a) Ñoà thò haøm soá lieân tuïc treân moät khoaûng laø ñöôøng lieân tuïc treân khoaûng ñoù. a) Toång, hieäu, tích, thöông cuûa hai haøm soá lieân tuïc taïi moät ñieåm laø nhöõng haøm soá[r]
(1)HAØM SỐ LIÊN TỤC
GVBM : ĐOÀN NGỌC DŨNGI HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM
Định nghĩa : Giả sử hàm số f xác định khoảng (a ; b) x0 (a ; b) Hàm số f gọi liên tục điểm x0 xlimx f
x f x00
Nếu điểm x0 hàm số y = f(x) khơng liên tục hàm số gọi gián đoạn x0 điểm x0
được gọi điểm gián đoạn hàm số y = f(x)
Nhớ : Một hàm số gọi liên tục điểm x0 đồng thời thỏa mãn điều kiện sau:
1) f(x) xaùc định x0 2)
0
xlim f (x)x tồn 3) xlimx0f
x f x0Nhớ : Nếu sử dụng bên :
1) Neáu
0
xlim f (x)x tồn vàxlim f xx0
f x0 hàm số gọi liên tục bên trái điểm x02) Neáu
0
x x
lim f (x)
tồn
0
x x
lim f x f x
hàm số gọi liên tục bên phải điểm x0
3) Hàm số y = f(x) liên tụa điểm x0
0
0 x x
x x x x
lim f x lim f x lim f x
Ví dụ : Chứng minh hàm số f(x) = x4 – x2 + liên tục R
Hàm số f(x) = x4 – x2 + hàm số đa thức xác định R nên liên tục R
Ví dụ : Chứng minh hàm số f(x) =
2
1
x
liên tục (–1 ; 1)
f(x) xác định – x2 > –1 < x <
hàm số f(x) =
2
1
x
xác định khoảng (–1 ; 1)
x0 (–1 ; 1), ta coù : f(x )
x
1 x
1 lim ) x ( f
lim 0
2
x x x
x 0 0
Vậy hàm số f(x) liên tục điểm x0 Do f(x) liên tục khoảng (–1 ; 1)
Ví dụ : Chứng minh hàm số f(x) =
2
8 x liên tục [–2 ; 2]
f(x) xác định – 2x2 –2 x
hàm số f(x) =
2
8 x xác định [–2 ; 2]
x0 (–2 ; 2), ta coù : lim f(x) lim 2x2 2x20 f(x0)
x x x
x 0
Vậy hàm số liên tục khoảng (–2 ; 2) Mặt khác, ta có : lim f(x) lim 2x2 2.( 2)2 f( 2)
) ( x )
2 ( x
lim f(x) lim 2x2 2.22 f(2)
2 x
x
Do hàm số f(x) liên tục đoạn [–2 ; 2]
DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Phương pháp : Để xét tính liên tục hàm số điểm, ta thực bước sau :
Bước : Tính f(x0)
Bước : Tính lim f(x)
0
x
x
Bước : Nếu lim f(x)
0
x
(2)Còn lim f(x)
0
x
x f(x0) hàm số f(x) không liên tục x0
Ví dụ : Xét tính liên tục hàm số : f(x) =
1) x
) x (
1 ( x2
taïi điểm x = –1 Giảiï : Ta có :
f(–1) =
limf(x) lim(x2 1)
1 x
x
Vì limf(x) f( 1)
1
x nên hàm số f liên tục điểm x = –1
Ví dụ : Xét tính liên tục hàm số : f(x) =
1) x x
) x (
1 (
x2 tại điểm x =
