Đang tải... (xem toàn văn)
Thủ kho lần lượt thử ngẫu nhiên từng chìa (chìa nào mở không được thì bỏ ra) cho đến khi mở được cửa kho thì thôi không mở nữa. Một lô hàng có 10 sản phẩm, trong đó có một số phế phẩm.[r]
(1)Chương ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
§1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
1.1. Đại lượng ngẫu nhiên phép thử
Khái niệm đại lượng ngẫu nhiên
Thực phép thử để quan sát dấu hiệu giả sử quan sát có nhiều kết xảy Nếu ta dùng ký hiệu để biểu diễn kết xảy quan sát phép thử người ta gọi ký hiệu đại lượng ngẫu nhiên
Định nghĩa Một đại lượng ngẫu nhiên phép thử ký hiệu biểu diễn kết xảy quan sát dấu hiệu phép thử
Các đại lượng ngẫu nhiên thường ký hiệu chữ in hoa nằm cuối bảng chữ X, Y, , X1 , X2 , Các kết
xảy đại lượng ngẫu nhiên số thực gọi giá trị nhận đại lượng ngẫu nhiên Khi ta gán cho đại lượng ngẫu nhiên số thực hay khoảng số thực ta biến cố phép thử có xác suất hồn tồn xác định
Phân loại đại lượng ngẫu nhiên
Căn vào giá trị mà đại lượng ngẫu nhiên nhận, người ta chia đại lượng ngẫu nhiên làm hai loại đại lượng ngẫu nhiên rời rạc đại lượng ngẫu nhiên liên tục
Định nghĩa Một đại lượng ngẫu nhiên gọi rời rạc giá trị nhận ta đếm Một đại lượng ngẫu nhiên gọi liên tục giá trị nhận ta đếm
Với đại lượng ngẫu nhiên rời rạc, ta liệt kê tất giá trị nhận Ngược lại, ta khơng thể liệt kê tất giá trị nhận đại lượng ngẫu nhiên liên tục mà xác định khoảng số thực biểu diễn kết xảy Ví dụ
a) Tung hột xí ngầu để quan sát số nút xuất Nếu gọi X số nút xuất hột xí ngầu X đại lượng ngẫu nhiên rời rạc nhận giá trị 1, 2, 3, 4, 5, Khi X = , X = , X 1, X > , X < 4, biến cố đại lượng ngẫu nhiên X
(2)1.2 Bảng phân phối xác suất
Một đại lượng ngẫu nhiên coi hoàn toàn xác định ta xác định giá trị nhận tính xác suất tương ứng với giá trị Một quy tắc biểu diễn mối quan hệ giá trị nhận với xác suất tương ứng đại lượng ngẫu nhiên gọi luật phân phối xác suất đại lượng ngẫu nhiên Luật phân phối xác suất đại lượng ngẫu nhiên rời rạc thể dạng bảng gọi bảng phân phối xác suất
Định nghĩa Bảng phân phối xác suất đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X có dạng sau:
X x1 x2 xn
PX p1 p2 pn
Trong x1 < x2 < < xn giá trị nhận đại lượng ngẫu
nhiên X p1 = P(X = x1), p2 = P(X = x2), … , pn = P(X = xn) thỏa mãn
điều kiện p1 + p2 + + pn =
Ví dụ1 Hãy tìm luật phân phối xác suất số đồng xu sấp tung hai đồng xu
Giải
Gọi X số đồng xu sấp tung hai đồng xu X đại lượng ngẫu nhiên nhận giá trị 0, 1, Theo định nghĩa xác suất ta có:
1
P(X = 0) = 0,25
2
P(X = 1) = 0,50
1
P(X = 2) = 0,25
Nên luật phân phối xác suất X là:
X PX 0,25 0,50 0,25
Ví dụ2 Có ba hộp bi Hộp có bi xanh bi đỏ, hộp có bi xanh bi đỏ, hộp có bi xanh bi đỏ Lấy ngẫu nhiên từ hộp bi gọi X số bi xanh có bi lấy
a) Hãy lập bảng phân phối xác suất X b) Tính P(X ≥ 1)
Giải
a) Ta thấy X nhận giá trị 0, 1, 2,
Đặt Ai biến cố “Bi lấy từ hộp i bi xanh” (i = 1,2,3) Sử dụng công
(3)P(X = 0) P( 1 2 3) P( )P( )P( )1 2 3 0,024
10 10 10
A A A A A A
1 3
1 3
1
P(X = 1) P( )
6 8 0,188
10 10 10 10 10 10 10 10 10
P(X = 2) P( )
6 8 0,452
10 10 10 10 10 10 10 10 10
6
P(X = 3) P( ) 0,336
10 10 10
A A A A A A A A A
A A A A A A A A A
A A A
Do bảng phân phối xác suất X là:
X PX 0,024 0,188 0,452 0,336 b) Ta có:
P(X ≥ 1) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) = 0,188 + 0,452 + 0,336 = 0,976 Ta tính xác suất sau:
Ví dụ3 Một hộp có 10 sản phẩm, có phế phẩm Kiểm tra ngẫu nhiên sản phẩm lấy sản phẩm tốt dừng lại Hãy lập bảng phân phối xác suất số sản phẩm kiểm tra
Giải
Gọi X số sản phẩm phải kiểm tra lấy sản phẩm tốt X đại lượng ngẫu nhiên nhận giá trị 1, 2, 3,
Đặt Ai : “Sản phẩm kiểm tra lần thứ i sản phẩm tốt” (i=1,2,3), ta có:
P(X = 1) = P(A1) = 0,7 10
P(X = 2) = P(A A ) P(A )P(A / A )1 2 1 2 1 0,2333
10
1 3
P(X = 3) = P(A A A ) = P(A ) P(A / A ) P(A / A A )
= = 0,0583 10 8
1 3
P(X = 4) = P(A A A ) = P(A ) P(A / A ) P(A / A A )
= = 0,0083 10 8
Nên bảng phân phối xác suất X là:
P X 1 P X 1 P X < 1 P X = 0,024 0,976
(4)X PX 0,7 0,2333 0,0583 0,0083
Ví dụ4 Một xạ thủ có khả bắn trúng mục tiêu 80% Xạ thủ bắn phát đạn vào mục tiêu Hãy tìm luật phân phối xác suất số viên đạn bắn trúng mục tiêu
Giải
Gọi X số viên đạn bắn trúng mục tiêu X đại lượng ngẫu nhiên nhận giá trị 0, 1, 2,
Sử dụng cơng thức Bernoulli ta có:
P(X = 0) = C 0,8 (1 0,8)30 0 = 0,008 P(X = 1) = C 0,8 (1 0,8)13 1 = 0,096 P(X = 2) = C 0,8 (1 0,8)23 2 = 0,384 P(X = 3) = C 0,8 (1 0,8)33 3 = 0,512 Nên bảng phân phối xác suất X là:
X PX 0,008 0,096 0,384 0,512
Ví dụ5 Có hai hộp bi Hộp có bi xanh bi đỏ, hộp có bi xanh bi đỏ
a) Chọn ngẫu nhiên hộp từ hộp lấy ngẫu nhiên bi Hãy tìm luật phân phối xác suất số bi xanh có bi lấy
b) Lấy ngẫu nhiên bi từ hộp bỏ qua hộp 2, sau từ hộp lấy ngẫu nhiên bi Hãy tìm luật phân phối xác suất số bi xanh có bi lấy
Giải
a) Gọi X số bi xanh bi lấy X đại lượng ngẫu nhiên nhận giá trị 0, 1, 2,
Đặt Ai : “Hộp bi chọn hộp i” (i = 1,2) Sử dụng công thức xác
suất đầy đủ ta có:
P(X = 0) = P(A1)P(X = / A1) + P(A2)P(X = / A2)
3
3
3
5
1 0,1095
2
C C
C C
P(X = 1) = P(A1)P(X = / A1) + P(A2)P(X = / A2)
1 2
2
3
5
1 0,5381
2
C C C C
C C
P(X = 2) = P(A1)P(X = / A1) + P(A2)P(X = / A2)
2
2
3
5
1 0,3286
2
C C C C
C C
(5)
3
3
5
1 0,0238
2
C
C C
Nên bảng phân phối xác suất X là:
X PX 0,1095 0,5381 0,3286 0,0238
b) Gọi Y số bi xanh có bi lấy Y đại lượng ngẫu nhiên nhận giá trị 0, 1, 2,
Đặt B1 : “Bi lấy từ hộp bỏ qua hộp bi xanh” B2 : “Bi lấy từ
hộp bỏ qua hộp bi đỏ”
Sử dụng công thức xác suất đầy đủ ta có:
P(Y = 0) = P(B1)P(Y = / B1) + P(B2)P(Y = / B2)
3
5
3
10 10
2 0,1333
5
C C
C C
P(Y = 1) = P(B1)P(Y = / B1) + P(B2)P(Y = / B2)
1 2
5
3
10 10
2 0,4667
5
C C C C
C C
P(Y = 2) = P(B1)P(Y = / B1) + P(B2)P(Y = / B2)
2
5
3
10 10
2 0,3467
5
C C C C
C C
P(Y = 3) = P(B1)P(Y = / B1) + P(B2)P(Y = / B2)
3
5
3
10 10
2 0,0533
5
C C
C C
Nên bảng phân phối xác suất Y là:
Y PY 0,1333 0,4667 0,3467 0,0533
1.3 Hàm mật độ xác suất
Để thiết lập luật phân phối xác suất đại lượng ngẫu nhiên liên tục, người ta dùng hàm số gọi hàm mật độ xác suất
Định nghĩa Hàm f(x), có miền xác định , gọi hàm mật độ xác suất đại lượng ngẫu nhiên liên tục X thỏa mãn hai điều kiện sau:
1 f(x) , x f x dx 1
(6)P(a X b) = f x dx b
a
Ví dụ Cho X đại lượng ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất sau:
f(x) = ( , 2)
0 ( , 2)
neáu x x neáu x
a) Hãy xác định giá trị b) Tính P(X 1)
Giải a) Ta có:
2
2
2
2
f x dx f x dx f x dx f x dx dx arssin x
2 x
Do f(x) hàm mật độ xác suất đại lượng ngẫu nhiên X nên:
f x ,
0
1 f x dx
x
b) Ta có:
P(X 1)
1 1
2
2
1 dx x
f x dx arsin 0,6667
2 x
