Ước lượng kênh và tối ưu chuỗi huấn luyện trong kênh truyền mimo

Chuỗi huấn luyện được chọn tối ưu cho kênh truyền MIMO tổng quát (bao gồm nhiễu nền và can nhiễu) thông qua giải thuật ước lượng kênh MMSE với tiêu chuẩn là tối th[r]

TẠP CHÍ KHOA HỌC SCIENTIFIC JOURNAL

ĐẠI HỌC SÀI GÒN OF SAIGON UNIVERSITY

Số 71 (05/2020) No 71 (05/2020)

Email: tcdhsg@sgu.edu.vn ; Website: http://sj.sgu.edu.vn/

ƯỚC LƯỢNG KÊNH VÀ TỐI ƯU CHUỖI HUẤN LUYỆN TRONG KÊNH TRUYỀN MIMO

Mimo channel estimation and training sequence optimization

ThS Dương Hiển Thuận

Trường Đại học Sài Gịn TĨM TẮT

Trong hệ thống thơng tin vô tuyến MIMO kỹ thuật ước lượng kênh truyền dựa vào chuỗi huấn luyện vấn đề phức tạp có nhiều phương pháp khác Trong báo tối ưu chuỗi huấn luyện kỹ thuật ước lượng MMSE (Minimum Mean Square Error) cho mơ hình kênh MIMO tổng quát gồm nhiễu can nhiễu dựa tiêu chuẩn tối thiểu sai số ước lượng trung bình MSE (Mean Square Error) Bên cạnh đó, chiều dài trung bình chuỗi huấn luyện tối ưu tùy theo đặc điểm thống kê kênh truyền, tính tương quan anten phát tổng công suất dùng cho chuỗi huấn luyện

Từ khóa: chuỗi huấn luyện, MIMO, MMSE, MSE, ước lượng kênh, vô tuyến ABSTRACT

In the MIMO radio communication system, Training-based channels estimation is always a complex problem and has many different approaches In this paper, the optimum training sequence is designed for general fading MIMO channel including interference and noise by using MMSE (Minimum Mean Square Error) estimator based on the criterion of MSE (Mean Square Error) The average of training sequence length is optimized according to the statistical characteristics channel, the spatial corelation of the transmit antennas and total training power

Keywords: training sequences, MIMO, MMSE, MSE, channel estimation, wireless

1 Giới thiệu

Truyền thông không dây ngày ưa thích ưu điểm truyền dẫn sóng vơ tuyến điện từ mang lại như: thông tin liên lạc lúc, nơi, khơng cần dây cáp tín hiệu ví dụ hệ thống thông tin di động, hệ thống WiFi, hệ thống cảm biến vô tuyến WSN (Wireless Sensor Network) Bên cạnh nhu cầu truyền thơng liệu tốc độ cao ngày lớn ứng dụng hình ảnh, video, dịch vụ đa phương tiện phát triển không ngừng Thế hệ thông tin di động thứ

(Multiple Input Multiple Output) kỹ thuật thiếu hệ thống vô tuyến tốc độ cao Khi số lượng anten phát anten thu tăng lên hệ thống tạo độ phân tập cao (degree of freedom) hay nói cách khác hệ thống hoạt động với độ tin cậy cao BER hệ thống ước lượng BER d dmax n nT R

SNR   bên cạnh

tốc độ liệu kênh truyền MIMO cải thiện với tốc độ ước lượng R rlog2 SNR rmax minn nT, R E Telatar trình bày [5],

,

T R

n n số anten phát số anten thu Tuy nhiên để cải thiện dung lượng chất lượng hệ thống (đạt tính phân tập khơng gian) biểu thức thơng tin kênh truyền CSI (Channel State Information) phải biết đầy đủ phía phát phía thu Điều có nghĩa phía thu phải ước lượng xác đặc điểm kênh truyền phát lại phía phát đường truyền khơng nhiễu Đây điều khơng có thực tế kênh truyền luôn tồn nhiễu nguồn nhiễu khác thay đổi theo thời gian

