Phương pháp giải toán hình học không gian

2.2.3 Xác định tâm và bán kính khối cầu ngoại tiếp Mặt cầu S ( O ; R ) gọi là ngoại tiếp một hình không gian (như hình chóp, lăng trụ, hình nón, hình trụ) nếu nó đi qua mọi đỉnh của hình[r]

Đ Ộ T P H Á T Ư D U Y G I Ả I N H A N H T R Ắ C N G H I Ệ M

xuất b i n hà x uất bả n a bc

gi ải chi ti ết bà i tậ p có tạ i h t t p s : / / e st u dy ed u v n / d i s c u s s ion

Điều khoản quyền theo luật sở hữu trí tuệ số 50/2005/QH11; bạn khơng phép chép tài liệu ngoại trừ cho phép tác giả Bạn tìm hiểu thêm luật quyền tạihttp://www.cov gov.vn Ngoại trừ cho phép tác giả, hành vi i n , mua bán, k inh doan h thứ cấp vi phạm quyền theo luật quyền

1 KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN 9

1.1 Đại cương khối đa diện

1.1.1 Khối đa diện

1.1.2 Cơ phép biến hình khơng gian 11

1.1.3 Khối đa diện lồi, đa diện 14

1.1.4 Bài tập áp dụng 17

1.2 Thể tích khối đa diện 18

1.2.1 Làm chủ hình vẽ khối chóp lăng trụ 18

1.2.2 Tính thể tích khối chóp 24

1.2.3 Bài tập áp dụng 38

1.2.4 Thể tích khối lăng trụ 39

1.2.5 Bài tập áp dụng 43

1.2.6 Phương pháp tỉ số thể tích 44

1.2.7 Bài tập áp dụng 51

1.2.8 Bài toán cực trị toán thực tế 52

1.2.9 Bài tập áp dụng 61

1.3 Khoảng cách góc 62

1.3.1 Khoảng cách 62

1.3.2 Bài tập áp dụng 71

1.3.3 Góc 72

1.3.4 Bài tập áp dụng 89

2 Khối trịn xoay 90 2.1 Khối nón khối trụ 90

2.1.1 Định nghĩa số thiết diện 90

2.1.2 Thể tích diện tích 93

2.1.3 Bài tập áp dụng 100

2.2 Mặt cầu khối cầu 101

2.2.1 Định nghĩa vị trí tương đối 101

2.2.2 Thể tích khối cầu diện tích mặt cầu 104

2.2.3 Xác định tâm bán kính khối cầu ngoại tiếp 105

2.2.4 Bài tập áp dụng 110

2.3 Thể tích lớn nhỏ toán thực tế khối tròn xoay 111

2.3.1 Phương pháp chung cho bào tốn cực trị hình học 111

2.3.2 Một số ví dụ trải hình tính tốn thực tế 114

2.3.3 Bài tập áp dụng 117

KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

1.1 Đại cương khối đa diện

1.1.1 Khối đa diện

Mục giới thiệu kiến thức đại cương khối đa diện nên khái niệm tổng hợp lại Sách giáo khoa Cơ Hình học 12 [3] nhằm thống khái niệm chương trình

Định nghĩa 1.1.1: Hình đa diện

Hình đa diện(H) (gọi tắt đa diện) hình tạo số hữu hạn đa giác thỏa mãn đồng thời ba điều kiện:

• Hai đa giác phân biệt khơng giao nhau, có đỉnh chung, có cạnh chung

• Mỗi cạnh đa giác cạnh chung hai đa giác

• Với hai mặt S, S′ tồn dãy mặtS0, S1, , Sn cho S0 ≡ S, Sn≡S′ hai mặt liên tiếp dãy có cạnh chung

Mỗi đa giác gọi mặt hình đa diện(H) Các đỉnh, cạnh đa giác theo thứ tự gọi đỉnh, cạnh hình đa diện(H)

Đỉnh

Cạnh

Mặt

Định nghĩa 1.1.2: Khối đa diện

Mỗi đa diện(H) chia điểm cịn lại khơng gian thành hai miền không giao nhau: miền miền ngồi của(H) Trong có miền chứa hoàn toàn đường thẳng

Các điểm thuộc miền gọi điểm trong, điểm thuộc miền gọi điểm của(H)

Khối đa diện(H)(lấy tên với hình đa diện) hợp hình đa diện(H)và miền

d

M

N Miền ngồi

Điểm ngồi

Điểm

Ví dụ 1.1.1

Các hình khối đa diện:

Ví dụ 1.1.2

Các hình khối đa diện:

Hình a) khơng khối đa diện có cạnh (trên cùng) khơng cạnh chung hai mặt Điều vi phạm điều kiện thứ hai trongĐịnh nghĩa 1.1.1

Hình b) khơng khối đa diện có mặt phẳng chứa đỉnh mặt khác Khi đó, mặt phẳng giao với mặt phẳng khác lại khơng có đỉnh chung khơng có cạnh chung Điều vi phạm điều kiện trongĐịnh nghĩa 1.1.1

Hình c) khơng khối đa diện có cạnh cạnh chung bốn mặt Điều vi phạm điều kiện hai trongĐịnh nghĩa 1.1.1

Hình d) khơng khối đa diện vi phạm điều kiện thứ ba trongĐịnh nghĩa 1.1.1 1.1.2 Cơ phép biến hình khơng gian

Định nghĩa 1.1.3: Phép biến hình

Phép biến hình khơng gian quy tắcFmà với điểmM không gian, thực theo quy tắcF, dựng điểmM′ ĐiểmM′được gọi ảnh điểmMqua phép biến hìnhF, ký hiệu làM′=F(M)

Ví dụ 1.1.3: Phép tịnh tiến theo vectơ−→v

Là quy tắc: ”Mỗi điểm M biến thành điểmM′

sao cho−−−→M M′ =−→v”

Ký hiệu,T−→v:M →M′ ⇔−−−→M M′ =−→v

− →v

M

M′

Ví dụ 1.1.4: Phép đối xứng qua mặt phẳng(P)

Là quy tắc: ”Mỗi điểm M biến thành nếuM ∈ (P)và biến thànhM′

sao cho(P)là mặt phẳng trung trực

M M′ nếuM không thuộc(P)”

Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng (P) biến hìnhH thành thì(P)được gọi mặt phẳng đối xứng củaH

(P)

M

H

M′

Ví dụ 1.1.5: Phép đối xứng tâmO

Là quy tắc: ”BiếnOthành nó, biến điểmM ̸=O

thànhM′ choO trung điểm củaM M′”

Nếu phép đối xứng tâmO biến hìnhH thành

Ođược gọi tâm đối xứng củaH

Ví dụ 1.1.6: Phép đối xứng qua đường thẳng∆

Là quy tắc: ”Biến điểm thuộc ∆ thành biến điểm M

không thuộc ∆thành M′ cho ∆ trung trực củaM M′”

Nếu phép đối xứng trục∆biến hìnhH thành thì∆được gọi trục đối xứng hìnhH

∆

H

M M

′

Định nghĩa 1.1.4: Phép dời hình hai hình nhau

• Phép biến hình F gọi phép dời hình với hai điểmM, N bất kỳ, gọi

M′, N′lần lượt ảnh củaM, N qua phép biến hìnhF, ta cóM′N′ =M N.

Ví dụ:Các phép tịnh tiến, đối xứng qua mặt phẳng, đối xứng tâm, đối xứng qua đường thẳng phép dời hình

Chú ý: Thực liên tiếp phép dời hình phép dời hình Hơn nữa, phép dời hình biến hìnhH thành hìnhH′thì biến đỉnh, cạnh, mặt củaH tương ứng thành đỉnh, cạnh, mặt củaH′

• Hai hình đa diện gọi có phép dời hình biến hình đa diện thành hình đa diện

Ví dụ 1.1.7

Phép tính tiến vectơ−→v biến đa diện(H)thành đa diệnH′, phép đối xứng tâmO biến đa diện(H′)thành đa diện(H′′) Khi đó, phép dời hình có cách thực liên tiếp phép tính tiến vectơ−→v phép đối xứng tâmObiến đa diện(H)thành đa diện (H′′) Do đó, đa diện(H),(H′)và(H′′)bằng

(H)

(H′)

(H′′) −

→v

Định nghĩa 1.1.5: Phép vị tự phép đồng dạng

• Phép vị tự tâm O tỉ sốk ̸= 0là quy tắc biến điểm M thành điểm M′ cho −−−→

OM′=k−−→OM

O M M′

N

N′

• Phép biến hìnhF gọi phép đồng dạng tỉ sốk >0nếuF biến hai điểmM, N

bất kỳ thành hai điểmM′, N′ choM′N′ =k.M N

Ví dụ: Phép vị tự tâmOtỷ sốk̸= 0là phép đồng dạng tỷ số|k|.

Chú ý: Phép đồng dạng tỷ sốk >0biến khối đa diện(H)thành khối đa diện(H′)thì tỉ số thể tích của(H′)và(H)bằngk3(lập phương tỉ số đồng dạng) Chú ý hữu ích cho tốn tỉ lệ thể tích phần sau

Ví dụ 1.1.8

Cho tứ diệnABCD GọiA′ trọng tâm tam giác BCD Các đường thẳng quaA′

lần lượt song song với AB, AC, ADlần lượt cắt mặt phẳng(ACD),(ABD),(ABC) tạiB′, C′, D′ Chứng minh tứ diệnABCDvàA′B′C′D′đồng dạng

Hướng dẫn

GọiM trung điểm củaCD DoA′là trọng tâm tam giácBCDnênBA′

BM =

2 DoA′B′ ∥ABnên BA

′

BM =

AB′

AM (Ta-let)

⇒ AB′

AM =

2

3 VậyB

′ cũng trọng tâm tam giácACD

Tương tự,C′, D′ trọng tâm tam giácABDvà tam giácABC Trong tam giácABM, gọiG = AA′ ∩ BB′

⇒ AG

GA′ = BG GB′ =

AB

A′B′ (Ta-let)

B

C

D A

M A′

B′ D′

C′ G

Mặt khác, AB

A′B′ = AM

B′M = Vậy AG GA′ =

BG

GB′ = Tương tự CG GC′ =

Do cặp vectơ(−→GA,−−→GA′),(−−→GB,−−→GB′),(−−→GC,−−→GC′)ngược hướng nên ta có −→

GA=−3−−→GA′, −−→GB=−3−−→GB′, −−→GC=−3−−→GC′.

Vậy phép vị tự tâmGtỉ sốk =−3biến tứ diệnA′B′C′D′ thành tứ diệnABCD Do hai tứ diệnABCDđồng dạng với tứ diệnA′B′C′D′ theo tỉ số3

1.1.3 Khối đa diện lồi, đa diện đều

Trong chư ơng tr ình T HP T , đối tượng chủ yếu hình khơng gian khối đa diện lồi tính yếu tố liên quan thể tích, góc hay khoảng cách Nhưng trước vào khối hình cụ thể, ta cần phân biệt khối đa diện lồi với khối không lồi nắm đặc điểm khối đa diện

Định nghĩa 1.1.6: Khối đa diện lồi

Khối đa diện (H) gọi khối đa diện lồi đoạn thẳng nối hai điểm của(H)ln thuộc (H) Khi hình đa diện tương ứng gọi đa diện lồi

Ví dụ: Các khối chóp tam giác (tứ diện), khối chóp đa giác lồi, khối hộp khối đa diện lồi

Chú ý: Khối da diện lồi miền ln nằm nửa không gian chia mặt

Định nghĩa 1.1.7: Khối đa diện loại{p;q}

Khối đa diện loại{p;q}là khối đa diện lồi thỏa mãn đồng thời hai tính chất: • Mỗi mặt đa giác đềupcạnh (cũng làpđỉnh)

• Mỗi đỉnh đỉnh chung củaqmặt (cũng làqcạnh)

Tên (n=số mặt) Loại Số đỉnh Số cạnh Số mặt phẳng đối xứng

Tứ diện đều(n= 4)

{3; 3} 6

Khối lập phương (n= 6)

{4; 3} 12

Bát diện (n= 8)

{3; 4} 12

Thập nhị diện (n= 12)

{5; 3} 20 30 15

Nhị thập diện

Lư u ý , ta tính số đỉnh số cạnh khối đa diện đềunmặt loại{p;q}như sau

Số cạnh= n×p

2 ; Số đỉnh =

n×p q

Ngoài ra, số đặc điểm khác khối đa diện quan tâm số trục đối xứng, góc nhị diện hai mặt kề, góc tâm mặt cầu ngoại tiếp chắn cạnh, thể tích, bán kính khối cầu ngoại tiếp Chẳng hạn, khối tứ diện có trục đối xứng đường qua trung điểm hai cạnh đối diện; khối lập phương có trục đối xứng bao gồm: đường qua tâm hai mặt đối diện, đường qua trung điểm hai cạnh đối diện; khối bát diện có trục đối xứng bao gồm: đường qua hai đỉnh đối diện, đường qua trung điểm hai cạnh đối diện Việc đếm số trục đối xứng khối mười hai (thập nhị) mặt hai mươi (nhị thập) mặt phức tạp khó hình dung nhiều nên sách không đề cập

Định nghĩa 1.1.8: Nhị diện góc nhị diện

Nhị diện hình hợp hai nửa mặt phẳng có chung bờ gia tuyến chúng

Cho nhị diện (P) (Q) có giao tuyến d Từ I ∈ (P) J ∈ (Q) với I, J ∈/ d hạ

IH⊥d;J K⊥dthì góc(−→HI,−−→KJ)gọi góc nhị diện[(P), d,(Q)]

Như vậy, số đo góc nhị diện tù bù với số đo góc giữa(P)và(Q) Gọiαlà góc phẳng nhị diện tạo cạnh

của khối đa diện hai mặt bên kề với cạnh đó,β

là góc tâm khối cầu ngoại tiếp đa diện (có bán kính R) chắn cạnh (xem Hình 1.1) Nếu nắm số đo góc ta dễ dàng tính tốn yếu tố khác khối đa diện Bảng số đặc điểm khác khối đa diện bao gồm số đo gócαvà

β Chi tiết xem thêm [4] A

B O

α

β R

R

Hình 1.1: Góc nhị diện góc tâm đa diện

Khối đa diện cạnh

Diện tích

một mặt Thể tích

Góc nhị diện cạnh: α

Góc tâm cầu chắn cạnh: β

Tứ diện

√

√

12 cosα=

1

3 cosβ=−

Lập phương 1 α= π

2 cosβ=−

1 Bát diện

√

√

3 cosα=−

1

3 β =

π

2 Mười hai mặt

4

√

25 + 10√5

(

15 + 7√5) cosα =− √

5

5 cosβ = √

5 √

3 ( √ )

− √

1.2 Thể tích khối đa diện

Mục sách giới thiệu với độc giả phương pháp tiếp cận việc tính thể tích khối chóp khối lăng trụ mà học sinh hạn chế tưởng tượng hình khơng gian dễ dàng vận dụng Để làm điều này, học sinh trước hết phải ”biết vẽ hình” (làm chủ hình vẽ) xác định

được yếu tố hình Ở ta ký hiệuRđlà bán kính đường

trịn ngoại tiếp đáy khối chóp lăng trụ,S(ABC)là diện tích tam giácABCvà quy ước độ dài cạnh, đường cao đường trung tuyến, nửa chu vi làa, b, c,ha,ma,pnhư thông

lệ

Đặc bi ệt, hình thức thi làm trắc nghiệm ngồi yếu tố nắm rõ phương pháp giải tốn học sinh cần phải tính tốn nhanh đáp số Chính vậy, yếu tố có tính chất quen thuộc, lặp lại nhiều lần trình giải nên học thuộc cách hệ thống

1.2.1 Làm chủ hình vẽ khối chóp lăng trụ

l àm c h ủ đáy

Đáy tam giác đặc biệt: Tóm tắt đặc điểm bản

Tam giác cạnh bằnga

Đường cao: √

3 a Diện tích:

√ a

2. Bán kính đường trịn ngoại tiếp:

Rđ= √

3 a

a √

3 a

Tâm ngoại tiếp trọng tâm

Tam giác vuông cân cạnh bên bằnga

Cạnh huyền: √2a Diện tích:

2a 2. Bán kính đường tròn ngoại tiếp:

Rđ= √

2

2 a a

a a√2

Tâm ngoại tiếp trung điểm cạnh huyền (chung cho tam giác vuông)

Tam giác vng có góc bằng60◦

a

2a

√ 3a

√ a

a 60◦

Diện tích= 1√3a2;R

đ =a

Tam giác cân góc120◦ở đỉnh

a a

a

2 √

3a 120◦

Rđ=a; đường cao= a

2; diện tích: √

3 a

Đáy tứ giác đặc biệt: Tóm tắt đặc điểm bản

Đáy hình vng a

45◦

Diện tích=a2;Rđ= √

2 a

Đáy hình chữ nhật

a

b

Diện tích=ab;Rđ=

1

√

a2+b2. Tâm đường tròn ngoại tiếp tâm đáy

Đáy hình thoi có góc60◦

a 60◦

Đường chéo ngắn=a Đường chéo dài=√3a Diện tích=

2tích hai đường chéo= √

3 a

2. Khơng có đường trịn ngoại tiếp

Đáy hình thang vng có đáy lớn gấp 2 đáy nhỏ đường cao

a

Diện tích= 2a

2 Hình ghép hình vng tam giác vng cân Khơng có đường trịn ngoại tiếp

Hệ thức lượng tam giác

Tam giác vuông A

B H C

BH.BC =BA2 ⇒ BH

BC =

BA2 BC2

AH2 =

AB2 +

AC2

AH.BC =AB.AC = 2S(ABC) tanB = AC

AB =

AH

BH cosB = AB BC, v.v

Tam giác thường A

B a C

b c

M ma

cosA= b

2+c2−a2 2bc ;m

2

a=

b2+c2

2 −

a2

4

a

sinA = b

sinB = c

sinC = 2Rđ S(ABC) =

Ngoài r a, số trường hợp ta gặp phải đáy hình bình hành nửa lục giác Khi đó, số đặc điểm quan trọng hình cần ghi nhớ

Đáy hình bình hành nửa lục giác đều

Hình bình hành biết góc-cạnh-góc

a

b α

Diện tích=absinα, đâyα̸= 90◦ Khơng có đường trịn ngoại tiếp

Đường chéo ngắn=√a2+b2−2abcosα. Đường chéo dài=√a2+b2+ 2bccosα.

