[r]
(1)Nhóm
Bài 2.4:
a/ 27n – 18 chia hết cho 133 Theo phép chia Euclide, ta có:
133 = 4.27 + 25 27 = 1.25 + 25 = 12.2 + = 1.2 +
⇒ = 25 – 12.2 = 25 – 12.(27 – 1.25) = 13.25 – 12.27 = 13.(133 – 4.27) – 12.27 = 13.133 – 64.27
⇒ 27.(-64) ≡1 (mod 133) ⇒ 27.(-64).18 ≡18 (mod 133) ⇒ 27.45 ≡18 (mod 133)
Từđó ta có: (27n – 18) # 133 ⇔(27.n – 27.45) # 133 ⇔27.(n – 45) # 133
⇔(n – 45) # 133 ( (27,133)=1 ) Vậy tập hợp giá trị n thỏa yêu cầu 45 + 133Z
b.92n + 18 chia hết cho 100
Để (92n + 18) chia hết cho 100 (92n + 18) phải chia hết cho Mà ta có 92 chia hết cho 18 không chia hết (92n + 18) không chia hết cho 4, khơng tồn số nguyên n thỏa yêu cầu đề
c.(95n – 15 ) # 335 ⇔ (19n – 3) # 67
Thực tương tự câu a/ ta tập hợp giá trị n thỏa yêu cầu 46 + 67Z
Bài 2.12:
•Với x,y ∈ I, ta có : nx = ny = ⇒ nx – ny = ⇒ n(x – y) = ⇒ x – y∈ I
•Với ∀r ∈ R, ∀x ∈ I, ta có : n(rx) =
n n
rx rx rx r (x x x) r(nx) r.0 0+ + + = + + += = = n(xr) =
n n
xr xr xr (x x x)r (nx).r 0.r 0+ + + = + + + = = =
⇒ rx xr thuộc I Như vậy, I ideal R Bài 2.16:
a Do x lũy linh nên tồn số nguyên dương n thỏa n x = Ta có e = e + 2n
(2)= (e + x).(e – x +
x – … + x2n) = (e – x +
x – … + x2n).(e + x)
e + x khả nghịch phải khả nghịch trái, e + x khả nghịch b Do R giao hoán nên ( 1)n n. n
x u− =x u− = Theo câu a/ e + .
x u− khả nghịch Gọi nghịch đảo a Ta có e = (e + x u. −1 ).a
= (u
u− + x u −1).a = (u + x)
u− a
Do u + x khả nghịch phải, tương tự ta có u + x khả nghịch trái Vậy u + x khả nghịch
c
i.Chứng minh N(R) idean R Dễ thấy N(R)≠ ∅ ∈ N(R) Lấy x, y ∈ N(R) r ∈ R
Do x, y lũy linh nên tồn số nguyên dương m, n thỏa m
x =yn=0 Ta có ( )m n
x−y + =
0 ( 1)
m n
k k k m n k m n
k
C x y +
+ − +
= − ∑
Lấy k từ m + n: k≥n k
x = 0; k < n m + n – k > m nên m n k
y + − = Do x yk m n k+ − = ∀k = 0,m n+ Từđó suy ( )m n
x−y + = Vậy x – y lũy linh Do R giao hoán nên (xr)n= n
x rn= ⇒ xr lũy linh Tương tự ta có rx lũy linh
Vậy N(R) idean R
ii.Chứng minh vành thương R/N(R) khơng có phần tử lũy linh khác không Gọi x phần tử lũy linh R/N(R)
Tồn số nguyên dương n cho (x)n=0
(x)n = ⇔ xn = ⇔ xn∈ N(R) ⇔ ∃m,(x )n m = ⇔0 x ∈ N(R) ⇔ x = Từđó suy điều phải chứng minh
Bài 2.24:
a.Xét ánh xạ f K: →Q i( ) sau: f a b a bi b a
⎛ ⎞= +
⎜− ⎟
⎝ ⎠ ∀a b, ∈_ *Kiểm tra f đồng cấu nhóm:
Thật vậy:
( )
( )
a b c d a c b d
f f
b a d c b d a c
+ +
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ =
⎜− ⎟ ⎜− ⎟ ⎜− + + ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠=(a+ + +c) (b d i) f a b f c d a bi c di (a c) (b d i)
b a d c
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ = + + + = + + +
⎜− ⎟ ⎜− ⎟
(3)⇒ f( a b c d )
b a d c