Do đó, để có thơng tin tin kênh truyền tốt với độ xác cao nhiều kỹ thuật ước lượng kênh đề xuất Theo

R.S.Ganesh [6], ta có ba kỹ thuật ước lượng kênh (xem hình 1) là:

(a) Ước lượng kênh dựa vào chuỗi huấn luyện: tín hiệu “chuẩn” phát từ phía phát với cấu trúc, định nghĩa trước, phía thu dựa vào tín hiệu thu sai khác với tín hiệu “chuẩn” phía phát để ước lượng đặc điểm kênh truyền, kỹ thuật thực nhanh tiêu tốn tài nguyên hệ thống dung lượng công suất cho tín hiệu “chuẩn” chuỗi huấn luyện;

(b) Ước lượng kênh mù: kỹ thuật dựa vào tín hiệu thu thơng qua thuật giải tiêu chí đánh giá sai số để ước lượng đặc tính kênh truyền, kỹ thuật khơng tiêu tốn tài ngun hệ thống khơng dùng chuỗi huấn luyện thời gian thực lâu có khả không hội tụ;

(c) Ước lượng kênh kết hợp: kỹ thuật kết hợp kỹ thuật (a) (b) tận dụng thời gian không lâu tiêu tốn tài nguyên hệ thống

Hình 1. Phân loại kỹ thuật ước lượng kênh truyền

Thông thường kỹ thuật cho hệ thống MIMO thường dựa ba (03) tiêu chuẩn sau:

(1)Tối đa dung lượng kênh: (tối đa lượng thông tin tương hỗ - maximization of multual information) cho phép kênh truyền với tốc độ truyền cao nghiên cứu S Zhou G B Giannakis [7], C Pirak, Z J Wang, K J R Liu S Jitapunkul [8] B Hassibi B M Hochwald [9] Trong tài liệu [10], Shariat cộng tối ưu chuỗi huấn luyện cho cực đại dung lượng kênh cho kênh truyền MIMO điểm – điểm X Yuan, C Fan Y J Zhang tài liệu [11] nghiên cứu giới hạn dung lượng kênh MU-MIMO đa người dùng cho hướng lên

(2)Tối thiểu sai số trung bình MSE: kỹ thuật sử dụng làm cho sai số trung bình bình phương tối thiểu Nhiều tác giả ([12], [13], [14]) nghiên cứu tối thiểu sai số kênh truyền MIMO ước lượng kênh thực Kỹ thuật ước lượng dùng giải thuật LS (Least Spuare), Scaled LS,

MMSE, Relaxed MMSE nghiên cứu [15] với kênh MIMO fading phẳng Trong báo nghiên cứu kỹ thuật ước lượng MMSE cho mơ hình kênh truyền MIMO tổng quát gồm nhiễu nền, can nhiễu mơ hình dạng ma trận Kronecker Và từ tối ưu chiều dài chuỗi huấn luyện theo tổng cơng suất chuỗi huấn luyện đặc tính tương quan không gian (spatial corelation) anten phát

(3)Tối đa phân tập tối thiểu lỗi bit (lỗi symbol): Kỹ thuật áp dụng cho tính phân tập hay trực giao tín hiệu từ anten cao sai số tín hiệu thu tối thiểu [16] dùng kỹ kết hợp MRC (Maximum Ratio Combining) S Zhou G B Giannakis [7] nghiên cứu tối ưu chuỗi huấn luyện cho sai số lỗi symbol số kỹ thuật điều chế QPSK, QAM bé

mô hình ma trận Kronecker để phân tích tối ưu chiều dài trung bình chuỗi huấn luyện tùy theo đặc điểm thống kê kênh truyền, tính tương quan tổng công suất dùng cho chuỗi huấn luyện