Giảiï : Ta có : f(1) =
limf(x) lim(x2 1)
1 x
x
limf(x) lim(x 1)
1 x
x
Vì limf(x) limf(x)
1 x
x
nên hàm số f không liên tục điểm x = (Hàm số f gián đoạn điểm x = 1)
Ví dụ : Xét tính liên tục hàm số sau:
3
2
x x
hi x
x
f x hi x
4
x 5x 2x 10
hi x
18x 216x 630
k k k
x0 = ; x0 = 10
Hướng dẫn: Tại x0 = 10
f(10) =
5
x 10 x 10
4
lim f(x) = lim =
5
x 3
x 1
x 5
Do
x 10
4 f(10) = lim f(x) =
5 nên hàm số liên tục x0 = 10
Tại x0 =
f(5) =
4
2
+ + +
x x x
x x
lim f(x) = lim = lim
x x
x
x
x x 3+ -1
2
+ +
x x
x 7x +10 x
= lim = lim =
4 x + x -1 x
x 3+
x1
3 2
- -
-x x x
x 5x + 2x 10 x +
lim f(x) = lim = lim =
x
18 18x + 216x 630
Do
+
-x 5lim f(x) = lim f(x) = f(5)x nên hàm số liên tục x0 =
Ví dụ : Định a để hàm số
4
3
2
13 36
3
3
12
x x
khi x
f x x x x
ax khi x
(3) Hướng dẫn: f
3 9a12
4
3
3
13 36
lim lim
3
x x
x x
f x
x x x
2
2
9
lim
3
x
x x
x x
3
3
lim
1
x
x x
x
Hàm số f(x) liên tục điểm x 3
Ûlimx®-3f x
( )
= f( )
-3 9a12 3 aVậy vớia1 hàm số liên tục điểm x 3
Ví dụ : Cho hàm số
2
2
4
( 1)
( ) ( 1)
3 ( 1)
x x
a x
x
f x b x
x ax b x
Tìm a b để hàm số f x( ) liên tục điểm x1
Hướng dẫn: f(1)3b2
2
1 1
4
lim ( ) lim lim
1
x x x
x x
f x a a x a
x
1
lim ( ) lim 3
x f x x x ax b a b
Hàm số f x( ) liên tục điểm x1
1
lim ( ) lim ( ) (1)
x x
f x f x f
2 3
a b
a b b
7
a b
Vậy với a = b = hàm số liên tục điểm x =
Ví dụ : Cho hàm số
0
4 sin
0 18
0
6 cos
3
2
x x
x x a
x x x
x
x f
neáu neáu neáu
Chứng minh f liên tục bên phải x = Định a để f liên tục x = Hướng dẫn:
f(0) = 18
18
03 sin lim
sin lim
cos lim lim
2
0
2
0
0
f x
x x
x x
x x
f
x x
x x
Hàm f liên tục phải x =
a x x
x sin a lim x
4 x
x sin a lim x f lim
0 x
0 x
x
Hàm f liên tục x = 18
2 a
a = 36
Nhớ :
x x sin lim
0
x hệ : u(x)
) x ( u sin lim
a
x ; sinx
x lim
0
x ; x
x tan lim
0
x
Ta coù:
2
2 2
2
2
x x x x x
sin 3x sin 3x sin 3x sin 3x
lim f x lim lim lim lim 1.9
x 9x 3x 3x
(4)
BÀI TẬP
VẤN ĐỀ : Hàm số liên tục điểm BAØI : Chứng minh hàm số :
1) f(x) = 2) x ( 2) x ( x x x 2
liên tục taïi x = 2) f(x) =
1) x ( ) x ( x x 1
gián đoạn x =
BÀI : Xét tính liên tục hàm số sau điểm cho trước :
1) f(x) = ) x ( 2x 2) x (
x2 taïi x = 2)
x với x x với x x x x f
taïi x = 1
3) f(x) = ) x 2) x ( ( x x 10 x
taïi x = –2 4)