Nửa lục giác hay hình thang cân

a

60◦

Diện tích= √

3 a

2;R

đ =a

Hình ghép tam giác đường tròn ngoại tiếp nhận đáy lớn đường kính

l àm c h ủ đ ườ ng c ao

Kh ối ch óp l ăng trụ chất q trình vẽ tính tốn Chẳng hạn, cho lăng trụABC.A′B′C′có hình chiếu củaA′lên mặt phẳng(ABC)làH(tại vị trí đáy mà tốn cho biết trước) Khi đó, ta cần làm việc với hình chópA′.ABC

là đủ để tính tốn thơng số hình lăng trụABC.A′B′C′ Do đó, học sinh cần nắm trường hợp xác định đường cao hình chóp (xem Hình1.2)

A′

A

B

C H

A′

B′

C′

A

B

C H

Hình 1.2: Quy hình lăng trụ hình chóp

Đa số tr ườ ng hợ p toán cho thơng tin đường cao khối chóp (lăng trụ) mà rơi vào bốn trường hợp

Bốn trường hợp xác định

Cạnh bên vng góc với đáy

Chẳng hạn: S.ABCDcóSA⊥(ABCD)

S

A

B

C D

Đường cao cạnh bên

Đặc biệt:Khối lăng trụ đềulà lăng trụ đứng đáy đa giác

Hai mặt vng góc với đáy

Chẳng hạn:S.ABCcó(SIA),(SIB)⊥(ABC) vớiIlà điểm xác định trước

S

A

B

I

C

Đường cao giao tuyến SI hai mặt

Một mặt vng với đáy

Chẳng hạn: S.ABCDcó(SAB)⊥(ABCD)

S

H A

B C

D

Đường cao chóp đường cao từS

đếnABcủa tam giácSAB

Đặc biệt: Nếu ∆SAB cân S H trung điểmAB

Cạnh bên nhau

Chẳng hạn: S.ABCcóSA=SB=SC

S

A

B

C

O

Chân đường cao trùng với tâm đường tròn ngoại tiếpOcủa đáy

xác địn h g óc c k hoả ng c ác h c bả n

Góc kh oả ng cách khơng gian trình bày sâu mục1.3 Tuy nhiên, để hỗ trợ tính tốn liên quan tốn tính thể tích khối đa diện, mục trình bày khái niệm cách xác định góc khoảng cách trường hợp đơn giản

Định nghĩa 1.2.1: Định nghĩa góc đường với mặt phẳng góc hai mặt phẳng

Góc đường thẳng mặt phẳng

(P)

d

d′ φ

M

H I

Góc đường thẳngdvà mặt phẳng(P), ký hiệu φ = (d,(P)) góc (d, d′) (góc hai đườngdvàd′) vớid′ hình chiếu củadlên(P)

Cách tính phổ biến: sinφ= d(M,(P))

M I ,

vớiMlà điểm trên(P)vàd(M,(P)) ký hiệu cho khoảng cách từ M đến (P) I

là giao điểm đường thẳng d với mặt phẳng(P)

Góc hai mặt phẳng

(P)

M

H I

φ

(Q)

Góc hai mặt phẳng(P)và(Q), ký hiệu làφ= ((P),(Q)), góc giữadvàd′vớid, d′

lần lượt hai đường thẳng vng góc với (P) (Q) Tuy nhiên, thường dựng góc hai mặt phẳng hình bên thay cho định nghĩa

Cách tính phổ biến:Lấy điểmMbất kỳ (Q) Chiếu vng góc M I lên giao tuyến hai mặt phẳng Chiếu vng gócM H

lên(P) Khi sinφ= d(M,(P))

M I

Đề giú p h ọc s in h dễ th ự c h iệ n hơ n tốn tính thể tích, trước hết học sinh cần nắm vững hai loại góc bản: góc cạnh bên đáyvàgóc mặt bên đáy Ở mục trên, học sinh làm chủ bốn trường hợp xảy đường cao hình chóp (tương tự hình lăng trụ) Điều có nghĩa làm chủ vị trí chân đường caoHnằm mặt phẳng đáy Vì vậy, áp dụngĐịnh nghĩa 1.2.1ta dễ dàng xác định hai loại góc

Hai loại góc bản

Góc cạnh bên (cạnh xiên) đáy S

A

H φ

Từ chân đường caoHnối với giao cạnh bên (cạnh xiên) với đáy

Chẳng hạn, góc(SA,(đáy)) =SAH[

Góc mặt bên (mặt xiên) đáy S

A

H B I

φ

Từ chân đường caoHkẻHIvng góc với giao tuyến mặt bên (mặt xiên) với đáy Chẳng hạn, góc((SAB),(đáy)) =SIH[

Xác định khoảng cách bản

Khoảng cách từ chân đường cao đến mặt xiên

S

B

H I

K A

mặt xiên

TừHkẻHIvng góc với giao tuyến TừHkẻHKvng góc vớiSI Khi đó,d(H,(SAB)) =HK Cách tính:

HK2 =

HI2 +

HS2

Dịch chuyển khoảng cách

Muốn chuyển khoảng cáchdM =d(M,(α))

sangdN =d(N,(α))→nốiM N:

NếuM N ∥(α)⇒dM =dN (1.1)

M N

dM dN

(α)

NếuM N ∩(α) =I ⇒ dM dN

= IM

IN (1.2)

M

N

dM dN

(α)

Sau m ch ủđáyvàđường caocủa khối chóp hay lăng trụ việc tính thể tích khối chóp hay lăng trụ trở nên đơn giản Đối với tốn cho biết góc cạnh bên đáy mặt bên đáy làφ=SAH[ hoặcφ=SIH[thì chiều caohcủa khối chóp (hoặc lăng trụ) thường tính theo giá trị lượng giác củaφ Chẳng hạn

h=HA.tanφhoặch=HI.tanφ

Dưới đây, sách minh họa chi tiết cho dạng toán thường gặp kỳ thi THPT Quốc gia

1.2.2 Tính thể tích khối chóp

Th ể tích khối đa diện đại lượng dùng để đo phần không gian bên khối đa diện đó, thường ký hiệu làV Ở chương trình THCS học sinh làm quen với thể tích số khối da diện đặc biệt như:

• Vkhối lập phương cạnha=a3

• Vkhối hộp chữ nhật kích thướca, b, c=abc

Trong chương trình THPT, tiếp tục học thể tích khối chóp, khối lăng trụ số khối đa diện khác

Thể tích khối chóp

Thể tích khối chóp tính

3 tích diện tích đáy chiều cao khối chóp Ta ký hiệuSđáy diện tích đáy khối chóp,

hlà độ dài đường cao khối chóp Ta có:

V =

3Sđáy.h (1.3)

S

H h

Ví dụ 1.2.1: Cạnh bên vng đáy biết góc cạnh bên với đáy

Cho hình chópS.ABCDcó đáy hình chữ nhật,AB=a,BC = 2a,SA⊥(ABCD) Biết góc giữaSCvà đáy là60◦, tính theoathể tích khối chópS.ABCD

Hướng dẫn

Coialà đơn vị độ dài, ta tính tốn với hệ số độ dài đoạn thẳng Ta cóA chân đường cao hình chóp nên góc giữaSCvà đáy bằngSCA[ = 60◦ Vậyh=SA=ACtan60◦ =AC.√3 =√15 (doAC=√12+ 22=√5).

CóSđáy =AB.BC = Do

V =

3.Sđáy.h= 2√15

3 a 3.

S

A

B C

D

1

2

Ví dụ 1.2.2: Cạnh bên vng đáy biết góc mặt bên với đáy

Cho hình chópS.ABC có tam giácABC cạnhavàSA⊥(ABC) Biết góc mặt phẳng(SBC)và đáy là60◦, tính theoathể tích khối chópS.ABC

Hướng dẫn

DoAlà chân đường cao hình chóp nên kẻAI⊥BC thìSIAd góc mặt phẳng (SBC)và(ABC) VậySIAd = 60◦

Tam giác ABC cạnh anênI trung điểm củaBC, đóAI =

√ a Tam giácSAI vuông tạiAnên

SA=AI.tan60◦= √

3 a.

√ =

2a Vậy

VSABC =

1

3.Sđáy.SA =

3. √

3 .

3 2a

3 = √

3 a

3.

S

A

B

C I

Ví dụ 1.2.3: Hai mặt bên vuông với đáy

Cho hình chópS.ABCcóABClà tam giác vng tạiBvớiAB=a,\BAC = 60◦ Hai mặt phẳng(SAB)và(SAC)cùng vng góc với mặt phẳng(ABC) Biết góc giữa(SBC)và đáy bằng45◦, tính theoathể tích khối chópS.ABC

Hướng dẫn

Do hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vng góc với mặt phẳng (ABC) nên

SA⊥(ABCD)

TừA kẻ vng góc với BC rơi vào B nên [

SBAlà góc giữa(SBC)và đáy VậySBA[ = 45◦

Tính đượcSA=BAtan45◦ =a ĐáyABCcóSđáy =

√ a

2. Vậy

V = 3.

√ .1a

3= √ a 3. S A B C 60◦ 45◦

1 √3

Ví dụ 1.2.4: Hai mặt chéo vng với đáy

Cho hình chópS.ABCDcó đáy hình thoi cạnha,ABC\= 60◦ GọiHlà trung điểm

AB, hai mặt phẳng(SHC)và(SHD)cùng vuông góc với(ABCD) Biết khoảng cách từ

Ađến(SBC)bằng

4a Tính theoathể tích khối chópS.ABCD Hướng dẫn

Đáy hình thoi60◦nênSđáy =

√ a

2. Theo quy tắc chuyển khoảng cách:

d(A,(SBC)) = 2d(H,(SBC)) (do H trung điểmAB) Vậyd(H,(SBC)) =

8a

Hlà chân đường cao nên

d(H,(SBC)) =HK = 8a Mặt khácHI =

2AM = √

3 Áp dụng

HK2 =

HI2 +

HS2 ⇒HS= 3a

4

VậyVS.ABCD =

Ví dụ 1.2.5: Mặt bên vng với đáy

Cho hình chópS.ABCDcóABCDlà hình thang vng tạiAvàB,AD= 2AB= 2BC = 2a Tam giácSAB nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Tính thể tích khối chópS.ABCDtheoa

Hướng dẫn

Tam giácSABđều nằm mặt phẳng vng với đáy nên chân đường caoHcủa hình chóp trung điểmAB

VậySH= √

3 a Theo mục1.2.1ta có

Sđáy =

3 2a

2.

VậyVS.ABCD =

1 3.

3 2.

√ a

3 =

√ a

3.

1

1

√

S

A

B C

D H

Ví dụ 1.2.6: Mặt chéo vng với đáy

Cho hình chópS.ABCDvà đáy hình vuông cạnha Tam giácSACvuông tạiSvà nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Góc giữaSAvà đáy bằng60◦ Tính thể tích khối chópS.ABCDtheoa

Hướng dẫn

Mặt phẳng(SAC)vng với đáy nên chân đường caoHcủa hình chóp thuộcAC Theo mục1.2.1, góc giữaSAvà đáy góc

[

SAH = 60◦

Cũng theo mục1.2.1, tam giác vngSAC

cóAH = 4AC =

√ a. VậySH=AHtan60◦=

√ a ⇒V =

3Sđáy.SH = √

6 12a

3.

S

A

B C

D H

Ví dụ 1.2.7: Cạnh bên nhau

Cho hình chópS.ABCcóSA=SB =SC= 2a Tam giácABCcân tạiAcó\BAC = 120◦ vàAB=a Tính thể tích khối chópS.ABCtheoa

Hướng dẫn

Do cạnh bên nên chân đường caoHcủa hình chóp tâm ngoại tiếp tam giácABC

Tam giácABCcân có góc đỉnh bằng120◦ nênRđ=avàSđáy =

√ a

2. Theo Pi-ta-go ta có

SH =

√

SA2−R2

đ =

√ 3a Vậy

V = 3.

√ .

√

3a3 = 4a

3.

S

B

A

C H

1

Rđ

Ví dụ 1.2.8: Khối chóp đều

Tính theoathể tích khối chóp đềuS.ABCDcó tất cạnh bằnga

Hướng dẫn

Hình chóp cóSO đường cao, đóOlà tâm đáy

Do tất cạnh bằnganên tam giác

SAC vng cận tạiS cóAC = √2avà

SA=SC =a VậySO=

2AC = √

2 a Hiển nhiênSđáy = 1a2.

Do đóV = 3.1.

√ 2 a

3 = √

2 a

3.

S

A

B C

D O

1

1

Ví dụ 1.2.9: Biết vị trí chân đường cao cho trước

Cho hình chópS.ABCDcóAB ∥CDvàAB = 2CD = 2AD= 2a,BAD\ = 60◦ GọiO

là trung điểm củaAB, hình chiếu vng góc củaS mp(ABCD)là trung điểm

DO Biết góc giữaSB mặt phẳng(SAC)bằng30◦ Tính thể tích khối chópS.ABCD

Hướng dẫn

Từ giả thiết thấy đáyABCDlà hình thang cân nửa lục giác mục 1.2.1 Do Sđáy =

√ a

2, AC = √3a và AC⊥BC

Gọi H trung điểm DO H trung điểm AC Theo giả thiết

SH⊥(ABCD)

CóBC⊥ACmàBC⊥SH(doSH⊥(ABCD)) nênBC⊥(SAC) VậyC hình chiếu

B lên (SAC), góc SB mặt phẳng(SAC)làBSC[ Suy raBSC[ = 30◦ CóSC=BC.cotBSC[ = 1.√3a=√3a CóSH=√SC2−HC2 =

2a

VậyV = 3.

3√3 .

3 2a

3 = √

3 a

3. S

A B

C D

O

H

Ví dụ 1.2.10: Chân đường cao tâm đường trịn nội tiếp đáy

Cho hình chópS.ABC cóAB = 3,AC = 5,BC = Các mặt bên hình chóp tạo với đáy góc60◦ Tính thể tích khối chópS.ABCbiết chân đường cao hạ từ đỉnh

Snằm miền tam giácABC

Hướng dẫn

Gọi H chân đường cao hình chóp đáy I, K, L hình chiếu H lênAB, BC, CA Khi đó, theo mục

1.2.1cóSIH[ =SKH\ =SLH[ = 60◦

Dễ thấy tam giác vuôngSIH, SIK, SIL

bằng nênHI = HK = HL = r, với

r bán kính đường tròn nội tiếp tam giác

ABC Đặtp= (3 + + 6)/2

⇒Sđáy =√p(p−3)(p−5)(p−6) = 2√14 Cór= S

p =

2√14

7 ⇒SH= √

3.√14/7

⇒V = 3.2

√ 14.2

√ 3√14

7 =

8√3

S

A

B

C H

I

K L

r

60◦

3

Ví dụ 1.2.11: Tính độ dài đường cao lập phương trình

Cho hình chópS.ABCcóABClà tam giác vng tạiB,BC = 3a, cạnh bênSA⊥(ABC) BiếtSB vàSCtạo với đáy góc có số đo là45◦ và30◦ Tính thể tích khối chópS.ABCtheoa

Hướng dẫn

DoSA⊥(ABC)nênSBA[,SCA[ góc giữaSBvàSCvới đáy

Đặt SA = h, suy AB = h.cot45◦ = h;

AC =h.cot30◦ =h√3

Do tam giácABC vuông tạiBnên có

AB2 + BC2 = AC2 ⇔ h2 + 9a2 = 3h2

⇔h= √

2 a VậyVS.ABC =

1

6SA.AB.BC= 4a 2. S A B C 3a 45◦ 30◦ h

Ví dụ 1.2.12: Tính kích thước đáy lập phương trình

Cho hình chóp đềuS.ABCDcó cạnh bên bằng2a, cạnh đáy lớn cạnh bên GọiOlà tâm đường tròn ngoại tiếp hình vngABCD Biết khoảng cách từAđến mặt phẳng (SCD)bằng

√

3 a Tính thể tích khối chópS.ABCDtheoa Hướng dẫn

Gọixvàhlà độ dài cạnh đáy đường cao hình chóp, coialà đơn vị phép đo Theo tỉ lệ khoảng cách mục1.2.1,

d(A,(SCD)) = 2d(O,(SDC)) ⇒d(O,(SCD)) =

√

3 hayOH= √

6 Có

OH2 =

OI2 +

OS2 ⇒ =

4

x2 +

h2 Trong tam giácSODcóOS2+OD2 = ⇒h2+x

2 =

Vậy ta có hệ phương trình

    

x2 +

h2 =

x2

2 +h = 4

⇔x= √

3 ;h=

2√3

3 (dox >2) VậyVS.ABCD =

1 3.x

Định lý 1.2.1: Một số cơng thức khác tính thể tích tứ diện

1 Tính thể tích biết độ dài, góc, khoảng cách hai cạnh đối

A

B

C

D M

N

V =

6AB.CD.M N.sin(AB, CD) (1.4)

2 Tính thể tích biết diện tích hai mặt bên, góc nhị diện độ dài giao tuyến của chúng

A

B

C

D

V =

3

SABC.SABD.sin((ABC),(ABD))

AB

(1.5)

3 Tính góc nhị diện từ góc tam diện

Góc tam diện A.BCD có \BAC = α; \

BAD=β;\CAD=γ

Gọiφlà góc nhị diện cạnhABcủa hai mặt phẳng(ABC)vàABD

A

B

C

D φ

α β

γ a

b

c

Ta có:

cosφ= cosγ−cosα.cosβ sinα.sinβ (1.6) Tính thể tích biết số đo góc tam diện độ dài ba cạnh

Cho tứ diệnABCDcóBAC\=α; \

BAD=β;CAD\=γ

Gọiφlà góc nhị diện cạnhABcủa hai mặt phẳng(ABC)vàABDthìφđược tính cơng thức (1.6)

Áp dụng cơng thức (1.5) ta cơng thức thể tích khối tứ diện:

V =

6abc.sinα.sinβ.sinφ (1.7)

V = abc

√

c h ứng m i nh cô ng thứ c (1 4):

DựngEsao choBCDElà hình bình hành, ta có

VABCD =VABDEvàd(AB, CD) =d(D,(ABE))

CóVABDE =

1

3SABE.d(D,(ABE))theo (1.3) Mặt khác,SABE =

1

2AB.BE.sin\ABE =

2AB.CD.sin(AB, CD) VậyVABCD =

1

6AB.CD.d(AB, CD).sin(AB, CD)

A

B

C

D E

φ

c h ứng m i nh cô ng thứ c (1 5):

GọiH hình chiếu củaDlên mặt phẳng(ABC) vàIlà hình chiếu củaHlênABthì

[

DIH = ((ABC),(ABD)) =α Ta cóVABCD=

1

3SABC.DH =

3SABC.DI.sinα MàDI = 2SABD

AB VậyV =

2SABC.SABD.sinα

3AB

A

B

C

D H

I α

c h ứng m i nh ng thứ c (1 6):

Xét góc tam diệnAxyz với số đo α, β, γ khác 90◦như hình vẽ

Trên tiaAxlấy điểm I cho AI = TừI kẻ

IK, ILcùng vng góc vớiAxtạiI(xem hình bên) Khi đóφ= LIK[ góc nhị diện cạnhAxcủa góc tam diện

Ta cóIK =tanα;IL=tanβ;

AK =

cosα;AL=

1 cosβ

Theo định lý hàm số Cosin cho tam giácAKL ta có:

A

I

K

L α

γ β

φ

1

x

y

z

KL2 =AK2+AL2−2AK.AL.cosγ

=

cos2α + cos2β −

2cosγ

cosαcosβ = +tan

2α+ +tan2β− 2cosγ cosαcosβ (1)

Theo định lý hàm số Cosin cho tam giácIKLta có:

KL2 =IK2+IL2−2IK.IL.cosφ=tan2α+tan2β−2tanα.tanβ.cosφ(2) Từ (1) (2) suy ra1− cosγ

cosαcosβ =−

sinαsinβcosφ

cosαcosβ

Do cosφ= cosγ−cosαcosβ

sinαsinβ Công thức khiαhoặcβbằng90

◦.

Ví dụ 1.2.13: Tứ diện có độ dài hai cạnh đối, khoảng cách góc chúng

Cho tứ diệnABCDcóAB = 2a, CD = 5a Biết góc hai đường thẳngABvàCD

bằng60◦ khoảng cách chúng bằng3a Tính thể tích tứ diệnABCDtheoa

Hướng dẫn

Áp dụng cơng thức (1.4) ta có

V =

6.2.5.3.sin60

◦a3 = √

3 a

3.

Ví dụ 1.2.14

Cho tứ diệnABCDcó tam giácABCvàABDđều cạnhavà hợp với góc 45◦ Tính theoathể tích tứ diện

Hướng dẫn

Áp dụng công thức (1.5) ta có

V = 2.SABC.SABD.sin45 ◦

3.AB =

2.√43.√43.√22

3.1 a =

√ 16a

3.

Ví dụ 1.2.15

Cho tứ diệnABCD có\BAC = 90◦, BAD\ = 45◦, \CAD = 60◦ vàAB = a,AC = 2a,

AD= 3a Tính thể tích tứ diện theoa

Hướng dẫn

Cách 1:Áp dụng công thức (1.8),

V = 61.2.3.

√

1−cos290◦−cos245◦−cos260◦+ 2cos90◦cos45◦cos60◦a3 = 2a

3.

Cách 2:Gọiφlà góc nhị diện cạnhADcủa tứ diệnABCD, theo (1.6) có cosφ= cos90

◦−cos45◦cos60◦ sin45◦sin60◦ =−

√

3 ⇒sinφ= √

6 . Áp dụng cơng thức (1.7) cóV =

61.2.3.sin45

◦sin60◦sinφa3 = 2a

Cách 3: GọiH hình chiếu củaD

lên (ABC), K, L hình chiếu củaHlênAC, AB

Ta có DH2 = DK2 − HK2 (1);

DH2 =DL2−HL2 (2);

DH2 =DA2−HA2(3)

Cộng (1) với (2) trừ (3)

DH2 =DK2+DL2−DA2

(chú ýHA2=HK2+HL2) Mà DK = DAsin60◦ =

√ a;

DL=DAsin45◦ = √

2 a

A

B

D

C

45◦ 60◦

a 2a

3a H

K

L

⇒DH2 =

(

27 +

18 −9

)

a2 = 9a

4 ⇒DH=

2a VậyV =

3.SABC.DH = 2a

3.

