Đang tải... (xem toàn văn)
My site: www.chuyenquangtrung.com.vn... My site: www.chuyenquangtrung.com.vn.[r]
(1)S GD & T BÌNH PH C KÌ THI CH N H C SINH GI I VỊNG T NH L P 12 Mơn: Tốn
Th i gian: 180 phút (không k th i gian phát ) Bài thi th nh t: 02/12/2008
Bài (5 i m)
a) Gi i ph ng trình sau: − − + = + − b) Cho hàm s = − +
− có th (C) Tìm m i nhánh c a th (C) i m M, N cho dài o n MN nh nh t
Bài (5 i m)
a) Tìm m i nghi m nguyên c a ph ng trình: + + + = + + b) Gi i h ph ng trình: + =
+ = − Bài (5 i m)
Cho tam giác ABC Trên tia i c a tia BA, CA l y i m E, F (khác B C) theo th t G i M giao i m c a BF CE
Ch ng minh r ng: + ≥ ng th c x y nào? Bài (5 i m)
a) Cho a, b, c s th c d ng Ch ng minh r ng: + +
+ + ≥
+ + + ng th c x y nào?
b) t = + + + v i n s nguyên d ng
Xét dãy s = − ó n s nguyên d ng Tính gi i h n c a dãy s =
H t
Trên ây thi HSG vòng t nh l p 12 n m h c 2008-2009 ngày thi th nh t
H ng d n + áp án s c c p nh t th i gian s m nh t Ph m V n Quý CQT
(2)S GD & T BÌNH PH C KÌ THI CH N H C SINH GI I VÒNG T NH L P 12 Mơn: Tốn
Th i gian: 180 phút (không k th i gian phát ) Bài thi th hai: 03/12/2008
Bài (5 i m)
a) Cho hàm s : = − + + +
Tìm t t c giá tr c a a hàm s có c c ti u
b) Tìm giá tr nh nh t c a m b t ph ng trình sau úng v i m i x
( + − ≥) + ( + )+ −
Bài (5 i m)
a) Ch ng minh b t ng th c: + + + ≥ + + + , v i a>0,b>0,c>0 b) Gi i ph ng trình: + − = + − + −
Bài (5 i m)
a) Cho dãy s th c a a a1; ; ; ;2 3 an c xác nh b i
1
2
1
2008
n n ,n
a
x a a − a n a n =
+ + + + = ∀ >
Tính a2008
b) Tìm t t c hàm f R: →R th a ph ng trình: f x( )2 − f y( ) (2 = +x y f x) ( )[ − f y( ) ,] ∀x y R, ∈
Bài (5 i m)
Cho hình h p ch nh t ABCD.A’B’C’D’ có ng chéo BD’ = d G i d d d1, ,2 3 l n l t kho ng cách t A, A’, D n ng th ng BD’
a) Ch ng minh r ng d d d1, ,2 3 dài ba c nh c a m t tam giác ó b) Tính th tích kh i h p ch nh t ABCD.A’B’C’D’ theo d d d d, , ,1 2 3
H t
Trên ây thi HSG vòng t nh l p 12 n m h c 2008-2009 ngày thi th hai
H ng d n + áp án s c c p nh t th i gian s m nh t Ph m V n Quý CQT
(3)H NG D N ÁP ÁN THI H C SINH GI I MƠN TỐN L P 12
T NH BÌNH PH C N M H C 2008-2009
Ngày thi th nh t Bài (5 i m)
a) Gi i ph ng trình sau: − − + = + −
Gi i
+) PT ⇔ + + + + + − + − = + −
+) t = + + − = ⇔ − + + + = ⇔ =
= + −
+) V i u = v ta có + − = + − − + = =
− +
⇔ − + − = ⇔ =
− − =
KL: Ph ng trình có t p nghi m T = − + − −