⎛ ⎞ ⎛+ ⎞
⎜− ⎟ ⎜− ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ =
a b c d
f f
b a d c
⎛ ⎞+ ⎛ ⎞
⎜− ⎟ ⎜− ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
( ) ( )
( )
a b c d ac bd ad bc
f f
b a d c ad bc ac bd
− +
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = ⎛ ⎞
⎜− ⎟ ⎜− ⎟ ⎜− + − ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ =(ac bd− ) (+ ad+bc i)
( )( ) ( ) ( )
a b c d
f f a bi c di ac bd ad bc i
b a d c
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + = − + +
⎜− ⎟ ⎜− ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⇒ f( a b c d )
b a d c
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜− ⎟ ⎜− ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ =
a b c d
f f
b a d c
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜− ⎟ ⎜− ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Do đó: f đồng cấu nhóm *Kiểm traf đơn cấu.Thật vậy:
a b f b a ⎛ ⎞ ⎜− ⎟ ⎝ ⎠= c d f d c ⎛ ⎞ ⎜− ⎟
⎝ ⎠ ⇔(a bi+ )= + ⇔ =c di a c b, =d
⇒ a b
b a ⎛ ⎞ ⎜− ⎟ ⎝ ⎠= c d d c ⎛ ⎞ ⎜− ⎟ ⎝ ⎠
Vì f đơn cấu
*Kiểm tra f toàn cấu.Thật :
Với a bi+ ∈Q i( ) ta ln chọn ma trận a b
b a
⎛ ⎞
⎜− ⎟
⎝ ⎠ cho a b
f a bi
b a
⎛ ⎞
= + ⎜− ⎟
⎝ ⎠
Do f tồn cấu
+Chung lại f đẳng cấu Do K đẳng cấu với Q i( )
b.Xét ánh xạ g F: →Q( 2) xác định sau: ( ) 2
a b
g a b
b a
⎛ ⎞ = +
⎜ ⎟
⎝ ⎠ ∀a b, ∈_
*Kiểm tra g dồng cấu nhóm :
( ) ( 2( )
2 2( )
a b c d a c b d
g g a c b d
b a d c b d a c
+ +
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ = = + + +
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ + + ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
( ) ( ) 2 ( ) 2( )
2
a b c d
g g a b c d a c b d
b a d c
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + = + + + = + + + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⇒ ( ) 2
a b c d
g
b a d c
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = ( ) ( )
a b c d
g g
b a d c
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2
( ) ( ) 2( )
2 2( )
a b c d ac bd ad bc
g g ac bd ad bc
b a d c ad bc ac bd
+ +
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= = + + +
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ + + ⎟
(4)( ) ( ) ( )( ) 2( )
2
a b c d
g g a b c d ac bd ad bc
b a d c
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + + = + + +
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⇒ ( )
2
a b c d
g
b a d c
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = ( ) ( )
a b c d
g g
b a d c
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
*Kiểm tra g đơn cấu.Thật :
( ) ( ) 2 ,
2
a b c d
g g a b c d a c b d
b a d c
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= ⇔ + = + ⇔ = =