1.4 Hàm phân phối xác suất
Khái niệm hàm phân phối xác suất
Định nghĩa Hàm phân phối xác suất đại lượng ngẫu nhiên X, ký hiệu FX(x) hay F(x), hàm số xác định sau:
FX(x) = P(X < x) ; x
Định lý
a) Cho X đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân phối xác suất: X x1 x2 xn
PX p1 p2 pn
Khi hàm phân phối xác suất X xác định sau: FX(x) = p
i i x x
; x
(7)FX(x) = f t dt x
; x
Tính chất hàm phân phối xác suất
Định lý 1 Giả sử F(x) hàm phân phối xác suất đại lượng ngẫu nhiên X Khi ta có:
F(x) ; xR F(+ ) = , F(– ) =
F(x) hàm không giảm, nghĩa x1 < x2 F(x1) F(x2)
Hệ 1 Nếu X đại lượng ngẫu nhiên có hàm phân phối xác suất F(x) thì:
P(a X < b) = F(b) – F(a)
Hệ 2 Nếu X đại lượng ngẫu nhiên liên tục với số thực a cho trước ta có:
P(X = a) =
Hệ 3 Nếu X đại lượng ngẫu nhiên liên tục với số thực a, b cho trước ta có:
P(a X b) = P(a X < b) = P(a < X b) = P(a < X < b) Định lý 2 Nếu X đại lượng ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất f(x) hàm phân phân phối xác suất F(x) thì:
F’(x) = f(x)
Ví dụ1 Một hộp có bi xanh bi đỏ Lấy ngẫu nhiên từ hộp bi gọi X số bi xanh bi lấy
a) Hãy lập bảng phân phối xác suất X b) Hãy tìm hàm phân phối xác suất X
c) Tính P(0 X < 2), P(0 < X < 2), P(0 X 2) d) Tính P(X 2), P(X > 2)
Giải
a) Ta thấy X nhận giá trị 0, 1, 2, Ta có:
3
4
3
10 10
2
6
3
10 10
( 0) 0,0333 ( 1) 0,3
( 2) 0,5 ( 3) 0,1667
C C C
P X P X
C C
C C C
P X P X
C C
Nên bảng phân phối xác suất X là:
X PX 0,0333 0,3 0,5 0,1667 b) Ta có:
x F(x) =
< x F(x) = P(X = 0) = 0,0333
(8)< x F(x) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 0,8333 < x F(x) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) = Nên hàm phân phối xác xuất X là:
0
0,0333
( ) 0,3333
0,8333
1
neáu x
neáu x
F x neáu x
neáu x neáu x
c) Ta có:
P(0 X < 2) = F(2) – F(0) = 0,3333 – = 0,3333
P(0 < X < 2) = P(1 X < 2) = F(2) – F(1) = 0,3333 – 0,0333 = 0,3 P(0 X 2) = P(0 X < 3) = F(3) – F(0) = 0,8333 – = 0,8333 d) Ta có:
P(X 2) = P(0 X < 3) = F(3) – F(0) = 0,8333 – = 0,8333 P(X > 2) = P(3 X < 4) = F(4) – F(3) = – 0,8333 = 0,1667 Ví dụ2 Cho X đại lượng ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất sau:
f(x) = [0 , 2]
0 [0 , 2]
x neáu x neáu x
a) Hãy lập hàm phân phối xác suất đại lượng ngẫu nhiên X b) Tính P(0 < X < 1)
Giải a) Ta có:
x F(x) = f t dt = 0dt = 0
x x
< x F(x) =
2
f t dt = ( )dt = 2
x x x
x x
< x F(x) =
2
f t dt = ( ) dt = x
x
Nên hàm phân phối xác suất X là:
F(x) =
2
0
2
2
1
neáu x x
x neáu x
neáu x
(9)P(0 < X < 1) = F(1) – F(0) =
2
1
2 0,9142
2
§2 HÀM CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
2.1 Hàm đại lượng ngẫu nhiên
Khái niệm hàm đại lượng ngẫu nhiên
Thông thường, đại lượng ngẫu nhiên xác định theo phép thử Nhưng số trường hợp, ta cịn xác định đại lượng ngẫu nhiên theo hay nhiều đại lượng ngẫu nhiên xác định khác Một đại lượng ngẫu nhiên xác định theo đại lượng ngẫu nhiên xác định khác quy tắc gọi hàm đại lượng ngẫu nhiên Một đại lượng ngẫu nhiên xác định theo đại lượng ngẫu nhiên xác định khác gọi hàm đại lượng ngẫu nhiên
Định nghĩa Đại lượng ngẫu nhiên Y xác định theo đại lượng ngẫu nhiên X quy tắc hàm f Y gọi hàm theo đại lượng ngẫu nhiên X, ký hiệu Y = f(X)
Ví dụ Giả sử X đại lượng ngẫu nhiên xác định Khi đại lượng ngẫu nhiên Y = f(X) = X2
– 2X + hàm theo đại lượng ngẫu nhiên X
Bảng phân phối xác suất Y = f(X)
Giả sử X đại lượng ngẫu nhiên có bảng phân phối xác suất sau: X x1 x2 xn
PX p1 p2 pn
Khi đại lượng ngẫu nhiên Y nhận giá trị y1 = f(x1),
y2 = f(x2) , … , yn = f(xn) xác suất tương ứng tính theo quy
tắc:
P(Y = yj) =
( ) ( )
P(X = x ) p
i j i j
i i
f x y f x y
Đại lượng ngẫu nhiên Y xác định giá trị nhận xác suất tương ứng nên lập bảng phân phối xác suất Ví dụ1 Cho X đại lượng ngẫu nhiên có bảng phân phối xác suất sau:
X - PX 0,1 0,2 0,3 0,4
Hãy lập bảng phân phối xác suất đại lượng ngẫu nhiên sau: a) Y = 2X – b) Z = X c) U = X2 – 2X +
Giải a) Y = 2X –
Ta có:
(10)Y = 2X – - - - Và:
P(Y = - 5) = P(X = - 1) = 0,1 P(Y = - 3) = P(X = 0) = 0,2 P(Y = - 1) = P(X = 1) = 0,3 P(Y = 1) = P(X = 2) = 0,4 Nên bảng phân phối xác suất Y là:
Y - - - PY 0,1 0,2 0,3 0,4
b) Z = X Ta có:
X - Z = X
Và:
P(Z = 0) = P(X = 0) = 0,2
P(Z = 1) = P(X = - 1) + P(X = 1) = 0,4 P(Z = 2) = P(X = 2) = 0,4
Nên bảng phân phối xác suất Z là:
Z PZ 0,2 0,4 0,4 c) U = X2 + 2X –
Giải tương tự, ta có bảng phân phối xác suất U sau: U
PU 0,3 0,6 0,1
Ví dụ2 Một xạ thủ phát viên đạn để bắn kiểm tra trước ngày thi bắn Cho biết xác suất bắn trúng mục tiêu xạ thủ 80% xạ thủ ngưng bắn kiểm tra bắn trúng mục tiêu viên liên tiếp a) Hãy tìm luật phân phối xác suất số viên đạn xạ thủ bắn b) Hãy tìm luật phân phối xác suất số viên đạn lại
Giải
a) Gọi X số viên đạn xạ thủ bắn X đại lượng ngẫu nhiên nhận giá trị 3, 4, 5,
Sử dụng công thức nhân xác suất ta có: P(X = 3) = 0,83 = 0,512
P(X = 4) = 0,20,83 = 0,1024
P(X = 5) = 0,80,20,83 + 0,20,20,83 = 0,1024 P(X = 6) = – (0,512 + 0,1024 + 0,1024) = 0,2832 Nên bảng phân phối xác suất X là:
(11)Ta có:
X Y = – X Và:
P(Y = 0) = P(X = 6) = 0,2832 P(Y = 1) = P(X = 5) = 0,1024 P(Y = 2) = P(X = 4) = 0,1032 P(Y = 3) = P(X = 3) = 0,512 Nên bảng phân phối xác suất Y là:
Y PY 0,2832 0,1024 0,1024 0,512
2.2 Hàm hai đại lượng ngẫu nhiên
Đại lượng ngẫu nhiên độc lập
Định nghĩa Hai đại lượng ngẫu nhiên gọi độc lập đại lượng ngẫu nhiên nhận giá trị không làm thay đổi xác suất để đại lượng ngẫu nhiên nhận giá trị tùy ý
Ví dụ Gọi X số đồng xu sấp tung đồng xu X đại lượng ngẫu nhiên nhận giá trị 0, 1, Gọi Y số bi xanh bi lấy từ hộp có bi xanh bi đỏ Y đại lượng ngẫu nhiên nhận giá trị 0, 1, 2,
Ta thấy dù X có nhận giá trị thì:
3
4
3
10 10
2
6
3
10 10
( 0) 0,0333 ( 1) 0,3
( 2) 0,5 ( 3) 0,1667
C C C
P Y P Y
C C
C C C
P Y P Y
C C
Tương tự, dù Y có nhận giá trị thì:
1
P(X = 0) = 0,25 P(X = 1) = 0,50 P(X = 2) = 0,25
4
Như X Y hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập
Hàm hai đại lượng ngẫu nhiên
Định nghĩa Đại lượng ngẫu nhiên Z xác định theo hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập X Y quy tắc hàm f Z gọi hàm theo hai đại lượng ngẫu nhiên X Y, ký hiệu Z = f(X, Y)
Ví dụ Giả sử X Y hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập xác định Khi đại lượng ngẫu nhiên Z = f(X, Y) = X2
– 2XY + 3Y hàm theo hai đại lượng ngẫu nhiên X Y
Bảng phân phối xác suất Z = f(X, Y)
(12)X x1 x2 xm Y y1 y2 yn
PX p1 p2 pm PY q1 q2 qn
Khi đại lượng ngẫu nhiên Z nhận giá trị zij = f(xi , yj)
trong bảng sau:
Z Y X
y1 y2 yn
x1 z11 z12 z1n
x2 z21 z22 z2n
xm zm1 zm2 zmn
Xác suất để Z nhận giá trị tương ứng tính theo quy tắc sau: P(Z = zk) =
( , ) ( , )
P(X = x )P(Y = y ) p q
i j k i j k
i j i j