b) Cho hàm s = − +
− có th (C) Tìm m i nhánh c a th (C) i m
M, N cho dài o n MN nh nh t
(D quá). áp s + + − − − +
Bài (5 i m)
a) Tìm m i nghi m nguyên c a ph ng trình: + + + = + +
Gi i
Ta có PT ⇔ + − − − + − − =
⇔ + − − − + − − =
⇔ − + − − =
Vì x, y s nguyên nên PT
− = =
+ − − = − − + =
⇔ ⇔
− = − =
+ − − = − − − + =
(4)b) Gi i h ph ng trình: + =
+ = − Cách 1:
Ta có h ⇔ + = ⇔ + = ⇔ + =
+ = − + + + = + =
= −
+ =
+ = =
+ − + = + + − =
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
+ = − + = + = − =
+ =
= − V y h có hai nghi m − −
Cách 2: Ta có h
+ =
+ = + =
⇔ ⇔ ⇔
+ + + = −
+ = − + = −
+ = + =
+ =
⇔ ⇔ − ⇔
+ + = − + = − = −
= − = + − =
⇔ ⇔
= − =
= −
V y h có hai nghi m − −
Bài (5 i m)
Cho tam giác ABC Trên tia i c a tia BA, CA l y i m E, F (khác B C) theo th t G i M giao i m c a BF CE
Ch ng minh r ng: + ≥
ng th c x y nào?
Gi i
Bài có nhi u cách làm s d ng nh lí Menelauyt, di n tích, d ng ng ph , tam giác ng d ng
(5)+) Áp d ng nh lí Menelauyt tam giác ABF v i cát n EMC ta có: = +) Áp d ng nh lí Menelauyt tam giác AEC v i cát n BMF ta có: = +) Nhân v v i v hai ng th c ta có:
= ⇔ =
+) Áp d ng b t ng th c Cơ Si ta có: + ≥ = , ( PCM) ng th c x y AM ng trung n c a BC
Bài (5 i m)
a) Cho a, b, c s th c d ng Ch ng minh r ng:
+ +
+ + ≥
+ + + ng th c x y nào?
Gi i
+) Ta có = + − = − ≥ − = −
+ + +
T ng t ta có ≥ −
+ + ≥ −
+) C ng v v i v b t ng th c ta có + + ≥ + +
+ + + , ( pcm)
+) D u b ng x y a = b = c =
b) t = + + + v i n s nguyên d ng
Xét dãy s = − ó n s nguyên d ng
Tính gi i h n c a dãy s =
Gi i
+) Ta có ( )
( )
− + +
− + − + + + − +
− = = =
+ + + + + + + + + − +
+ − + + + + − + − +
= = =
+ + + + + + + + + +
+) Do ó = − + =
− + − + ! =! − + =
Ph m V n Quý CQT
(6)H NG D N ÁP ÁN THI H C SINH GI I MƠN TỐN L P 12
T NH BÌNH PH C N M H C 2008-2009
Ngày thi th hai Bài (5 i m)
a) Cho hàm s : = − + + + Tìm t t c giá tr c a a hàm s có c c ti u
Gi i
+) TX : D = R +) Ta có = − +
+ ; = ( + )
+) N u a = Hàm s có d ng y = –2x + khơng có c c tr +) N u ≠ Hàm s có c c ti u t i x0 ⇔h =
> có nghi m x0
⇔h + =
> có nghi m x0
⇔h
>
− =
>
có nghi m x0 >
+) KL: V i > hàm s có c c ti u
b) Tìm giá tr nh nh t c a m b t ph ng trình sau úng v i m i x
( + − ≥) + ( + )+ −
Gi i
+) t = + , i u ki n = −
Ta có BPT tr thành + ≥ + + ⇔ ≥ + + +
+) Xét hàm s = + +
+ v i ∈ ta có
+ +
= > ∀ ∈
+
Do ó hàm s ng bi n ≤ ≤( ) ∀ ∈