1 2x 3
x x
2 x
f x
1 x
x = 2, x =
5) f(x) =
x x 2 x x
taïi x = 2, x = 6) f(x) =
2) x ( x 3) x ( 3) x (2 x x x x
taïi x = 3; x =
7) f(x) =
x
x
taïi x = 8) f(x) = (x 2) x 4x
2
taïi x =
BÀI : Xét tính liên tục hàm số sau :
1) f(x) =
) ) 1 x x2 x ( a x (
taïi x = 2)
32x2 2xf x 2x 6
a x
với x với
taïi x =
3) f(x) =
x 3x ) (x x x2 2taïi x = –2; x = 4)
x 25 x x x 5 x x f neáu
x =
BÀI : Tìm a để hàm số f(x) =
0) (x x x x 0) (x x x a
liên tục điểm x =
BÀI : Tìm m để hàm số
x x x m x x x x x f neáu neáu
liên tục x0 =
BÀI : Tìm m để hàm số
2 2
5 10
,
( )
11
, 16
x x x
x x
f x
x mx x
(5)BÀI : Tìm m để hàm số
3 x hi x
3 26 m
3 x hi
x
9 x x
f
2
k k
liên tục x =
BÀI : Tìm a b để hàm số
3
ax 2b hi x
ax 9a
f x hi x
x
12 hi x
k k k
liên tục x =
BÀI : Tìm m, n để hàm số
2 x n x
1 x
2 x n
mx
2 x x x
8 x x
f
3
3
liên tục x =
BÀI 10 : Định a, b để hàm số
2
x x
a 2b x
x
f x x
x
a 2b x
12 x
liên tục x =
BAØI 11 : Định a để hàm số f(x) =
1 x , a
3 x a
1 x ,
x x
4 x x x
2
2
liên tục x0 =
BÀI 12 : Tìm giá trị m để hàm số :
5
1
( )
1
x x
x x
y f x
m x mx x
với với
liên tục x =
BÀI 13 : Tìm giá trị m để hàm số : f(x) =
1) (x
1) (x
1) (x
2 x
4 x ) m (
3 mx
1 x
3 x x
2
3
liên tục x =
BÀI 14 : Tìm giá trị m để hàm số :
2
2
12 x 2
hi x 12 3x
1
f x hi x
4
x
hi x x 2(m 1)x 4m
k k k
liên tục x =
BÀI 15 : Tìm giá trị a để hàm số :
2
2
ax (a 2)x
hi x
f x x
8 a hi x
k k
(6)BÀI 16 : Tìm giá trị m để hàm số :
3
4
,
2
,
1 x x
x khi x x
f x
x x m
khi x x
liên tục x2
BÀI 17 : Cho hàm soá
3
2
1 x ax
x x
f x x
tan x sin x
b x
2 cos x
neáu neáu neáu
a) Định a để f liên tục trái x = b) Định a b để f liên tục x =
BÀI 18 : Tìm a b để hàm số
0 x x
3 x sin b
0 x a
0 x x
x x x x
x f
neáu nếu
liên tục x0 =
II HAØM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT KHOẢNG, TRÊN MỘT ĐOẠN
Định nghóa :
a) Hàm số y = f(x) gọi liên tục khoảng (a ; b) liên tục điểm khoảng (a ; b) b) Hàm số y = f(x) gọi liên tục đoạn [a ; b] liên tục khoảng (a ; b) phải thỏa mãn limf
x f aa
x (liên tục bên phải điểm a) xlimbf
x f b (liên tục bên trái điểm a) Ví dụ 10 : Xét tính liên tục hàm số :
x ) x (
f đoạn [–1 ; 1]
Giảiï : Ta có :
Hàm số cho xác định đoạn [–1 ; 1]
x0 (–1 ; 1), ta coù : limf