2 Mơ hình hệ thống

Chúng ta xét hệ thống MIMO (Multiple Input Multiple Output) gồm nT

anten phát nR anten thu với kênh truyền fading phẳng cận tĩnh (quasi-static) thông số kênh xem không đổi khối truyền

         

   

I i i i

t

t t t t t t



    

n

y Hx H x w Hx n (1)

Trong x t  nT, y t  nR

véc tơ tín hiệu phát véc tơ tín hiệu thu

 t  nR

n giả thiết nhiễu tương quan Guass bao gồm nhiễu trắng (nhiễu nền)

 t

w can nhiễu  

1

I

i i i

t



H x từ I nguồn nhiễu lân cận H nRnT ma trận

kênh theo mơ hình kênh fading Rician với trung bình H nRnT ma trận hiệp

phương sai dương R n nT Rn nT Rdo

   , 

vec H  H R Để đạt tính

phân tập hệ thống thống MIMO tăng dung lượng kênh chất lượng hệ thống trình bày phần máy thu ta cần phải ước lượng xác CSI Do kênh truyền ngẫu nhiên (không biết trước) nên việc ước lượng ln có sai số cần đề xuất mơ hình ước lượng cho tiệm cận với thực tế đáp ứng yêu cầu đặt hệ thống vấn đề nhiều nhà nghiên cứu quan tâm Một số kỹ thuật ước lượng trình bày Hình

Trong đề tài nghiên cứu việc ước lượng kênh dựa vào chuỗi huấn luyện Tại phía phát truyền một chuỗi huấn luyện (training sequences) véc tơ huấn luyện không gian

T

n với chiều dài thay đổi

(số kênh dùng, t1, ,) thỏa mãn giới

hạn tổng công suất phát cho chuỗi huấn luyện Việc tối ưu chuỗi huấn luyện (chiều dài chuỗi huấn luyện) đảm bảo chất lượng ước lượng kênh (sai số ước lượng) nghiên cứu báo

Đặt ma trận P nT thể chuỗi

huấn luyện phát thỏa mãn giới hạn tổng công suất  H 

tr P P  với hạng hớn m minnT,  ma trận tín hiệu thu là:

 

Y HP N (2) Trong đó:

 1 , ,   nR

   

Y y y ,

 1 , ,   nR

   

N n n nhiễu

và can nhiễu không tương quan (độc lập) với ma trận kênh truyền H với

   ,

vec N  N S , S nR nR là ma

trận hiệp phương sai dương, N nR

là trung bình thống kê

3 Tối ưu hóa chiều dài chuỗi huấn luyện

3.1 Kỹ thuật ước lượng kênh MMSE

Tổng quát, kỹ thuật ước lượng kênh MMSE (Minimum Mean Square Error) ước lượng kênh truyền h từ tín hiệu quan sát (nhận được) y biểu diễn sau [17]:

   

ˆ

MMSE   f d

h h y h h y h (3)

 

f h y hàm phân bố xác suất hvới điều kiện biết y Theo S Kay [17] kỹ thuật ước lượng MMSE làm tối thiểu sai số trung bình bình phương MSE (Mean Square Error) (còn gọi sai số ước lượng)

 2

ˆ

MMSE

MSE h h (4)

Để tối ưu thông số MSE ta tính trace ma trận hiệp phương sai

MMSE

C f h y  theo y Bằng phép biến đổi

   T   

vec ABC  C A vec B , biểu thức

(2) viết lại:

     

vec Y Pvec H vec N (5) Trong  T  

P P I , Theo [17] ta có ước lượng kênh MMSE là:

     

   

1

1 1

1 ˆ = H H MMSE H H vec vec vec          

H H R P S P P S d

H RP PRP S d

(6)

Trong đó: dvec Y Pvec   H -vec N ,

S ma trận hiệp phương sai nhiễu can nhiễu vec N  ma trận hiệp phương sai lỗi:

   

     

 

 1 1 1  1

ˆ ˆ

H

MMSE MMSE MMSE

H H H

vec vec vec vec

 