Thể tích tứ diện gần đều

Tứ diện có cặp cạnh đối gọi làtứ diện gần đều Cho tứ diện gần

ABCDvớiAB =CD =c;AC =BD=b;AD=BC =athì ln dựng hình hộp chữ nhật ngoại tiếp tứ diệnABCDnhư hình sau

A B C D A B C D a a b b c c x y z

Gọix, y, zlần lượt kích thước hình hộp chữ nhật, ta có

      

x2+y2 =a2 y2+z2 =b2 z2+x2=c2

⇔             

x2 = a

2+c2−b2

y2= a

2+b2−c2

z2 = b

2+c2−a2

.Vậy VABCD=

1

3Vhộp=

Ví dụ 1.2.16

Cho tứ diệnABCDcóAB=CD= 4, AC =BD= 5, AD=BC = Tính khoảng cách từAđến mặt phẳng(DCB)

Hướng dẫn

Gọix, y, zlà kích thước hình hộp chữ nhật ngoại tiếp tứ diện gần đềuABCD, ta có:

      

x2+y2 = 16

y2+z2 = 25

z2+x2 = 36

⇔x= √

6 ; y =

√ 10 ; z=

3√10

2 ⇒VABCD= 15√6

4 .

Lại cóSBCD =

√

p(p−4)(p−5)(p−6)vớip= + +

2 , suy raSBCD = 15√7

4 Vậyd(A,(BCD)) = 3VABCD

SBCD

= √

42 .

Một tứ d i ện đặc biệ t k h ác ta thường gặp tốn liên quan đến thể tích khối chóp, tứ diện vng haygóc tam diện vng Việc nắm tính chất giúp ta tìm lời giải nhanh nhiều so với việc dựng lại tính chất từ đầu Các tính chất

Góc tam diện vng tính chất

Hình chópOABC có cạnhOA, OB, OC đơi vng góc OABC gọi

góc tam diện vng

ĐặtOA=a;OB =b;OC=c, ta lưu ý tính chất sau khối tứ diện • VOABC=

1 6abc

• SABC2 =SOAB2 +SOBC2 +SOCA2

•

h2 =

a2 +

b2 +

c2 vớih=d(O,(ABC)) • Hlà hình chiếu củaOlênmp(ABC)khi khiHlà trực tâm tam giácABC

O

A

B C

a

b c

Ví dụ 1.2.17

Cho hình chópS.ABCDcó đáy hình chữ nhật,SA⊥(ABCD),AB=a,AD= 2a Biết khoảng cách từAđến mặt phẳng(SBD)bằng

√

2 a Tính thể tích khối chópS.ABCD

Hướng dẫn

Gọih=SA,d=d(A,(SBD)) Coialà đơn vị đo hình

Áp dụng cơng thức tính chất góc tam diện vngA.SBDta có

d2 =

h2 +

AB2 +

AD2 =

h2 + + ⇒

1

h2 = 2− =

3 Vậyh=

√

3 Do đóVS.ABCD= 3.2.

2√3 =

4√3 a

3.

Th ể tích kh ố i ch óp cụ t trình bày Thể tích khối chóp cụt

Cho khối chóp cụt A1A2 An.A′1A′2 A′n

(xem định nghĩa [2])

Gọi h đường cao khối chóp cụt (khoảng cách hai đáy)

S1, S2lần lượt diện tích hai đáy Ta có

V =

3h (

S1+

√

S1S2+S2 )

(1.11).

Chú ý: Gọi S đỉnh hình chóp sinh chóp cụt Khi A1A2 An ảnh

của A′1A′2 A′n qua phép vị tự tâm S

tỉ số k = SAi

SA′i, ∀i = 1,2, , n Vậy VS.A′

1A′2 A′n =

1

k3VS.A1A2 An Do

đó V = VS.A1A2 An − VS.A′1A′2 A′n, hay

S1 S2

h

A1

A2 A′2 A′1

S

V = (k3−1)V

S.A′1A′2 A′n = (

1−

k3 )

Ví dụ 1.2.18

Cho hình chópS.ABCDEcó thể tích bằng12 GọiA′là điểm thuộcSAsao choSA′ =

3SA Mặt phẳng quaA

′và song song với mặt phẳng(ABCDE)cắtSB, SC, SD, SElần lượt tạiB′, C′, D′, E′ Tính thể tích khối chóp cụtA′B′C′D′E′.ABCDE

Hướng dẫn

Do A′B′C′D′E′ ảnh ABCDE qua phép vị tự tâmS tỉ sốk =

3 nên áp dụng cơng thức (1.12) ta có:

V =

(

1−

k3 )

VS.ABCDE =

26 27.12 =

104 A B S D E C A′

B′ C′

D′ E′

Ví dụ 1.2.19

Cho lăng trụ tam giác đềuABC.A′B′C′ có tất cạnh bằnga GọiM, N trung điểm củaA′B′ vàBC Mặt phẳng(AM N) cắtB′C′ tạiP Tính thể tích khối đa diệnABN M B′P theoa

Hướng dẫn

Ta thấyAN, BB′, N P đồng quy theo định lý giao tuyến mặt phẳng (hoặc đồng quy, song song) Do đóABN.M B′P hình chóp cụt

CóSABN =

1

2SABC = √

3 a

2. Có M B′

AB =

1

2 ⇒SM B′P =

4SABN = √

3 32a

2. Theo công thức (1.11) ta có:

V = 3.1.

(√ + √ 32 + √√ . √ 32 ) a3=

1.2.4 Thể tích khối lăng trụ

Trong m ục 1.2 Hình1.2 làm việc với khối lăng trụ tương đương với giải tốn hình chóp, đáy chóp đáy

ABCD của lăng trụ cịn đỉnh chóp đỉnhA′,B′hoặcC′v.v Việc chọn đỉnh phụ thuộc vào thông tin đường cao khối lăng trụ Chẳng hạn, cho hình chiếu

A′ ta làm việc với khối chópA′.ABCD Một xác định đáy đường cao khối lăng trụ, thể tích tính cơng thức

V =Sđáy.h (1.13)

Trong đóSđáy diện tích đáy khối lăng

trụ,hlà độ dài đường cao lăng trụ

A

B

C D A′

B′

C′ D′

H h

Ví dụ 1.2.20

Cho lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy tam giác cạnh a, góc mặt phẳng (A′BC)và đáy bằng60◦ Tính thể tích lăng trụ

Hướng dẫn

Đề cho góc giữa(A′BC)và đáy nên ta cần tính tốn hình chópA′.ABC Kẻ AM⊥BC (M trung điểm BC)

\

A′M A góc (A′BC) đáy, suy \

A′M A= 60◦

CóAA′ = AMtan60◦ = √

3 .

√

3a = 2a, vậyh=

2a

Áp dụng cơng thức (1.13) thể tích có

V =SACB.h=

√ .

3 2a

3= √

3 a

3.

A

B

C A′

B′

C′

60◦

a aM

Ví dụ 1.2.21

Hướng dẫn

Đề cho hình chiếu củaA′ nên ta cần xét hình chópA′.ABCD

CóABCDlà hình thoi đặc biệt, theo mục

1.2.1cóSđáy =

√ a

2.

Tam giácABDđều cạnhanênAG= √

3 a Góc giữaAA′với đáy bằngA\′AG,

do đó⇒A\′AG= 45◦ VậyA′G=AGtan45◦=

√

3 a⇒h= √

3 a Áp dụng công thức (1.13) ta có

V = √ a 2. √ 3 a=

1 2a 3. A′ A B C D G a 60◦ 45◦

Ví dụ 1.2.22

Cho hình lăng trụABCD.A′B′C′D′ có đáy hình chữ nhật vớiAB = 2, BC = Biết

AA′ = 3và góc hai mặt phẳng (AA′B′B),AA′D′Dvới đáy là45◦ và60◦ Tính thể tích khối lăng trụABCD.A′B′C′D′

Hướng dẫn

GọiHlà hình chiếu củaA′lên(ABCD) Từ

H kẻHI, HK vng góc vớiAB

và AD Thì góc góc hai mặt phẳng (AA′B′B), AA′D′D với đáy \

A′IH A\′KH Do A\′IH = 45◦ \

A′KH= 60◦

Đặt A′H = h, ta có: HI = hcot45◦ = h;

HK =hcot60◦= √h

DoAKHI hình chữ nhật nên

AH2 =HK2+HI2= 3h

2.

Lại cóAA′2 =A′H2+HA2⇒9 = 3h

2+h2 ⇒h2= 27

7 Vậyh= 3√21

7 Vậy, thể tích khối lăng trụ

V = 2.5.3

√ 21

7 =

Đặc biệt: Tính thể tích lăng trụ xiên theo thiết diện vuông Cho khối lăng trụA1A2 An.A′1A′2 A′n có

độ dài cạnh bên l Một mặt phẳng (P) vng góc với cạnh bên lăng trụ cắt khối lăng trụ theo thiết diện có diện tích bằngS Khi đó, thể tích khối lăng trụ tính theo cơng thức

V =S.l (1.14)

S

l

A1 A2 A′1

A′2

(P)

c h ứng m i nh :

Giả sử mặt phẳng(P) cắt cạnh bên hình lăng trụ tạiB1, B2, , Bn

Xét phép tính tiến theo vectơ −−−→A1A′1 biến khối đa diện A1A2 An.B1B2 Bn thành khối

đa diện A′1A′2 A′n.B1′B2′ B′n điểm B1′, B2′, , Bn′ nằm cạnh

A1A′1, A2A′2, , AnA′n

Theo tính chất phép dời hình, thể tích khối đa diện

A1A2 An.B1B2 Bn thể tích khối đa diện

A′1A′2 A′n.B1′B2′ B′n Do đó, thể tích khối đa diện

A1A2 An.A′1A′2 A′n thể tích khối đa diện

B1B2 Bn.B1′B2′ Bn′

Mà khối đa diệnB1B2 Bn.B1′B2′ Bn′ lăng trụ

đứng có diện tích đáy bằngSvà đường cao

l, thể tích tính

V =S.l.

S

l

A1 A2 A′1

A′2

(P)

B1 B2 B1′

B2′

Ví dụ 1.2.23: Đề thi THPTQG 2018

Cho khối lăng trụABC.A′B′C′, khoảng cách từ điểmCđến đường thẳngBB′bằng√5, khoảng cách từAđến đường thẳngBB′, CC′lần lượt là1và2 Hình chiếu vng góc củaAlên mặt phẳng(A′B′C′)là trung điểmM củaB′C′vàA′M =

√ 15

Hướng dẫn

Kẻ AB1, AC1 vuông góc với BB′, CC′ có

AA′, BB′, CC′⊥(AB1C1), M M′⊥(AB1C1) H, M′, H trung điểm BC

B1C1

Ta thấy tam giác AB1C1 vuông Atheo Pi-ta-go nên

AH =

2B1C1 = √

5

Theo hệ thức lượng tam giác vngM AM′có

1

AM2 =

AH2−

AM′2 = 5− = ⇒AM =√5.

A B C A′ B′ C′ M M′ H B1 C1 √ √ 15

Do đóAA′ =√A′M2+AM2 = √

5 + =

2√15 Áp dụng cơng thức (1.14) ta cóVl.tru =SAB1C1.AA′ = 1.

2√15

3 =

2√15 Ví dụ 1.2.24

Cho lăng trụABC.A′B′C′ có AA′ = Hai mặt bênAA′B′B vàAA′C′C tạo với góc60◦ có diện tích là4và8 Tính thể tích khối lăng trụ

Hướng dẫn

Kẻ AB1, AC1 vuông góc với BB′, CC′ mặt phẳng (AB1C1)⊥AA′ Khi góc (AB1, AC1) = 60◦

Diện tíchSAA′B′B = 4⇒AB1 = Diện tíchSAA′C′C = 8⇒AB1= Vậy

SAB1C1 =

2AB1.AC1sin60 ◦=

√ Áp dụng công thức (1.14):

V =

√ .4 =

1.2.6 Phương pháp tỉ số thể tích

Kh i tính t hể tí ch khối đa diện mà phần khối đa diện ban đầu, rõ ràng ta áp dụng trực tiếp cơng thức tính thể tích chúng khó khăn việc xác định đáy đường cao Tuy nhiên, khối đa diện ban đầu lại dễ dàng thực điều Chính vậy, cần tìm mối quan hệ (tìm tỉ lệ) thể tích cần tính (khơng tính trực tiếp được) với thể tích khối đa diện ban đầu (dễ tính ngay) Muốn vậy, học sinh cần ghi nhớ ba dạng chuyển đổi thể tích trình bày

Dạng 1: Cơng thức Simson mở rộng cho chóp tứ giác

Cơng thức Simson

Cho hình chóp tam giác S.ABC Ba điểm

A′, B′, C′ khácAbất kỳ lần lượtthuộc các đườngSA, SB, SC Khi ta có

VS.A′B′C′

VS.ABC

= SA ′

SA SB′

SB SC′

SC (1.15)

S

A

B

C A′

B′

C′

Mở rộng cho chóp có đáy hình bình hành

Cho hình chópS.ABCDcóABCDlà hình bình hành Gọi A′, B′, C′ điểm bất kỳthuộc tiaSA, SB, SC Mặt phẳng(A′B′C′)cắtSDtạiD′

Đặta= SA

SA′;b= SB SB′;c=

SC SC′;d=

SD SD′

Khi ta có

• a+c=b+d

• VS.A′B′C′D′

VS.ABCD

= a+b+c+d 4abcd (1.16)

S

A

B C

D A′

B′

C′ D′

I O

c h ứng m i nh ng thứ c (1.15):

CóVSA′B′C′D′ =

1

3SSA′B′.d(C

′,(SA′B′)) = 3.

1 2.SA

′.SB′.sinA\′SB′.d(C′,(SA′B′)). Mà sinA\′SB′ = sinASB[, d(C′,(SA′B′)) = d(C′,(SAB))

A′, B′cùng nằm tam giácSAB

Theo tiểu mục tỉ số khoảng cách mục1.2.1,

d(C′,(SAB))

d(C,(SAB)) =

SC′ SC

Mặt khácVS.ABC =

1

3SSAB.d(C,(SAB)) =

6SA.SB.sinASB.d[ (C,(SAB)) VậyVSA′B′C′

VSABC

= SA ′.SB′

SA.SB .

d(C′,(SAB))

d(C,(SAB)) =

SA′.SB′.SC′ SA.SB.SC c hứng m i nh cô ng thức (1.16):

Với cách đặta, b, c, dnhư tốn ta có−→SA=a−−→SA′;−→SB =a−−→SB′; −→

SC=a−−→SC′;−→SD=a−−→SD′ Hơn nữa, đặt−→SO=k−→SI DoOlà trung điểmACnên−→SA+−→SC= 2−→SO

⇒a−−→SA′+c−−→SC′= 2−→SO= 2k−→SI (xem Hình1.3) Vậy−→SI = a

2k

−−→

SA′+ c 2k

−−→

SC′ VìA′, I, C′thẳng hàng nên a

2k + c

2k = 1⇒a+c= 2k

Chứng minh hoàn toàn tương tự ta đượcb+d= 2k Vậya+c=b+d

Áp dụng cơng thức (1.15) cho khối chópS.ABCta có

VS.A′B′C′

VS.ABC = SA ′ SA. SB′ SB. SC′ SC = abc (1.17)

Tương tự cho khối chópS.ADCta cóVS.A′D′C′

VS.ADC

=

adc (1.18)

MàVS.ABC =VS.ADC =

1

2VS.ABCD (1.19) Từ (1.17), (1.18) (1.19) ta cóVS.A′B′C′D′ =

( abc+ adc ) VS.ABCD ⇒VS.A′B′C′D′ =

b+d

2abcdVS.ABCD

Lại cób+d=a+cnên VS.A′B′C′D′

VS.ABCD

= a+b+c+d 4abcd

Th e o cách ch ứng minh t rê n , ta hồn tồn tổng qt toán trường hợp đáy tứ giác thường thay hình bình hành với điều kiện biết tỉ số OA

OC

OB OD

Cụ thể, choa′−→OA+c′−−→OC=−→0 vàb′−−→OB+d′−−→OD =−→0

aa′ +cc′ a′+c′ =

bb′+dd′ b′+d′ và

VS.A′B′C′D′

VS.ABCD

= aa

Ví dụ 1.2.25

Cho khối chóp đềuS.ABCcó cạnh đáy bằnga, cạnh bên bằng2a GọiM trung điểm củaSB,Nlà điểm đoạnSCsao choN S= 2N C Tính thể tích khối chópA.BCN M Hướng dẫn

Tam giácABCđều cạnhanênOA= √

3 a, suy raSO=√SA2−AO2=

√ 33 a ĐặtV =VS.ABCD

⇒V = 3. √ . √ 33 a 3= √ 11 12 a 3. Áp dụng (1.15) có

VS.AM N

V = AM AB. AN AC = Do đóVA.BCN M =

(

1−1

) V =

3V VậyVA.BCN M =

2 3. √ 11 12 a = √ 11 18 a 3. 2a 1a S A B C M N O

Ví dụ 1.2.26

Cho hình chóp S.ABCDcó đáyABCDlà hình bình hành I trung điểm SC Mặt phẳng quaAI song song vớiBDcắtSB, SDtạiK, L Tính VS.AKIL

VS.ABCD

Hướng dẫn

Giả sử mặt phẳng qua AI song song với

BD cắt SB, SD K, Lthì theo quan hệ song song khơng gian có

KL∥DB Do SB

SK =

SD SL

Như ta dựng thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng

Đặta= SA

SA;c= SC

SI;b= SB SK;d=

SD SL a= 1;c= 2;b=d

Doa+c=b+dnênb=d= Áp dụng cơng thức (1.16) ta có

VS.AKIL

VS.ABCD

= + + +

3 4.1.2.32.32 =

Dạng 2: Dịch chuyển đỉnh đáy hình chóp Chuyển thể tích khối chóp S.A1A2 An

sang khối chóp S′.A1A2 An mà có SS′ ∥

(A1A2 An)(hình bên) ta có

V =V′, (1.20)

vớiV =VS.A1A2 AnvàV′=VS′.A1A2 An c hứng m i nh:

VìSS′∥Đáy nên

d(S,(Đáy)) =d(S′,(Đáy))

Hai khối chóp chung đáy chiều cao nên thể tích

S S′

Đáy

Chuyển thể tích khối chóp S.A1A2 An

sang khối chóp S′.A1A2 An mà có SS′ ∩

(A1A2 An) =I(hình bên) ta có

V V′ =

SI

S′I, (1.21)

vớiV =VS.A1A2 AnvàV′=VS′.A1A2 An c hứng m i nh:

VìSS′∩Đáy=I nên d(S,(Đáy))

d(S′,(Đáy)) =

SI S′I

Hai khối chóp chung đáy nên tỉ số thể tích tỉ số đường cao

S

S′

Đáy I

Di chuyển đáy mặt phẳng tỉ số thể tích tỉ số diện tích.

Chẳng hạn, khối chóp đỉnhScó đáy thuộc mặt phẳng(P)có diện tíchS1 Trên(P)có đa giác khác có diện tíchS2 Khi

V V′ =

S1

S2

(1.22) c h ứng m i nh :

Do hai đáy nằm mặt phẳng nên chiều cao hai hình chó

Vậy tỉ số thể tích tỉ số diện tích hai đáy

S

Ví dụ 1.2.27

Cho khối tứ diện ABCD tích V Gọi M, N, P, Q trung điểm

AC, AD, BD, BC Tính thể tích khối chópAM N P Q

Hướng dẫn

Dễ thấy M N P Q hình bình hành nên

VA.M N P Q= 2VA.M N P = 2VP.AM N

Trong(ACD)cóSAN M =

1

4SACDnên theo (1.22) ta cóVP.AM N =

1

4VP.ACD

CóP B∩(ACD) =Dnên theo (1.21) có

VP.ACD=

P D

BDVB.ACD=

1

2VB.ACD VậyVA.M N P Q= 2.

1 4.

