on tap tcc C2 (lt 4-2013)

Câu 1. Nếu gặp dạng tương tự, ta không cần lập HPT như trên nữa sẽ mất thời gian. Ta lấy ngay các vectơ u,v,w xếp thành ma trận cột và tính định thức như trên. Vậy chon đáp án C.. Các [r]

CHƯƠNG I MA TRẬN-ĐỊNH THỨC

Câu Cho ma trận 1

A=⎛⎜⎜⎜ ⎞⎟⎟⎟⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠ Tính

3

A A 1

0 ⎛ ⎞⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ B

1 ⎛ ⎞⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ C

3 3 ⎛ ⎞⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ D Các kết sai

HD:

2 1 1 ; 1

0 1 1 1

A =⎛⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟⎟⎞⎛⎜⎜⎜ ⎟⎞⎟⎟⎟=⎜⎛⎜⎜ ⎞⎟⎟⎟⎟ A =⎜⎛⎜⎜ ⎟⎟⎞⎛⎟⎟⎜⎜⎜ ⎞⎟⎟⎟⎟=⎜⎜⎜⎛ ⎟⎟⎟⎞⎟

⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Câu Cho hai ma trận 1

A=⎛⎜⎜⎜− ⎞⎟⎟⎟⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠

3 0 B ⎛− ⎞⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ =⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜⎝ ⎠ Khẳng định sau đúng?

A B ma trận chuyển vị A

B AB xác định BA không xác định C BA xác định AB không xác định D AB BA xác định

HD: Ta có A B2 3,× 3 2× nên

( ) ( )

2, 3

AB BA

× × Vậy chọn D Câu Cho hai ma trận

2

A=⎛⎜⎜⎜ ⎞⎟⎟⎟⎟ −

⎜ ⎟

⎝ ⎠

1 0

B ⎛ ⎞⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ =⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜⎝ ⎠ Khẳng định sau đúng?

A 14

1

AB =⎛⎜⎜⎜ ⎞⎟⎟⎟⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠ B

14 1

AB =⎛⎜⎜⎜ ⎞⎟⎟⎟⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠

C 14 0

AB =⎛⎜⎜⎜ ⎞⎟⎟⎟⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠ D BA xác định AB không xác định

HD: Ta có A B2 3,× 3 3× nên

( )

AB

của ma trận A ‘nhân’ với cột ma trận B Vậy chọn đáp án C

Câu Cho ma traän

1 1

1 1 , 1

1 1 1

A B ⎛ − ⎞⎟ ⎛ − ⎞⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ =⎜ − ⎟⎟ =⎜ − − ⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟⎟ ⎜ − ⎟⎟ ⎜ ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Tích BA là:

A

0 1 0

⎛ ⎞⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜⎝ ⎠ B

0 1 0

⎛ ⎞⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜⎝ ⎠ C

1

1

1

⎛ − ⎞⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜− ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟⎟ ⎜⎝ ⎠ D

1

1

1

⎛ − ⎞⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜− ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟⎟ ⎜⎝ ⎠

HD: Thử lấy dòng 1B nhân cột 1A ta thấy kết Bỏ đáp án A, B (vì vị trí 1,1 0) Đáp án C, D khác vị trí (3,3), ta lấy dòng 3B nhân cột 3A kết Vậy chọn đáp án C

Câu Cho hai ma trận ;