 

 

    

C H H H H

R P S P R RP PRP S PR

(7)

Và số bình phương sai số ước lượng

                1 1 ˆ MMSE MMSE

H H H

MSE vec vec tr

tr    tr 

 

    

H H C

R P S P R RP PRP S PR (8)

Từ biểu thức ước lượng kênh truyền (6) ta có toán tối ưu chuỗi huấn luyện

Psao cho việc việc sai số ước lượng kênh

MSE đạt giá trị tối thiểu (nhỏ với giới hạn công suất cho trước) Biểu thức mô tả sau:

            1 1 1 H H T T H MSE tr tr Subject to tr

                   P P

R P S P

R P I S P I

P P

(9)

3.2 Tối ưu công suất chuỗi huấn luyện cho mơ hình kênh Kronecker

Với mơ hình kênh Kronecker trình bày Y Liu, T Wong W Hager [18] ta có ma trận hiệp phương sai kênh MIMO R ma trận hiệp phương sai nhiễu can nhiễu Ssẽ biểu diễn là:

T

T R

 

R R R , SSTQSR (10) Trong nT nT

T





R ma trận phương sai không gian phát, nR nR

R





R

là ma trận phương sai không gian thu,

Q 



S ma trận phương sai thời gian (Do nhiễu can nhiễu),

R R

n n

R





S ma trận phương sai không gian thu

Bằng kỹ thuật phân tách theo giá trị Eigen (Eigenvalue Decomposition) ta có:

H

T  T T T

R U Λ U , RR U Λ UR R HR (11) H

Q  Q Q Q

S V Σ V , SR V Σ VR R RH (12) Trong  1 , ,  

T

T T

T diag  n

Λ

là ma trận đường chéo với giá trị Eigen xếp giảm dần

   

 , , T 

Q Q

Q diag  n

Σ ma trận đường

xếp tăng dần  1 , ,  

T

R R

R diag  n

Λ ,

   

 , , T 

R R

R diag  n

Σ ma trận đường

chéo với giá trị Eigen ngẫu nhiên Định lý 1: Tối ưu công suất phân bố

cho chuỗi huấn luyện với ước lượng kênh MMSE:

Với mô hình kênh Kronecker ta phân tách ma trận chuỗi huấn luyện theo giá trị riêng SVD (Sigular Value Decomposition),

H

T Q



P U ΩV Ω nT có

thành phần đường chéo

1, , m

p p giảm dần với p1, ,pm phân bố công suất cho chuỗi huấn luyện lúc sai số ước lượng kênh tối thiểu (min) là:

           

   

1 1

1

R T R T

n n m T j l R j T R

j l j l j m j Q R

j l MSE tr p              

 R  (13)

Với phân bổ công suất sau:

     

max ,

Q Q

j j

j T

j

p  

            (14)

Trong là hệ số Lagrange (Lagrange Multiplier) chọn cho thỏa mãn điều kiện giới hạn công suất

1 m j j p  

 ta có

                    2 R

T R Q R

n

j l j l

Q R T R

l

j l pj j l

           

 (15)

Chứng minh:

Từ mô hình kênh Kronecker (10) ta có biểu thức MSE (9) viết lại sau:                

1 *

1 1 1 1 1 R

T T T

T R Q R

T T H

R T R Q n

H H H T T Q Q Q T

R R

l l l

MSE tr tr tr                                        

R R P S P S

R R S PS P

Λ U PV Σ V P U

(16)

Đặt

   

1

0,

j R j R

l l

a b

 

    đặt

H

T Q

P U PV ta có (9) viết lại

      1 1 R n H

j T j Q

l H

MSE tr a b

Subject to tr

       

P Λ PΣ P

P P

(17)

Đặt

2

Q



W PΣ phép khai triển SVD (Singular Value Decomposition) ta biểu diễn WU D VW W WH giá trị Singular DW theo thứ tự giảm dần Lúc H