x lim x lim x20 f(x0)x x x
x x
x 0
nên hàm số f liên tục khoảng (–1 ; 1)
Mặt khác:
f(–1) =
lim f
x lim x2 f( 1)) ( x )
1 (
x
limf
x lim x2 f(1)1 x
x
Do hàm số cho liên tục đoạn [–1 ; 1] Ví dụ 11 : Xét tính liên tục hàm số :
1) x
2x
) x (
1 ( x
x3 tập xác định
Giảiï :
Tập xác định hàm số D = R
Trên khoảng (– ; 1), f(x) = 2x + hàm đa thức nên liên tục
Trên khoảng (1 ; +), f(x) = x3 + x + hàm đa thức nên liên tục
Tại điểm x0 = 1, ta có :
f(1) =
3 ) x x ( lim ) x ( f
lim
1 x
x
vaøxlim1 f(x) xlim1 (2x 4)
(7)Vì limf(x) limf(x)
1 x
x
neân limf(x)
1
x không tồn nên hàm số f(x) không liên tục điểm x0 =
Kết luận : Hàm số f(x) cho liên tục (– ; 1) (1 ; +) gián đoạn điểm x0 =
Chú ý : Tính liên tục hàm số nửa khoảng [a ; b) , (a ; b] , [a ; +) , ( ; b] , định nghĩa
tương tự tính liên tục hàm số đoạn Nhận xét :
a) Đồ thị hàm số liên tục khoảng đường liên tục khoảng
a) Tổng, hiệu, tích, thương hai hàm số liên tục điểm hàm số liên tục điểm (trong trường hợp thương giá trị mẫu điểm phải khác 0)
b) Hàm đa thức hàm phân thức hữu tỉ liên tục tập xác định chúng (tức liên tục điểm thuộc tập xác định chúng)
Định lý : Các hàm số lượng giác y = sinx; y = cosx ; y = tanx y = cotx liên tục tập xác định
chuùng
BÀI TẬP
VẤN ĐỀ : Hàm số liên tục khoảng, đoạn BAØI 19 : Chứng minh hàm số f(x) =
( x 2)
7 x
2
x x (x )
2 x2
liên tục khoảng (–7 ; +)
BÀI 20 : Tìm khoảng, nửa khoảng mà hàm số
2 x x
2 x
2 x
x x x f
2
liên tục
VẤN ĐỀ : Hàm số liên tục R BAØI 21 : Tìm giá trị a để hàm số f(x) =
) x a
ax
) x
2 (
2 ( x x
2 x x
2
liên tục R
BÀI 22 : Tìm giá trị a b để hàm số : f(x) =
) (x bx
) (x a
) (x
2 2
x
2 x x
3
liên tục toàn trục số
BÀI 23 : Tìm số thực a cho hàm số f(x) =
x neáu x a
2 x neáu x
a2
liên tục R - -
Các em xem làm ví dụ trước làm tập
Sau xem giải
(8)HƯỚNG DẪN GIẢI VẤN ĐỀ : Hàm số liên tục điểm
BÀI : Xét tính liên tục hàm số sau điểm cho trước :
1)
f(x) =
2) x (
2) x ( x
x x
2
2
liên tục điểm x = Hướng dẫn :
f(2) =
2
x x x x
x 3x (x 1)(x 2)
lim f (x) lim lim lim(x 1)
x x
Vì
x
lim f (x) f (2)
nên hàm số f liên tục điểm x =
2)
f(x) =
1) x (
) x ( x x
1
1
3
gián đoạn điểm x = Hướng dẫn :
f(1) =
3
2
x x x x
x (x 1)(x x 1)
lim f (x) lim lim lim(x x 1)