1

A=⎜⎜⎜⎛ ⎟⎟⎟⎞⎟ B =⎜⎛⎜⎜ ⎟⎟⎟⎞⎟

− −

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Tìm ma trận X

thỏa XA=B

A

2

X =⎛⎜⎜⎜ ⎞⎟⎟⎟⎟

− −

⎜ ⎟

⎝ ⎠ B

4 6

X =⎛⎜⎜⎜ ⎞⎟⎟⎟⎟ −

⎜ ⎟

⎝ ⎠

C

2

X =⎛⎜⎜⎜− ⎞⎟⎟⎟⎟

− −

⎜ ⎟

⎝ ⎠ D Khơng có ma trận X

HD: thử trực tiếp đáp án ta thấy đáp án A

Câu Cho hai ma trận 1 ; 1

3

A=⎜⎛⎜⎜ − ⎞⎟⎟⎟⎟ B =⎜⎜⎜⎛− − ⎟⎟⎟⎞⎟

− −

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Tìm ma

A 1

3 2

X =⎛⎜⎜⎜ − ⎞⎟⎟⎟⎟

− −

⎜ ⎟

⎝ ⎠ B

2 1

3 2

X =⎛⎜⎜⎜ − − ⎟⎞⎟⎟⎟ −

⎜ ⎟

⎝ ⎠

C 1

3 2

T

X =⎛⎜⎜⎜ − − ⎟⎞⎟⎟⎟ −

⎜ ⎟

⎝ ⎠ D Khơng có ma trận X

HD: ta thấy cấp ma trận: A2 2×;B2 3× nên khơng có ma trận X thỏa XA=B

Câu 10 Tính định thức

5 1 2 0 4

−

Δ =

A Δ = −80 B Δ = 80 C.Δ = D.Δ =12 HD: Khai triển định thức theo cột cuối ta có

0

1

2 12

4 4

− ⎛ ⎞

− ⎟

⎜ ⎟

⎜

Δ = − = − −⎜ ⎟⎟=

⎜ ⎟

⎜⎝ ⎠

Câu 11 Tính định thức

2

0

1

m m

−

Δ = Tìm m để Δ =

A.m =2,m = B.m = −2,m = C.m = −2,m =2 D m =0

HD: Khai triển định thức theo dòng thứ hai

(

)

2

2 0

1

m m m m m

m

−

Δ = = + = ⇔ = ∨ = −

Câu 12 Tính định thức

1 1

m m

A.m > B.m <3 C.m =0 D m ≠0

HD:

1 1

1 3

1 0

m m m m

m m

Δ = = − = − > ⇔ >

−

Câu 13 Tính định thức

8

1

1 1

m

m m m

m m m

+

Δ = +

+ + +

Tìm m để

Δ <

A.m > −1 B.∀m ∈ \ C.− <1 m <0 D m ≠0 HD:

(

)

(

)

(

) (

)

2

8

1 1

1 1 1

2

1 2

0

1

m m

m m m m m m m

m m m

m

m m m m m m m

m m

+ +

Δ = + = + +

+ + +

+

= + − − = − + − −

= − − − <

Câu 16 Cho ma trận

1

2

2

m

A m

m

⎛ + ⎞⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜

=⎜ + ⎟⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟⎟

⎜⎝ ⎠

Tìm m để A khả nghịch

Câu 17 Cho ma trận

1

3 3

2 3

m

A m m

m m

⎛ + ⎞⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜

=⎜ + + ⎟⎟

⎜ ⎟

⎜ + + ⎟⎟

⎜⎝ ⎠

Tìm m để A khả nghịch

a) m ≠1 b) m ≠ −2 c) m ≠1;m ≠ −2 d) Với m HD: Tính det

( )

A , Giải bất phương trình det

( )

A ≠0 suy kết

Câu 18 Cho ma trận

1

1

1

A m m

⎛ − − ⎟⎞

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜

=⎜ − − ⎟⎟

⎜ ⎟

⎜ − − ⎟⎟

⎜⎝ ⎠

.Tìm m để A khả nghịch a) m ≠ −2 b) m ≠2 c) m ≠ −2;m ≠2 d) m tùy ý

HD: Tính det

( )

A , Giải bất phương trình det

( )

A ≠0 suy kết Câu 19 Tính hạng r(A) ma trận

1 1

2 0

1 8

A

⎛ − ⎞⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ − ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

= ⎜⎜ − ⎟⎟

⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜⎝ ⎠

1 1 1

2 0 2

1 0

3 8

1 1 1

0 2 2

0 0

0 0 17 26

A

⎛ − ⎞⎟ ⎛ − ⎞⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ − ⎟ ⎜ − − ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

=⎜⎜ − ⎟⎟→⎜⎜ ⎟⎟

⎟ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ − ⎟

⎜ ⎜

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ − ⎞⎟ ⎛ −

⎜ ⎟ ⎜

⎜ ⎟ ⎜

⎜ − − ⎟ ⎜ − −

⎜ ⎟ ⎜

⎜ ⎟ ⎜

→⎜⎜ ⎟⎟→⎜⎜

⎟

⎜ ⎟ ⎜

⎜ ⎟ ⎜

⎜ ⎟

⎜ − ⎟ −

⎜⎝ ⎠ ⎝

1 1

0 2

0

0 0 57 26

⎞⎟ ⎟⎟⎟ ⎟⎟⎟ ⎟⎟⎟ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎠

⎛ − ⎞⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ − − ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

→ ⎜⎜ ⎟

⎟⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ − ⎟

⎜⎝ ⎠

CHƯƠNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Câu Hệ phương trình tuyến tính

(

1

)