Q 

PΣ P biểu thức hàm mục tiêu (17) trở thành

1 H H H

Q W W W W

 

PΣ P U D U D ta thấy ma trận đơn vị phức (Unitary Matrix) VW

không ảnh hưởng đến giá trị hàm mục tiêu, cách tổng ta chọn

W 

V I phép tốn không bị ảnh hưởng Biểu thức giới hạn công suất (17) biểu diễn lại:

 H   H 

Q

tr tr

 P P  W WΣ (18)

Theo [19] biểu thức (18) biểu diễn lại (19) dấu xảy phần tử đường chéo

H

  1 

1

M

H

i M i Q

i

   



 W W Σ (19)

Trong i  giá trị Eigen lớn thứ i Từ việc đặt

1

2 H H

Q W W W W W W W T Q Q

 

   

W PΣ U D V U D I U D U PV Σ ta chọn VQ I lời giải tối ưu cho hàm mục tiêu (17) có dạng H

T



P U P với phần tử đường chéo P theo thứ tự giảm dần thứ tự với phần tử đường chéo

2

Q



PΣ Từ việc phân tích đặt

1 H

j aj T bj Q

  

A Λ PΣ P kết hợp tuyến tính nên  

  1 N j

l l j

tr     A A

biểu thức lồi (Convex) theo [16]  1

mintr j



A đạt tổng giá trị Eigen

T



Λ cộng với giá trị Eigen H

Q 

PΣ P với thứ tự ngược Như với P cho trước, ta giảm hàm mục tiêu (17) cách loại bỏ ma trận đơn vị phức (Unitaty Matrix) thông qua phép biến đổi SVD xếp phần tử đường chéo sau hiệu chỉnh (scaling) ma trận lại cho phù hợp thực đến điều kiện giới hạn công suất thỏa mãn Bằng cách  1

j

tr 

 A hàm lồi-Schur (Schur-Convex) áp dụng định lý 2.11 [20] tối ưu với điều kiện KKT chương [21] ta có biểu thức (13), (14) (15)

3.3 Tối ưu chiều dài chuỗi huấn luyện

Nhiệm vụ việc tối ưu chuỗi huấn luyện tối ưu chiều dài chuỗi huấn luyện cho đảm bảo việc ước lượng

kênh thỏa mãn sai số cho phép Theo định lý tối ưu ta có chiều dài chuỗi huấn luyện tối ưu hạng ma trận (rank)

P rank( )P ta phân bố công suất chuỗi huấn luyện rank P  kênh hữu dụng (được gọi kênh hữu ích) cịn lại -rank P( )là kênh khơng hữu dụng (được gọi kênh vơ ích) Định lý 2: Tối ưu chiều dài chuỗi

huấn luyện (chính hạng ma trận chuỗi huấn luyện):

Với mơ hình kênh Kronecker



S I,RR SRthì ma trận chuỗi huấn luyện

tối tưu MSE có hạng:

 rank P m minnR,            1

Q Q Q

m

j m j

T T

j m j

                  (20)

 rank P  m m                     1

1 1

Q Q Q Q Q Q

m m

j m j j m j

T T T T

j m j j m j

                                 

  (21)

Chứng minh:

Với mơ hình kênh Kronecker



S I,RR SR biểu thức tối ưu ước lượng kênh (9) viết lại

          1 1

min T H T

T H H P P P P MSE tr tr                        

P R P I S P I

R U D D U I

(22)

Biểu thức không phụ thuộc vào

P

V ta có H H ˆ ˆH P P P P 

U D D U PP , Ước lượng

 1:

ˆ

P P m



P U D ,  

1

k :k

 ma trận chọn từ cột thứ k1đến cột thứ k2

k1k2của ma trận   Hạng ma

trận P số tín hiệu huấn luyện tích cực pj Theo định lý tối ưu chuỗi huấn luyện ta có tín hiệu huấn luyện thứ

th

m tích cực

 