1

2VB.ACD= 4V

S

B

C

D M

N

P Q

Ví dụ 1.2.28

Cho khối lăng trụ tam giácABC.A′B′C′ tích bằng6 GọiM, N trung điểm củaABvàCC′ Tính thể tích khối tứ diệnB′M CN

Hướng dẫn

Trong hình bình hànhBCC′B′

cóSB′N C =

1

2SB′BCnên theo (1.22) ta có

VM.B′N C =

1

2VM.B′BC =

2VB′.M BC Trong tam giác ABC có SM BC =

1 2SABC nên theo (1.22) ta cóVB′.M BC =

1

2VB′.ABC MàVB′.ABC =

1

3.Sđáy.h= 3V VậyVB′M N C =

1 2.

1 3V =

1 12V =

1 2.

A

B

C A′

B′

C′

M

Dạng 3: Tỉ số thể tích cho lăng trụ

Cho khối lăng trụ ABC.A′B′C′ Gọi

A1, B1, C1 ba điểm bất kỳtrên cạnh AA′, BB′, CC′

Đặta= A ′A

1 A′A;b=

B′B1 B′B ;c=

C′C1 C′C

Khi ta có

VA′B′C′.A1B1C1

VABC.A′B′C′

= a+b+c

3 (1.23)

A′

B′

C′

A

B

C A1

B1

C1

Cho khối hộp ABCD.A′B′C′D′ Mặt phẳng (α) cắt các cạnh AA′, BB′, CC′, DD′

A1, B1, C1, D1 Đặt a = A′A1

AA′ ; b = B′B1

BB′ ; c= C

′C1

CC′ ;d= D′D1

DD′ Khi ta có

VA1B1C1D1.A′B′C′D′

VABCD.A′B′C′D′

= a+c =

b+d

2 (1.24)

A

B C

D A′

B′

C′ D′

A1

B1

C1 D1

c h ứng m i nh cô ng thứ c 1 3:

GọiV thể tích lăng trụ

CóVA1B1C1.A′B′C′ =VA1.A′B′C′+VA1.B′C′C1 +VA1.B1B′C1. (1.25) Theo (1.21),VA1.A′B′C′ =

A1A′

AA′ VA.A′B′C′

= a

3V. (1.26)

Có A′A1 ∥ (B′C′C1) nên theo (1.20), VA1.B′C′C1 =VA′.B′C′C1 =VC1.A′B′C′

A′

B′

C′

A

B

C A1

B1

C1

Theo (1.21),VC1.A′B′C′ =

C1C′

CC′ VC.A′B′C′ = c

3V. (1.27)

Theo (1.21),VB1.A′B′C′ =

B1B′

BB′ VB.A′B′C′ = b

3V. (1.28) Từ (1.25), (1.26), (1.27) (1.28) ta cóVA1B1C1.A′B′C′ =

a+b+c

3 V

c hứng m i nh cô ng thức 1 4:

GọiV thể tích lăng trụ,O, O′lần lượt tâm đáyABCDvàA′B′C′D′

Theo tính chất quan hệ song song khơng gian,A1B1C1D1là hình bình hành gọiI tâm Hiển nhiênI ∈OO′

Theo tính chất đường trung bình hình thang ta cóA′A1+C′C1 = 2O′I;B′B1+D′D1= 2O′I VậyA′A1+C′C1 =B′B1+D′D1, đóa+c=b+d Có VA1B1C1D1.A′B′C′D′ = VA1B1C1.A′B′C′ +

VA1D1C1.A′D′C′

A B C D A′ B′ C′ D′ A1 B1 C1 D1 O′ O I

Áp dụng công thức (1.23) cho lăng trụABC.A′B′C′ta có VA1B1C1.A′B′C′

VABC.A′B′C′

= a+b+c

3 .

Áp dụng công thức (1.23) cho lăng trụADC.A′D′C′ta có VA1D1C1.A′D′C′

VADC.A′D′C′

= a+d+c

3 .

MàVABC.A′B′C′ =VADC.A′D′C′ =

1

2V vàa+c=b+d Vậy ta có

VA1B1C1D1.A′B′C′D′ =

a+b+c

6 V +

a+d+c

6 V =

2(a+c) + (b+d)

6 V =

a+c

2 V =

b+d

2 V Ví dụ 1.2.29

Cho hình lập phươngABCD.A′B′C′D′có cạnh bằnga Một mặt phẳng(α)cắt cạnh

AA′, BB′, CC′, DD′ tạiM, N, P, QbiếtAM =

3a,CP =

5a Tính thể tích khối đa diệnABCD.M N P Q

Hướng dẫn Đặta= AM

AA′;c= CP CC′, ta có a=

3 vàc=

Áp dụng cơng thức (1.24), ta có

VABCD.M N P Q

VABCD.A′B′C′D′

= a+c

2 =

11 30.

VậyVABCD.M N P Q=

11 30a 3. A B C D

A′ B′

1.2.8 Bài toán cực trị toán thực tế

Bài tập nâng cao thể tích khối chóp hay khối lăng trụ thường tập trung vào tốn tìm giá trị lớn nhỏ tốn tìm phương án tối ưu thực tế Để học sinh hình dung rõ tốn dạng này, sách đưa ba dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tìm giá trị lớn nhỏ diện tích hay thể tích mà quy hàm một ẩn

Quy tắc chung:

• Tính đại lượng cần đánh giá (thể tích diện tích) theo biến cơng thức (có thể ẩn)

• Tìm miền xác định mối ràng buộc ẩn cơng thức • Tính ẩn theo ẩn thành hàm số ẩn

• Tìm giá trị lớn (GTLN) giá trị nhỏ (GTNN) hàm số ẩn miền xác định

Ví dụ 1.2.30

Ơng Kiệm muốn xây bể chứa nước lớn dạng khối hộp chữ nhật không nắp tích bằng288m3 Đáy bể hình chữ nhật có chiều dai gấp chiều rộng Giá thuê nhân công xây bể 500.000 đồng/m2 Hãy giúp ông Kiệm xây bể với chi phí thấp chi phí bao nhiêu?

Hướng dẫn

Gọix; 2xlà kích thước đáy vàhlà chiều cao hình hộp Ta cóSxây =Sđáy+Sxq= 2x2+ 6xh

Do thể tích bằng288nên2x2.h= 288⇒h= 144

x2 VậySxây = 2x2+

6.144

x =f(x),x >0

Khảo sát hàm f(x) (0; +∞) dùng máy tính cầm tay chức TABLE đánh giá bất đẳng thức Cô-Si ta tìm giá trị nhỏ củaf(x)

Chẳng hạn, áp dụng BĐT Cơ-Si cho số dương, ta có: 2x2+ 6.144

x = 2x

2+3.144

x +

3.144

x ≥3

3

√

2x2.3.144

x .

3.144

x =

3 √

Ví dụ 1.2.31

Cho hình chóp tứ giác đềuS.ABCDcó khoảng cách từAđến mặt phẳng(SCD)bằng4 Tính giá trị nhỏ thể tíchV khối chóp

Hướng dẫn

Gọi x cạnh đáy h chiều cao, ta có

V = 3x

2h.

Theo (1.2) cód(A,(SCD)) = 2d(O,(SCD)) ⇒d(O,(SCD)) =

Áp dụng tính chất khoảng cách góc tam diện vngO.SCD, ta có

1 =

1

OC2 +

OD2 +

OS2 ⇒

4 =

x2 +

x2 +

h2, (OC =OD = x

√ 2) ⇒x2 = 16h

2 h2−4 VậyV =f(h) = 16

3

h3

h2−4 vớih >2

Khảo sát hàm sốf(h)trên(0; +∞)ta

Vmax=f(2

√

3) = 16√3

S A B C D O x h

Ví dụ 1.2.32

Cho hình lăng trụ đứng có đáy tam giác Thể tích hình lăng trụ làV Để diện tích tồn phần hình lăng trụ nhỏ cạnh đáy lăng trụ bao nhiêu? Hướng dẫn

Gọixlà độ dài cạnh đáy lăng trụ vàh

là chiều cao thìV = √

3 x

2h⇒h= √4V 3x2. Diện tích tồn phần lăng trụ

S = √

3 x

2+ 3xh= √

3 x

2+4 √ 3V x = √ x

2+2 √

3V

x +

2√3V

x

Áp dụng bất đẳng thức Cô-Si cho số dương ta có√

3 x

2+2 √

3V

x +

2√3V x >3

3

√

6√3V2. Dấu ”=”⇔

√ x

2 = √

3V

x ⇔ x =

3 √

4V Vậy diện tích toàn phần lăng trụ nhỏ cạnh đáyx= √34V

Ví dụ 1.2.33: Tứ diện có cạnh cạnh thay đổi

Cho hình chópS.ABCcóSA =SB =SC =AB =BC =avàAC có độ dài thay đổi Tính thể tích lớn khối chóp

Hướng dẫn

Cách 1:

Hình chóp S.ABC có cạnh bên nên chân đường cao trùng với tâm ngoại tiếp O đáy ĐặtBCA\ = α,(0 < α < π

2) theo định lý hàm số sin cóRd=

a

2sinα Vậy h=

√

SA2−R2

d=

√

1− 4sin2α.a Có\ABC = 180◦−2α⇒SABC =

1 2a

2sin2α. VậyV =

6

√

1−

4sin2αsin2α.a S A B C O α β a Rd h = √

4sin2α−1cosα.a3=

√

3−4cos2α.cosα.a3. Đặt cosα=t, (0< t <1)⇒V =

6 √

3t2−4t4.a3 Xétf(t) = 3t2−4t4. Cóf′(t) = 6t−16t3= 0⇔t=

√

3

8 ∈(0; 1) Khi max(0;1)f(t) = 16 Vậy GTLN củaV

6. 4.a

3= 8a

3.

Cách 2:

ĐặtASC[ =β, 0< β < π Áp dụng công thức tính thể tích (1.8) ta có

V = 6.a.a.a.

√

1−cos260◦−cos260◦−cos2β+ 2cos60◦.cos60◦.cosβ =

6

√

1 2−cos

2β+1

2cosβ.a

Đặtt=cosβ, (−1< t <1)thì dễ thấy GTLN củaf(t) =−t2+1 2t+

1

9

16 đạt tạit=

4 Khi GTLN củaV làV = 6.

3 4.a

3= a3

Cách 3: Đánh giá

Áp dụng công thức (1.5) ta có

V = 2.SSAB.SSBC.sin((SAB),(SBC)) 3SB

Mà sin((SAB),(SBC))≤1, đẳng thức đạt khi(SAB)⊥(SBC) Vậy GTLN củaV

3. √ . √ .a

Cách 4: Đánh giá

Gọi M trung điểm SB Do tam

giác SAB, SBC nên AM, CM⊥SB hay

SB⊥(AM C) VậyVSABC =

1

3SAM C.SB MàAM =CM =

√

2 a⇒SAM C = 8a

2.sinAM C.\ Do đóVSABC =

1 8a

3.sinAM C\ ≤ 8a

3.

Đẳng thức đạt tạiAM C\ = 90◦nên GTLN củaV

V = a

8 Khi đóAC = √

6 a

S

A

B

C M

a

Cách 5: Đánh giá

Ta cóV =

3.SSAB.d(C,(SAB)) = √

3 12.a

2.d(C,(SAB))với d(C,(SAB))là khoảng cách từCđến mặt phẳng(SAB) VậyV lớn khid(C,(SAB))lớn

Mà d(C,(SAB)) ≤ d(C, SB), đẳng thức xảy (SBC)⊥(SAB),

d(C,(SAB)) = √

3

2 a(do tam giácSBCđều) Vậy thể tích lớn khối chóp làV =

√ 12.

√ .a

3= a3

Ví dụ 1.2.34

Cho hình chópS.ABCDcó đáy hình thoi cạnha, cạnh bênSA=SB=SC=avà cạnhSDthay đổi Tính thể tích lớn khối chópS.ABCD

Hướng dẫn

Xét tứ diệnSABC có cạnh cóACthay đổi Áp dụng kết củaVí

dụ 1.2.33ta có GTLN củaVSABC

a3

8 Vậy GTLN củaVS.ABCD là2VSABC =

a3

4 a

S

A

B

D

Ví dụ 1.2.35

Từ bìa hình vngABCDcó cạnh bằng2người ta cắt bỏ tam giác cân (như hình vẽ) gấp lại để hình chóp tứ giác Tính thể tích lớn khối chóp

A≡B ≡C≡D

A D

F

B C

H

E

H G

F E

G

Hướng dẫn

GọiNlà trung điểm củaCD, đặtx=EN,(0< x <1)⇒CE =√x2+ 1vàEG= 2−2x. Hình vngEF GH cóEG= 2−2x⇒SEF GH =

1 2EG

2= 2(1−x)2. Hình chóp cóS≡A≡B ≡C ≡Dlà đỉnh nên chiều cao

CO=√CE2−EO2 =√x2+ 1−(1−x)2 =√2x. VậyVS.EF GH =

1

3.2(1−x)

2.√2x= √

2

3 .(1−x) 2.√x.

A≡B ≡C≡D

G E

A D

F

B C

H

E

H G

F N

O

x

2

O

Xét hàmf(x) = (1−x)2.√x, (0< x <1)

Đặtt=√x, (0< t <1)thìf(x) =g(t) = (1−t2)2.t=t5−2t3+t Ta cóg′(t) = 5t4−6t2+ = 0⇔t= √1

5 ∈(0; 1) Dễ dàng kiểm tra max

(0;1) g(t) =g (

1 √

)

= 16 √

5 125 . Khi đó, GTLN củaVS.ABCD

Dạng 2: Áp dụng bất đẳng thức nhiều biến để tìm GTLN hay GTNN

Quy tắc chung:

• Tính đại lượng cần đánh giá theo biến công thức • Áp dụng bất đẳng thức thường gặp

a+b≥2√ab,∀a, b >0; a+b+c≥3√3abc,∀a, b, c >0; (a+b)2≤2(a2+b2), ∀a, b∈R

Đẳng thức đặt tạia=b=c

√

x2+a2+√y2+b2≥√(x+y)2+ (a+b)2,∀a, b, x, y∈R (1.29) Đẳng thức đặt tại(x;a) =k(y;b), k >0

x2

a +

y2

b +

z2

c ≥

(x+y+z)2

a+b+c ,∀x, y, z ∈R, a, b >0. (1.30)

Đẳng thức đặt x

a = y b =

z c

• Sau áp dụng bất đẳng thức đưa hàm biến Dạng Ví dụ 1.2.36

Cho hình chópS.ABCcóSA=x, BC=y, AB=AC =SB =SC = 1.Khi thể tích khối chópS.ABClớn tổngx+ybằng bao nhiêu?

Hướng dẫn

Dễ chứng minh SA⊥(M BC) ∆M BCcân tạiM

Ta cóM N2 =M B2−BC =AB2−SA

2 −

BC2

4 = 1−

x2+y2

4 . Do đóV =VS.ABC =

1 6xy

√

1−x 2+y2

4 . Vìx2+y2>2xynên

V

6xy

√

1−xy =

√ 12

√

(xy)2.(2−xy) Dấu xảy khix=y.

Đặtt=xyvà xétf(t) =t2(2−t),

f(t)đạt GTLN trên(0; 2)khit= 3, suy rax=y= √2

3 ⇒x+y = √

3.

A

B

C S

M

Ví dụ 1.2.37

Cho hai đường thẳngAu, Bvchéo vng góc với cóAB=alà đoạn vng góc chung Hai điểmM, Nlần lượt chuyển động trênAu, Bvsao choM N = 2a Tìm giá trị lớn thể tích tứ diệnABM N theoa

Hướng dẫn

ĐặtAM = x, BN = y(x, y >0), áp dụng (1.4) có

VABCD=

1

6AM.BN.AB.sin90 ◦ =

6axy Lại có4a2 =M N2=

(−−→

M A+−−→AB+−−→BN )2

=x2+y2+a2+ 2−−→M A−−→AB+ 2−−→AB−−→BN+ 2−−→BN−−→M A,

DoM A, AB, BN đơi vng góc nên

A

B

M

N

a 2a

x

y

u

v

4a2 =x2+y2+a2⇒x2+y2 = 3a2 Áp dụng bất đẳng thức Cơ-Si ta cóxy ≤ x

2+y2

2 , đóVABCD≤ 4a

3. Đẳng thức đặt tạix=y=

√

2 a Vậy GTLN thể tích tứ diện 4a

3.

Ví dụ 1.2.38

Cho lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có AB = 6, AC = 8, BC = 10,thể tích khối chóp

C′.ABB′Abằng 80 Gọi M điểm nằm tam giácA′BC′ Tìm vị trí điểmM cho tổng diện tích tất mặt hình chópM.ABCnhỏ

Hướng dẫn

Tam giácABCvng tạiAnênSABC = 24.

CóVC′.ABB′A= 2VC′.ABB′ = 2VC.ABB′

=

3Vlăng trụ⇒Vlăng trụ= 120

Vậy chiều cao lăng trụM H =

Đặtx =HD, y=HE, z=HF vớiD, E, F hình chiếu củaHlênBC, CA, AB

XétT =SM AB+SM BC+SM CA

=

2(M D.BC+M E.CA+M F.AB)

A

B

C A′

B′

C′ M

D E

F

H

x y z

= 5√25 +x2+ 4√25 +y2+ 3√25 +z2=√625 + 25x2+√400 + 16y2+√225 + 9z2. Lại cóSABC=SHBC+SHCA+SHAB ⇒5x+ 4y+ 3z= 24

Áp dụng (1.29) cho số, ta cóT ≥ √

(15 + 20 + 25)2+ (5x+ 4y+ 3z)2= 12√41 Dấu ”=” 5x

25 = 4y

20 = 3z

Dạng 3: Kỹ thuật trải hình tìm phương án tối ưu

Bài tốn: Tìm qng đường ngắn khơng gian

Quy tắc chung:

• Trải mặt phẳng chứa đoạn đường mặt phẳng

• Quãng đường khơng gian sau đường gấp khúc mà đoạn đoạn tương ứng mặt phẳng khác khơng gian

• Tìm đường ngắn đường gấp khúc mặt phẳng (thường đoạn thẳng đường gấp khúc thẳng hàng)

Ví dụ 1.2.39

Cho hình chóp tứ giác đềuS.ABCDcóSA = avàSAB[ = 11π

24 GọiQlà trung điểm cạnhSA Trên cạnhSB, SC, SD lấy điểmM, N, P không trùng với đỉnh hình chóp Tìm giá trị nhỏ tổngAM +M N+N P +P Qtheoa

Hướng dẫn

Ta trải mặt bên hình chóp mặt phẳng:

Suy raAM +M N+N P +P Qngắn khiA;M;N;Qthẳng hàng

Xét∆ASQcó

        

SA=

SQ= a [

ASQ= π

12 ·4 =

π

3

Suy raAQ=

√

AS2+SQ2−2SA·SQcosASQ[ = a √

3

D Q

C S

O A

B

B

C

A

D A′ Q

Ví dụ 1.2.40

Thị xã Từ Sơn xây dựng tháp đèn lộng lẫy hình chóp tứ giác A.ABCD có cạnh bên

SA = 12m vàASB[ = 30◦ Người ta cần mắc đường dây điện từ điểmAđến trung điểmKcủa

SAgồm4đoạn thẳngAE, EF, F H, HKnhư hình vẽ Để tiết kiệm chi phí người ta cần thiết kế chiều dài đường từAđếnKlà ngắn Tính tỉ sốk= HF +HK

EA+EF

S

B C

D H

A K

F

E

Hướng dẫn

Giả sử trải hình chóp đường trịn tâmS, bán kínhSAnhư hình vẽ bên

Để nối từAđếnK ngắn

AK đường thẳng

Xét tam giác cân∆SAA′, thấy

F trọng tâm tam giác Nên AF

F K =

1 ⇒

HF +HK

EA+EF =

1

S

K

A

B C

D A′

H F E

Ví dụ 1.2.41

Cho hình lập phươngABCD.A′B′C′D′ cạnha Một kiến bò từ trung điểmM cạnhABđến điểmN cạnhBC, sau tiếp đến điểmPtrên cạnh