(

1

)

m x m y

x my

⎧⎪ − + − =

⎪⎪⎨

⎪ + =

⎪⎪⎩

vô nghiệm khi:

) ) 0, ) d) -1

a m = b m = m = c m = ± m =

HD: Tính det A

( )

1 2 1

(

1

)

2

m m

m m m

m

− −

= = − + = − Nếu

1

m ≠ hệ có nghiệm Vậy cịn đáp án A phù hợp Câu Hệ phương trình tuyến tính sin cos ;

cos sin

x y m

x y m

α α

α α

⎧⎪ + =

⎪⎨

⎪ − =

⎪⎩

có nghiệm khi: ) 0;

a m = α tùy ý b m) 0;≠ α tùy ý ) 2;

c m = − α tùy ý d m) ,α tùy ý HD:

sin cos

1 cos sin

α α

α − α = − ≠ suy hệ có nghiệm với

,

m α

Câu Hệ phương trình tuyến tính

(

)

2 1;

1

mx y

m x y

⎧⎪ + =

⎪⎪⎨

⎪ + + =

⎪⎪⎩

có nghiệm khi:

) ) ) d)

a m ≠ b m ∈ \ c m = m ≠ −

HD: 2

1

m

m

m + = − Ta thấy m ≠2 hệ có

nghiệm Xét m =2 ta có hpt 2 1; 3

x y

x y

⎧⎪ + =

⎪⎨

⎪ + =

⎪⎩ Dễ thấy hệ vô

Câu Hệ phương trình tuyến tính

(

)

(

)

1 2;

1

m x y m

x m y

⎧⎪ + + = +

⎪⎪⎨

⎪ + + =

⎪⎪⎩

có vơ số nghiệm khi:

) ) ) d)

a m = b m = c m = − m = −

HD: 1

(

2

)

1

m

m m m

+

= +

+ Ta thấy m ≠ −2,m ≠ hệ

có nghiệm Xét m = ta có hpt 2;

x y x y

⎧⎪ + = ⎪⎨

⎪ + =

⎪⎩ Dễ thấy hệ

vô nghiệm Vậy chọn đáp án ?

Câu Hệ phương trình tuyến tính

(

2 1

)

(

2

)

;

m x m y m

x my m

⎧⎪ + + + =

⎪⎪⎨

⎪ + =

⎪⎪⎩

vô nghiệm khi:

) ) ) d)

a m = b m = c m = m = −

HD: 2 2 2

1

m m

m m

+ +

= − Ta thấy m ≠ −1,m ≠1 hệ có nghiệm Xét m =1 ta có hpt 3 3;

1

x y

x y

⎧⎪ + =

⎪⎨

⎪ + =

⎪⎩ Dễ thấy hệ

này vô số nghiệm Vậy chọn đáp án ?

Câu Tìm nghiệm hệ phương trình tuyến tính

2

2

3

x y z

x y z

x y z

⎧⎪ + − =

⎪⎪

⎪ + − =

⎨⎪

⎪ + − =

⎪⎪⎩

) 1, 2, 1;

) , , ;

) , 3, ;

) 1, , 0;

a x y z

b x y z

c x y z

d x y z

α α α α

α α α α

α α

= = =

= + = − = ∈

= − + = − + = ∈

= − = + = ∈

HD: Có thể giải trực tiếp hệ phương pháp học Tuy nhiên, ta nên lấy đáp án thay vào hệ, đáp án thỏa chọn Chú ý có hai đáp án chọn đáp án tổng quát

Câu Định m để hệ phương trình sau có vơ số nghiệm:

2

3

4

x y z m

x y z

x y z

⎧⎪ + − = ⎪⎪

⎪− + − = ⎨⎪

⎪− − + = − ⎪⎪⎩

) ) ) d)

a m = − b m = − c m = m =

CHƯƠNG KHÔNG GIAN VECTƠ

Câu Xác định m để vectơ z =

(

2,m+4,m+1

)

là tổ hợp tuyến tính u =

(

1,2, ,

)

v =

(

3, 2,1 ,−

)

w =

(

1, 3, 0

)

) ) 1, )

a m = b m = c m tùy ý d) Khơng có giá trị m

HD: Theo định nghĩa z THTT u,v,w tồn ba số a,b,c cho z =au+bv+cw hay

(

2, 4, 1

)

(

1,2, 3

) (

3, 2,1

) (

1, 3, 0

)

3

2 4(*)