 

 

2

T m

Q m

 





Giả thiết có m1 tín hiệu huấn luyện tích cực     

2

T m

Q m

 



 thay vào biểu thức giới hạn cơng suất ta có

     

     

   

1

1

Q Q Q Q Q

m m

j j j m j

T T T

j j j m j

    

   

 

 

   

   

   

   

   

  (23)

Cho 1 m m Với tất tín hiệu

huấn luyện tích cực lớn giới hạn cơng suất với m m ta có biểu thức (20) (21)

4 Kết mô bàn luận Trong phần này, phương pháp số sử dụng để đánh giá kỹ thuật ước lượng kênh MMSE môi trường kênh tổng quát gồm nhiễu can nhiễu Mơ hình kênh MIMO dùng mơ gọi mơ hình Weichselberger trình bày [22] HUH Vm H

,

U Và ma trận đơn vị phức (Unitary Matrix), nR nT

m





H gồm phần tử độc lập với có phân bố chi-square (2) Ma trận đơn vị phức U V, không ảnh hưởng đến ước lượng kênh MMSE nên ta chọn ma trận đơn vị mà khơng tính tổng qt

Trong Hình 2, kết phân tích mơ với số anten phát anten thu kênh truyền MIMO nT 10, nR 5 Sai số kỹ thuật ước lượng kênh MMSE đề xuất (13) (14) so sánh với kỹ thuật ước lượng kênh: MVU/ML, One-Sided Linear trình bày Hassibi [9] Biguesh [15], mơ hình ước lượng Two-Sided Linear trình bày Katselis [23] Kỹ thuật MVU/ML [15] khơng xem xét đến tính thống kê kênh truyền nên có kết khơng tốt so với kỹ thuật khác Hai kỹ thuật One-Sided Linear [23] và Two-Sided Linear [9] cho kết gần giống không tốt mơ hình đề MMSE xuất báo thể công thức (13) (14) Trong báo ta chưa xét đến độ phức tạp kỹ thuật ước lượng kênh

Trong Hình 3, ta mơ chiều dài trung bình chuỗi huấn luyện cho kỹ thuật ước ượng kênh đề xuất báo thể công thức (13) (14)

Ta có tác giả [24] nghiên cứu chứng minh chiều dài chuỗi huấn luyện điều kiện kênh truyền không tương quan với với chiều dài chuỗi huấn luyện chọn số anten phát ( ) đảm bảo chất lượng ước lượng kênh Kết không mang tính tổng qt Trong Hình cho ta thấy chiều dài chuỗi huấn luyện nhỏ số anten phát ( ) phụ thuộc vào tính thống kê kênh truyền; tổng công suất phát chuỗi huấn luyện mức độ tương quan không gian kênh truyền (tương quan anten) Hình cho kết mô với mức tương quan anten với cột thứ jth thay đổi cách nhân với hệ số j1, chọn

0.3,0.6,1

 , hệ số tương quan không gian tăng (hệ số  giảm,  1 kênh độc lập với nhau) chiều dài trung bình chuỗi huấn luyện giảm theo

5 Kết luận

Chuỗi huấn luyện chọn tối ưu cho kênh truyền MIMO tổng quát (bao gồm nhiễu can nhiễu) thông qua giải thuật ước lượng kênh MMSE với tiêu chuẩn tối thiểu bình phương sai số ước lượng cho kết tốt so với giải thuật MUV/ML giải thuật tuyến tính nghiên cứu trước Kết cho thấy kết mơ tiệm cận với kết phân tích lý thuyết với mức công suất cấp phát cho chuỗi huấn luyện kỹ thuật MMSE cho độ xác cao bé khoảng 1/10 (0.1) so với kỹ thuật MUV/ML kỹ thuật tuyến tính khác Ngồi trung bình

chiều dài chuỗi huấn luyện tối ưu dựa vào tổng cơng suất phát đặc tính tương quan không gian anten với Ứng với mức cơng suất tùy theo mức độ tương quan tín hiệu phát từ anten mà chọn chuỗi huấn luyện có chiều dài trung bình bé tiết kiệm tài nguyên hệ thống mà đảm bảo tiêu chí đặt Mức tương quan tín hiệu phát lớn (hệ số  nhỏ) chiều dài trung bình chuỗi huấn luyện nhỏ Khi mức anten phát không tương quan với tức hệ số  1 chiều dài trung bình chuỗi huấn luyện tiệm cận đến tổng số lượng anten phát