f x y z f x y z
Đại lượng ngẫu nhiên Z xác định giá trị nhận xác suất tương ứng nên lập bảng phân phối xác suất Ví dụ1 Cho X Y hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập có bảng phân phối xác suất sau:
X - Y PX 0,2 0,3 0,5 PY 0,3 0,4 0,3 Hãy lập bảng phân phối xác suất đại lượng ngẫu nhiên sau: a) Z = X – Y b) U = XY c) V = X2Y
Giải a) Z = X – Y
Đại lượng ngẫu nhiên Z nhận giá trị bảng sau: Z Y
X
0
- - - - 0 - -
1 -
Ta có:
P(Z = - 3) = P(X = - 1)P(Y = 2) = 0,20,3 = 0,06 P(Z = - 2) = P(X = - 1)P(Y = 1) + P(X = 0)P(Y = 2) = 0,20,4 + 0,30,3 = 0,17
P(Z = - 1) = P(X = - 1)P(Y = 0)+P(X = 0)P(Y = 1)+P(X = 1)P(Y = 2) = 0,20,3 + 0,30,4 + 0,50,3 = 0,33
P(Z = 0) = P(X = 0)P(Y = 0) + P(X = 1)P(Y = 1) = 0,30,3 + 0,50,4 = 0,29
P(Z = 1) = P(X = 1)P(Y = 0) = 0,50,3 = 0,15 Nên bảng phân phối xác suất Z là:
(13)PZ 0,06 0,17 0,33 0,29 0,15 b) U = XY
Đại lượng ngẫu nhiên U nhận giá trị bảng sau: U Y
X
0
- - -
0 0
1
Ta có:
P(U = - 2) = P(X = - 1)P(Y = 2) = 0,20,3 = 0,06 P(U = - 1) = P(X = - 1)P(Y = 1) = 0,20,4 = 0,08
P(U = 0) = P(X = - 1)P(Y = 0) +P(X = 0)P(Y = 0)+P(X = 0)P(Y = 1) + P(X = 0)P(Y = 2) + P(X = 1)P(Y = 0)
= 0,20,3 + 0,30,3 + 0,30,4 + 0,30,3 + 0,50,3 = 0,51 P(U = 1) = P(X = 1)P(Y = 1) = 0,50,4 = 0,20
P(U = 2) = P(X = 1)P(Y = 2) = 0,50,3 = 0,15 Nên bảng phân phối xác suất U là:
U - - PU 0,06 0,08 0,51 0,20 0,15 c) V = X2Y
Đại lượng ngẫu nhiên V nhận giá trị bảng sau: V Y
X
0
- 1
0 0
1
Ta có:
P(V = 0) = P(X = - 1)P(Y = 0) +P(X = 0)P(Y = 0)+P(X = 0)P(Y = 1) + P(X = 0)P(Y = 2) + P(X = 1)P(Y = 0)
= 0,20,3 + 0,30,3 + 0,30,4 + 0,30,3 + 0,50,3 = 0,51 P(V = 1) = P(X = - 1)P(Y = 1) + P(X = 1)P(Y = 1)
= 0,20,4 + 0,50,4 = 0,28
P(V = 2) = P(X = - 1)P(Y = 2) + P(X = 1)P(Y = 2) = 0,20,3 + 0,50,3 = 0,21
Nên bảng phân phối xác suất V là:
V PV 0,51 0,28 0,21
(14)a) Hãy tìm luật phân phối xác suất số ném trúng rổ hai cầu thủ
b) Tính xác suất để số ném trúng rổ hai cầu thủ Giải
a) Gọi X số ném trúng rổ hai cầu thủ, X1 số ném
trúng rổ cầu thủ thứ X2 số ném trúng rổ cầu thủ thứ
hai X, X1, X2 đại lượng ngẫu nhiên thỏa mãn điều kiện:
X = X1 + X2
Ta thấy X1 đại lượng ngẫu nhiên nhận giá trị 0, 1,
Ngồi theo cơng thức Bernoulli ta có: P(X1 = 0) =
0
2
C 0,7 (1 0,7)
= 0,09 P(X1 = 1) =
1
2
C 0,7 (1 0,7)
= 0,42 P(X1 = 2) =
2 2
2
C 0,7 (1 0,7)
= 0,49 Nên bảng phân phối xác suất X1 là:
X1
1
PX 0,09 0,42 0,49 Tương tự, ta có bảng phân phối xác suất X2 là:
X2
2
PX 0,04 0,32 0,64
Do X = X1 + X2 nên đại lượng ngẫu nhiên X nhận giá trị
trong bảng sau:
X X2
X2
0
0
1
2
Ta có:
P(X = 0) = P(X1 = 0)P(X2 = 0) = 0,09×0,04 = 0,0036
P(X = 1) = P(X1 = 0)P(X2 = 1) + P(X1 = 1)P(X2 = 0)
= 0,09×0,32 + 0,42×0,04 = 0,0456
P(X = 2) = P(X1 = 0)P(X2 = 2) + P(X1 = 1)P(X2 = 1)
+ P(X1 = 2)P(X2 = 0)
= 0,09×0,64 + 0,42×0,32 + 0,49×0,04 = 0,2116 P(X = 3) = P(X1 = 1)P(X2 = 2) + P(X1 = 2)P(X2 = 1)
= 0,42×0,64 + 0,49×0,32 = 0,4256
P(X = 4) = P(X1 = 2)P(X2 = 2) = 0,49×0,64 = 0,3136
Nên bảng phân phối xác suất đại lượng ngẫu nhiên X là: X PX 0,0036 0,0456 0,2116 0,4256 0,3136
(15)P(X1 = X2) = P(X1 = 0)P(X2 = 0) + P(X1 = 1)P(X2 = 1)
+ P(X1 = 2)P(X2 = 2)
= 0,09×0,04 + 0,42ì0,32 + 0,49ì0,64 = 0,4516
Đ3 CC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG
3.1 Kỳ vọng
Kỳ vọng đại lượng ngẫu nhiên rời rạc
Cho X đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân phối xác suất sau:
X x1 x2 xn
PX p1 p2 pn
Định nghĩa Kỳ vọng đại lượng ngẫu nhiên X, ký hiệu M(X) hay E(X), số xác định sau:
M(X) = x1p1 + x2p2 + + xnpn
Ví dụ Cho X đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có phân phối xác suất sau:
X PX 0,25 0,5 0,25 Khi kỳ vọng đại lượng ngẫu nhiên X là:
M(X) = 0×0,25 + 1×0,5 + 2×0,25 =
Kỳ vọng đại lượng ngẫu nhiên liên tục
Cho X đại lượng ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất f(x) Định nghĩa Kỳ vọng đại lượng ngẫu nhiên X số xác định sau:
M X xf(x)dx
Ví dụ Cho X đại lượng ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất sau:
f(x) = [0 , 2]
0 [0 , 2]
x neáu x neáu x
Khi kỳ vọng đại lượng ngẫu nhiên X là:
2
0 0
2 x x
M X xf(x)dx x( x)dx
2 3
Ý nghĩa kỳ vọng
(16)lượng ngẫu nhiên quan sát tìm kỳ vọng đại lượng ngẫu nhiên
Ví dụ Một hộp có bi xanh bi đỏ Lấy ngẫu nhiên từ hộp bi Hãy tìm số bi xanh trung bình bi lấy
Giải
Gọi X số bi xanh bi lấy X đại lượng ngẫu nhiên có bảng phân phối xác suất sau:
X P 0,0333 0,3 0,5 0,1667 Số bi xanh trung bình bi lấy M(X) nên:
M(X) = 0×0,0333 + 1×0,3 + 2×0,5 + 3×0,1667 = 1,8 Như số bi xanh trung bình bi lấy 1,8 viên
Tính chất kỳ vọng
Định lý Giả sử X, Y đại lượng ngẫu nhiên C số Khi ta có:
1 M(C) = C
2 M(X ± Y) = M(X) ± M(Y) M(CX) = CM(X)
Ví dụ Cho X Y đại lượng ngẫu nhiên có phân phối xác suất sau:
X - Y PX 0,2 0,3 0,5 PY 0,3 0,4 0,3 Hãy tìm kỳ vọng đại lượng ngẫu nhiên Z = 2X – 3Y +
Giải Ta có:
M(X) = - 1×0,2 + 0×0,3 + 1×0,5 = 0,3 M(Y) = 0×0,3 + 1×0,4 + 2×0,3 = Nên:
M(Z) = M(2X – 3Y + 4) = 2M(X) – 3M(Y) + = 20,3 – 31 + = 1,6
3.2 Phương sai
Định nghĩa cách tính phương sai
Định nghĩa Phương sai đại lượng ngẫu nhiên X, ký hiệu D(X) hay Var(X), số không âm xác định sau:
D(X) = M{[X – M(X)]2}
Trong thực tế, để tính phương sai đại lượng ngẫu nhiên X ta tính theo cơng thức sau:
D(X) = M(X2) – M2(X)
Trong M2(X) bình phương kỳ vọng X M(X2) tính theo hai trường hợp sau:
(17)X x1 x2 xn
PX p1 p2 pn
Khi ta có:
M(X2) = x1
p1 + x2
p2 + + xn
pn
Trường hợp2 X đại lượng ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất f(x)
Khi ta có:
2
M X x f(x)dx
Ví dụ1 Cho X đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân phối xác suất sau:
X PX 0,25 0,5 0,25
Khi kỳ vọng đại lượng ngẫu nhiên X M(X) = Ta có:
M(X2) = 02×0,25 + 12×0,5 + 22×0,25 = 1,5 Nên phương sai đại lượng ngẫu nhiên X là:
D(X) = 1,5 – 12 = 0,5
Ví dụ2 Cho X đại lượng ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất sau:
f(x) = [0 , 2]
0 [0 , 2]
x neáu x neáu x
Khi kỳ vọng đại lượng ngẫu nhiên X M(X) = Ta có:
2 2
0 0
2 x x
M X x f(x)dx x ( x)dx
3
Nên phương sai đại lượng ngẫu nhiên X là: D(X) =
2
1
3
Ý nghĩa phương sai
(18)gần với kỳ vọng lớn, nghĩa một đại lượng ngẫu nhiên có phương sai nhỏ có nhiều giá trị đại lượng ngẫu nhiên gần với kỳ vọng nó Phương sai đại lượng ngẫu nhiên có nhiều ứng dụng thực tế Trong cơng nghiệp, số phương sai sản phẩm biểu thị độ xác sản phẩm Một sản phẩm có số phương sai nhỏ độ xác sản phẩm cao ngược lại Trong trồng trọt, phương sai số cho biết mức độ ổn định suất trồng Trong chăn nuôi, phương sai số nêu lên mức độ đồng đàn gia súc Như vậy, phương sai số biểu thị độ xác, mức độ đồng đều, tính ổn định, quan sát phép thử Điều có nghĩa ứng dụng phương sai đại lượng ngẫu nhiên một số biểu thị độ xác, mức độ đồng đều, tính ổn định, đại lượng ngẫu nhiên đó