x x
Vì
x
lim f (x) f (1)
nên hàm số f gián đoạn điểm x =
BAØI : Xét tính liên tục hàm số sau điểm cho trước :
1)
f(x) =
) x ( 2x
2) x (
2
4
x2 điểm x =
Hướng dẫn : f 2
5
xlim f x2 xlim 2x 12 5 f
x x
lim f x lim (x 4)
Vì
x x
lim f (x) lim f (x)
nên lim f (x)x2 không tồn nên hàm số f(x) không liên tục điểm x0 =
2)
1 x với
x
1 x với
x x x x f
3
x = 1 Hướng dẫn :
f(1) = 4.(1) + =
lim f
x lim
4x 9
11 x
x
lim
2x 2x 1
21 x
1 x x x lim
x x x lim x
f
lim
1 x
1 x
1 x
x
Từ (1) (2) lim f
x lim f
x limf
x f
11 x
x
x
3)
f(x) =
) x
1
2) x
2 (
(
x
4 x 10 x
điểm x = –2 Hướng dẫn :
f(–2) =
(9)
) x 10 x )( x (
16 x x lim
) x 10 x )( x (
) x ( ) 10 x ( lim
x
4 x 10 x lim ) x ( f lim
2
x 2
x
x
x
f( 2)
4 x 10 x
) x ( lim
) x 10 x )( x (
) x )( x ( lim
2 x
x
Vì limf(x) f( 2)
2
x nên hàm số f liên tục điểm x = –2
4)
f(x) =
2) x (
2) x ( x x
3
điểm x = 2; x = Tại x0 = 2, ta coù :
f(2) =
2x f
22 lim x x
x 2 lim
3 x x
3 x lim x
2 x lim x f lim
2 x
x
x
x
x
Vậy hàm số f(x) liên tục x0 =
Tại x0 = 3, ta coù :
f
3x
3 x lim x f lim
3 x
x
hàm số f(x) liên tục x0 =
5)
f(x) =
2 x
x 2
x
2 x
3
điểm x = 2, x = Hướng dẫn :
Taïi x = :
3
0 4 f
2
3
x x
x 4
lim f x lim f (0)
x 2
Vì
x
lim f (x) f (0)
neân hàm số f liên tục điểm x =
Taïi x = : f 2
3
3 2
3
2 2
x x x 3 2 x 3
x x x
lim f x lim lim lim f (2)
x (x 2) (x 4) 2 x 4 4 (x 4) 2 x 4 4 12
Vì
x
lim f (x) f (2)
nên hàm số f liên tục điểm x =
6)
f(x) =
2) x ( x
3) x (
3) x (2
2 x x
1 x
1 x
2
tại điểm x = 3; x =
Hướng dẫn : Tại x = : f(3) =
2
x x x x
x x 1
lim f x lim lim lim
x x x x 2
(10)Vì
x
1 lim f (x) f (3)
2
nên hàm số f liên tục điểm x =
Taïi x = :
f(2) = 2 1
2
x x
x 1
lim f x lim
x
2
x x x x
x 3x (x 1)(x 2)
lim f x lim lim lim (1 x)
(x 2) (x 2)
Vì
xlim f (x)2 xlim f (x)2 nên hàm số f không liên tục điểm x =
Vậy hàm số cho liên tục x = không liên tục điểm x =
7)
f(x) = xx
điểm x =
Hướng dẫn :
Haøm số viết thành:
x
(
x 1 x
f (x)
x x
( x
x ) x < )
f 0
0
x x
x
lim f x lim
1 x
x x
x lim f x lim
1 x
Vì
x x
lim f (x) lim f (x) f (0)
nên hàm số f liên tục điểm x =
8)
f(x) = (x2) x2 4x4 điểm x =Hàm số viết thành : 2
f (x)(x 2) x 4x 4 (x 2) (x 2) (x 2) x 2
f 2
0
xlim f x2 xlim (x 2) x 22 xlim (x 2)2 0
x x x
