lí thác triển Hahn - Banach) Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục f xác định khơng gian tuyến tính X0 không gian định chuẩn X (X0 = X) thác triển lên tồn khơng gian X với chuẩn khơng tăng, nghĩa xây dựng phiếm hàm tuyến tính liên tục F xác định tồn khơng gian X cho: 1) F (x) = f (x) 2) F 1.1.4 X = f (∀x ∈ X0 ) X0 Không gian liên hợp Định nghĩa 1.8 Cho X khơng gian tuyến tính định chuẩn trường K Ta gọi không gian X ∗ phiếm hàm tuyến tính liên tục X 12 Do lim yk − x = tính chất mở rộng x đối k→∞ với sở ta có Sk x = yk Ta có | xn − x | = sup Sk xn − Sk x ≤ lim sup sup Sk xn − Sk xm , m→∞ k≥1 k≥1 nên lim | xn − x | = (X, | |) đầy n→∞ Theo định lí Đồ thị đóng đính lí Ánh xạ mở, ánh xạ đồng ι : (X, ) → (X, | |) bị chặn, nói cách khác, tồn K để | x | ≤ K x với x ∈ X, có nghĩa Sn x ≤ K x x ∈ X, n ∈ N Đặc biệt, |en | (x) | en = Sn x − Sn−1 x ≤ 2K x , −1 đo en ∈ X ∗ en ≤ 2K en Cho (en )∞ n=1 sở không gian véctơ X Theo định lí ∗ ∞ (en )∞ n=1 sở Schauder, sử dụng (en )n=1 hàm song trực giao Như trên, ta xét toán tử Sn : X −→ X, cho S0 = với n ≥ 1, ∞ n e∗k (x)ek Sn e∗k (x)ek = k=1 k=1 Sn tốn tử tuyến tính liên tục e∗k liên tục Do dãy tốn tử (Sn )∞ n=1 bị chặn (được chứng minh định kí 2.1) Mệnh đề 2.1 Cho (en )∞ n=1 sở Schauder không gian Banach X (Sn )∞ n=1 phép chiếu tự nhiên liên kết với Khi sup Sn < ∞ n Chứng minh Trong sở Schauder, dãy toán tử (Sn )∞ n=1 bị chặn Vì Sn (x) → x với x ∈ X, ta có sup Sn x < ∞ với x ∈ X, n theo ngun lí bị chặn sup Sn < ∞ n 13 Định nghĩa 2.3 Nếu (en )∞ n=1 sở khơng gian Banach X K = sup Sn gọi số sở Trong trường hợp đặc biết K = n sở (en )∞ n=1 gọi sở đơn điệu Nhận xét 2.1 Chúng ta thay đổi chuẩn không gian Banach X với sở chuẩn mà có số sở đơn điệu Đặt | x | = sup Sn x n≥1 Khi x ≤ | x | ≤ K x , chuẩn tương đương với chuẩn cũ xác minh | Sn | = với n ∈ N Kết xác lập phương pháp để xây dựng sở không gian Banach X với điều kiện ta có họ ánh xạ có tính chất dãy tổng riêng toán tử Mệnh đề 2.2 Giả sử Sn : X −→ X, n ∈ N dãy ánh xạ tuyến tính bị chặn không gian Banach X cho (i) dim Sn (X) = n với n; (ii) Sn Sm = Sm Sn = Smin{m,n} với số tự nhiên m n; (iii) Sn (x) → x với x ∈ X Khi dãy véctơ khác khơng X chọn quy nạp cho e1 ∈ S1 (X) ek ∈ Sk (X) −1 Sk−1 (0) k ≥ dãy sở X với dãy tổng riêng (Sn )∞ n=1 Chứng minh Cho = e1 ∈ S1 (X) xác định e∗1 : X −→ R e∗1 (x) = S1 (x) Sau chọn = e2 ∈ S2 (X) S1−1 (0) xác định hàm e∗2 : X −→ R e∗2 (x)e2 = S2 (x) − S1 (x).