CC′rồi vềD′ Tính quãng đường ngắn kiến

Hướng dẫn

Trải hình bên Ta thấy quãng đường ngắn kiến

M D′=√(1,5a)2+ (2a)2 =

2a. A

B

C D

A′ B′

C′ D′

M

N P

A B

C D

C′

B′ D′ D

M N

1.3 Khoảng cách góc

1.3.1 Khoảng cách

Dạng 1: Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

Giả sử cần tính khoảng cách từAđến đường thẳng∆, lưu ý cách sau • LấyB, C ∈∆và giải tam giácABC

• Chuyển điểm A → A1 với AA1 ∥ ∆: d(A,∆) =d(A1,∆)

• Chuyển điểmA→A2 vớiAA2∩∆ =I: d(A,∆) = IA

IA2

d(A2,∆)

A

A1

A2

B

C H

∆

d(A,∆)

I

Ví dụ 1.3.1

Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình vng tâmO, cạnha SA=avà vng góc với đáy GọiI, M trung điểm củaSC vàAB Tính khoảng cách từI đến

CM Hướng dẫn

Coialà đơn vị đo độ dài Cód(I, M C) = IC

SCd(S, M C) =

1

2d(S, M C) CóM C =√BC2+BM2 =

√

2 ,SM = √

SA2+AM2= √

5

SC =√SA2+AC2 =√3. Có

SSM C =

v u u tp

( p−

√

)2

(p−√3) = √

6 , vớip= SM +M C+SC

2 =

√ +√3

2

Vậyd(S, M C) = 2SSM C

M C =

√ 30 ⇒d(I, M C) =

√ 30 10 Vậyd(I, M C) =

√ 30 10 a

S

A

B C

D

M

I

Dạng 2: Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Trong Mục1.2.1, sách giới thiệu phương pháp xác định khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng:

•Từ chân đường cao đến mặt xiên

•Dịch chuyển khoảng cách đến điểm khác thuận lợi Ngoài ra, ta cần lưu ý thêm số phương pháp sau:

Khoảng cách d(A,(P)) mà A ∈ (Q) với

(Q)⊥(P):

- Xác định giao tuyến∆ = (P)∩(Q) - KẻAH⊥∆⇒d(A,(P)) =AH

(Q) (P)

A

∆

H

Dùng thể tích tứ diện:

- Chuyển d(A,(P)) = d(A,(M N P)), với

M, N, P ∈(P)không thẳng hàng - Khi đód(A,(P)) = 3VAM N P

SM N P

(1.31)

A

M

N

P

(P)

Ví dụ 1.3.2

Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình vng cạnha,SA=a√3và vng góc với đáy Tính khoảng cách từ trọng tâmGcủa tam giácSADđến mặt phẳng(SAC) Hướng dẫn

Áp dụng cơng thức (1.2) có

d(G,(SAC))

d(M,(SAC)) =

GS

M S =

2 ⇒d(G,(SAC)) =

3d(M,(SAC))

DoM ∈(ABCD)và(ABCD)⊥(SAC)nên

d(M,(SAC)) =d(M, AC) =HM MàHM =

2DO = √

2 a Vậyd(G,(SAC)) =

3M H = √

2 a

S

A

B C

D G

M H

Ví dụ 1.3.3: Đề thi THPTQG 2018

Cho hình chópS.ABCcó đáy tam giác vng đỉnhB,AB=a,SAvng góc với mặt phẳng đáy vàSA= 2a Tính khoảng cách từAđến mặt phẳng(SBC)

Hướng dẫn

Có A chân đường cao, (SBC) ∩ (ABC) = BC AB⊥BC Kẻ AH⊥SB

thìd(A,(SBC)) =AH Có

1

AH2 =

AB2 +

AS2 =

a2 + 4a2 =

5 4a2 ⇒AH = √2a

5 = 2√5

5 a Vậyd(A,(SBC)) =

√ 5 a

2a a S A B C H

Ví dụ 1.3.4

Cho hình chópSABC có mặt phẳng(ABC)và(SBC)là tam giác cạnha

và góc chúng bằng60◦ Hình chiếu vng góc củaSxuống(ABC)nằm tam giácABC Tính khoảng cách từBđến mặt phẳng(SAC)

Hướng dẫn

GọiM trung điểm củaBC vàHlà chân đường cao hạ từSthìH ∈AM vàHM S\ = 60◦

CóSM = HM = √

3

2 avàHM S\ = 60

◦ nênH là

trung điểm củaAM ⇒HM =HA= √

3 a

SH =HMtan60◦ =

4a⇒VSABC = √

3 16a

3. SA=√SH2+HA2 =

√ a ⇒p= SA+AC+CS

2 =

4 +√3 a. S A B C M H 60 ◦ a a

SSAC =

v u u

tp(p−a)2 (

p−a

√ ) = √ 39 16 a

2 Vậyd(B,(SAC)) = 3VSABC SSAC

= √

Ví dụ 1.3.5

Cho hình chópS.ABCDcóABCDlà hình chữ nhật vớiAB = a, BC = 2a,SAvng góc với mặt phẳng đáy góc giữaSCvà đáy bằng45◦ Tính khoảng cách từAđến mặt phẳng(SBD)

Hướng dẫn

Có(SC,(ABCD)) = 45◦ ⇒SCA[ = 45◦ ⇒SA=AC.tan45◦=√5a

CóA.SBDlà góc tam diện vng tạiAnên ta có

1

d2(A,(SBD)) =

AB2 +

AD2 +

AS2 =

(

1 +

1 +

1

)

1

a2 = 29

20a2 Vậyd(A,(SBD)) =

√ 145 29 a

S

A

B C

D

45◦

a

2a

Ví dụ 1.3.6

Cho hình chóp tứ giác có tất cạnh bằng1 GọiOlà hình chiếu vng góc

Slên mặt phẳngABCD Tính khoảng cách từOđến mặt phẳng(SBC)

Hướng dẫn

ABCDlà hình vng cạnh1nên

OB =OC =

√ 2

∆SAC cân S có cạnh bên

AC =√2nên∆SACvuông tạiSvà

OS = 2AC=

√ 2

O.SBC góc tam diện vng tạiOnên

d2(O,(SBC)) =

OB2 +

OC2 +

OS2 = + + =

Vậyd(O,(SBC)) = √1 =

√ 6

S

A B

C

D

O

Ví dụ 1.3.7

Cho hình lăng trụABC.A′B′C′vớiAB = a, BC = 2a,\ABC = 60◦ Hình chiếu vng góc củaA′ lên mặt phẳng(ABC)trùng với trọng tâm Gcủa tam giácABC Góc

AA′và(ABC)bằng60◦ Tính khoảng cách từGđến(A′BC)

Hướng dẫn

∆ABCcóAB=a, BC= 2avà\ABC = 60◦nên vng tạiA Góc(AA′,(ABC)) =A\′AG⇒A\′AG= 60◦ CóAG=

3AM = 2BC=

2 3a⇒A

′G=AGtan60◦ = √

3 a Kẻ AH⊥BC ⇒ AH =

√

2 a (theo mục

1.2.1)

KẻGI⊥BC⇒GI = 3AH=

√ a

Có

d2(G,(A′BC)) =

GA′2 +

GI2 =

4a2 + 12

a2 = 51 4a2 Vậyd(G,(A′BC)) = √2a

51 = 2√51

51 a

A′ A B C G M H I a 2a 60◦ 60◦

Ví dụ 1.3.8

Cho lăng trụ đứngABC.A′B′C′có đáy tam giác cân tạiA,AB = AC = 2a,\CAB = 120◦ Góc giữa(A′BC)và(ABC)bằng45◦ Tínhd(B′,(A′BC))

Hướng dẫn

GọiM trung điểm củaBCthì

AM =

2AB=avàA\′M A= 45 ◦ ⇒AA′=AMtan45◦ =a

CóB′A∩(A′BC) =IvàIB′ =IA

⇒d(B′,(A′BC)) =d(A,(A′BC))

Mà

d2(A,(A′BC)) =

AM2 +

AA′2 =

a2 ⇒d(A,(A′BC)) =

√ 2 a Vậyd(B′,(A′BC)) =

√ 2 a

A B C A′ B′ C′ M 2a

2a 120 45◦

◦

Dạng 3: Khoảng cách hai đường chéo nhau

Khoảng cách hai đường chéo nhaua, b, ký hiệu làd(a, b)được thực theo trình tự sau:

Kiểm tra trường hợp đặc biệt: a⊥(P)mà(P)⊃b

a

b

(P)

A

B

•GọiA=a∩(P)

•KẻAB⊥b(B∈b)⇒d(a, b) =AB

Phương pháp tổng quát: a

b a′

M

d(a, b)

(P)

• Dựng mp(P) ⊃ bvà(P) ∥ a(bằng cách từ điểm thuộcbkẻ song song vớia) •d(a, b) =d(M,(P))vớiM ∈abất kỳ Ví dụ 1.3.9

Cho hình chópS.ABCDcó ABCDlà hình vng cạnha,M, N trung điểm ABvà AD Hình chiếu vng góc củaS lên(ABCD) trùng với giao điểmH

CM, BN vàSH =a Tính khoảng cách hai đường thẳngSC, BN

Hướng dẫn

CóCM⊥BN theo mục1.2.1, màBN⊥SHdoSH⊥(ABCD), vậyBN⊥(HCS)với(SHC)⊃SC KẻHK⊥SC ⇒d(BN, SC) =HK

(trường hợp đặc biệt xảy ra)

∆M BC có CH.CM = CB2

CM =√CB2+BM2 = √

5 a, đóCH = √2

5a Có

HK2 =

HC2 +

HS2 = 4a2, ⇒HK =

3a, hayd(SC, BN) = 3a

S

A

B C

D

H M

N

a

Ví dụ 1.3.10

Cho hình chópS.ABCcóSAvng góc với đáy, tam giácABCvng cân tạiB,AB=a,

SBhợp với đáy góc30◦ Tính khoảng cách giữaAB, SC

Hướng dẫn

Có góc(SB,(ABC)) =SBA[

⇒SBA[ = 30◦⇒SA=ABtan30◦ = √

3 a KẻCE∥BAvàCE =ABthì

(SCE)⊃SCvà(SCE)∥AB

⇒d(AB, SC) =d(A,(SCE))

CóAE⊥CE(doABCE hình chữ nhật)

⇒

d2(A,(SCE)) =

AE2 +

AS2 =

a2. ⇒d(A,(SCE)) = a

2 Vậyd(AB, SC) = a

2

S

A

B

C E

30◦

a a

Ví dụ 1.3.11: Đề thi THPTQG 2018

Cho hình chópS.ABCDcó đáy hình chữ nhật,AB =a, BC = 2a,SAvng góc với mặt phẳng đáy vàSA=a Tính khoảng cách hai đường thẳngACvàSB

Hướng dẫn

Kẻ BE ∥ AC cắt đường

AD E (SBE) ⊃ SB

và song song với AC Vậy

d(SB, AC) =d(A,(SBE)) Vì A.SBE góc tam diện vng nên

1

d2(A,(SBE)) =

AB2 +

AE2 +

AS2 = 4a2.

(lưu ý AE = BC = 2a

ACBE hình bình hành)

S

A

B C

D E

a

2a

2a

a

Vậyd(A,(SBE)) =

Ví dụ 1.3.12: Đề thi THPTQG 2018

Cho hình chópS.ABCDcó đáy hình chữ nhật,AB =a, BC = 2a,SAvng góc với mặt phẳng đáy vàSA=a Tính khoảng cách hai đường thẳngSCvàBD

Hướng dẫn

GọiO = AC∩BDvà kẻOM ∥ SC (M trung điểmSA) thì(M BD)⊃BDvà song song vớiSC

Vậyd(SC, BD) =d(C,(M BD))

MàO trung điểmAC,O ∈ (M SB) nên

d(C,(M BD)) =d(A,(M BD))

Có A.M BD góc tam diện vuông

AM = a

2 nên ta có

d2(A,(M BD)) =

AB2 +

AD2 +

AM2 = 21

4a2 ⇒d(A,(M BD)) =

√ 21 21 a

Vậyd(SC, DB) = √

21 21 a

S

A

B C

D a

2a O M a

Ví dụ 1.3.13: Đề thi THPTQG 2018

Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc với nhau, AO = OB = a

OC = 2a GọiMlà trung điểm củaAB Tính khoảng cách hai đường thẳngOM

AC

Hướng dẫn

Từ C kẻ đường song song với OM cắt đườngOB tạiEthì

d(AC, OM) = d(O,(ACE)) (ACE) ∥

OM và(ACE)⊃AC

CóM B=M C ⇒OE =OB ⇒OE =a CóO.ACElà góc tam diện vuông nên

1

d2(O,(ACE)) =

OC2+

OE2+

OA2 = 4a2 ⇒d(O,(ACE)) =

3a Vậyd(AC, OM) =

3a

O A

M

B

C E

2a

a a

Ví dụ 1.3.14

Cho khối lập phươngABCD.A′B′C′D′cạnha Tính khoảng cách hai đường thẳng

A′BvàB′D

Hướng dẫn

TừB′kẻ đường song song vớiA′B

cắt đườngABtạiEthìBE =a(do

A′B′EB hình bình hành) Gọi

M =DE∩BCthìMlà trung điểm BC (do B trung điểmAE), vậyBM = a

2

Vì (B′DE) ∥ A′B (B′DE) ⊃B′Dnênd(A′B, B′D) =

d(B,(B′DE)) =d(B,(B′M E)) CóB.B′M Elà tứ diện vuông nên

A B

C D

A′ B′

C′ D′

E M

a

a a

2

1

d2(B,(B′M E)) =

BM2 +

BE2 +

BB′2 =

a2 ⇒d(B,(B′M E)) = √

6

6 a=d(A

′B, B′D).

Ví dụ 1.3.15

Cho lăng trụ đứngABC.A′B′C′có đáy tam giác vng tạiAvàAB=AC =a√2 Góc giữaA′B mặt phẳng(A′B′C′)bằng60◦,M trung điểm củaBC Tính khoảng cách đường thẳngAM vàB′C

Hướng dẫn

Có AM⊥BC (∆ cân), mà AM⊥BB′

nên AM⊥(BB′C′C) Kẻ M N⊥B′C, (BB′C′C) ⊃ B′C nên d(AM, B′C) =

M N =

2BH vớiBH⊥B ′C.

Góc(A′B,(A′B′C′)) = 60◦ ⇒A\′BA= 60◦ ⇒BB′=AA′ =ABtan60◦ =a√6 ∆B′BCcó

BH2 =

BC2 +

BB′2 = 12a2 ⇒BH =

√ 15

5 a⇒M N = √

15 a Vậyd(AM, B′C) =

√ 15 a

A

B

C A′

B′

C′

M N

a 60◦ a√6

2a

1.3.3 Góc

Trong m ụ c 2.1cuốn sách giới định nghĩa cách tính góc đường thẳng mặt phẳng góc hai mặt phẳng Mục trình bày sâu phương pháp đa dạng để tích góc khơng gian

Dạng 1: Góc hai đường thẳng

Theo định nghĩa SGK Hình học 11 [2], góc hai đường phân biệtavàb, ký hiệu là(a, b)là góc hai đường thẳng cắt nhaua′ vàb′lần lượt phương vớiavàb

Nghĩa là:

(a, b) = (a, b′) = (a′, b) = (a′, b′) =φ. Có hai cách tính:

•cosφ=cos(⃗a,⃗b)=

⃗a.⃗b

|⃗a|.⃗b

với⃗a,⃗blà vectơ phương củaa, b

•Khi hai đường cắt nhau, gắnφtrong tam giác để giải tam giác

a

b

a′

b′ φ

Ví dụ 1.3.16

Cho tứ diện ABCDcóAB = 4, CD = 6, M, N trung điểm củaAC, BD

M N = Tính cosin góc hai đường thẳngABvàCD

Hướng dẫn

Cách 1:Dùng định nghĩa

GọiP trung điểm củaADthìN P ∥AB,

P M ∥CD Vậyd(AB, CD) =d(P N, P M) CóP N =

2AB= 2,P M =

2CD= 3(tính chất đường trung bình tam giác) Áp dụng định lý hàm số cos trong∆M N P, ta có

cosM P N\ = P N

2+P M2−M N2

2P N.P M =−

1 4. Vậy cos(AB, CD) =

4

A B

C

D

M

N P

4

3

Cách 2:Dùng vectơ

Lại cóN trung điểmBDnên−−→OB+−−→OD= 2−−→ON , ∀O Trừ vế-vế hai đẳng thức ta được2−−→M N =−−→AB+−−→CD

⇒4M N2=AB2+CD2+ 2−−→ABCD−−→⇒64 = 16 + 36 + 2.4.6.cos(−−→AB,−−→CD) ⇒cos(−−→AB,−−→CD) =

4 Vậy cos(AB, CD) =

4 Ví dụ 1.3.17

Cho hình lăng trụ tam giác đềuABC.A′B′C′ cóAB =avàAA′ =√2a Tính góc hai đường thẳngAB′ vàBC′

Hướng dẫn

Cách 1:Dùng định nghĩa

GọiI =AB′∩A′B⇒IB=IA′;IA=IB′ GọiM trung điểmA′C′ ⇒IM ∥BC′ Vậy(AB′, BC′) = (IB′, IM)

CóAB′ =√AA′2+A′B′2 =√3avà BC′ =√BB′2+B′C′2=√3a đóIM =IB′ =

√ a MàB′M =

√

2 a(do∆A

′B′C′đều có cạnh

bằnga) nên∆IM B′ cạnh √

3 a VậyM IB\′ = 60◦, hay(AB′, BC′) = 60◦

a a√2

A′

B′

C′ A

B

C

M I

Cách 2:Dùng vectơ

Coi alà đơn vị đo hình vẽ, ta làm việc với hệ số độ dài

Có−−→B′A=−−→B′A′+−−→B′B,−−→BC′=−−→B′C′−−−→B′B Nhân vế-vế hai đẳng thức với lưu ý −−→

B′A′.−−→B′B =−−→B′C′.B−−→′B = 0,−−→B′A′.−−→B′C′ = ta được−−→B′A.−−→BC′ =

2−2 =− MàAB′ =BC′=√3nên

cos(−−→B′A,−−→BC′) = −−→

B′A.−−→BC′ AB′.BC′ =−

1 Vậy cos(AB′, BC′) =

2 ⇒(AB′, BC′) = 60◦

√

A′

B′

C′ A

B

C

Ví dụ 1.3.18

Cho hình chóp tứ giác đềuS.ABCDcó đáyABCDlà hình vng,E điểm đối xứng vớiDqua trung điểm củaSA GọiM, N trung điểm củaAE, BC Tính góc hai đường thẳngM N vàBD

Hướng dẫn

Cách 1:Dùng vectơ

Gọi I trung điểm củaSA vàO tâm đáy, ta có OI đường trung bình tam giácDBE⇒−−→EB = 2−→IO

Có M, N trung điểm AE, CB nên tương tựVí dụ 1.3.16ta có

2−−→M N =−−→EB+−→AC = 2−→IO+−→AC Vậy−−→BD.2−−→M N =−−→BD.2−→IO+−−→BD.−→AC Mặt khác, theo tính chất chóp tứ giác cóBD⊥(SAC)⇒BD.−−→−→AC=−−→BD.−→IO= Vậy−−→BD.−−→M N = 0⇒(M N, BD) = 90◦

S

A

B C

D M

N O E

I

Cách 2:Dùng định nghĩa

GọiI trung điểm củaSAthìI trung điểm DE nên ADSE hình bình hành, suy BCSE hình bình hành

CóM Ilà đường trung bình tam giác

ASE ⇒M I ∥SEvàM I = 2SE CóN C ⊂ BC N C =

2BC Do đó,

M N CI hình bình hành, suy raM N ∥ IC Vậy(M N, BD) = (IC, BD)

Mặt khác, BD⊥(SAC) vàIC ⊂ (SAC) nênBD⊥IC

Vậy(M N, BD) = 90◦

S

A

B C

D M

N O E

I

Dạng 2: Góc đường thẳng mặt phẳng

Theo định nghĩa, góc đường thẳngavà mặt phẳng(α), ký hiệu (a,(α))là góc

φ= (a, a′)vớia′ hình chiếu củaalên(α)

lư u ý c ác h tí nh sau:

Cách1: Dựng góc theo định nghĩa

•Dựng hình chiếua′củaalên(α) •Tính góc giữaavàa′

a

a′

(α)

φ

Cách 2: Chuyển thành khoảng cách

•Xác định giao điểmI =a∩(α) •Chọn điểmM ∈abất kỳ •Khi sinφ= d(M,(α))

M I

a

(α)

φ I

M

d(M,(α))

Cách 3: Tính theo phương pháp tuyến

•Xác định đường thẳngb⊥(α) •Khi sinφ=cos(a, b)

a

(α)

b

Cách 4: Dịch chuyển song song

•Xác định(α′ ∥(α)) •Hoặc xác địnha′ ∥a

• Khi đó(a,(α)) = (a′,(α)) = (a,(α′)) = (a′,(α′))

a

(α)

(α′) a

′

Ví dụ 1.3.19

Cho tứ diện đềuABCD Gọiφlà góc đường thẳngABvà mặt phẳng(BCD) Tính cosφ

Hướng dẫn

Coi cạnh tứ diện bằng1 GọiOlà hình chiếu củaAlên(BCD) thìO trọng tâm của∆BCD Vậyφ=\ABO

Có cosφ= BO

AB

Mà theo Mục1.2.1cóBO = √

3

3

AB= Vậy cosφ=

√ 3

A

B

C

D O

Ví dụ 1.3.20

Cho hình chóp S.ABCDcó đáy hình bình hành, AB = 2a, BC = a,\ABC = 120◦ Cạnh bênSD=a√3vàSDvuông góc với mặt phẳng đáy Tính sin góc tạo bởiSB

và mặt phẳng(SAC)

Hướng dẫn

CóBD2 =AB2+AD2−2AB.AD.cos60◦ =a√3⇒SB =a√6

Kẻ DH⊥AC, có AC2 = AB2 + AD2 + 2AB.AD.cos60◦ = a√7 Mà 2SACD =

SABCD = AB.AD.sin60◦ =

√

3a2 Do

DH = 2SADC

AC =

√ √

7a

Gọiφlà góc giữaSBvà mặt phẳng(SAC) ta có sinφ= d(B,(SAC))

SB

DoOlà trung điểmBDnên

d(B,(SAC)) =d(D,(SAC))

Mặt khác,

d2(D,(SAC)) =

DS2 +

DH2 ⇒d(D,(SAC)) =

√ 2√2

Vậy sinφ= d(D,(SAC))

SB =

1

S

A B

C D

H O

2a a

a√3

Ví dụ 1.3.21

Cho hình chópS.ABCScó đáyABCDlà hình chữ nhật, cạnhAB=a, AD=√3a Cạnh bênSA=√2avà vng góc với mặt phẳng đáy Tính góc đường thẳngSB mặt phẳng(SAC)

Hướng dẫn

Gọiφ = (SB,(SAC)), theo Cách dạng có

sinφ= d(B,(SAC))

SB .