lim f x lim (x 2) x 2 lim[ (x 2) ]
Vì
x x
lim f (x) lim f (x) f (2)
nên hàm số f liên tục điểm x =
BÀI : Xét tính liên tục hàm số sau điểm cho trước :
1)
f(x) =
)
) 1
x x2
x ( a
x (
điểm x =
Hướng dẫn : f(1) = a
lim(x 1)
1 x
) x )( x ( lim x
1 x lim ) x ( f lim
1 x
x x
x
_ Nếu a = limf(x) f(1)
1
x Do f(x) liên tục x =
_ Neáu a limf(x) f(1)
1
(11)2)
3
2x 2x
3
f x 2x 6
a x
với x với
x = Hướng dẫn :
f(3) = a
2 2
3
3 x
3
3 x
x
9 x x x x x
9 x x lim
6 x
9 x x lim x f lim
2 2
2
3 x
9 x x x x x
720 x 486 x
106 x lim
2 2
2
x
3
2
3
2
x
9 x x x x
120 x 41 x lim
9 x x x x x
240 x 82 x x lim
9 11 27 33
Do : 11
a hàm số liên tục x0 =
9 11
a hàm số f không liên tục x0 =
3)
f(x) =
2 x 3x
) (x
2 x x2
2
điểm x = –2; x = Hướng dẫn :
Hàm số viết thành :
2 x x x
2 x neáu
2 x neáu x
2 x f
2
Tại x0 = 2
Hàm số f(x) không xác định nên không liên tục Tại x0 = 2, ta coù :
f
2 5 limf
x lim2x2 f
22 x
x
limf
x lim
3x 1
f
22 x
x
f(x) liên tục bên phải không liên tục bên trái điểm x0 = f(x) không liên tục x0 =
4)
Cho hàm số
5 x 25
x
5 x
x 5 x x
f
nếu
Xét tính liên tục hàm số f(x) x = Hướng dẫn:
5 25 10
f
2 10
4 5
4 5 x
4 lim
5 x x
20 x lim
5 x
5 x lim x f lim
5 x
x
x
x
5 25 10 25 10 lim 25
x lim x f lim
5 x
x
x
Do limf
x limf
x f5 x
(12)BÀI : Tìm a để hàm số f(x) =
0) (x x
x x
0) (x x
x a
liên tục điểm x = Hướng dẫn :
f
0 a2
a f
02 x
x a lim x f lim
0 x
x
x x
2 lim
x x x
x lim
x x x lim x f lim
0 x
x
x
x
Vậy f liên tục x001a2a3
BÀI : Tìm m để hàm số
2 x x
2 x m
2 x
x
6 x x x f
2
neáu neáu
liên tục x0 =
Hướng dẫn: f 2
m4
lim
3 2x
2 x
3 x x lim
x
3 x 2 x lim
x
6 x x lim x f lim
2 x
x
x
2 x
x
f
24 m x
x m lim x f lim
2 x
x
Hàm số liên tục x =
4 m m f x f lim x f lim
2 x
x
BÀI : Tìm m để hàm số
2 2
5 10
,
( )
11
, 16
x x x
x x
f x
x mx x
liên tục x = –2
Hướng dẫn:
f(–2) = 53
16
m
(0,25đ)
2
11 53
lim ( ) lim ( )
16 16
x x
f x x mx m
2 2
2 2 2
2 2
5 10 10
lim ( ) lim lim
4 4 5 10
x x x
x x x x x x
f x
x x x x x
=
2
5
lim
16
2 10
x x x x x
Hàm số f(x) liên tục x = –2
2
lim ( ) lim ( ) ( 2)
x x
f x f x f
3
m
Vậy với
2
(13)BÀI : Tìm m để hàm số
3 x hi x
3 26 m
3 x hi
x
9 x x
f
2
k k
liên tục x = Hướng dẫn:
262 m
f
262 m x 26 m lim x f
lim 2
3 x
x
lim
x 3
.