+) YCBT ⇔ ≥ = ( )⇔ ≥ +
+
Bài (5 i m)
a) Ch ng minh b t ng th c: + + + ≥ + + + , v i a>0,b>0,c>0
Gi i
(7)= + + + + + + + + − ≥ + + −
+ + + + + + + +
= + − ≥ + − = + =
ng th c x y a = b = c =
b) Gi i ph ng trình: + − = + − + −
Gi i
Cách ( t n ph )
+) K: ∈ −[ ]
+) t t = − , i u ki n ≥ , = −
Ta có PT ⇔ + − = + − − − + − + − +
PT tr thành + − = + − − + + +
( )
⇔ − + + + + − + =
PT có ∆ = −( + ) , ó PT có hai nghi m = + = − +
T ó ta có = ho c = −
+) KL: PT có hai nghi m = , = −
Cách 2:(Phân tích thành nhân t )
+) K: ∈ −[ ]
+) Ta có PT ⇔ + − − − − − − =
⇔ − + − − − + − + − − + + =
( ) ( )
⇔ − + + − − − + + + − − =
( )( ) + + − − = =
⇔ + + − − − − + = ⇔ ⇔
= −
− − + =
NX Cách gi i có th c trình bày b ng m t s cách nhóm khác, ó tốn có nhi u
cách phân tích thành nhân t
Bài (5 i m)
a) Cho dãy s th c a a a1; ; ; ;2 an c xác nh b i
2
1
2008
− ,
=
+ + + n + n = n ∀ >
a
a a a a n a n
Tính a2008
Gi i
+) Ta có
1+ + +2 n−1 = −( 1) n−1
a a a n a
Do ó ( )
1+ + +2 n−1+ n = 1+ + +2 n−1 + n = −( 1) n−1+ n
(8)Vây ta có ph ng trình 2
1
1
( 1)
1
− −
−
− + = ⇔ =
+
n n n n n
n
n a a n a a a
n
+) V y ta có
1
2
1
1 ( 1)
− − −
= =
+ − +
n
a
n n n
a a
n n n n n
+) Thay n = 2008 ta có 2008 2.2008 2008.2009 2009
= =
a
b) Tìm t t c hàm f R: →R th a ph ng trình: f x( )2 − f y( ) (2 = +x y f x) ( )[ − f y( ) ,] ∀x y R, ∈
Gi i
+) Cho y = ta có − = [ − ]⇔ = + [ − ], (1) +) Cho x = ta có − = [ − ]⇔ = − [ − ], (2)
T (1) (2) ta có − = − − − , (3)
+) M t khác ta có − = + [ − ]= − − + , (4)
T (3) (4) ta có − = − , (*)
+) T (*) cho y = ta có − = − ⇔ = − −
[ ]
⇔ = − +
Do ó = +
Bài (5 i m)
Cho hình h p ch nh t ABCD.A’B’C’D’ có ng chéo BD’ = d G i d d d1, ,2 3 l n l t
kho ng cách t A, A’, D !n ng th ng BD’
a) Ch ng minh r"ng d d d1, ,2 3 dài ba c#nh c a m t tam giác ó
b) Tính th tích kh i h p ch nh t ABCD.A’B’C’D’ theo d d d d, , ,1 3
Gi i
a) Ch ng minh r ng d d d1, ,2 3 dài ba c nh c a m t tam giác ó
+) G i H, K, L l n l t hình chi u c a A, A’, D BD ta có = = =
+) Ch n i m B’’ cho B trung i m c a BB’, v HN//DL, ( ∈ ) ta có HN⊥BD’ +) M t khác BD’//DB’’ BD’ = DB’’ HN⊥DB’’ DB’’⊥(AHN) DB’’⊥AN +) Xét tam giác AHN ta có = = = = = , ( pcm)
b) Tính th tích kh i h p ch nh t ABCD.A’B’C’D’ theo d d d d, , ,1 2 3
+) G i S di n tích tam giác AHN ta có = − − − , v i = + +
+) Ta có = + = =
+) Ta có BH // DB’’ BH // (ADB’’) = =
Do ó =
Ph m V n Quý CQT