Ví dụ Một hộp có bi xanh bi đỏ Lấy ngẫu nhiên từ hộp bi Hãy tìm số biểu thị độ ổn định số bi xanh bi lấy
Giải
Gọi X số bi xanh bi lấy X đại lượng ngẫu nhiên có bảng phân phối xác suất sau:
X PX 0,0333 0,3 0,5 0,1667
Do X số bi xanh bi lấy nên số biểu thị độ ổn định số bi xanh bi lấy D(X)
Ta có:
M(X) = 0×0,0333 + 1×0,3 + 2×0,5 + 3×0,1667 = 1,8 M(X2) = 02×0,0333 + 12×0,3 + 22×0,5 + 32×0,1667 = 3,8 Nên:
D(X) = 3,8 – 1,82 = 0,56
Như số biểu thị độ ổn định số bi xanh bi lấy 0,56
Tính chất phương sai
Định lý Giả sử X, Y đại lượng ngẫu nhiên C số Khi ta có:
1 D(C) =
2 D(X ± Y) = D(X) + D(Y) D(CX) = C2D(X)
Ví dụ Cho X Y đại lượng ngẫu nhiên có bảng phân phối xác suất sau:
X - Y PX 0,2 0,3 0,5 PY 0,3 0,4 0,3 Hãy tìm phương sai đại lượng ngẫu nhiên Z = 2X – 3Y +
Giải Ta có:
(19)Nên:
D(Z) = D(2X – 3Y + 4) = 4D(X) + 9D(Y) = 40,61 + 90,6 = 7,84
Độ lệch chuẩn
Định nghĩa Độ lệch chuẩn đại lượng ngẫu nhiên X, ký hiệu
(X), số không âm xác định sau:
(X) D(X)
Độ lệch chuẩn đại lượng ngẫu nhiên số biểu thị độ xác, mức độ đồng đều, tính ổn định, đại lượng ngẫu nhiên Nhưng khác với phương sai khơng có đơn vị đo, độ lệch chuẩn đại lượng ngẫu nhiên số có đơn vị đo Do đó, cần tính độ xác, mức độ đồng đều, tính ổn định, đại lượng ngẫu nhiên theo đơn vị đo người ta thường sử dụng độ lệch chuẩn đại lượng ngẫu nhiên
Ví dụ Một hộp có bi xanh bi đỏ Lấy ngẫu nhiên từ hộp bi Hãy tìm số bi xanh biểu thị độ ổn định số bi xanh bi lấy
Giải
Gọi X số bi xanh bi lấy số bi xanh biểu thị độ ổn định số bi xanh bi lấy (X)
Do D(X) = 0,56 nên số bi xanh biểu thị độ ổn định số bi xanh bi lấy là:
(X) = 0,56 0,75 (bi xanh)
3.3 Mod
Định nghĩa Mod đại lượng ngẫu nhiên X, ký hiệu Mod(X), giá trị xảy chắn giá trị mà đại lượng ngẫu nhiên X nhận thực phép thử
Để tính Mod(X), ta xét theo hai trường hợp sau: Trường hợp1 X đại lượng ngẫu nhiên rời rạc
Mod(X) trường hợp giá trị X ứng với xác suất lớn bảng phân phối xác suất
Trường hợp2 X đại lượng ngẫu nhiên liên tục
Mod(X) trường hợp giá trị làm hàm mật độ xác suất f(x) X đạt giá trị lớn
Ví dụ Một hộp có bi xanh bi đỏ Lấy ngẫu nhiên từ hộp bi Hãy tìm số bi xanh xảy chắn bi lấy
Giải
Gọi X số bi xanh bi lấy số bi xanh xảy chắn bi lấy Mod(X)
Do X có bảng phân phối xác suất là:
(20)Nên số bi xanh chắn xảy bi lấy là: Mod(X) =
§4 ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN CĨ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT ĐẶC BIỆT
4.1 Phân phối Poisson
Đại lượng ngẫu nhiên có phân phối Poisson
Định nghĩa Đại lượng ngẫu nhiên X nhận giá trị 0,1,2, tồn số thực dương cho P(X = k)
! k
e
k
(k = 0,1,2, ), gọi đại lượng ngẫu nhiên có phân phối Poisson theo tham số ký hiệu X () hay X()
Định lý Nếu X1(1) X2(2) thì:
X1 + X1(1 + 2)
Nhận xét Nếu X () thì:
P(X = k)
! k
e
k
k{0,1,2, } P(X = k) = k{0,1,2, }
Ví dụ Cho X (5)
a) Tính P(X = 2) , P(X = - 2) , P(X = 2,2) b) Tính P(X 2) , P(X 2)
Giải a) Ta có:
P(X = 2)
2
5 0,0842
2!e
P(X = - 2) = P(X = 2,2) = b) Ta có:
P(X 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)
0
5 5
5 5 0,1246
0!e 1!e 2!e
P(X 2) = – P(X < 2) = – [P(X = 0) + P(X = 1)] = – (0,0067 + 0,0337) = 0,9596
Các tham số đặc trưng Định lý Nếu X () thì:
M(X) = D(X) = – Mod(X) Ví dụ Tính kỳ vọng, phương sai Mod X (5)
(21)M(X) = D(X) =
– Mod(X) Mod(X) = hay Mod(X) =
Ứng dụng phân phối Poisson
Thực phép thử nhiều lần để quan sát biến cố A giả sử số lần biến cố A xảy trung bình lần thử
Định lý Nếu X số lần biến cố A xảy tổng số lần thực phép thử số lần biến cố A xảy trung bình lần thực phép thử X ()
Ví dụ Một sách có 200 trang, có 400 lỗi tả Kiểm tra lỗi tả trang sách Tính xác suất để trang sách đó:
a) Có lỗi tả
b) Có tối đa lỗi tả c) Có tối thiểu lỗi tả
Giải
Gọi X số lỗi tả trang sách kiểm tra Do số lỗi tả trung bình trang sách kiểm tra là:
400
200
Nên nói X có phân phối Poisson theo tham số 2, nghĩa là: X (2)
a) Xác suất để trang sách có lỗi tả là: P(X = 2)
2
2 27,07%
2!e
b) Xác suất để trang sách có tối đa lỗi tả là: P(X 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 67,67% c) Xác suất để trang sách có tối thiểu lỗi tả là:
P(X 2) = – P(X < 2) = – [P(X = 0) + P(X = 1)] = 59,40%
4.2 Phân phối nhị thức
Đại lượng ngẫu nhiên có phân phối nhị thức
Định nghĩa Đại lượng ngẫu nhiên X nhận giá trị 0, 1, , n tồn số thực p(0,1) cho P(X = k) = C p (1 p)k kn n k (k = 0,1, ,n), gọi đại lượng ngẫu nhiên có phân phối nhị thức theo hai tham số n ; p ký hiệu X B(n ; p) hay X B(n ; p)
Định lý Nếu X1 B(n1 ; p) X2 B(n2 ; p) thì:
X1 + X1 B(n1 + n2 ; p)
Nhận xét Nếu X B(n ; p) thì:
(22)a) Tính P(X = 2) , P(X = - 2) , P(X = 2,2) , P(X = 4) b) Tính P(X 2) , P(X 2)
Giải a) Ta có:
P(X = 2) = C 0,7 0,323 2 0,441
P(X = - 2) = P(X = 2,2) = P(X = 4) = b) Ta có:
P(X 2) = – P(X > 2) = – P(X = 3) = – C 0,7 0,333 = 0,657 P(X 2) = P(X = 2) + P(X = 3)
= C 0,7 0,323 1C 0,7 0,333 0,784
Quy tắc tính gần phân phối nhị thức
Quy tắc1 Nếu X B(n ; p), n lớn np = nhỏ, coi X có phân phối Poisson với tham số Khi ta có cơng thức tính gần sau:
P(X = k)
! k
e k
Quy tắc2 Nếu X B(n ; p), n lớn np = khơng nhỏ, ta có cơng thức tính gần sau:
1
1 k np
P X k f
npq npq
k np k np
P k X k
npq npq
Trong đó:
1 f(u) hàm mật độ Gauss có giá trị trình bày bảng phụ lục Cần ý: f(u) hàm chẵn f(u) = 0,0001 với u (u) hàm tích phân Laplace có giá trị trình bày bảng
phụ lục Cần ý: (u) hàm lẻ (u) = 0,5 với u Ví dụ
a) Cho X B(2000 ; 0,002) Tính P(X 2) b) Cho Y B(100 ; 0,6) Tính P(50 Y 72)
Giải
a) Do X B(2000 ; 0,002), n = 2000 lớn np = nhỏ, nên coi X (4) Khi ta có:
P(X 2) = – P(X < 2) = – [P(X = 0) + P(X = 1)] = –
0
4
4
0!e 1!e
(23)b) Do Y B(100 ; 0,6), n = 100 lớn np = 60 không nhỏ, nên ta sử dụng cơng thức tính gần để tính xác suất sau:
72 100 0,6 50 100 0,6
P(50 Y 72)
100 0,6 0,4 100 0,6 0,4
(2,45) ( 2,04) (2,45) (2,04) 0,9722
Các tham số đặc trưng phân phối nhị thức Định lý Nếu X B(n ; p) thì:
M(X) = np D(X) = npq
np – q Mod(X) np + p Ví dụ Tính kỳ vọng, phương sai Mod X B(3 ; 0,7)
Giải Ta có:
M(X) = 3×0,7 = 2,1 D(X) = 3×0,7×0,3 = 0,63
2,1 – 0,3 Mod(X) 2,1 + 0,7 Mod(X) =
Ứng dụng phân phối nhị thức
Thực phép thử n lần để quan sát biến cố A giả sử lần thực phép thử ta có P(A) = p
Định lý Nếu X số lần biến cố A xảy n lần thực phép thử lần thử ta có P(A) = p X B(n ; p)
Ví dụ1 Một cầu thủ bóng rổ có khả ném trúng rổ lần ném 80%
a) Cầu thủ ném vào rổ Tính xác suất để cầu thủ ném trúng
b) Cầu thủ ném 10 vào rổ Tính xác suất để cầu thủ ném trúng
c) Cầu thủ ném 20 vào rổ Tính số ném trúng rổ trung bình số ném trúng rổ chắn
d) Cầu thủ ném xác suất có trúng rổ không nhỏ 95%?