Điều mang đến cho phương pháp quy nạp để rút sở hàm song trực giao Với só nguyên n, ta chọn = en ∈ Sn (X) −1 Sn−1 (0) xác định e∗n : X −→ R e∗n (x)en = Sn (x) − Sn−1 (x) Khi |e∗n (x)| = Sn (x) − Sn−1 (x) en −1 ≤ sup Sn en −1 x n e∗n ∈ X ∗ Trực tiếp kiểm tra thấy e∗k (ej ) = δkj với hai số nguyên k, j 14 Mặt khác, cho S0 (x) = với x, ta viết ∞ ∞ e∗k (x)ek (Sk (x) − Sk−1 (x)) = Sn (x) = k=1 k=1 ∞ Suy Sn (x) hội tụ tới x ∈ X Do (en )∞ n=1 sơ (Sn )n=1 dãy tổng riêng Định nghĩa 2.4 Một dãy (ek )∞ k=1 không gian Banach X gọi dãy sở sở [ek ], khơng gian bao tuyến tính đóng (ek )∞ k=1 Ta nhận dãy sở phần quan trọng lí thuyết không gian Banach Để nhận biết dãy phần tử khơng gian Banach có phải dãy sở hay không ta sử dụng tiêu chuẩn Grunblum sau: Mệnh đề 2.3 Một dãy (ek )∞ k=1 phần tử khác không không gian Banach X sở có số dương K cho m n ak e k ≤ K k=1 ak e k (2.1) k=1 với dãy vơ hướng (ak ) số ngun m, n cho m ≤ n Chứng minh Giả sử (ek )∞ k=1 sở cho SN : [ek ] −→ [ek ] , N = 1, 2, , phép chiếu tổng riêng Khi đó, m ≤ n ta có m n ak ek ) ≤ sup Sm ak ek = Sm ( k=1 n m k=1 ak e k , k=1 nên (2.1) cố định với K = sup Sm m Ngược lại, cho E không gian tuyến tính (ek )∞ k=1 sm : E −→ [ek ]m k=1 tốn tử có hạng hữu hạn xác định min(m,n) n sm ( aj e j ) = k=1 ak e k m, n ∈ N k=1 Mỗi sm mở rộng tới Sm : [ek ] −→ [ek ]m k=1 với Sm = sm ≤ K 15 Chú ý với x ∈ E ta có Sn Sm (x) = Sm Sn (x) = Smin(m,n) (x), m, n ∈ N (2.2) (2.2) cố định x ∈ [en ] Sn x → x với x ∈ [en ] tập {x ∈ [en ] : Sm (x) → x} đóng chứa E Mệnh đề 2.3 phát biểu (ek ) sở [ek ] với tổng riêng phép chiếu (Sm ) 2.2 Chuỗi Fourier Một số không gian Banach cổ điểm kèm với sở tự tự nhiên cho trước, ví dụ không gian lp cho ≤ p < ∞ c0 có sở tắc cho dãy en = (0, 0, , 0, 1, 0, ) Cho đường tròn đơn vị T = {z ∈ C : |z| = 1} Kí hiệu phần tử đơn vị T eiθ ta xác định khơng gian CC (T ) hàm phức liên tục T với khơng gian hàm tuần hồn 2π R Lưu ý phạm vi chuỗi Fourier, không gian phức xem xét tự nhiên không gian thực Với n ∈ Z cho en ∈ CC (T ) hàm cho en (θ) = einθ Câu hỏi ta muốn giải liệu chuỗi (e0 , e1 , e−1 , e2 , e−2 , ) theo thứ tự có sở CC (T ) hay không Trong thực tế, ta thấy không Đây kết cổ điển phân tích chuỗi Fourier, nghĩa có hàm liên tục f mà chuỗi Fourier khơng hội tụ Cụ thể có hàm liên tục chuỗi Fourier không hội tụ điểm Du Bois - Reymod Chúng ta chứng minh điều Trước hết ta chứng minh [en ]n∈Z = CC (T ) Hệ số Fourier f ∈ CC (T ) xác định công thức π f (t)e−int f (n) = dt , 2π n∈Z −π Hàm tuyến tính e∗n : CC (T ) −→ C, giao dãy (en )n∈Z f → e∗n (f ) = f (n) hàm song trực 16 ∞ f (n)e−inθ Chuỗi Fourier hàm f có dạng −∞ Với số nguyên n cho Tn : CC (T ) −→ CC (T ) toán tử n f (k)ek , Tn (f ) = k=−n tổng riêng thứ n chuỗi Fourier Khi đó, n θ+π f (t)eik(θ−t) Tn (f )(θ) = k=−nθ−π π n