2 x 1
241 x
9 x lim x f
lim3 3 3
3 x
3 x
x
Haøm số liên tục x = limf
x limf
x f3 x
x m = 2
BÀI : Tìm a b để hàm số
3
ax 2b hi x
ax 9a
f x hi x
x
12 hi x
k k k
liên tục x = Hướng dẫn:
f 9
12
xlim f x9 xlim ax 2b9 9a2b
2
3
2
3
x x x
a(x 9) (x 1) x
lim f x lim lim a (x 1) x 12a
x
Hàm số liên tục taïi x =
x x
3 9a 2b 12 b
lim f x lim f x f
12a 12
a
BÀI : Tìm m, n để hàm số
2 x n x
1 x
2 x n
mx
2 x x x
8 x x
f
3
3
liên tục x =
Hướng dẫn:
f(2) = 2m + n
limf
x 122
x
n3 x f lim
2
x
Hàm số liên tục f(x) liên tục x =
3 35 n
6 71 m
f x f lim x f lim
2 x
x
BAØI 10 : Định a, b để hàm số
2
x x
a 2b x
x
f x x
x
a 2b x
12 x
(14) Hướng dẫn : f(3) =
2b lim
a
x 2
2b
5a 2b3 x x x a lim x f lim x x
x
x x x x
x 12 x
x
lim f x lim a 2b lim a 2b lim a 12 x 2b 6a 2b
12 x
12 x
Do đó, f liên tục x =
b 44
16 a b a b a f x f lim x f lim x x
BAØI 11 : Định a để hàm số f(x) =
x , a x a x , x x x x x 2
liên tục taïi x0 =
Hướng dẫn:
f(1) = 3a
3 a2
3a3 a a x a lim x f
lim 2
1 x
x
x x lim x x lim x x x x x lim x f lim x x 2 xx
Hàm số f(x) liên tục x0 = f(1) = limf
x1
x = limx1f
x 5 a 3
a2
a a
BAØI 12 : Tìm giá trị m để hàm số :
5
1
( )
1
x x
x x
y f x
m x mx x
với với
liên tục x = Hướng dẫn:
1
f m m
2 2
1
lim ( ) lim[( 1) ]
x x
f x m m mx m m
1
5
lim ( ) lim
1 x x x x f x x
5 ( 3) lim
( 1)( 3)
x
x x
x x x
4
lim
5
x x x
Hàm số f(x) liên tục x =
1
lim ( ) lim ( ) (1)
x x
f x f x f
3 1
3 m m m m Vậy với m = hay m = –3 hàm số liên tục điểm x =
BÀI 13 : Tìm giá trị m để hàm số : f(x) =
1) (x 1) (x 1) (x x x ) m ( mx x x x 2 3
liên tục x =
Hướng dẫn :
3 m f
7 x x x x lim x x x x x x lim x x x lim x f
lim 22
1 x 2 x 3 x
x
(15)
3 m
x
4 x m lim x f
lim 2
1 x
x
Hàm số liên tục
m2 m
2 m
2 m
1 m
3 m
3 m f x f lim
1 f x f lim
x 2
1 x
1
x
BÀI 14 : Tìm giá trị m để hàm số :
2
2
12 x 2
hi x 12 3x
1
f x hi x
4
x
hi x x 2(m 1)x 4m
k k k
liên tục x =
Hướng dẫn:
24
f
2
2 2
12 2 12 2 12 1
lim lim lim lim
12 3( 2)( 2) 2 2 3( 2) 2 2
x x x x
x x
f x
x x x x x x
2
2 2
4 ( 2)( 2)
lim lim lim lim
2( 1) ( 2)( ) 2
x x x x
x x x x
f x
x m x m x x m x m m m
Haøm số f(x) liên tục x =
x x
2
lim f x lim f x f m m m
Vậy với m = hàm số liên tục điểm x =
VẤN ĐỀ : Hàm số liên tục khoảng, đoạn
Định nghóa :
a) Giả sử hàm số f xác định tập hợp J, J khoảng hợp nhiều khoảng Ta nói hàm số f liên tục J liên tục điểm thuộc tập hợp
b) Hàm số f xác định đoạn [a ; b] gọi liên tục đoạn [a ; b] liên tục khoảng (a ; c) limf
x f aa
x ; xlimbf
x f bChú ý : Tính liên tục hàm số nửa khoảng [a ; b) , (a ; b] , [a ; +) , ( ; b] , định nghĩa tương tự tính liên tục hàm số đoạn
Nhận xét :
a) Đồ thị hàm số liên tục khoảng đường liên tục khoảng