Giải
a) Gọi X số ném trúng rổ cầu thủ ném Do xác suất ném trúng rổ cầu thủ lần ném 0,8 nên:
X B(5 ; 0,8)
Xác suất để cầu thủ ném trúng lần ném là: P(X = 3) = C 0,8 0,235 0,2048
b) Gọi Y số ném trúng rổ cầu thủ ném 10 thì: Y B(10 ; 0,8)
(24)P(Y 8) = P(Y = 8) + P(Y = 9) + P(Y = 10)
= C 0,8 0,2108 C 0,8 0,2109 1C 0,8 0,21010 10 0,6778 c) Gọi Z số ném trúng rổ cầu thủ ném 20 thì:
Z B(20 ; 0,8)
Số ném trúng rổ trung bình cầu thủ ném 20 M(Z) số ném trúng rổ chắn Mod(Z) nên:
M(Z) = 20×0,8 = 16
16 – 0,2 Mod(Z) 16 + 0,8 Mod(Z) = 16
d) Gọi n số tối thiểu mà cầu thủ phải ném để xác suất có trúng rổ khơng nhỏ 95%
Gọi U số ném trúng rổ cầu thủ ném n thì: U B(n ; 0,8)
Do xác suất để có trúng rổ cầu thủ ném n khơng nhỏ 95% nên:
P(U 1) 0,95 – P(U < 1) 0,95
P(U < 1) – 0,95
P(U = 0) 0,05
C 0,8 0,20 n
n 0,05
0,2n 0,05
n 1,86
Số nguyên nhỏ thỏa mãn bất đẳng thức n 1,86 nên để xác suất có trúng rổ khơng nhỏ 95% cầu thủ phải ném tối thiểu
Ví dụ2 Một máy sản xuất tự động có khả sản xuất sản phẩm với tỷ lệ phế phẩm 10% Cho máy sản xuất 100 sản phấm Tính xác suất để 100 sản phẩm máy sản xuất ra:
a) Có 10 phế phẩm
b) Có từ 10 đến 20 phế phẩm c) Có khơng phế phẩm
Giải
Gọi X số phế phẩm trong100 sản phẩm máy sản xuất Do xác suất để sản phẩm máy sản xuất phế phẩm 0,1 nên:
X B(100 ; 0,1)
a) Xác suất để 100 sản phẩm máy sản xuất có 10 phế phẩm là:
P(X = 10) 10 100 0,1 (0) 0,133
3 100 0,1 0,9 100 0,1 0,9
f
f
(25)
20 100 0,1 10 100 0,1 P(10 X 20)
100 0,1 0,9 100 0,1 0,9 (3,33) (0) 0,4996
c) Xác suất để 100 sản phẩm máy sản xuất có khơng phế phẩm là:
100 100 0,1 100 0,1
P(5 X 100)
100 0,1 0,9 100 0,1 0,9 (30) ( 1,67) 0,5 0,4525 0,9525
4.3 Phân phối siêu bội
Đại lượng ngẫu nhiên có phân phối siêu bội
Định nghĩa Đại lượng ngẫu nhiên X nhận giá trị 0,1, , n tồn số nguyên M, N (n M N) cho P(X = k) C C
C k n k M N M
n N
(k = 0,1, ,n), gọi đại lượng ngẫu nhiên có phân phối siêu bội theo ba tham số N, M, n ký hiệu X H(N, M, n )
Nhận xét Nếu X H(N, M, n) thì:
P(X = k) C C
C k n k M N M
n N
k{0,1,2, ,n} P(X = k) = k{0,1,2, ,n} Ví dụ1 Cho X H(10, 6, 3)
a) Tính P(X = 2) , P(X = - 2) , P(X = 2,2) , P(X = 4) b) Tính P(X 2) , P(X 2)
Giải a) Ta có:
P(X = 2)
2 10
C C 0,5 C
P(X = - 2) = P(X = 2,2) = P(X = 4) = b) Ta có:
P(X 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)
0 2
6 6
3 3
10 10 10
C C C C C C
83,33%
C C C
P(X 2) = P(X = 2) + P(X = 3)
2
6
3
10 10
C C C C 66,67%
C C
(26)Giải
Ta có bảng phân phối xác suất X Y sau:
X Y PX 0,09 0,42 0,49 PX 0,2 0,6 0,2 Đại lượng ngẫu nhiên Z nhận giá trị bảng sau:
Z Y X
0
0 -
1
2
Ta có:
P(Z = - 1) = P(X = 0)P(Y = 2) = 0,090,2 = 0,018 P(Z = 0) = P(X = 1)P(Y = 2) = 0,420,2 = 0,084 P(Z = 1) = P(X = 0)P(Y = 1) + P(X = 2)P(Y = 2) = 0,090,6 + 0,490,2 = 0,152
P(Z = 2) = P(X = 1)P(Y = 1) = 0,420,6 = 0,252 P(Z = 3) = P(X = 0)P(Y = 0) + P(X = 2)P(Y = 1) = 0,090,2 + 0,490,6 = 0,312
P(Z = 4) = P(X = 1)P(Y = 0) = 0,420,2 = 0,084 P(Z = 5) = P(X = 2)P(Y = 0) = 0,490,2 = 0,098 Nên bảng phân phối xác suất Z là:
Z - PZ 0,018 0,084 0,152 0,252 0,312 0,084 0,098
Quy tắc tính gần phân phối siêu bội
Quy tắc Nếu X H(N, M, n), N lớn n nhỏ, coi X B(n ; p), với p M
N
Khi ta có cơng thức tính gần sau:
P(X = k) C p qk k n kn Ví dụ Cho X H(1000, 300, 10) Tính P(X 8)
Giải
Do X H(1000, 300, 10), N = 1000 lớn n = 10 nhỏ, nên coi:
X B(10 ; 0,3) Khi ta có:
P(X 8) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10)
= C 0,3 0,7810 C 0,3 0,7 C 0,3 0,7109 1 1010 10 0,0016
(27)M(X) = np , với p M
N
D(X) = npq N n
N
, với q = – p
Ví dụ Với X H(10, 6, 3), ta có:
M(X) = 3×0,6 = 1,8 D(X) = 3×0,6×0,410
10
= 0,56
Ứng dụng phân phối siêu bội
Một tập hợp có N phần tử, có M phần tử có tính chất A Lấy ngẫu nhiên từ tập hợp n phần tử
Định lý Nếu X số phần tử có tính chất A n phần tử lấy từ tập hợp X H(N, M, n)
Ví dụ1 Một hộp có bi xanh bi Lấy ngẫu nhiên từ hộp bi
a) Tính xác suất để bi lấy có bi xanh
b) Tính xác suất để bi lấy có bi xanh c) Tìm số bi xanh trung bình bi lấy
Giải Gọi X số bi xanh bi lấy thì:
X B(10 , , 3) a) Xác suất để bi lấy có bi xanh là: P(X = 1)
1
3 10
C C
0,3 C
b) Xác suất để bi lấy có bi xanh là: P(X 1) = – P(X < 1) = – P(X = 0)
0
3 10
C C
1 0,9667 C
Ví dụ2 Một lơ hàng có 10 sản phẩm, 70% sản phẩm loại I Một máy có khả sản xuất sản phẩm với tỉ lệ sản phẩm loại I 80% Lấy từ lô hàng sản phẩm cho máy sản xuất sản phẩm Hãy tìm luật phân phối xác suất số sản phẩm loại I sản phẩm
Giải
Lơ hàng có 10 sản phẩm, 70% sản phẩm loại I, nên lơ hàng có sản phẩm loại I Gọi X số sản phẩm loại I sản phẩm lấy từ lơ hàng thì:
X H(10 , , 2)
Gọi Y số sản phẩm loại I sản phẩm máy sản xuất thì: Y B(2 ; 0,8)
(28)Z = X + Y
Ta có bảng phân phối xác suất X Y là:
X Y PX 0,0667 0,4667 0,4667 PY 0,04 0,32 0,64 Nên đại lượng ngẫu nhiên Z nhận giá trị bảng sau:
Z Y X
0
0
1
2
Ta có:
P(Z = 0) = P(X = 0)P(Y = 0) = 0,0667×0,04 = 0,0027 P(X = 1) = P(X = 0)P(Y = 1) + P(X = 1)P(Y = 0) = 0,0667×0,32 + 0,4667×0,04 = 0,04 P(X = 2) = P(X = 0)P(Y = 2) + P(X = 1)P(Y = 1)
+ P(X = 2)P(Y = 0) = 0,0667×0,64 + 0,4667×0,32 + 0,4667×0,04 = 0,2107 P(X = 3) = P(X = 1)P(Y = 2) + P(X = 2)P(Y = 1)
= 0,4667×0,64 + 0,4667×0,32 = 0,448
P(X = 4) = P(X = 2)P(Y = 2) = 0,4667×0,64 = 0,2987 Nên bảng phân phối xác suất đại lượng ngẫu nhiên Z là:
Z PZ 0,0027 0,04 0,2107 0,448 0,2987
4.4 Phân phối chuẩn
Đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn
Định nghĩa Đại lượng ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất dạng
2
(x )
1
f(x) e
2
, x , gọi đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn theo hai tham số ; 2 ký hiệu X N( ; 2) Nếu X N(0 ; 1), nghĩa hàm mật độ X
2
x
1
f(x) e
2
,
X gọi đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn chuẩn tắc Khi ta có:
X N( ; 2) X
N(0 ; 1) Định lý Nếu X N( ; 2) thì:
P(x1 < X < x2) = x
–
1
x
(29)P(| X – | < ) = 2
Ví dụ Cho X N(3 ; 4)
a) Tính P(1 < X < 6) , P(X > 4) , P(X2 > 4) b) Tính P(| X – | < 4) , P(| X – | 1)
Giải a) Ta có:
P(1 < X < 6) = 3 (1,5) (1)
2
= 0,77445
P(X > 4) = P(4 < X < + ) = 0,5 –
2
= 0,3085
P(X2 > 4) = – P(X2 4) = – P(- X 2)
= – 3 [ (2,5) (0,5)]
2
= 0,6977
b) Ta có:
P(| X – | < 4) = (2)
2
= 0,9544
P(| X – | < 1) = P(1 < X < 3) = 3 (1)
2
= 0,3413
Các tham số đặc trưng phân phối chuẩn Định lý Nếu X N(( ; 2) thì:
M(X) = Mod(X) = D(X) = 2
Ví dụ Cho X đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn
a) Giả sử M(X) = 10 P(10 < X < 20) = 0,3 Tính P(0 < X < 10) b) Giả sử D(X) = 25 P(X > 20) = 0,62 Tìm M(X)
Giải a) Đặt D(X) = 2, ta có:
P(0 < X < 10) = 10 10 10 10
Do:
P(10 < X < 20) = 20 10 10 10 10
= 0,3
Nên:
(30)P(X > 20) = 0,5 – 20
= 0,62
20
= 0,12 520 0,3
= 21,5
Ứng dụng phân phối chuẩn
Đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn có nhiều ứng dụng thực tế Trọng lượng hay chiều cao người lớn, mức độ thông minh trẻ em, điểm thi thí sinh kỳ thi, sai số đo đạc, độ bền máy móc, kích thước chi tiết máy sản xuất ra, trọng lượng sản phẩm loại, suất loại trồng ruộng khác nhau, trọng lượng loại gia súc độ tuổi điều kiện chăm sóc, … đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn Khi đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn, ta vận dụng cơng thức tính xác suất tham số đặc trưng để giải vấn đề thực tế liên quan đến đại lượng
Ví dụ1 Trọng lượng loại trái đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với kỳ vọng 250 (g) phương sai 25 Người ta gọi trái trái loại I trọng lượng lớn 260g
a) Lấy ngẫu nhiên trái từ sọt trái Tính xác suất để trái trái loại I
b) Một người mua hàng định mua sọt trái kiểm tra ngẫu nhiên trái trái loại I Người kiểm tra 100 sọt Tính xác suất để người mua sọt
Giải
a) Gọi X trọng lượng loại trái X N(250 ; 25) Xác suất để trái lấy từ sọt trái trái loại I là:
P(X > 260) = 0,5 – 260 250
= 0,0228
b) Gọi Y số sọt trái mà người mua kiểm tra 100 sọt Do xác suất để người mua sọt trái 0,0228 nên:
Y B(100 ; 0,0228) hay Y (2,28)
Như xác suất để người mua sọt trái 100 sọt là: P(Y = 6) =
6 2,28
2,28 6! e
= 0,02
(31)c) Sinh viên phải xuất phát trước học tối thiểu phút xác suất bị trể học nhỏ 2% ?