eikt f (θ − t) = −π π = −π dt 2π k=−n dt 2π sin(n + 12 )t dt f (θ − t) 2π sin 2t sin(n + 21 )t Hàm Dn (t) = biết đến hạt nhân Dirichlet sin 2t Ta xét toán tử An = (T0 + + Tn−1 ), n n = 2, 3, Khi π An f (θ) = n f (θ − t) −π π = n −π Hàm n−1 k=0 sin(k + 21 )t dt 2π sin 2t sin( nt ) dt f (θ − t)( ) 2π sin 2t sin( nt 2) Fn (t) = ( ) n sin 2t 17 gọi hạt nhân Fejer Chú ý π π Dn (t) dt = 2π Fn (t) dt = 2π −π −π Tuy nhiên điều quan trọng hàm Fn dương hàm Dn khơng Bây cần f ∈ CC (T ) An f − f → Khi f hàm liên tục đều, cho trước > ta chọn < δ < π cho |θ − θ | < δ thỏa mãn |f (θ) − f (θ )| ≤ Khi đó, với θ ta có π An f (θ) − f (θ) = Fn (t)(f (θ − t) − f (θ)) dt 2π −π Do δ dt Fn (t) + 2π An f − f ≤ f Fn (t) dt 2π δ δ cho với hữu hạn dãy vô hướng khác không (ai )∞ i=1 ta có ∞ C −1 ∞ ∞ y i ≤ i=1 xi ≤ C i=1 y i (2.3) i=1 ∞ Nếu C = dãy sở (xn )∞ n=1 (xn )n=1 gọi tương đương đẳng cấu Sự tương đương dãy sở (hay đặc biệt sở) trở thành phương pháp cho việc nghiên cứu cấu trúc đẳng cấu không gian Banach Chúng ta xem xét dạng đặc biệt dãy sở: Định nghĩa 2.6 Cho (en )∞ n=1 sở không gian Banach Giả sử (pn )∞ n=1 một dãy tăng ngặt số tự nhiên p0 = ∞ vô hướng (an )∞ n=1 Khi đó, dãy véctơ khác khơng (un )n=1 X có dạng pn un = aj e j j=pn−1 +1 gọi dãy sở khối (en )∞ n=1 21 Bổ đề 2.1 Giả sử (en )∞ n=1 sở không gian Banach X với ∞ số sở K Cho (uk )∞ k=1 dãy sở khối (en )n=1 Khi đó, (uk )∞ k=1 dãy sở với số sở nhỏ K pk aj ej , k ∈ N dãy sở khối Chứng minh Giả sử uk = j=pk−1 +1 (en )∞ n=1 Khi đó, vơ hướng (bk ) số tự nhiên m, n với m ≤ n ta có pk m m bk bk uk = j=pk−1 +1 pk k=1 m k=1 aj e j = b k aj e j k=1 j=pk−1 +1 pm = cj = aj bk pk−1 + ≤ j ≤ pk cj ej , j=1 pn ≤K cj ej j=1 n =K bk uk k=1 Định nghĩa 2.7 Một dãy sở (xn )∞ n=1 X gọi đầy đủ bao đóng [xn ] khơng gian đầy đủ X Nhận xét 2.2 Giả sử (xn )∞ n=1 dãy sở đầy đủ không gian Banach ∗ X Cho Y = [xn ] P : X → Y ánh xạ Nếu (x∗n )∞ n=1 ⊂ Y hàm song trực giao liên kết với (xn )∞ n=1 , từ định lí Hahn - Banach ta thu ∗ ∗ dãy song trực giao (x∗n )∞ n=1 ⊂ X cho xn mở rộng x∗n tới X với chuẩn khơng đổi Nhưng ta có phép chiếu P , ta mở rộng x∗n tới tồn X việc đặt u∗n = x∗n ◦ P Khi với x ∈ X ta có ∞ u∗n (x)xn = P (x) n=1 ∗ ∗ Ngược lại, ta lấy dãy (u∗n )∞ n=1 ⊂ X cho un (xm ) = δnm ∞ chuỗi n=1 u∗n (x)xn hội tụ đến x ∈ X khơng gian [xn ] đầy 22 ∞ đủ xác định ánh xạ X → [xn ], x → u∗n (x)xn n=1 Định nghĩa 2.8 Cho X Y không gian Banach Ta nói hai dãy ∞ (xn )∞ n=1 ⊂ X (yn )n=1 ⊂ Y tương đẳng (X, Y ) có tốn tử khả nghịch T : X → Y cho T (xn ) = yn với n ∈ N Khi (xn ) (yn ) thỏa mãn điều kiện trường hợp đặc biệt X = Y ta nói đơn giản chúng tương