3

m m a b c

a b c

a b c m

a b m

+ + = + − +

⎧⎪ + + = ⎪⎪

⎪

⇔ ⎨⎪ − + = +

⎪ + = +

⎪⎪⎩

Ta phải tìm m cho hệ (*) có nghiệm Như ví dụ trước, ta xét định thức

1

2

3

− ≠

Nên HPT ln có nghiệm với m.Vậy ta chọn C Nếu gặp dạng tương tự, ta không cần lập HPT thời gian Ta lấy vectơ u,v,w xếp thành ma trận cột tính định thức Câu Tìm điều kiện để vectơ

(

x x x1, ,2 3

)

là tổ hợp tuyến tính

(

1,2, ,

)

(

2, 4, ,

)

(

3, 6, 7

)

u = v = w = − −

3

)

a x =x +x b x) 1 =2x2 c x)2 1 =x2 d x x x) , ,3 1 2 tùy ý HD: Xét HPT

1

2

3

1 3

2 0

5 22

a x a x

b x b x x

c x c x x

⎛ − ⎞⎛ ⎞⎟ ⎟ ⎛ ⎞⎟ ⎛ − ⎞⎛ ⎞⎟ ⎟ ⎛ ⎞⎟

⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎟

⎜ − ⎟ ⎟⎜ =⎜ ⎟⇔⎜ ⎟ ⎟⎜ =⎜ − ⎟

⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎟

⎜ ⎟⎜ ⎟⎟ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ − ⎟⎜ ⎟⎟ ⎟ ⎜ − ⎟⎟

⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Để hệ có nghiệm x2−2x1 = Vậy chon đáp án C Câu Các vectơ sau tạo thành sở \3

) (1, 2, 3);(0, 2, 3);(0, 0, 3) ) ( 1, 1,1);(1,1, 0);(2, 2,1) ) (1, 2, 3);(4, 5, 6);(7, 8, 9)

) (1, 2,1);( 2, 4, 2);(1, 0, 2)

a b c d

− −

− − −

HD: Dễ thấy đáp án A Các vectơ tạo thành ma trận dịng bậc thang có hạng nên độc lập tuyến tính Do tạo thành sở \3

Câu Các vectơ sau tạo thành sở \3? ) (4, 2, 3);(0, 2, 3);

) ( 1,1,1);(1,1, 0);(4, 2,1)

) (1, 2, 1);(4, 0, 6);(7, 2,1);(1,1, 2) ) (1,2,1, 2);( 2, 4, 2, 0);(1, 0, 2, 1)

a b c d

− −

− − − −

HD: Dễ thấy, đáp án A có vectơ nên khơng sinh \3 Ở C có vectơ nên khơng độc lập tuyến tính, D vectơ \4

nên tất tạo thành sở \3 Vậy chọn B

Câu Tìm m để vectơ sau tạo thành sở \3:

(

)

(

)

(

)

1 1, 2, , 1, , , ,1,

u = m u = m u = m

) 0; 1;

)

)

)

a m m m

b m c m d m

≠ ≠ ≠ −

≠ ≠

∀ ∈ \

HD: Ta biết không gian \n

hệ có n vectơ ĐLTT tạo thành sở \n

Vậy ta tìm m để hệ vectơ

(

1,2,

)

,

(

1, , ,

)

(

,1, 0

)

u = m v = m w = m ĐLTT xong Đáp án A Câu Các vectơ sau tạo thành sở không gian

(

)

(

)

(

)

1 2, 3, , 2,1, , 4, 6,

1

1

1

1 ) , ) , )

) , ,

a u u b u u c u d u u u

HD: sở trước hết phải ĐLTT Quan sát thấy u u1, 3 tỉ lệ với (PTTT) nên hệ vectơ B, D PTTT Đáp án C không u1

khơng sinh u2 Vậy chọn A

Câu Các vectơ sau tạo thành sở không gian

(

)

(

)

(

)

(

)

1 1, 2, 3, , 0, 2, 6, , 0, 0,1, , 1, 2, 4,

W = u = u = u = u =

1

2

1

1 ) , ) , ) , ,

) , ,

a u u b u u c u u u d u u u

HD: Quan sát nhanh vectơ khơng thấy đặc biệt Vì đáp án cho tối đa vectơ nên ta chọn đáp án C, D kiểm tra tính ĐLTT

Trước hết chọn C Lập ma trận dòng 0

⎛ ⎞⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟⎟

⎜⎝ ⎠

Ta thấy ma trận có hạng nên ĐLTT Vậy

(

)

(

)

(

)

1 1,2, 3, , 0,2, 6, , 0, 0,1,

u = u = u = sở (Đây may