Giải
Gọi X thời gian từ nhà đến trường sinh viên thì: X N( ; 2)
Do 65% số ngày sinh viên đến trường 20 phút nên: P(X > 20) = 0,65
Do 8% số ngày sinh viên đến trường 30 phút nên: P(X > 30) = 0,08
Do đó:
20 20
( 20) 0,5 0,5 0,65
30 20
( 30) 0,5 0,5 0,08 20 0,15 30 0, 42 20 0,38 30 1, 41 22,12 5,59 P X P X
a) Ta có:
M(X) = = 22,12
Nên thời gian từ nhà đến trường trung bình sinh viên 22,12 phút
b) Ta có:
P(X > 25) = 0,5 – 25 22,12 5,59
= 0,5 – (0,52) = 0,3015
Nên xác suất để sinh viên bị trể học 30,15%
c) Gọi t (phút) thời gian tối thiểu sinh viên phải xuất phát trước học để xác suất bị trể học nhỏ 0,02 thì:
P(X > t) < 0,02 0,5 – 22,12 5,59 t
(32) 22,12 5,59 t
> 0,48 t > 33,64
Như thời gian tối thiểu sinh viên phải xuất phát trước học để xác suất bị trể học nhỏ 0,02 34 phút
Ví dụ3 Giả sử chiều cao trung bình niên 165cm độ lệch chuẩn 4cm Tìm tỉ lệ niên có chiều cao 170cm
Giải
Gọi X chiều cao niên X N(165 ; 42) Khi tỉ lệ niên có chiều cao 170cm :
P(X > 170) = 0,5 – (1,25) = 0,1056
4.5 Phân phối “Chi – bình phương”
Đại lượng ngẫu nhiên có phân phối “Chi-bình phương” Giả sử X1, X2, … , Xn n đại lượng ngẫu nhiên độc lập có
phân phối chuẩn chuẩn tắc
Định nghĩa Đại lượng ngẫu nhiên liên tục 2 , xác định sau
2
= X1
+ X2
+ … + Xn
2 , gọi đại lượng ngẫu nhiên có phân phối
“Chi – bình phương” với n bậc tự ký hiệu 22
(n)
Các tham số đặc trưng
Định lý Nếu 22(n) M(2) = n D(2) = 2n
Ứng dụng phân phối “Chi – bình phương”
Giả sử 2 2(k) P(2 > a) = số dương a thường sử dụng để giải toán ước lượng hay kiểm định giả thiết thống kê toán Số dương a trường hợp thường ký hiệu 2(k) Với k cho trước 2(k) có giá trị ghi bảng phụ lục
4.6 Phân phối Student
Đại lượng ngẫu nhiên có phân phối Student
Giả sử X, X1, X2, … , Xn đại lượng ngẫu nhiên độc lập
có phân phối chuẩn chuẩn tắc
Định nghĩa Đại lượng ngẫu nhiên liên tục T =
2 2
1 n
X
X X X
n
được gọi đại lượng ngẫu nhiên có phân phối Student với n bậc tự ký hiệu T T(n)
Các tham số đặc trưng
Định lý Nếu T T(n) M(T) = D(T) =
2
n n
(33)Giả sử T T(k) P(T > a) = số dương a thường sử dụng để giải toán ước lượng hay kiểm định giả thiết trung bình tổng thể mẫu xét có kích thước nhỏ 30 Số dương a trường hợp thường ký hiệu t(k) Với k cho trước
t(k) có giá trị ghi bảng phụ lục
§5 ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU
5.1 Khái niệm đại lượng ngẫu nhiên hai chiều
Thực phép thử để quan sát đồng thời hai dấu hiệu giả sử quan sát có nhiều kết xảy Nếu ta dùng ký hiệu để biểu diễn kết xảy quan sát đồng thời hai dấu hiệu phép thử người ta gọi ký hiệu đại lượng ngẫu nhiên hai chiều hay véctơ ngẫu nhiên hai chiều
Định nghĩa Một đại lượng ngẫu nhiên hai chiều phép thử ký hiệu biểu diễn kết xảy quan sát đồng thời hai dấu hiệu phép thử
Đại lượng ngẫu nhiên hai chiều xác định dạng (X, Y), X Y đại lượng ngẫu nhiên phép thử, gọi thành phần (X, Y) Khi đại lượng ngẫu nhiên X nhận giá trị x đại lượng ngẫu nhiên Y nhận giá trị y ta nói đại lượng ngẫu nhiên (X, Y) nhận giá trị (x, y) Khi xác suất để (X, Y) nhận giá trị (x, y) ký hiệu P(X = x, Y = y) tính theo hai cách sau:
P(X = x, Y = y) = P(X = x)P(Y = y / X = x) P(X = x, Y = y) = P(Y = y)P(X = x / Y = y)
Định lý Điều kiện cần đủ để hai đại lượng ngẫu nhiên X Y đại lượng ngẫu nhiên hai chiều (X, Y) độc lập là:
P(X = x, Y = y) = P(X = x)P(Y = y)
5.2 Luật phân phối xác xuất
Giả sử (X, Y) đại lượng ngẫu nhiên hai chiều, X Y đại lượng ngẫu nhiên rời rạc nhận giá trị x1,
x2, … , xm y1, y2, … , yn
Định nghĩa Bảng phân phối xác suất đại lượng ngẫu nhiên hai chiều (X, Y) bảng có dạng sau:
P(X,Y) Y X
y1 y2 yn
x1 p11 p12 p1n
x2 p21 p22 p2n
(34)Trong pij = P(X = xi , Y = yj)
1
m n ij i j
p
=
Ví dụ Hãy lập bảng phân phối xác suất đại lượng ngẫu nhiên hai chiều (X, Y) , X Y hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập có bảng phân phối xác suất sau:
X - Y PX 0,2 0,3 0,5 PY 0,3 0,4 0,3
Giải
Do X Y hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập nên ta có: P(X = - 1, Y = 0) = P(X = - 1)P(Y = 0) = 0,20,3 = 0,06 P(X = - 1, Y = 1) = P(X = - 1)P(Y = 1) = 0,20,4 = 0,08 P(X = - 1, Y = 2) = P(X = - 1)P(Y = 2) = 0,20,3 = 0,06 P(X = 0, Y = 0) = P(X = 0)P(Y = 0) = 0,30,3 = 0,09 P(X = 0, Y = 1) = P(X = 0)P(Y = 1) = 0,30,4 = 0,12 P(X = 0, Y = 2) = P(X = 0)P(Y = 2) = 0,30,3 = 0,09 P(X = 1, Y = 0) = P(X = 1)P(Y = 0) = 0,50,3 = 0,15 P(X = 1, Y = 1) = P(X = 1)P(Y = 1) = 0,50,4 = 0,20 P(X = 1, Y = 2) = P(X = 1)P(Y = 2) = 0,50,3 = 0,15 Nên bảng phân phối xác suất đại lượng ngẫu nhiên (X, Y) là:
P(X,Y) Y X
0
- 0,06 0,08 0,06 0,09 0,12 0,09 0,15 0,20 0,15
5.3 Phân phối lề phân phối có điều kiện
Cho đại lượng ngẫu nhiên hai chiều (X, Y) có bảng phân phối xác suất sau:
P(X,Y) Y X
y1 y2 yn
x1 p11 p12 p1n
x2 p21 p22 p2n
xm pm1 pm2 pmn
Phân phối lề
(35)Với (X, Y) có bảng phân phối xác suất phân phối lề theo X Y xác định sau:
X x1 x2 xm Y y1 y2 yn
PX p1 p2 pm P Y
p1 q2 pn
Trong
1
,
n m
i ij j ij
j i
p p q p
(i = 1, 2, … , m j = 1, 2, … , n)
Phân phối có điều kiện
Định nghĩa Bảng phân phối xác suất đại lượng ngẫu nhiên X (hay Y) với điều kiện Y = yj (hay X = xi) gọi phân phối có điều
kiện X (hay Y) theo Y(hay X)
Với (X, Y) có bảng phân phối xác suất ta có phân phối xác suất có điều kiện xác định sau:
X/Y = y/ j x1 x2 xm Y/X = xi y1 y2 yn PX Y y j
p1/j p2/j pm/j
/
PY X x i
q1/i q2/i qn/i
Trong đó:
/
/
( , )
( / )
( )
( , )
( / )
( )
i j ij
i j i j
j j
i j ij
j i j i
i i
P X x Y y p
p P X x Y y
P Y y q
P X x Y y p
q P Y y X x
P X x p
Ví dụ Cho đại lượng ngẫu nhiên hai chiều (X, Y) có bảng phân phối xác suất sau:
P(X,Y) Y X
0
1 3
2 2 4 2
3 2 5
a) Hãy xác định .