Kẻ BI⊥AC ⇒ BI⊥(SAC) (vì (SAC)⊥(ABCD)),

d(B,(SAC)) =BI = BA.BC

AC =

√ a Dễ thấySB=√SA2+AB2 =√3a. Vậy sinφ= BI

SB =

1

2, hayφ= 30 ◦.

S

A

B C

D I

a

√ 3a

√ 2a

Ví dụ 1.3.22

Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ có M, N, P trung điểm cạnh

A′B′, A′D′, C′D′ Tính góc đường thẳngCP mặt phẳng(DM N)

Hướng dẫn

CóM P ∥ B′C′ vàM P = B′C′ nênM P ∥ BC vàM P = BC Do đóBCP M hình bình hành⇒CP ∥BM

MàM N ∥BDnênBM ⊂(M N D) Vậy

CP ∥(M N D)⇒(CP,(M N D)) = 0◦. Chú ý: Bài ta chuyểnCP đường thẳng song song với mà ban đầu có điểm chung với mặt phẳng(M N D)

A

B C

D A′

B′ C′

D′ M

Ví dụ 1.3.23

Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình thang cân,AD= 2AB= 2BC = 2CD= 2a Hai mặt phẳng(SAB)và(SAD)cùng vng góc với mặt phẳng(ABCD) GọiM, N

lần lượt trung điểm củaSBvàCD Tính cosin góc giữaM N mặt phẳng(SAC)biết thể tích khối chópS.ABCDbằng

√ a 3. Hướng dẫn Cách 1:

Từ giả thiết có ABCDlà nửa lục giác cạnha Vì vậyDC⊥ACdo đóDC⊥(SAC) Gọiφ= (M N,(SAC))

⇒sinφ=cos(M N, CD) GọiP trung điểmAB, theo

Ví dụ 1.3.16 có −−→M N =

2

(−−→ BC+−→SD

)

=

2

(−−→

BC+−→SA+−−→AD )

=

(−→

SA+ 2−−→P N )

Do−−→CD.−→SA = nên−−→CD.−−→M N = −−→CD.−−→P N

=a.3

2a.cos60 ◦=

4a 2. VìVSABCD =

√ a

3⇒SA= 3V SABCD

=a CóM N =√M P2+P N2 =

√ 10 a

Vậy cos(CD, M N) =

−−→CD.−−→M N

CD.M N =

3√10 20 ⇒sinφ=

√ 10

20 Do cosφ= √ 310 20 S A B C D M N a a 2a a P Cách 2:

Tương tự cách tính đượcM N = √

10 a GọiQlà trung điểm củaBC thì(M P Q) ∥ (SAC)do

(M N,(SAC)) = (M N,(M P Q)) =φ Vậy sinφ= d(N,(M P Q))

M N

GọiI =P Q∩CDta có

d(N,(M P Q)) =N I =N Pcos60◦= 4a Do sinφ=

√ 10

Ví dụ 1.3.24

Cho hình chóp tứ giác đềuS.ABCDcó cạnh đáy bằnga, tâmO GọiM, N trung điểm củaSAvàBC Biết góc giữaM Nvà(ABCD)bằng60◦ Tính cosin góc

M N mặt phẳng(SBD)

Hướng dẫn

Cách 1:

HạM H⊥(ABCD)thìHlà trung điểm

AO Khi đóM N H\ = 60◦ góc giữaM N

và(ABCD) GọiF trung điểm củaAD

⇒(M HF)∥(SBD)nên

(M N,(SBD)) = (M N,(M HF)) =φ Do sinφ= d(N,(M HF))

M N

Trong∆CN H có: HN2 = CN2 +CH2 − 2CN.CH.cos45◦ = 10

16a⇒ HN = √

10 a ⇒M N =HN/cos60◦ =

√ 10 a Cód(N,(M HF)) = 2d(O,(M HF)) =

2OH= √

2 a

Vậy sinφ= d(N,(M HF))

M N =

1 √

5 Suy cosφ=

√ 5 S A B C D O M N H E

F 60◦

Cách 2:

GọiHlà hình chiếu củaMlên(ABCD)thì

Hlà trung điểm củaAO Tương tự cách 1, tính đượcM N =

√ 10 a

CóAC⊥(SBD)nên sinφ=cos(M N, AC) CóM, N trung điểmSA, BC nên tương

tựVí dụ 1.3.16ta có−−→M N =

2

(−→ AC+−→SB

)

Vậy−→AC.−−→M N =

2AC 2+1

2 −→

AC.−→SB=a2(do −→

AC.−→SB = 0vìAC⊥SB) Do cos(AC, M N) =

−→AC.−−→M N AC.M N

= a

2 a√2.√210a =

√ 5

Dạng 3: Góc hai mặt phẳng

Góc hai mặt phẳng(α)và(β), ký hiệu làφ= ((α),(β))

Cách 1: Theo định nghĩa

Nếu cóa⊥(α)vàb⊥(β)thì

φ= (a, b).

(α) (β)

a b

Cách 2: Quy khoảng

cách

•Goi∆ = (α)∩(β) •LấyM ∈(β)bất kỳ •Khi sinφ= d(M,(α))

d(M,∆)

M

H I

∆ (α)

(β)

φ

Cách 3: Diện tích hình chiếu

•Lấy đa giác trên(β)có diện tíchS

• Chiếu vng góc lên mặt phẳng (α) đa giác có diện tíchS′

•Khi cosφ= S ′

S

(α) (β)

S

S′

Cách 4: Dịch chuyển song song

•Xác định mặt phẳng(α′)∥(α) •Khi đó((α),(β)) = ((α′),(β))

(α) (β)

(α′)

Cách 5: Sử dụng mặt phẳng thứ 3

•Nếu có mặt phẳng(P)qua giao tuyển∆ của(α)và(β) Xét mp(P′)qua∆và vng góc với(P)chia không gian thành phần

(α) (β)

(P) (P′)

∆

Gọiφ1 = ((α),(P)), φ2= ((β),(P)) Khi đó: cosφ=

{

cos(φ1−φ2) nếu(α),(β)nằm góc phần tư khơng gian tạo bởi(P).(P′) |cos(φ1+φ2)| nếu(α),(β)nằm khác góc phần tư khơng gian tạo bởi(P).(P′) •Nếu(P),(α),(β)đơi cắt theo giao tuyến đồng quy tạiS, ta sử dụng

Ví dụ 1.3.25

Cho hình lập phươngABCD.A′B′C′D′có cạnh bằnga Tính số đo góc hai mặt phẳng(BA′C)và(DAC)

Hướng dẫn

Cách 1:Theo định nghĩa.

Ta thấy AB′⊥(BA′C) (do AB′⊥A′B

AB′⊥BC) Lưu ý,CB⊥(AA′B′B) Tương tựAD′⊥(DA′C) Do ((BA′C),(DA′C)) = (AB′, AD′)

Mà∆AB′D′đều (do cạnh bằng√2a) nên (AB′, AD′) = 60◦

Vậy((BA′C),(DA′C)) = 60◦

A B

C

D A′

B′ C′

D′

Cách 2: Dùng góc nhị diện.

Tham khảo hình vẽ có cosφ1=cosφ2 =

1 √

3;sinφ1 =sinφ2 = √

2 √

3. Xét góc tam diện C.BDA′ có φ1, φ2 có thêmBCD\= 90◦

Áp dụng cơng thức (1.6) có góc nhị diện cos[B, A′C, D] = cos90

◦−cosφ

1.cosφ2 sinφ1.sinφ2 =−1

2 ⇒[B, A

′C, D] = 120◦. Vậy((BA′C),(DA′C)) = 60◦

A

B C

D A′

B′ C′

D′

a

√

2a √3a

φ1 φ2

Cách (Dùng khoảng cách):Gọiφ= ((BA′C),(DA′C))⇒sinφ= d(B,(A ′DC))

d(B, A′C) Tam giácA′BC vuông tạiBnênd(B, A′C) = BC.BA

′

A′C =

√ √

3 DoAB∥(A′CD)nênd(B,(A′CD)) =d(A,(A′CD))

CóAlà chân đường cao hạ từA′ chópA′.ACDlên đáy(ACD)vàAD⊥CDnên

d2A,(A′CD) =

AD2 +

AA′2 =

a2 ⇒d(A,(A′CD)) = a

√ 2. Vậy sinφ= d(A,(A

′DC))

d(B, A′C) = √

3

Ví dụ 1.3.26

Cho lăng trụ tam giác có đáyABCcạnha Trên cạnh bên lấy điểmA1, B1, C1 cách đáy khoảng a

2, a, 3a

2 Tính cos((A1B1C1),(ABC)) Hướng dẫn

Xét hình thang vng AA1B1B kẻ đường caoA1Hta cóA1B1=

√

A1H2+HB12 =

√

AB2+ (BB

1−AA1)2= √

5 a Tương tự

B1C1 = √

BC2+ (BB

1−CC1)2 = √

5 a

A1C1 = √

AC2+ (AA

1−CC1)2= √

2a Đặtp= A1B1+B1C1+C1A1

2 , ta có

SA1B1C1 =S

=

v u u

tp(p−a√2) ( p− √ a )2 = √ a 2.

Mặt khác,SABC=S′=

√ a

2.

Mà ∆ABC hình chiếu vng góc ∆A1B1C1lên mp(ABC)

Vậy cos((A1B1C1),(ABC)) = S′

S =

√ 2

0,5a

a a A B C A1 B1 C1 H

Ví dụ 1.3.27

Cho hình chópS.ACBDcó đáyABCDlà hình thoi tâmO, đường thẳngSOvng góc với mặt phẳng(ABCD) BiếtAB=SB =a, SO= a

√

3 Tính góc((SAB),(SAD)) Hướng dẫn

CóOA2 =AB2−OB2=a2−BO2

SO2 =SB2−BO2 =a2−BO2. VậyOA=OS= a

√

vàOB =√SB2−SO2 = √1 3a KẻOM⊥SA⇒OM = SO√

2 = √

3a (do∆SOAvng cân tạiO)

Do đóM O=OB =OD ⇒BM D\ = 90◦ MàSA⊥(BM D)nên

((SAB),(SAD)) =BM D\ = 90◦

a a

a a a√6

Ví dụ 1.3.28

Cho tứ diệnABCDcóCD= Hai tam giácACD,BCDcó diện tích là15và10 Biết thể tích tứ diệnABCDbằng20 Tính cotan góc hai mặt phẳng(ACD) và(BCD)

Hướng dẫn

Gọiφ= ((ACD),(BCD)) Áp dụng cơng thức (1.5) ta có sinφ= 3VABCD.CD

2SACD.SBCD

= 5. Vậy cot2φ=

sin2φ−1 = 16

9 ⇒cotφ=

Ví dụ 1.3.29: Đề thi THPTQG 2018

Cho hình lập phươngABCD.A′B′C′D′ có tâmO Gọi I tâm hình vng A′B′C′D′ M điểm thuộc đoạn thẳng OI cho M O = 2M I

(tham khảo hình vẽ) Khi cơsin góc tạo hai mặt phẳng(M C′D′)và(M AB)bằng

A.

√ 85 85 B.

7√85 85 C.

17√13 65 D.

6√13 65

A

B C

D

A′

B′ C′

D′ O

I M

Hướng dẫn

Cách 1: Dùng mặt phẳng thứ 3

Lấy N đối xứng với M qua O (M AB) ∥ (N C′D′)theo phép đối xứng tâmO Vậy

((M AB),(M C′D′)) = ((N C′D′),(M C′D′)) =φ Gọi φ1, φ2 góc (N C′D′) (M C′D′)với(A′B′C′D′)thìφ=φ1−φ2

GọiK trung điểm củaC′D′ta có tanφ1=

IN

IK =

5

3; tanφ2 =

IM

IK =

1 3. Vậy tanφ= tanφ1−tanφ2

1 +tanφ1.tanφ2 =

7 Do cosφ=

√

1

1 +tan2φ = 7√85

85

A

B C

D

A′

B′ C′

D′ O

I M N

Cách 2: Dựng góc

Coi cạnh hình vng bằng1 Gọidlà giao tuyến của(M AB)và(M C′D′)thìdquaM song song vớiAB, C′D′

GọiH, K trung điểm củaAB, C′D′

M H, M K⊥AB, C′D′ đóM H, M K⊥d

(tham khảo hình bên)

Vậy((M AB),(M C′D′)) = (M H, M K) CóM H =√M I′2+I′H2 =

√ 34 CóM K=√M I2+IK2=

√ 10 A B C D A′

B′ C′

D′ O

I M

K

H I′

Dễ thấyHK=√2 Áp dụng định lý hàm số cosin trong∆M HK có cosHM K\ = M H

2+M K2−HK2

2.M H.M K =−

7√85

85 Vậy cos((M AB),(M C

′D′)) = √

85 85 . Ví dụ 1.3.30

Cho hình lăng trụABC.A′B′C′có đáy tam giác cạnha, cạnh bênAA′ = 2a Hình chiếu vng góc củaA′lên mặt phẳng(ABC)trùng với trung điểm đoạnBG(vớiG

là tâm tam giácABC) Tính cosφvớiφ= ((ABC),(ABB′A′))

Hướng dẫn

Lưu ý mặt phẳng(ABB′A′)≡(A′AB) Gọi I, M, H, N trung điểm

AC, AB, BG, BM φ = SN H\ theo góc mặt bên đáy mục1.2.1 CóN H=

2GM = 6CM =

√ 12a

AH2 =AI2+IH2 = 4AC

2+4 9BI

2 = 7a2 12 VậyA′H2 =A′A2−AH2 = 41

12a Suy raA′N =√SH2+HN2 =

√ 55 Do cosφ= HN

A′N =

1 √

165

Ở ýCM =BI = a √ A′ A B C G H M N I a

Ví dụ 1.3.31

Hướng dẫn

Gọid= (SAB)∩(SCD) ⇒ d∥ AB ∥ CD

vàS ∈d GọiMlà trung điểm củaCD

⇒ M ∈ (SCD) Do (SAB)⊥(ABCD) theo giao tuyến AB nên kẻ M H⊥AB

M H⊥(SAB) (khi đóH trung điểm

AB) Dod∥ABvàSH⊥AB⇒HS⊥d VậyHSM\ góc giữa(SAB)và(SCD) Có tan\HSD= HM

SH =

a

a√3

= √

3 Vậy tanφ=

√ 3

S

A

B C

D

H M

d

Ví dụ 1.3.32

Cho hình chópS.ABCDcó đáy hình vng cạnha,SAvng với đáy Tính độ dài cạnhSAđể góc tạo bởi(SBC)và(SCD)bằng60◦

Hướng dẫn

Cách 1: Dùng góc nhị diện

Gọiα=SCD[ =SCB[ vàφlà góc nhị diện [D, SC, B] Áp dụng cơng thức (1.6) ta có cosφ= cos90

◦−cos2α

sin2α =−cot

2α <0. Vậyφ >90◦.Do

((SBC),(SCD)) = 60◦⇔φ= 120◦ Từ cosφ=−cot2α⇔cot2α=

2 ⇔tanα=√2⇔SD=√2DC=√2a

VậySA=√SD2−AD2 =a. a

a α α S

A B

C D

Cách 2: Dùng khoảng cách ĐặtSA=h⇒ SC =√h2+ 2a2 vàSB =SD=√h2+a2. Gọiφ= ((SCD),(SCB))⇒sinφ= d(D,(SCB))

d(D, SC) Có∆SDCvng tạiDnên

d(D, SC) = DS.DC

SC =

a√h2+a2 √

h2+ 2a2 Lại cód(D,(SCB)) = d(A,(SCB)) =d(A, SB)(do AD∥CBvàAB⊥CB) Do đód(D,(SCB)) = AS.AB

SB =

ah

√

h2+a2 Vậyφ= 60◦⇔ d(D,(SCB))

d(D, SC) = √

3 ⇔2.

ah

√

h2+a2 = √

3.a

√

h2+a2 √

Ví dụ 1.3.33

Cho hình chópS.ABCDcó đáy hình chữ nhật BiếtAB= 2, AD= 3, SD=√14 Tam giácSABcân tạiSvà nằm mặt phẳng vng góc với dấy GọiM trung điểm

SC Tính cơsin góc hai mặt phẳng(SBD)và(M BD)

Hướng dẫn

Cách 1: Dùng khoảng cách

GọiHlà trung điểmABthìSH⊥(ABCD) Hơn nữa,SH2=SD2−DH2

=SD2−DA2−AH2 = 4⇒SH= Gọiφlà góc hai mặt phẳng(SBD)và (M BD)ta có sinφ= d(M,(SBD))

d(M, BD) Áp dụng quy tắc chuyển khoảng cách có

d(M,(SBD)) =

2d(C,(SDB)) =

2d(A,(SBD)) =d(H,(SBD)) KẻHI⊥BD⇒HI =

2d(A, BD) = √ 13 S A B C D H I √ 14 M G K Có

d2(H,(SBD)) =

HS2 +

HI2 ⇒d(H,(SBD)) = √

61 Vậyd(M,(SBD)) = √

61 DoSA=SB ⇒SC=SD, đóSC =√14 Có∆SBCvng nênBM = SC

2 = √

14 CóDM2 = DS

2+DC2

2 −

SC2

4 = 11

2 ⇒DM = √

22

2 vàBD= √

CB2+CD2 =√13. Trong∆M BDcód(M, BD) = 2SM BD

BD =

2√p(p−BM)(p−M D)(p−BD)

BD =

√ 793 26 , vớip= BM +M D+DB

2 Vậy sinφ=

d(M,(SBD))

d(M, BD) =

12√13

61 ⇒cosφ= 43 61

Cách 2: Dùng mặt phẳng thứ 3

GọiKlà hình chiếu củaM lênABCDthìKlà trung điểmHC GọiG=HC∩BDthì

GH = 2GK (học sinh tự chứng minh) Gọiφ1, φ2 góc giữa(SBD),(M BD) với(ABCD)ta có tanφ1 =

SH

HI, tanφ2 =

M K d(K, BD)

DoGH = 2GK ⇒ HI = 2d(K, BD), màSH = 2M Kvì tanφ2 = tanφ1 = 2√13

3 (HI, SHđược tính trên) Suy cosφ1=cosφ2 =

3 √

61

Ví dụ 1.3.34

Cho hình chóp S.ABCD có đáyABCD hình vng cạnh a, cạnh bênSA = 2a vng góc với mặt phẳng đáy GọiMlà trung điểm cạnhSD Tính tanφvớiφlà góc hai mặt phẳng(AM C)và(SBC)

Hướng dẫn

Cách 1: Dùng khoảng cách.