a) Tổng, hiệu, tích, thương hai hàm số liên tục điểm hàm số liên tục điểm (trong trường hợp thương giá trị mẫu điểm phải khác 0)
b) Hàm đa thức hàm phân thức hữu tỉ liên tục tập xác định chúng (tức liên tục điểm thuộc tập xác định chúng)
Định lý :
Các hàm số lượng giác y = sinx; y = cosx ; y = tanx y = cotx liên tục tập xác định chúng Phương pháp : Xét tính liên tục hàm số khoảng, đoạn
Bước : Tìm tập xác định hàm số
Bước : Xét tính liên tục hàm số hai khoảng (– ; x0) (x0 ; +)
(16)BAØI 19 : Chứng minh hàm số f(x) =
( x 2)
7 x
2
x x (x )
2 x2
liên tục khoảng (–7 ; +)
Hướng dẫn :
Nếu x > : f
x x2x4 hàm đa thức, nên liên tục khoảng
2;
Nếu 7x2, ta có
3 x
2 x x
f
(1)
2 x
y hàm đa thức nên liên tục khoảng
7;2
7 x
y hàm liên tục dương khoảng
7;2
nên hàm số y x7 liên tục khoảng
7;2
hàm số y x73 liên tục khoảng
7;2
(2)Mặt khác, x730, x
7;2
(3)Từ (1), (2), (3) suy
3 x
2 x x
f
liên tục
7;2
Tại x = :
f
2 22246
lim
x 3
2 x
3 x x lim x
2 x lim x f lim
2 x
x
x
x
limf
x lim(x2 x 4) f
22 x
x f(x) liên tục taïi x =
Vậy f(x) liên tục khoảng
7;
BÀI 20 : Tìm khoảng, nửa khoảng mà hàm số
2 x x
2 x
2 x
x x x f
2
liên tục
Hướng dẫn :
Ta có tập xác định hàm số : D = [3 ; 2) (2 ; ) x (2 ; ) vaø x (2 ; 2) f(x) =
4 x
8 x
2
xác định, nên f liên tục khoảng (2 ; 2) (2 ; )
x (3 ; 2) f(x) = 3x5 xác định, nên f liên tục (3 ; 2)
Tại x = 3, ta có : lim f
x lim
x 5
f
33 x
x
Taïi x = 2, ta coù :
*
f
22 x
4 x x lim x
8 x lim x
f
lim
2 x
3 x
x
* lim f
x lim
x 5
f
22 x
x
Hàm số không liên tục điểm x0 =
Vậy hàm số f liên tục [3 ; 2), (2 ; 2) (2 ; )
VẤN ĐỀ : Hàm số liên tục R BÀI 21 : Tìm giá trị a để hàm số f(x) =
) x a
ax
) x
2 (
2 ( x x
2 x x
2
(17)Ta coù : f(x) =
2
x 3x (x 1)(x 2) x
(
x 2x x(x 2) x
1 (
x < )
ax a x )
Hàm số f(x) liên tục khoảng (– ; 2) (2 ; +) nên f(x) liên tục R f(x) liên tục x =
f(2) = 2a + a + = 3a +
x x
x 1
lim f (x) lim
x
xlim f (x)2 xlim (ax2 a 1) 3a 1
Vậy hàm số f(x) liên tục R f(x) liên tục taïi x =
2 1 a
3 a = –
6
BÀI 22 : Tìm giá trị a b để hàm số : f(x) =
) (x bx
) (x a
) (x
2 2
x
2 x x
3
liên tục toàn trục số
Hướng dẫn :
Với x > 2, ta có :
x 2x1 x
x x x
2 x x
x x x x
f 3 2 2
f(x) hàm phân thức xác
định với x > nên liên tục x >
Với x < 2, ta có f
x bx1 hàm đa thức nên f(x) liên tục với x < Xét tính liên tục f(x) điểm x2
Ta coù : f
2 a
12 x x
1 x lim x f
lim 2
2 x
x
limf
x lim
bx 1
2b2 x
x
hàm số f(x) liên tục điểm x = liên tục R
24 11 b
12 a a b 12
1
BÀI 23 : Tìm số thực a cho hàm số f(x) =
x neáu x a
2 x neáu x
a2
liên tục R Hướng dẫn :
f(2) = 4a2
2
xlim f x2 xlim a x2 4a
limf
x lim
1 a
x 2
1 a
2 x
x
Hàm số f liên tục x = 4a2 = 2(1 – a)
a
2a a 1
a
Hiển nhiên hàm số f liên tục điểm x với a
Vậy hàm số f liên tục R a = 1 hay
2
a