b) Lập phân phối lề theo X Y
c) Lập phân phối xác suất X với điều kiện Y = Giải
a) Ta có:
3 + + 2 + 4 + 2 + + 2 + 5 = = 0,05 Khi bảng phân phối xác suất (X, Y) là:
P(X,Y) Y X
0
1 0,15 0,05
(36)b) Ta có:
P(X = 1) = 0,15 + 0,05 + = 0,2 P(X = 2) = 0,1 + 0,2 + 0,1 = 0,4 P(X = 3) = 0,05 + 0,1 + 0,25 = 0,4 P(Y = 0) = 0,15 + 0,1 + 0,05 = 0,3 P(Y = 1) = 0,05 + 0,2 + 0,1 = 0,35 P(Y = 2) = + 0,1 + 0,25 = 0,35 Nên phân phối lề theo X Y (X, Y) là:
X Y PX 0,2 0,4 0,4 PY 0,3 0,35 0,35 c) Ta có:
( , 0) 0,15
( 1/ 0) 0,5
( 0) 0,30
( , 0) 0,10
( / 0) 0,3333
( 0) 0,30
( , 0) 0,05
( / 0) 0,1667
( 0) 0,30
P X Y
P X Y
P Y
P X Y
P X Y
P Y
P X Y
P X Y
P Y
Nên bảng phân phối xác suất X Y = : X/Y =
PX/Y = 0,5 0,3333 0,1667
5.4 Kỳ vọng (X, Y)
Cho đại lượng ngẫu nhiên hai chiều (X, Y) có bảng phân phối xác suất sau:
P(X,Y) Y X
y1 y2 yn
x1 p11 p12 p1n
x2 p21 p22 p2n
xm pm1 pm2 pmn
Kỳ vọng X Y Định lý
a) Kỳ vọng đại lượng ngẫu nhiên X xác định sau: M(X) =
1
m n i ij i j
x p
b) Kỳ vọng đại lượng ngẫu nhiên Y xác định sau: M(Y) =
1
n m j ij j i
y p
(37)Định lý Kỳ vọng đại lượng ngẫu nhiên tích XY xác định sau:
M(XY) =
1
m n
i j ij i j
x y p
Chú ý X, Y độc lập M(XY) = M(X)M(Y)
Kỳ vọng có điều kiện X Y Định lý
a) Kỳ vọng đại lượng ngẫu nhiên X với điều kiện Y = yj xác
định sau:
M(X/Y = yj) =
1
m i ij i
m ij i
x p p
b) Kỳ vọng đại lượng ngẫu nhiên Y với điều kiện X = xi xác
định sau:
M(Y/X = xi) =
1
1
n j ij j
n ij j
y p
p
Định nghĩa Người ta gọi hàm số f(x) = M(Y/X = x) hàm hồi quy Y X hàm số g(y) = M(X/Y = y) hàm hồi quy X Y
Ví dụ Cho đại lượng ngẫu nhiên hai chiều (X, Y) có bảng phân phối xác suất sau:
P(X,Y) Y X
0
1 0,15 0,05
2 0,10 0,20 0,10 0,05 0,10 0,25 Tìm M(X), M(Y), M(XY), M(X/Y = 0) M(Y/X = 3)
Giải Ta có:
M(X) = 10,15 + 10,05 + 10 + 20,1 + 20,2 + 20,1
+ 30,05 + 30,1 + 30,25 = 2,2 M(Y) = 00,15 + 10,05 + 20 + 00,1 + 10,2 + 20,1
+ 00,05 + 10,1 + 20,25 = 1,05 M(XY) = 100,15 + 110,05 + 120 + 200,1 + 210,2
(38)M(X/Y = 0) = 0,15 0,1 0,05
0,15 0,1 0,05
= 1,6667
M(Y/X = 3) = 0,05 0,1 0,25
0,05 0,1 0,25
= 1,5
5.5 Covarian hệ số tương quan
Cho đại lượng ngẫu nhiên hai chiều (X, Y) Hai đại lượng ngẫu nhiên X Y (X, Y), quan hệ biết độc lập và hàm, cịn có quan hệ phụ thuộc quan trọng quan hệ tương quan Hai đại lượng ngẫu nhiên X Y gọi có quan hệ tương quan X thay đổi kỳ vọng Y Y thay đổi theo, nghĩa hàm hồi quy Y X, f(x) = M(Y/X = x), hàm Nếu hàm hồi quy f(x) hàm tuyến tính, nghĩa f(x) = ax + b, ta nói X Y có quan hệ tương quan tuyến tính Để đo mức độ tương quan X Y, người ta dùng số đặc trưng covarian hệ số tương quan
Covarian
Định nghĩa Covarian (hay gọi hiệp phương sai) hai đại lượng ngẫu nhiên X Y, ký hiệu Cov(X, Y), số đuợc xác định sau:
Cov(X, Y) = M{[X – M(X)][Y – M(Y)]} = M(XY) – M(X)M(Y)
Hệ số tương quan
Định nghĩa Hệ số tương quan hai đại lượng ngẫu nhiên X Y, ký hiệu RXY, số xác định sau:
RXY
{[ ( )][ ( )]} ( , ) ( ) ( ) ( ) ( )
M X M X Y M Y Cov X Y X Y D X D Y
Trong thực tế, ta tính hệ số tương quan hai đại lượng ngẫu nhiên X Y theo công thức sau:
RXY
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
M XY M X M Y D X D Y
RXY số khơng có đơn vị đo RXY Nếu RXY X
Y có quan hệ tương quan Đặc biệt, RXY= X Y có quan hệ
tương quan tuyến tính Nếu RXY > (< 0) X Y có quan hệ tương
quan thuận (nghịch), nghĩa hàm hồi quy hàm tăng (giảm)
Ví dụ Cho đại lượng ngẫu nhiên hai chiều (X, Y) có bảng phân phối xác suất ví dụ phần 5.3 5.4
Ta có phân phối lề theo X Y (X, Y) là:
X Y PX 0,2 0,4 0,4 PY 0,3 0,35 0,35 Nên:
(39)M(XY) = 2,65 Do đó:
RXY 2,65 2,2 1,05 0,5646 0,56 0,6475
Bài tập chương _
2.1 Tung hai hột xí ngầu
a) Hãy lập bảng phân phối xác suất tổng số nút xuất hai hột xí ngầu
b) Tính xác suất để tổng số nút xuất hai hột xí ngầu từ đến nút
2.2. Một hộp có 12 bóng đèn, có bóng hư Lấy ngẫu nhiên từ hộp bóng
a) Hãy lập bảng phân phối hàm phân phối xác suất số bóng đèn bỉ hư bóng lấy
b) Tính xác suất để có tối đa bóng bị hư bóng lấy
2.3. Có hai lơ hàng Lơ thứ có sản phẩm gồm sản phẩm loại A sản phẩm loại B Lô thứ hai có 10 sản phẩm gồm sản phẩm loại A sản phẩm loại B Lấy ngẫu nhiên sản phẩm từ lô thứ bỏ vào lô thứ hai, sau lấy ngẫu nhiên sản phẩm lô thứ hai
a) Hãy lập bảng phân phối xác suất số sản phẩm loại B sản phẩm lấy từ lô thứ bỏ vào lơ thứ hai
b) Tính xác suất để sản phẩm lấy lô thứ hai sản phẩm loại B c) Nếu sản phẩm lấy lô thứ hai sản phẩm loại B, tính xác suất để
lấy sản phẩm loại A từ lô thứ
2.4. Có ba hộp bi Hộp có bi xanh bi đỏ, hộp có bi xanh bi đỏ, hộp có bi xanh bi đỏ Lấy ngẫu nhiên từ hộp bi gọi X số bi xanh có bi lấy
a) Hãy lập bảng phân phối xác suất X b) Tính P(X > 2), P(X 1)
2.5. Ba vận động viên đội tuyển có khả thi đấu thắng trận 50%, 70%, 80% Mỗi vận động viên thi đấu trận với vận động viên đội bạn
a) Hãy lập bảng phân phối hàm phân phối xác suất số trận thắng đội tuyển trận đấu
b) Tính xác suất để đội tuyển thắng trận
(40)2.7. Một hộp có chai thuốc, có chai thuốc giả Người ta kiểm tra chai thuốc phát chai thuốc giả dừng kiểm tra Hãy tìm luật phân phối xác suất số chai thuốc phải kiểm tra
2.8. Có hai hộp bi Hộp có bi xanh bi đỏ, hộp có bi xanh bi đỏ
a) Lấy ngẫu nhiên từ hộp i i viên bi (i = 1, 2) Tìm luật phân phối xác suất số bi xanh bi lấy
b) Chọn ngẫu nhiên hộp từ hộp lấy ngẫu nhiên bi Tìm luật phân phối xác suất số bi xanh bi lấy
c) Lấy bi từ hộp bỏ qua hộp 2, sau từ hộp lấy bi Hãy tìm luật phân phối xác suất số bi xanh bi lấy
2.9. Có ba hộp, hộp đựng 10 sản phẩm, hộp i có i + phế phẩm (i = 1, 2, 3)
a) Chọn ngẫu nhiên hộp từ hộp lấy ngẫu nhiên sản phẩm Hãy tìm luật phân phối xác suất số phế phẩm sản phẩm lấy
b) Lấy ngẫu nhiên sản phẩm từ hộp bỏ vào hộp 2, sau từ hộp lấy ngẫu nhiên sản phẩm Hãy tìm luật phân phối xác suất số sản phẩm tốt sản phẩm lấy từ hộp
c) Lấy ngẫu nhiên sản phẩm từ hộp hộp bỏ vào hộp 3, sau từ hộp lấy ngẫu nhiên sản phẩm Hãy tìm luật phân phối xác suất số sản phẩm tốt sản phẩm lấy từ hộp d) Chọn ngẫu nhiên hộp từ hộp lấy ngẫu nhiên sản
phẩm sản phẩm sản phẩm tốt Lấy tiếp từ hộp sản phẩm Hãy tìm luật phân phối xác suất số sản phẩm tốt sản phẩm lấy lần sau
e) Chọn ngẫu nhiên hai ba hộp từ hai hộp lấy ngẫu nhiên hộp sản phẩm Hãy tìm luật phân phối xác suất số sản phẩm tốt sản phẩm lấy
2.10. Cho X đại lượng ngẫu nhiên có phân phối xác suất sau: X -
PX 2 3 4 a) Hãy xác định giá trị
b) Hãy lập bảng phân phối xác suất đại lượng ngẫu nhiên sau: Y = X2 , Z = X, U = 2X – , V = X2 – X +
2.11. Cho X Y hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập có bảng phân phối xác suất sau:
X - Y PX 0,2 0,3 0,3 0,2 PY 0,2 0,3 0,5
(41)b) Tính P(X = Y)
2.12. Một hộp có bi xanh bi đỏ Lấy ngẫu nhiên từ hộp bi a) Lập bảng phân phối xác suất số bi xanh bi lấy b) Lập bảng phân phối xác suất số bi xanh lại hộp 2.13. Một lơ hàng có 10 sản phẩm, có phế phẩm Một kho
hàng có tỉ lệ phế phẩm 5% Lấy ngẫu nhiên từ lô hàng kho hàng nơi sản phẩm Hãy lập bảng phân phối xác suất của: a) Số phế phẩm sản phẩm lấy từ lô hàng
b) Số phế phẩm sản phẩm lấy từ kho hàng
c) Số phế phẩm sản phẩm lấy từ lô hàng kho hàng 2.14. Cho X đại lượng ngẫu nhiên có bảng phân phối xác suất sau:
X - PX 0,2 0,1 0,4 0,3 a) Tìm M(X), D(X), (X), Mod(X)
b) Lập bảng phân phối xác suất Y = [X – M(X)]2 tìm M(Y) Có nhận xét M(Y) D(X)?
2.15. Cho X Y hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập có bảng phân phối xác suất sau:
X - Y PX 0,1 0,2 0,3 0,4 PY 0,2 0,3 0,5 a) Tìm M(X), D(X), M(Y), D(Y)
b) Tìm M(Z), D(Z), với Z = 3X – 2Y +
c) Tìm M(U), D(U), với U = XY Có nhận xét M(XY) với M(X)M(Y) D(XY) với D(X)D(Y) ?
2.16. Một thủ kho có chùm gồm chìa khóa, có chìa mở cửa kho Thủ kho thử ngẫu nhiên chìa (chìa mở khơng bỏ ra) mở cửa kho thơi khơng mở Thủ kho thử trung bình lần mở cửa kho?