Gọi E điểm cho ACBE hình bình hành

Dễ thấy(SBE)∥(M CA),

((SBC),(M AC)) = ((SBC),(SBE)) =φ.

Vậy sinφ= d(C,(SBE))

d(C, SB)

Ta có CA ∥ (SBE) nên

d(C,(SBE)) =d(A,(SBE)) MàA.SBE góc tam diện vng nên theo cơng thức khoảng cách có

S A B C D M E 1

d2(A,(SBE)) =

AS2 +

AE2 +

AB2 =

4 ⇒d(A,(SBE)) = 3. MàCB⊥(SAB)⇒CB⊥SB ⇒d(C, SB) =CB = Vậy sinφ= d(C,(SBE))

d(C, SB) = Lại có cot2φ=

sin2φ−1 =

4 ⇒tanφ= 2√5

5

Cách 2: Dùng góc nhị diện GọiOlà tâm đáy vàIlà trung điểmCDthì(M OI)∥(SBC) nên((M AC),(SBC)) = ((M AC),(M OI)) =φ

Xét góc tam diện O.M CI có \M OI = 90◦, [

COI = 45◦ Ta cịn tínhM OC\

Có−→BS.−→AC= (−→AS−−−→AB).(−−→AB+−−→AD) =−1 ⇒cos

(−→ BS,−→AC

)

= −→

BS.−→AC

BS.AC =−

1 √

10 MàBS ∥OM nên cosM OC\ =−√1

10 sinM OC\ = √3

10 S A B C D M O I

Áp dụng công thức (1.6): cosφ=

cos45◦−cos90◦.cosM OC\

sin90◦.sinM OC\ =

√

3 ⇒tanφ= 2√5

Ví dụ 1.3.35

Cho hình chóp S.ABC có SA = a, SA⊥(ABC), tam giác ABC vuông cân đỉnh A

BC = a√2 GọiM, N trung điểm củaSB, SC Tính cosφvớiφlà góc (AM N)và(ABC)

Hướng dẫn

Cách 1: Dùng cơng thức hình chiếu.

Coi a đơn vị độ dài CóBC = √2 ⇒

AB =AC = GọiM′, N′lần lượt hình chiếu củaM, NlênABCthìM′, N′là trung điểm củaAB, AC

VậySAM′N′ =

1

4SABC =

Dễ thấy∆AM N tam giác cạnh √

2 VậySAM N =

√ . (√ 2 )2 = √

Do AM′N′ hình chiếu AM N lên (ABC)nên cosφ= SAM′N′

SAM N

= √1 3. S A B C M N 1 M′ N′

Vậy cosφ= √

3

Cách 2: Dựng góc chiếu hai lần.

GọiP trung điểm củaSAthì(P M N) ∥ (ABC)nênφ= ((P N M),(AM N)) CóP hình chiếu củaAlên(P N M) Từ

P chiếu P I⊥M N I trung điểm

M N Khi đó,φ=AIP[ CóAP =

2, tam giác P M N vuông P nên P I =

2M N =

4BC = √

2 Vậy tanφ= AP

P I =

√ Do cosφ=

√

1

Chương 2

Khối tròn xoay

Trong không gian cho mặt phẳng(P)chưa đường thẳng∆và đường cong(C) Khi quay(P)quanh ∆một góc360◦ điểmM ∈ (C)tạo thành đường tròn tâm O ∈ ∆ nằm mặt phẳng vng góc với ∆ Như vậy, đường cong (C)sẽ tạo nên bề mặt gọi làmặt tròn xoay Phần khơng gian giới hạn mặt trịn xoay hai mặt phẳng vng góc với∆được gọi làkhối trịn xoay(Hình2.1)

Đường cong (C) gọi đường sinh mặt trịn xoay ∆được gọi trục mặt tròn xoay (cũng khối tròn xoay)

(C)

∆

M

O

(P)

Hình 2.1: Cách hình thành khối trịn xoay

Xung quanh ln có nhiều đồ vật, vật dụng khối tròn xoay cốc uống nước, bình gốm sứ, chi tiết máy, nón Việt Nam, Nhờ vào cách hình thành khối tròn xoay trên, để tạo vật dụng này, nhà sản xuất phải nhờ vào bàn xoay trục quay máy tiện sản xuất chúng đảm bảo độ xác, cân đối

2.1 Khối nón khối trụ

2.1.1 Định nghĩa số thiết diện bản

Định nghĩa 2.1.1: Mặt nón,hình nón khối nón

•Trong không gian cho mặt phẳng(P)chứa hai đườngdvà∆cắt tạiO Quay(P) quanh∆thì đường sinhdtạo thành mặt trịn xoay gọi làmặt nón đỉnhO •Cho tam giác OIM vng tạiI Quay tam giác

quanh cạnh góc vng OI đường gấp khúc

OM Itạo thành hình gọi làhình nón trịn xoay(Hình bên)

•Khối trịn xoay tương ứng gọi làKhối nón

Khi đó, hình trịn (I, IM) gọi đáy; OI gọi đường cao;OM đường sinh Độ dàiOI chiều cao; độ dài OM dộ dài đường sinh O gọi đỉnh mặt tròn xoay sinh bởiOMgọi mặt xung quanh Góc2βgọi góc đỉnh

O

I

Định lý 2.1.1: Thiết diện hình nón cắt mặt phẳng

Xét mặt phẳng(P)cắt hình nón mặt nón đỉnhSthì trường hợp sau xảy

Tình 1: (P)đi qua đỉnh hình nón:

•Nếu(P)chứa trục hình nón thiết diện tam giác cân có đỉnh đỉnh hình nón, cạnh đáy đường kính đáy hình nón

• Nếu (P) qua đỉnh khơng chứa trục hình nón cắt hình nón theo thiết diện thiết diện tam giác cân có đỉnh đỉnh hình nón cạnh đáy dây cung đáy hình nón Khi đó, thiết diện coi mặt bên hình chóp đỉnhSvà đường caoSO(O

là tâm đáy)

S

O

Tình 2:(P)khơng qua đỉnh và giao với mặt nón:

•Nếu(P)vng góc với trục mặt nón thiết diện đường trịn • Nếu (P) khơng vng góc với trục cắt phần mặt nón kép thiết diện Elip Parabol Cụ thể, thiết diện Parabol khi(P)song song với đường sinh Elip trường hợp cịn lại

•Nếu(P)cắt hai phần mặt nón kép thiết diện Hyperbol Chi tiết xem hình bên

Chứng minhcủa định lý tham khảo [5] Tình cung cấp cho học sinh giáo viên nhìn tính chất thú vị mặt nón tồn đường conic tự nhiên

Hyperbol Parabol

Đường tròn

Elip

Định nghĩa 2.1.2: Mặt trụ trịn xoay,hình trụ khối trụ

Mặt trụ trịn xoay:

•Trong mặt phẳng(P)cho hai đường thẳng song song ∆và l cách khoảng r Khi quay mặt phẳng (P) quanh ∆ đường l tạo mặt tròn xoay gọi làmặt trụ tròn xoayhay gọi tắt mặt trụ Đường∆gọi trục mặt trụ

llàđường sinh

∆

l r

Hình trụ khối trụ:

• Xét hình chữ nhậtABCD, quay hình chữ nhật quanh cạnh AB đường gấp khúc

ADCBtạo thành hình gọi làhình trụ trịn xoayhay gọi tắt hình trụ Miền khơng gian giới hạn hình trụ gọi làkhối trụ

• Khi quanh quanhAB, hai hình trịn vạch bởiADvàBC gọi làhai đáycủa hình trụ CD gọi đường sinh Phần mặt

tròn xoay sinh bởiCDđược gọi làmặt xung quanh ∆ C

A D

B

Khoảng cách hai đáy gọi làchiều cao hình trụ Trong hình trụ, độ dài đường sinh chiều cao

Định lý 2.1.2: Thiết diện hình trụ cắt mặt phẳng

Xét mặt phẳng(P)và hình trụ thiết diện hình trụ cắt bởi(P)có thể xảy trường hợp sau:

•Nếu(P)vng góc với trục thiết diện đường trịn

• Nếu (P) nghiêng với trục góc

α, (0◦ < α <90◦)thì thiết diện Elip

• Nếu (P) chứa trục thiết diện hình chữ nhật có cạnh đường kính đáy cạnh đường sinh •Nếu(P)song song với trục thiết diện hình chữ nhật có cạnh dây cung đáy cạnh

đường sinh O

O′

2.1.2 Thể tích diện tích

Trải hình nón diện tích xung quanh-diện tích tồn phần

Xét hình nón đỉnhS bán kính đáyrvà đường sinh độ dàil GọiAlà điểm đường trịn đáy Trải hình nón theo đường cắt SAta hình quạt tâm S bán kính

Rq=l(hình dưới)

h

r S

A

l l

2πr Sxq=Sq

S

A

A

Ta có độ dài cung hình quạt chu vi đường trịn đáy hình nón sau trải Do đó, độ dài cung hình quạt bằnglq= 2πr

Mặt khác, áp dụng công thức diện tích hình quạt ta cóSq=

1

2Rq.lq =πrl Vậy ta có cơng thức tính diện tích xung quanh hình nón:

Sxq =π.r.l

Từ đây, ta có cơng thức tính diện tích tồn phần hình nón:

Thể tích khối nón

Xét đa giácA1A2 Ancó tất cạnh bằng1nội tiếp

đường trịn đáy hình nón Ta có

VS.A1A2 An =

1

3SA1A2 An.h.

Mặt khác, khin → +∞ thìVS.A1A2 An → Sđ

đóSđlà diện tích hình trịn đáy khối nón Khi đó,

VS.A1A2 An→Vchóp Vậy Vchóp=

3Sđ.h= 3πr

2h

h S

A1 l

A3 A2

An

Ví dụ 2.1.1

Trong không gian cho tam giác vuôngOIMvuông tạiI, gócIOM\= 30◦và cạnhIM =a Khi quay tam giácOIM quanh cạnh góc vngOIthì đường gấp khúcOM I tạo thành hình nón trịn xoay Tính diện tích xung quanh hình nón trịn xoay thể tích khối nón tạo hình nón nói

Hướng dẫn

Trong tam giác vngOIM có chiều cao

h=OI =IM.cot30◦=√3a Đường sinh

l=OM = 2avà bán kính đường trịn đáy làr =a Vậy diện tích xung quanh hình nón

Sxq=πrl=πa.2a= 2πa2.

Thể tích khối nón

V = 3πr

2.h= 3πa

2.a√3 = π √

3a3

3 .

O

M I

30◦

a

Ví dụ 2.1.2

Hướng dẫn

GọiOlà tâm đáy hình chóp vàMlà trung điểm củaAB thìOM⊥AB Gọid= d(O,(SAB)), theo cơng thức khoảng cách từ chân đường cao đến mặt bên ta có

d2 =

OM2 +

OS2

Mặt khác,AB= 12⇒AM = Do

OM =√OA2−AM2 = 8. Hơn nữa, theo giả thiếtd= Vậy

OS2 = −

1 84 =

15

64 ⇒OS= √

15 = 8√15

15 Vậyh=

√ 15 15

S

A O

B

M

Ví dụ 2.1.3

Cho hình trịn có bán kính là6 Cắt bỏ

4 hình trịn hai bán kính

OA, OB, ghép hai bán kính lại cho thành hình nón (như hình vẽ) Tính thể tích khối nón tạo thành

O

B A

6

A

B O

Hướng dẫn

Cung lớnABbán kính6của đường trịn tâmOcó độ dài là:

4.12π= 9π

Khi ghép hai bán kínhOA, OB lại đáy hình nón đường trịn có chu vi cung lớnABnói Gọirlà bán kính đáy hình nón thì2πr= 9π⇒r =

2 Mặt khác, đường sinh hình nónl=OA= 6nên chiều cao hình nónh=√l2−r2 =

√ Vậy thể tích khối nón tạo thành làV =

3πr

2.h= 81 √

7π

8 Ví dụ 2.1.4

Hướng dẫn

GọiMlà trung điểmABthì góc giữaSOvà(SAB) làOSM\ = 30◦

Có∆SAB vng lại cân tạiS nênSSAB =

AB2

4 Theo giả thiếtSSAB = 4a2, đóAB= 4a

Suy raSM = 2a

∆SOMvng cóOSM\ = 30◦⇒OM = SM =a Vậyr=OA=√OM2+M A2=√5a.

Cóh=SO=SM.cos30◦ =√3a Vậy thể tích khối nónV =

3πr 2h=

√ 3 a

3.

S

A O

B

M

30◦

Trải hình trụ diện tích xung quanh- diện tích tồn phần

Xét hình trụ có bán kính đáy r độ dài đường sinh (cũng chiều cao) l Cắt hình trụ đường sinh AB trải bề mặt xung quanh hình trụ ta hình chữ nhật có chiều bằngl, chiều lại chu vi đáy bằng2πr

B A

B A

B A

r 2πr

l Sxq

Vậy diện tích xung quanh hình trụ là: Sxq= 2πrl

Thể tích khối trụ

Cho khối trụ với chiều cao bằnghvà bán kính đáy bằngr Xét khối lăng trụ đềuncạnh nối tiếp khối trụ Khi

Vlăng trụ =Sđáy lăng trụ.h.

Mặt khác, khin→+∞thìVlăng trụ→Vtr Vậy

Vtrụ=Sđáy.h=πr2h

Nh , cơng thức tính thể tích khối nón tương đồng với khối chóp khối trụ tương đồng với lăng trụ Để ghi nhớ cơng thức, học sinh hiểu khối nón coi khối chóp suy rộng khối trụ coi khối lăng trụ suy rộng Diện tích đáy tính theo cơng thức diện tích hình trịn

Ví dụ 2.1.5

Trong khơng gian cho hình vng ABCDcạnha Gọi I, H trung điểm cạnhABvàCD Khi quay hình vng xung quanh trụcIHta hình trụ trịn xoay Tính diện tích xung quanh hình trụ tính thể tích khối trụ giới hạn hình trụ nói

Hướng dẫn

Hình trụ trịn xoay có bán kính đáyr = AB =

a

2 đường sinhl =AD =a Do diện tích xung quanh hình trụ là:

Sxq = 2πrl=πa2.

Thể tích khối trụ giới hạn hình trụ là:

V =πr2h= 4a

3.

A I B

C H

Ví dụ 2.1.6

Cho hình trụ có đáy hai đường trịn tâm O O′, bán kính đáy chiều cao bằnga Trên đường tròn tâmOlấy điểmA, đường tròn tâmO′ lấy điểmB cho

AB= 2a Tính thể tích khối tứ diệnOO′AB

Hướng dẫn

Gọi B′ hình chiếu B lên đáy chứa đường trịn tâmO thìO′BB′O hình chữ nhật Do

SOO′B = SOBB′, suy VA.OO′B = VA.OBB′, hay

VOO′AB =VB.AOB′ Ta có∆ABB′vng tạiB′nên

AB′ = √AB2−BB′2 = √3a Khi đó,∆OAB′ là tam giác cân có cạnh bên a, cạnh đáy √

3anên tam giác cân đặc biệt (cóAOB\′ = 120◦) Vì vậySOAB′ =

√ 3a2

4 VậyVB.AOB′ =

1

3SOAB′.BB ′=

√ 12a

3. Điều có nghĩaVOO′AB =

√ 12a

3.

A

O′

B′ B

O

2a

a a

Ví dụ 2.1.7

Cho hình trụ có bán kính đáy bằngRvà có chiều cao bằngR√3 Hai điểmA, Blần lượt nằm hai đường tròn đáy cho góc giữaAB trục hình trụ bằng30◦ Tính khoảng cách giữaABvà trục hình trụ

Hướng dẫn

GọiB′là hình chiếu củaBlên đáy chứa đường trịn tâmO góc giữaABvàOO′làABB\′ = 30◦(do

BB′∥OO′)

Tam giácABB′ vng tạiB′ cóABB\′ = 30◦ nên

AB=BB′.cot30◦ =R Vậy tam giácOABđều CóOO′∥(ABB′)⇒d(OO′, AB) =d(O,(ABB′)) KẻOM⊥AB′thìd(O,(ABB′)) =OM (do(ABB′) vng góc với mặt đáy)

Mà tam giác đềuOAB′OM = R √

3 Vậyd(AB, OO′) = R

√

A

O′

B′ B

O M

30◦

Ví dụ 2.1.8

Một nhơm hình chữ nhật có hai kích thước làavàb Người ta nhơm thành hình trụ Nếu nhơm theo chiều có độ dàia(khi đóblà đường sinh) thể tích khối trụ tạo thành tính theoa, bbởi công thức nào?

Hướng dẫn

Khi nhơm theo chiềuathì chu vi đáy hình trụ bằnga, hay2πr = Suy

r = a

2π vớirlà bán kính đáy Vậy thể tích khối trụ tạo thành làV =πr

2.h= a2b 4π .

B A

r b

B A

B A

2.2 Mặt cầu khối cầu

2.2.1 Định nghĩa vị trí tương đối

Định nghĩa 2.2.1: Mặt cầu

•Tập hợp điểm M khơng gian cách điểm

O cố định khoảng không đổiR(R >0) gọi

mặt cầu tâmObán kínhR Ký hiệu làS(O;R) O R

M

•Hai điểmA, Bbất kỳ thuộc mặt cầuS(O;R)thì đoạn thẳngABđược gọi dây cung mặt cầu

•Đặc biệt, dây cungCD quaO đoạn CDđược gọi đường kính mặt cầu

A B O

C D

Vị trí tương đối mặt cầu mặt phẳng

Cho mặt cầuS(O;R)và mặt phẳng(P) Gọid=d(O,(P)) Ta có trường hợp sau: •d > R: S(O;R)∩(P) =∅

O

H d

• d = R: S(O;R) tiếp xúc với(P)

O

H

d=R

Hgọi tiếp điểm (P)gọi tiếp diện

• d < R: S(O;R) cắt (P) theo thiết diện đường tròn

O H d

H tâm đường tròn thiết diện

Vị trí tương đối mặt cầu đường thẳng

Cho mặt cầuS(O;R)và đường thẳng∆ GọiHlà hình chiếu củaOlên∆vàd(O,∆) =

OH Ta có trường hợp •d > R: S(O;R)∩∆ =∅

O

H

• d = R: S(O;R) tiếp xúc với∆

O

H Hgọi tiếp điểm ∆gọi tiếp tuyến

•d < R: S(O;R)cắt∆theo dây cungAB

O H

A B

Độ dài dây cungABtính

AB= 2√R2−d2

Tiếp tuyến qua điểm mặt cầu

Qua điểmAnằm mặt cầu

S(O;R)có vơ số tiếp tuyến mặt cầu Tất tiếp tuyến vuông góc với bán kínhOAvà nằm mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tạiA

A

O

Qua điểm A nằm ngồi mặt cầu

S(O;R)có vơ số tiếp tuyến với mặt cầu Các tiếp tuyến tạo thành mặt nón đỉnhA

Khi đó, độ dài đường sinh hình nón

l=√OA2−R2. Đường cao hình nón

h=AH = OA

2−R2

OA .