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⇒
2
a b b a
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠=
c d
d c
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
Do g đơn cấu
*Kiểm tra g toàn cấu.Thật :
Với a+ 2b∈Q( 2) ta chọn ma trận
a b b a
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠ thoả
( )
2
a b
g a b
b a
⎛ ⎞
= +
⎜ ⎟
⎝ ⎠
Do g tồn cấu Tóm lại g đẳng cấu
Do F đẳng cấu với Q( 2) Bài 2.28 :
a.Ta có: 1
x = ⇒(x−1)(x+ =1) 0(vì phần tửđơn vị).Vì F trường nên F miền ngun.Do đó,F khơng có ước ⇒ x x
x x
− = =
⎡ ⇒⎡
⎢ + = ⎢ = −
⎣ ⎣ ,đpcm
b.Vì phần tử khác thuộc trường F khả nghịch nên với xi ≠0thì ln
có
i
x− xi−1=xj( j∈{1,2, ,p−1}) Xét trường hợp sau:
+Khi xi=1
1
i x− =1 +Khi xi=-1
1
i x− =−1
+Khi xi ≠ −1, 1.Lúc này:nếu xi ≠xj xi−1≠xj−1
Do đó: x x1 .2 x(p−1)=1.(-1) ∏( x xi i−1)=1.(-1)=(-1)( đpcm) Với xi bất kỳ:Do x xi k ≠x xi j ∀ ≠k j(vì xk ≠xj)
Nên: { , , , x x x xi 1 i 2 x xi (p−1)}={ , , ,x x1 x(p−1)}
Do đó:
1 ( 1) ( 1)
i i i p p
(5)Lúc : 1.2.3 (p− = −1) 1(theo câu b)
⇒(p−1)!≡ −1(mod )p
Đồng thời:Theo trên:( )(p 1) (p1) 1
k − =k − = ⇒ k(p−1) ≡1(mod )p (khi
0(mod )
k≡/ p )⇒kp ≡k(mod )p (khi k ≡/0(mod )p ) Nếu: k ≡0(mod )p hiển nhiên kp ≡k(mod )p Tóm lại p (mod )
k ≡k p ∀ ∈ Ζk
Bài 2.32:
a.Gọi e phần tửđơn vị F e’ phần tửđơn vị A
F trường nên F miền nguyên.Do đó,∀a,b∈ F, a.b = 0⇔ a
b
= ⎡ ⎢ = ⎣
Vì A có nhiều phần tử nên tồn x∈A cho x≠0
Ta có : e’.x = x e.x = x ⇒ (e’ – e).x = Mà (e’ – e) ,x thuộc F nên ta suy e ' e
x
− = ⎡ ⎢ =
⎣ Tuy nhiên, x≠0 cách chọn x,nên e’ – e =0 ⇒e’ = e Dễ thấy A vành giao hốn khơng có ước (vì A vành trường F).A lại có phần tửđơn vị,có nhiều phần tử.Do đó,A miền nguyên b.Cm P trường F
•Xét phần tử x,y ∈ P, x có dạng ab−1 y có dạng cd−1
Ta có :ab−1−cd−1 =ab e cd e ab d.d−1 − −1 = −1 −1−cd b.b−1 −1 =(ad bc).(bd)− −1 Đẳng thức
này tồn A miền ngun nên A có tính chất giao hoán
Như x y ab− = −1−cd−1 =(ad bc).(bd)− −1,mà ad – bc bd đều thuộc A.Do
đó, x – y ∈ P
•Xét x,y ∈ P, x≠0, x có dạng ab−1 y có dạng cd−1 Vì x≠0 nên tồn tại x−1
1 1
x− =(ab )− − =ba− Khi x y ba cd−1 = −1 −1=bc.(a d ) bc.(da)−1 −1 = −1 ⇒x y−1 ∈ P
Vậy P trường F
Xét f : A→P, f (x) x.e= −1=x.Dễ thấy f một ánh xạđược xác định
Ta có: f (x y) x y f (x) f (y)
f (xy) xy f (x).f (y)
+ = + = +
⎧
⎨ = =
⎩ Như f đồng cấu vành,đồng thời f đơn cấu.Mỗi phần tử P có dạng ab−1 =f (a).f (b)−1 với a,b∈ A
b≠0.Vậy P trường thương A
c.Dễ thấy a∈ A a a.e= −1∈ P ⇒ A⊂P
Xét trường B F cho B chứa A
Với phần tử ab−1 bất kỳ của P,với a,b∈ A b≠0,vì A⊂B nên a,b∈ B ,đồng
thời B tồn phần tử b−1 Do đó ,ab−1 ∈ B.Như vậy P⊆B, ta được đpcm
(6)