2.17. Một lơ hàng có 10 sản phẩm, có số phế phẩm Gọi X số phế phẩm lơ hàng X có phân phối xác suất sau:
X PX 0,2 0,5 0,3 Lấy ngẫu nhiên từ lơ hàng sản phẩm
a) Hãy lập bảng phân phối xác suất số phế phẩm sản phẩm lấy
b) Tìm số phế phẩm trung bình, độ đồng số phế phẩm số phế phẩm tin chắn sản phẩm lấy
(42)năm số tiền đền bù trung bình cho vụ tai nạn giao thơng triệu đồng Hãy tìm lợi nhuận trung bình cho hợp đồng bảo hiểm cơng ty B, biết tổng chi phí khác cho hợp đồng bảo hiểm chiếm 30% số tiền mua bảo hiểm
2.19. Cho X (3)
a) Tính P(X = 0) , P(X = 1) , P(X = 2) , P(X 3) b) Tìm M(X) , D(X) , Mod(X)
2.20. Cho X B(10 ; 0,8)
a) Tính P(X = 0) , P(X = 1) , P(X = 2) , P(X 3) , P(1 < X 5) b) Tìm M(X) , D(X) , Mod(X)
2.21. Cho X B(500 ; 0,004) Y B(100 ; 0,2) a) Tính P(X = 2) , P(X 2) , P(X 2)
b)Tính P(15 Y 30) , P(20 Y 28) , P(16 Y 24) , P(Y 8) c) Tìm M(X) , D(X) , Mod(X) , M(Y) , D(Y) , Mod(Y)
2.22. Cho X H(10 , , 4) Y H(20 000 , 12 000 , 6) a) Tính P(X = 0) , P(X = 2) , P(1 X < 3), P(X > 3) b) Tính P(1 < Y 3) , P(Y > 4)
c) Tìm M(X) , D(X) , M(Y) , D(Y)
2.23. Cho X B(2 ; 0,95) Y H(10 , , 2) hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập Đặt Z = X – Y
a) Hãy lập bảng phân phối xác suất X Y b) Hãy lập bảng phân phối xác suất Z
c) Tìm M(X) , D(X) , M(Y) , D(Y) , M(Z) , D(Z) d) Tính P(X = Y)
2.24. Cho X B(2 ; 0,5) Y H(5 , , 2) hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập Đặt Z = 6M(X)X – 5M(Y)Y – 50D(X)D(Y)
a) Hãy lập bảng phân phối xác suất Z b) Tìm M(Z) , D(Z) , Mod(Z)
c)Tính P(X < Y) 2.25. Cho X N(500 ; 4)
a) Tìm M(X) , D(X) , Mod(X)
b) Tính P(494 X 506) , P(X < 495) , P(X > 504) c) Tính P(| X – 500 | < 3) , P(| X – 490 | < 10)
2.26. Cho X N(100 ; 2) P(94 < X < 106) = 0,9544 a) Tìm
b) Tính P(97 X 102) , P(| X – 100 | > 6) , P(| X – 90 | < 10) 2.27. Tại tổng đài điện thoại 1080, trung bình có 150 gọi
đến nhờ giúp đở Tính xác suất để phút tổng đài đó: a) Nhận gọi
(43)2.28. Tại trạm kiểm sốt giao thơng, trung bình phút có ơ-tơ qua Tính xác suất để:
a) Có ô-tô qua trạm phút
b) Có ơ-tơ qua trạm t phút Tìm t để xác suất 0,99
2.29. a) Tung đồng xu lần Tính xác suất để có lần đồng xu xuất mặt sấp
b) Tung hột xí ngầu 10 lần Tính xác suất để có nhiều lần hột xí ngầu xuất mặt hay nút
c) Giả sử xác suất để gà đẻ trứng ngày 60% Tính xác suất để ngày có 15 gà đẻ trứng d) Bài thi trắc nghiệm có 20 câu hỏi Mỗi câu hỏi có đáp án,
đó có đáp án Hãy tìm số câu trả lời trung bình học viên khơng thuộc làm trắc nghiệm
e) Một máy dệt có 800 ống sợi Giả sử xác suất để ống sợi bị đứt 0,5% Hãy tìm số ống sợi bị đứt chắn máy dệt
2.30. Giả sử xác suất để sản phẩm nhà máy sau sản xuất không kiểm tra chất lượng 20% Tính xác suất để 400 sản phẩm nhà máy:
a) Có 80 sản phẩm khơng kiểm tra chất lượng
b) Có từ 70 đến 100 sản phẩm không kiểm tra chất lượng 2.31. Một xạ thủ có xác suất bắn trúng mục tiêu 70%
a) Tính xác suất để xạ thủ bắn trúng lần bắn phát b) Tính xác suất để xạ thủ bắn trúng lần bắn phát c) Hãy tìm số lần bắn trúng trung bình số lần bắn trúng tin
nhất xạ thủ bắn 100 phát
d) Xạ thủ phải bắn phát để xác suất có lần bắn trúng không nhỏ 80%?
2.32. Trong đợt thi tay nghề, công nhân dự thi chọn ngẫu nhiên hai máy dùng máy để sản xuất 100 sản phẩm Nếu 100 sản phẩm sản xuất có 80 sản phẩm loại I cơng nhân nâng bậc thợ Giả sử cơng nhân N có khả sản xuất sản phẩm loại I hai máy 70% 90% Tính xác suất để cơng nhân N nâng bậc thợ
2.33. Sản phẩm nhà máy đóng thành hộp, hộp gồm 10 sản phẩm Số sản phẩm loại I hộp X có phân phối xác suất sau:
(44)Khách hàng chọn cách kiểm tra để mua hàng sau: Từ hộp lấy ngẫu nhiên sản phẩm để kiểm tra, thấy có sản phẩm loại I nhận, ngược lại loại hộp
a) Lấy ngẫu nhiên hộp để kiểm tra Tính xác suất để có hộp nhận
b) Khách hàng phải kiểm tra hộp để xác suất có hộp nhận không nhỏ 90%?
2.34. Sau sản xuất xong, sản phẩm nhà máy Đại Hùng đóng thành hộp chứa 10 sản phẩm Cho biết số sản phẩm loại I hộp có phân phối sau:
Số sản phẩm loại I 10 Tỉ lệ hộp tương ứng 0,1 0,3 0,4 0,2
Một khách hàng muốn mua lô hàng gồm 500 hộp nhà máy Khách hàng kiểm tra hộp cách chọn ngẫu nhiên sản phẩm hộp, sản phẩm loại I nhận hộp Tìm số hộp tin mà khách hàng nhận
2.35. a) Một sọt trái có 12 trái, có trái hư Một người mua trái sọt Tính xác suất để người mua phải trái bị hư b)Một lơ hàng có 1000 sản phẩm, có 400 sản phẩm loại
A Lấy ngẫu nhiên từ lơ hàng 10 sản phẩm Tính xác suất để sản phẩm loại A 10 sản phẩm lấy
2.36. Sản phẩm nhà máy đóng thành hộp, hộp gồm 10 sản phẩm với tỉ lệ thứ phẩm 20%
a) Lấy ngẫu nhiên từ hộp sản phẩm Hãy tìm luật phân phối xác suất số sản phẩm tốt sản phẩm lấy
b) Trước mua hàng nhà máy, khách hàng kiểm tra cách lấy ngẫu nhiên từ hộp sản phẩm, sản phẩm sản phẩm tốt mua hộp Tính xác suất để kiểm tra 100 hộp khách hàng mua 50 hộp Khách hàng phải kiểm tra hộp xác suất có hộp mua không nhỏ 99%?
2.37. Lãi suất đầu tư (%) vào dự án địa phương coi đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn Theo đánh giá chuyên gia kinh tế xác suất để lãi suất đầu tư vào dự án địa phương cao 20 15,87% lãi suất đầu tư cao 25 2,28%
a) Tính lãi suất đầu tư trung bình vào dự án
b) Tính xác suất khơng bị thua lỗ đầu tư vào dự án
2.38. Đường kính (cm) trục máy máy tiện sản xuất đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với = 30 (cm)
(45)kính từ 29,9744cm đến 30,0265cm Sản xuất 100 trục máy Tính xác suất để:
a) Có 75 trục máy đạt tiêu chuẩn
b) Có khơng 75 trục máy đạt tiêu chuẩn
2.39. Chiều dài (mm) chi tiết máy gia công máy tự động đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn Một chi tiết máy coi đạt tiêu chuẩn chiều dài thực tế sai lệch so với chiều dài trung bình khơng vượt q 0,02mm
a) Giả sử độ lệch chuẩn chiều dài chi tiết máy 0,01mm Tìm tỉ lệ chi tiết máy không đạt tiêu chuẩn
b) Hãy xác định độ đồng chiều dài chi tiết máy để tỉ lệ chi tiết máy không đạt tiêu chuẩn 1%
2.40. Cho X Y hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập có bảng phân phối xác suất sau:
X Y PX 0,2 0,3 0,5 PY 0,4 0,6
Hãy lập bảng phân phối xác suất đại lượng ngẫu nhiên hai chiều (X, Y)
2.41. Cho đại lượng ngẫu nhiên hai chiều (X, Y) có bảng phân phối xác suất sau:
P(X,Y) Y X
- 1
1 0,1 0,1
2 0,2 0,3 0,1
3 0,08 0,02 0,1 a) Lập bảng phân phối xác suất X Y
b) Lập bảng phân phối xác suất X với điều kiện Y = - c) Lập bảng phân phối xác suất Y với điều kiện X =
d) Tìm M(X), M(Y), M(XY), M(X/Y = 0) M(Y/X = 2) X Y có phải hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập không? Tại sao?
e) Tìm Cov(X, Y) , RXY Hai đại lượng ngẫu nhiên X Y có quan
hệ tương quan khơng ? Có quan hệ tương quan tuyến tính khơng ? 2.42. Một hộp có bi xanh, bi đỏ bi vàng Lấy ngẫu nhiên từ hộp
đó bi Gọi X số bi xanh Y số bi đỏ bi lấy a) Lập bảng phân phối xác suất đại lượng ngẫu nhiên (X, Y)
Số bi xanh số bi đỏ bi lấy có độc lập khơng?
b) Lập bảng phân phối xác suất số bi đỏ bi lấy với điều kiện bi khơng có bi xanh
(46)2.43. Nghiên cứu đồng thời chi phí quảng cáo X doanh thu Y (cả hai có đơn vị tính triệu đồng/tháng) cơng ty, ta có bảng phân phối xác suất sau:
P(X,Y) Y X
100 150 200
0 0,1 0,05 0,05
1 0,05 0,2 0,15
2 0,1 0,3
a) Lập bảng phân phối xác suất chi phí quảng cáo doanh thu hàng tháng cơng ty Theo bạn chi phí quảng cáo doanh thu hàng tháng cơng ty có độc lập khơng?
b) Lập bảng phân phối xác suất chi phí quảng cáo hàng tháng với điều kiện doanh thu hàng tháng công ty 200 triệu đồng c) Tìm doanh thu trung bình cơng ty với điều kiện chi phí
quảng cáo hàng tháng công ty triệu đồng
d) Tìm hệ số đo mức độ quan hệ chi phí quảng cáo doanh thu cơng ty Quan hệ chi phí quảng cáo doanh thu thuận hay nghịch?
2.44. Cho X đại lượng ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất sau:
cos [ ; ]
2 ( )
0 [ ; ]
2
x neáu x f x
neáu x
a) Xác định giá trị
b) Lập hàm phân phối xác suất X c) Tìm kỳ vọng phương sai X d) Tính P(0 < X <
4
)
2.45. Cho X đại lượng ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất sau:
1
2 ( )
0
2
neáu x f x
neáu x
a) Lập hàm phân phối xác suất X
(47)