đương ∞ Giả sử (xn )∞ n=1 ∈ X (yn )n=1 ∈ Y tương đương (X, Y ) Toán tử T từ X vào Y tồn định nghĩa trước bào tồn tính chất đẳng ∞ ∞ cấu (xn )∞ n=1 Ví dụ (xn )n=1 sở X (yn )n=1 sở Y ; K số sở (xn )∞ n=1 số sở (yn )∞ n=1 K T T −1 Một kết từ năm 1940 (xn )∞ n=1 dãy sở không gian Banach X (yn )∞ n=1 dãy sở khác X để xn − yn → ∞ (yn )∞ n=1 (xn )n=1 tương đương Định lý 2.4 Cho (xn )∞ n=1 dãy sở không gian Banach X với số sở K Nếu (yn )∞ n=1 dãy X cho ∞ 2K n=1 xn − yn =θ 0, (ii) lim e∗k (xn ) = với k ∈ N n→∞ ∞ Khi (xn )∞ n=1 chứa dãy (xnk )k=1 tương đương với dãy sở ∞ khối (yk )∞ k=1 (en )n=1 Hơn nữa, với > ta chọn (nk )∞ k=1 cho (xnk )∞ k=1 có số sở khơng vượt q K + Đặc biệt ta có kết tương tự (xn )∞ n=1 hội tụ yếu đến không hội tụ theo chuẩn Chứng minh Cho α = inf n xn > K số sở dãy (en )∞ n=1 Giả sử < ν < 41 Chọn n1 = 1, r0 = Tồn r1 ∈ N cho xn1 − Sr1 xn1 < να 2K 24 Ở đây, Sm dãy tổng riêng thứ m sở (en )∞ n=1 Ta biết lim |Sr1 xn = có n2 > n1 để n→∞ Sr1 xn2 ν 2α < 2K Chọn r2 > r1 cho ν 2α < 2K xn2 − Sr2 xn2 Như trên, lim Sr2 xn = 0, tồn n3 > n2 cho n→∞ Sr2 xn3 < ν 3α 2K Theo cách này, ta dãy (xnk )∞ k=1 ⊂ X dãy số tự nhiên (rk )∞ k=1 với r0 = cho Srk−1 xnk νkα , < 2K xnk − Srk xnk νkα < 2K Với k ∈ N, chọn yk = Srk xnk − Srk−1 xnk (yk ) dãy sở khối sở (en ) Do đó, theo bổ đề 2.1, (yk ) dãy sở với số sở nhỏ K Chú ý với k yk − xnk yk > α − νkα < , K να ≥ (1 − ν)α K Khi ∞ 2K k=1 yk − x n k < 2(1 − ν)−1 yk ∞ k=1 ν k = 2ν(1 − ν)−2 < Theo định lí 2.4, (xnk ) dãy sở tương đương với (yk ) Khi ν nhỏ tùy ý, ta đặt số sở cho (xnk ) gần sát K tùy ý Ngoài ra, (yk ) đầy đủ X (xnk ) Kết luận Khóa luận trình bày cách hệ thống sở dãy sở không gian, tương đương sở dãy sở Một số tính chất chuỗi Fourier trình bày khóa Hy vọng khóa luận tài liệu tham khảo cho bạn đọc quan tâm đến vấn đề Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Phụ Hy (2006), Giáo trình Giải tích hàm, Nhà xuất Khoa học kĩ thuật [2] Fernando Albiac and Nigel J Kalton (2006), Topic in Banach Space Theory, Springer ... định chuẩn, Banach, Hilbert Chương Trình bày sở dãy sở Nội dung chương trình bày số khái niệm vè sở dãy sở, nêu ví dụ dãy Fourier, tương đương sở dãy sở Do thời gian thực đề tài khơng nhiều, kiến... gọi dãy sở khối (en )∞ n=1 21 Bổ đề 2.1 Giả sử (en )∞ n=1 sở không gian Banach X với ∞ số sở K Cho (uk )∞ k=1 dãy sở khối (en )n=1 Khi đó, (uk )∞ k=1 dãy sở với số sở nhỏ K pk aj ej , k ∈ N dãy. .. gian C[0, 1] CC (T ) có sở đơn điệu Hệ hàm mũ (1, eiθ , e−iθ , ) sở CC (T ) 2.3 Sự tương đương sở dãy sở Nếu ta chọn sở không gian véctơ hữu hạn chiều ta chọn hệ tọa độ Cơ sở không gian Banach vô