A

Ví dụ 2.2.1

Cho mặt cầuS(O;R)và điểmAnằm miền khối cầu Ba mặt mặt phẳng thay đổi quaAvà đôi vng góc với cắt mặt cầu theo ba đường trịn có bán kính làr1, r2, r3 Chứng minh rằngT =r12+r22+r32không đổi

Hướng dẫn

Gọid1, d2, d3 khoảng cách từO đến ba mặt phẳng cho Khi đó,AOlà đường chéo hình hộp chữ nhật có ba kích thướcd1, d2, d3 nênd2

1+d22+d23 =OA2(hình bên)

Theo vị trí tương đối mặt phẳng mặt cầu ta có

r12=R2−d21;r22=R2−d22;r23 =R2−d23.

Do đóT = 3R2−(d21+d22+d23) = 3R2−OA2.

VậyT = 3R2−OA2không đổi

O1 O2

O3 O

A

R r1 d1

Ví dụ 2.2.2

Trong khơng gian cho mặt cầu tâmO bán kínhRvà điểmAsao choOA= 2R Các tiếp tuyến mặt cầu quaAcùng với tiếp điểm tạo thành hình nón đỉnhA Tính thể tích khối nón nói

Hướng dẫn

GọiK tiếp điểm, ta có

AK2 =OA2−R2= 3R2.

Gọi H tâm đường trịn đáy hình nón Áp dụng hệ thức lượng tam giác vngOAK(hình bên) ta có

h=AH= AK

2

AO =

3 2R. Bán kính đường trịn đáy hình nón

r =KH= KO.KA

AO =

√ R. Vậy thể tích khối nón làV =

3πr 2h=

8R 3.

K A

2.2.2 Thể tích khối cầu diện tích mặt cầu

Định lý 2.2.1: Thể tích khối cầu diện tích mặt cầu • Mặt cầu bán kínhRcó diện tích là: S= 4πR2 .

• Khối cầu bán kínhRcó thể tích : V = 3πR

3 .

Định lý2.2.1được chứng minh kiến thức chương trình cao

Ví dụ 2.2.3

Cho hình lập phương nội tiếp mặt cầu bán kínhRcho trước Tính thể tích khối lập phương

Hướng dẫn

Gọix độ dài cạnh hình lập phương đường chéo hình lập phương

x√3 Do khối lập phương nội tiếp hình cầu nên bán kính khối cầu nửa đường chéo khối lập phương VậyR = x

√ , x =

√

3 R Vậy thể tích khối lập phương làV =x3 =

√ R

3.

O R

x

Ví dụ 2.2.4

Cho tứ diện cạnha Tính diện tích mặt cầu nội tiếp tứ diện Hướng dẫn

Thể tích tứ diện đều: V = √

2 12a

3. Bán kính mặt cầu nội tiếp: r= 3V

Stp

Trong đóStp= 4.

√ a

2 =√3a2là diện tích tồn phần tứ diện

Vậyr= √

6

12a⇒Scầu = 4πr = π

6a 2.

2.2.3 Xác định tâm bán kính khối cầu ngoại tiếp Mặt cầuS(O;R)gọi ngoại tiếp hình khơng gian (như hình chóp, lăng trụ, hình nón, hình trụ) qua đỉnh hình khơng gian Đặc biệt, ba điểmA, B, C ∈ S(O;R) O ∈ ∆ với∆là đường thẳng qua tâm đường trịn ngoại tiếp∆ABC vng góc với mặt phẳng(ABC) Đường∆còn gọi trụ đường tròn ngoại tiếp ∆ABC (Hình2.2)

Dựa vào định nghĩa tính chất ta dễ dàng xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp khối hình khơng gian

I

B A

O

C

∆

Hình 2.2: Trục đường trịn khơng gian

Định lý 2.2.2: Ba cơng thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp

GọiRlà bán kính hình cầu ngoại tiếp hình khối cần tính,Rdlà bán kính đường trịn

ngoại tiếp đáy,Rblà bán kính đường trịn ngoại tiếp mặt bên,llà cạnh bên,hlà chiều cao

vàGT giao tuyến mặt bên với đáy, ta có:

Cạnh bên vng góc với đáy: Hình chóp, lăng trụ đứng, hình trụ

R2 =R2d+

( h

2

)2 (2.1)

Mặt bên vng góc với đáy: Hình chóp, lăng trụ đứng

R2 =R2d+Rb2− (

GT

2

)2

(2.2)

Các cạnh bên nhau: Hình chóp, hình nón

R= l 2h =

R2d+h2

2h (2.3)

C ng m in h cô ng t hức (2 1) :

Giải sửSA⊥(Đáy)

Gọi O tâm mặt cầu ngoại tiếp, O nằm trục∆của đường tròn ngoại tiếp đáy

Do SA⊥(Đáy) nên SA ∥ ∆, tức ∆ SA đồng phẳng Do đó,I giao điểm của∆và trung trực củaSAtrong mặt phẳng(SA,∆)

Vậy

R2=AM2+AI2 =

( h

2

)2

+R2d.

∆

h

Rd

R h

2

M O

A S

C ng m in h cô ng t hức (2 2) :

Gọi O tâm khối cầu ngoại tiếp O nằm trục∆của đáy

GọiI, J tâm đường trịn ngoại tiếp mặt bên vng đáy (chẳng hạn(SAB)) mặt đáy thìIM, J M⊥ABvớiMlà trung điểm củaAB Khi đóO thuộc đường thẳng quaJ vng góc với mặt phẳng(SAB) Đường song song vớiIM Ta cóR2=R2d+OI2=R2d+J M2

MàJ M2=J B2−M B2=R2b −AB Vậy R2 =Rd2+R2b −

( AB

2

)2

. Rd

R

∆

S

A J

I O B

M

C ng m in h cô ng t hức (2 3) :

Trường hợp trục∆của đường tròn ngoại tiếp đáy trùng vớiSI

Trong mặt phẳng(SAI), tâmOcủa mặt cầu giao điểm củaSI với trung trực củaSA

Ta có∆SM O∼∆SIA(g.g)⇒ SM

SI =

SO SA

⇒SO= SM.SA

SI =

SA2 2SI

Vậy R= (Cạnh bên) 2.(Chiều cao) =

SA2

2h .

∆

h R

Rd

S

O

A

M

I

Ví dụ 2.2.5

Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình chữ nhật vớiAB = a, BC = 2a Cạnh

SA⊥(ABCD) vàSC tạo với đáy góc 60◦ Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chópS.ABCD

Hướng dẫn

Theo giả thiết suy raSCA[ = 60◦ ⇒h=SA=AC.tan60◦ =AC√3

CóAC=√AB2+BC2 =√5a⇒h=√15a. Lại cóRd=

1 2AC=

√ a Áp dụng cơng thức (2.1) ta có

R2= 15 a

2+5 4a

2= 5a2 ⇒R=√5a. 60◦

S

A

B C

D

h

Ví dụ 2.2.6

Cho khối chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình vng cạnha, mặt bênSABlà tam giác cân tạiScóASB[ = 120◦và nằm mặt phẳng vng góc với đáy Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp

Hướng dẫn

Có giao tuyến mặt(SAB)với đáy làGT =AB =a Đáy hình vng cạnhanênRd=

√ 2 a Áp dụng định lý hàm số sin cho∆SABcó:

AB

sin120◦ = 2Rb ⇒Rb = √

3 a. Áp dụng công thức (2.2) ta được:

R2 = 2a

2+1 3a

2− 4a

2 = 12a

2⇒R= √

21 a.

Ví dụ 2.2.7

Cho hình chóp đềuS.ABCDcóAB= 2vàSA= 3√2 Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Hướng dẫn

Hình vngABCDcó cạnh bằng2nên

Rd=AO=

√ 2.

Cóh=√SA2−AO2 = 4. Áp dụng cơng thức (2.3) có

R= SA

2 2h =

18 =

9 4.

S

A

B C

D O

h

3√2

2

Ví dụ 2.2.8: Tứ diện có độ dài hai cạnh đối đoạn nối trung điểm đợn vng góc chung

Cho tứ diệnABCDcóAB=a, CD=bvàI, Jlần lượt trung điểm củaAB, CDđồng thời đoạn vng góc chung củaAB, CD BiếtIJ =l, tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diệnABCD

Hướng dẫn

Gọi O tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD DoIJ đường trung trực chung củaAB vàCD

nênO ∈IJ

ĐặtOJ =x⇒OI =l−x Vậy ta có

R2 =AI2+IO2=DJ2+J O2

⇔ R2 = a

4 + (l−x)

2=x2+b2 . Giải phương trình ta

x= a 2−b2

8l − l

2. Khi tính đượcR

A

B

C

D O

R

R x

l−x I

J a

b

Ví dụ 2.2.9: Tứ diện có cạnh đường vuông chung hai cạnh kề

Cho tứ diệnABCD cóAB⊥AD; AB⊥BC cho biếtAB = a, CD = b > a, góc

AD, BC bằngα Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện Hướng dẫn

DoAB đoạn vng góc chung củaADvàBC

nên ta vẽABthẳng đứng cho dễ hình dung TừBkẻBE∥ADvàBE =ADthìABEDlà hình chữ nhật, đóE thuộc mặt cầu ngoại tiếp tứ diệnABCD Vậy ta cần tìm mặt cầu ngoại tiếp hình chópA.BCE

Gọi Rd bán kính đường trịn ngoại

tiếp đáy BCE ta có Rd =

CE

2sinα Mà

CE = √CD2−DE2 = √b2−a2. Vậy

Rd=

√

b2−a2 2sinα

A D

E B

C

α

a a

Hình chópA.BCEcó cạnh bênABvng góc với đáy nên áp dụng cơng thức (2.1) ta có

R2=R2d+AB =R

2

d+

a2

4 ThayRdtính vào ta

R2= b +

b2−a2

4tan2α .

Ví dụ 2.2.10: Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện gần đều

Cho tứ diện gần đềuABCDvớiAB=CD =a;BC =AD =bvàCA =BD=c Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

Hướng dẫn

Theo trang34của Chương1về tứ diện gần ta thấy tứ diện nội tiếp

một hình hộp chữ nhật có cạnhx, y, zvới

            

x2= a

2+c2−b2

y2= a

2+b2−c2

z2= b

2+c2−a2

.

Do đó, bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật mặt cầu ngoại tiếp tứ diện Mặt khác, dễ thấy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật có cạnhx, y, zlà

R2 = x

2+y2+z2

4 .

Vậy, bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện gần tính

R2= a

2+b2+c2

2.3 Thể tích lớn nhỏ toán thực tế đối với khối tròn xoay

Mục giúp học sinh giải tốn thể tích mang tính chất thực tế liên quan đến giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ đường tối ưu Đây coi dạng tốn mức độ vận dụng - vận dụng cao đề thi THPTQG

2.3.1 Phương pháp chung cho bào toán cực trị hình học Dạng 1: Đưa biểu thức đánh giá hàm biến

Tính biểu thức cần đánh giá theo hàm biến: f(x),x∈D

Khảo sát hàmf(x)trênDđể tìm GTLN, GTNN

Ví dụ 2.3.1

Cho khối nón đỉnhO, đáy có tâmI bán kínhRvà chiều cao làh Một khối nón khác có đỉnhI đáy thiết diện song song với đáy hình nón đỉnhO Để thể tích khối nón đỉnhI lớn chiều cao khối nón bao nhiêu?

Hướng dẫn

Gọi H tâm đáy hình nón đỉnhI có bán kínhr, đặtx=IH,0< x < h,ta có:

r

R =

h−x

h ⇒r=

h−x h R

Vậy thể tích khối nón đỉnhI

V = 3πr

2.x=

3h2π.(h−x) 2.x.R2. Xétf(x) =x(h−x)2

cóf′(x) = (h−x)2−2x(h−x) = 0⇔x= h < h Khảo sát thấy GTLN củaV đạt tạix= h

3

x

h

H

I O

Ví dụ 2.3.2

Trong khối nón nội tiếp mặt cầu tâmObán kínhR, tính thể tích khối nón tích lớn

Hướng dẫn

GọiIlà tâm đáy khối nón (như hình vẽ) đặt

OI = x, ≤ x < R Ta cần xét trường hợp O

nằm giữaS, I

CóAI2=R2−x2 vàSI =R+x Vậy thể tích khối nón

V = 3πAI

2.SI = 3(R

2−x2).(R+x). Xét hàmf(x) = (R2−x2).(R+x)

Ta cóf′(x) =−3x2−2Rx+R2,

Cóf′(x) = 0⇔x= R >0

x R

R

I O S

A

Từ dễ dàng kiểm tra thấy GTLN củaf(x)đạt tạix= R Khi GTLN củaV 32

81R 3.

Ví dụ 2.3.3

Một xí nghiệp chế biến thực phẩm muốn sản xuất loại hộp hình trụ tích

V cho trước để đựng thịt bị Gọix, h (x >0, h >0)lần lượt độ dài bán kính đáy chiều cao hình trụ Tìmx, hđể sản xuất hộp hình trụ tốn vật liệu

Hướng dẫn

Ta cóV =πr2h⇒πrh= V

r

Do đó, diện tích tồn phần hộp trụ

Stp= 2πr2+ 2πrh= 2πr2+

2V r

Xét hàmf(r) = 2πr2 + 2V

r cóf

′(r) = 4πr− 2V

r2 Giảif′(r) = 0⇔r =

√ V

2π

Dễ dàng kiểm tra thấy hàm số đạt GTLN

r =

√ V

2π, đóh= V πr2 =

3

√ V

2π Vậy khiV đạt GTLN thìr+h=

3

√ V

Dạng 2: Đưa biểu thức đánh giá hàm nhiều biến sử dụng bất đẳng thức

Tính biểu thức cần đánh giá theo hàm nhiều biếna, b, c, : f(a, b, c, )

Đánh giáf(a, b, c, )dựa vào bất đẳng thức biết

Các bất đẳng thức thường dùng:

• Bất đẳng thức Cơ-Si cho số dương: a+b ≥2√ab;a+b+c≥ 3√3abc Đẳng thức tạia=b=c=

• Bất đẳng thức Bunhiakovski: (ax+by)2≤(a2+b2)(x2+y2), Đẳng thức a

x = b y

• Bất đẳng thức hình học:√a21+b21+√a22+b22≥√(a1+a2)2+ (b1+b2)2 Đẳng thức a1

b1 = a2

b2

• Bất đẳng thức Schwarz: x a +

y2

b ≥

(x+y)2

a+b ; x2

a + y2

b + z2

c ≥

(x+y+z)2

a+b+c vớia, b, c >0

Đẳng thức x

a = y b =

z c

Ví dụ 2.3.4

Trong tất tứ diệnABCDnội tiếp mặt cầu tâmObán kínhR, tứ diện tích lớn bao nhiêu?

Hướng dẫn

Gọi M, N trung điểm

AD, BC đặt x = OM, y = ON Khi

AD= 2√R2−x2, BC = 2√R2−y2.

Áp dụng công thức (1.4) Chương1ta có

V ≤

6AD.BC.d(AD, BC) ≤

3 √

R2−x2.√R2−y2.(x+y). Áp dụng Cơ-Si có

√

R2−x2.√R2−y2 ≤ 2R

2−(x2+y2)

2

x

y R

R

B N D

C A

M

O

VậyV ≤

√

(

2R2−t2)tvớit=√x2+y2.

Khảo sátf(t) =(2R2−t2)tdễ dàng tìm GTLN √

6 R

3khit= √

6 R Vậy GTLN củaV

√ 27 R

3.

Ví dụ 2.3.5

Cho tam diện vng OABC có bán kính mặt cầu ngoại tiếp nội tiếp R r Khi tỷ số R

r đạt giá trị nhỏ

x+√y

2 , x, y ∈N TínhP =x+y?

Hướng dẫn Ta có: R2 =

2 √

a2+b2+c2vớiOA=a, OB =b, OC =c Mặt khác ta lại có r = 3V

Stp

= abc

ab+bc+ca+√a2b2+b2c2+c2a2 (để ý cóS

ABC =SOAB2 +SOBC2 +SOCA2 )

Vậy 2R

r =

√

a2+b2+c2.(ab+bc+ca+√a2b2+b2c2+c2a2)

abc

Áp dụng bất đẳng thức Cơ-Si cho số ta có: 2R

r > √

3√3a2b2c2.(3√3

a2b2c2+√3√3

a4b4c4)

abc ⇒

2R

r >3 +

√ 3⇒ R

r >

3 +√27 Vậyx= 3; y= 27⇒x+y= 30

2.3.2 Một số ví dụ trải hình tính tốn thực tế

Tư ơng t ự Mục1.2.8trong Chương1, tốn trải hình khối trịn xoay giống trải hình khối đa diện khác chút tính tốn hình dạng hình sau trải phẳng

Ví dụ 2.3.6

Cho cốc hình nón cụt với miệng cốc bán kính

R = 2.5cm, đáy cốc bán kínhr = 2cm độ dài đường sinh bằngl = Một kiến bò từ điểm

Aở đáy cốc vòng đến điểm B miệng cốc (hình bên) Tính qng đường ngắn kiến (tính gần đến hai chữ số thập

phân) A

B

2 2.5

Hướng dẫn

Trải cốc mặt phẳng diện tích xung quanh cốc hình vẽ (bơi đen) GọiSlà đỉnh hình quạt tạo thành vàα=Sb Ta có

SA

SB =

2πr

2πR ⇒ SA SA+l =

r R

⇒SA= rl

R−r = 24cm

Theo cơng thức độ dài cung có 2πr =SA.α⇒α= 2πR−r

l =

π

6 CóSB =SA+l= 30cm

Theo định lý hàm số cos cho∆SABcó

AB2=SA2+SB2−2SA.SB.cosπ

6 = 228,923 ThấySB2> SA2+AB2nênSAB >[ 90◦, kiếm bị theo đường thẳngAB

2πr

2πR

l

rl R−r

α

A B

S

A

B

Vậy quãng đường ngắn kiếm làAB= 15,13cm

Ví dụ 2.3.7

Hướng dẫn

Dễ thấy tứ diện O1O2O3O4 tứ diện cạnh 2r nên chiều cao, chẳng hạn

d(O4,(O1O2O3)) = √

2 √

3.2r= 2√6

3 r

Gọi I tiếp điểm (O4) với (ABC) AI qua trung điểm M BC, sinIAO\4 =sinM AH\ = M H

M A =

1 Suy IO4

AO4 =

3 ⇒AO4= 3r

Mặt khácd((O1O2O3),(BCD)) = r mặt cầu (O1),(O2),(O3)cùng tiếp xúc với(BCD)

Vậy AH = AO4 + d(O4,(O1O2O3)) + d((O1O2O3),(BCD)) = 4r+

2√6 r=

12 + 2√6 r

B M I C H D A O4 O2 O3 O1 r

Mà tứ diện cóAH= √

2 √

3.AB ⇒AB = √

6

2 .AH = (2 √

6 + 2)r= + 4√6 Vậy tứ diện đềuABCDcó cạnh bằngAB= + 4√6

Ví dụ 2.3.8

Với miếng tơn hình trịn có bán kính bằngR = 9cm Người ta muốn làm phễu cách cắt hình quạt hình trịn gấp phần cịn lại thành hình nón (như hình vẽ) Muốn phễu tích lớn hình quạt cần để làm phễu có độ dài cung bao nhiêu?

O B A A B O Hướng dẫn

Gọihlà bán kính đáy phễu bán kính đáyr2 =R2−h2 Vậy thể tích phễu làV =

3πr

2.h= 3π(R

2h−h3).

Hàm f(h) = R2h−h3 cóf′(h) = R2 −3h2 Dễ kiểm traf(h) đạt GTLN khih= √R

3 hayr = √

6 R =

√

Độ dài cung trịn cần tính chu vi đáy phễu bằng2πr= 6π√6

O

B A

Tài liệu tham khảo

[1] David Hilbert and Stephan Cohn-Vossen Geometry and the Imagination Number 87 American Mathematical Soc., 1999 [2] BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Hình học 11 Nhà xuất

Giáo Dục, 2008

[3] BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Hình học 12 Nhà xuất Giáo Dục, 2008

[4] Eric Weisstein and Stephen Wolfram Platonic solids 2008

[5] Eric W Weisstein ”conic section.”

from mathworld–a wolfram web resource

góc,72

khoảng cách,62

khối đa diện,9

khối đa diện đều,14

làm chủ hình vẽ,18

làm chủ đáy,18

thể tích khối chóp,24

thể tích khối lăng trụ,39

thể tích khối đa diện,18

tốn thực tế,52

tỉ số thể tích,44