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] METIS, (03/2020) “Mobile and wireless communications Enablers for Twenty-twenty (2020) Information Society”, [Online] Available: https://metis2020.com/ [2] METIS, (03/2020) “Mobile and wireless communications Enablers for

Twenty-twenty (2020) Information Society II”, [Online] Available: https://metis-ii.5g-ppp.eu/

[3] P Demestichas, A Georgakopoulos, D Karvounas, K Tsagkaris and V Stavroulaki, “5G on the Horizon: Key Challenges for the Radio-Access Network”, IEEE Vehicular Technology Magazine, 8(3), 47-53, 2013

[4] Q C Li, H Niu, A T Papathanassiou and G Wu, “5G Network Capacity: Key Elements and Technologies”, IEEE Vehicular Technology Magazine, 9(1), 71 – 78, 2014

[5] E Telatar, “Capacity of Multi-Antenna Gaussian Channels”, European Transactions on Telecommunications, 10, 585-595, 1999

[6] R.S.Ganesh and J Jayakumari, “Survey on Channel Estimation Techniques inMIMO-OFDM Mobile Communication Systems”, International Journal of Scientific & Engineering Research, 4(5), 1851-1855, 2013

[8] C Pirak, Z J Wang, K J R Liu and S Jitapunkul, “Optimum power allocation for maximum-likehood channel estimation in space-time coded MIMO Systems”, ICASSP'06, 2006

[9] B Hassibi and B Hochwald, “How much training is needed in multiple-antenna wireless links?”, IEEE Transactions on Information Theory, 49(4), 951-963, 2003 [10] M H Shariat, M Biguesh and S Gazor, “Optimal training sequence for wireless

MIMO channel estimation”, 24th Biennial Symposium on Communications, Kingston, ON, 2008

[11] X Yuan, C Fan and Y J Zhang, “Fundamental Limits of Training-Based Uplink Multiuser MIMO Systems”, IEEE Transactions on Wireless Communications, 17(11), 7544-7558, 2018

[12] X Ma, L Yang and G B Giannakis, “Optimal training for MIMO frequency-selective fading channels”, IEEE Transactions on Wireless Communications, 4(2), 453-466, 2005

[13] T L Marzetta, “BLAST Training: Estimating Channel Characteristics for High Capacity Space-Time Wireless”, 37th Annual Allerton Conference on Communication, Control, and Computing, 1999

[14] J Pang, J Li, L Zhao and Z Lü, “Optimal training sequences for MIMO Chnanel Estimation with spatial correlation”, VTC-2007, 2007

[15] M Biguesh and A Gershman, “Training-based MIMO channel estimation: A study of estimator tradeoffs and optimal training signals”, IEEE Transactions on Signal Processing, 54(3), 884-893, 2006

[16] D Brennan, "Linear diversity combining techniques," Proceedings of the IEEE, 91(2), 2003

[17] S Kay, Fundamentals of Statistical Signal Processing: Estimation Theory, NJ: Prentice Hall, 1993

[18] Y Liu, T Wong and W Hager, “Training signal design for estimation of correlated MIMO channels with colored interference” IEEE Transactions on Signal Processing, 55(4), 1486-1497, 2007

[19] A Marshall and I Olkin, Inequalities: Theory of Majorization and Its Applications, New York Academic Press, 1979

[20] E Jorswieck and H Boche, Majorization and matrix-monotone functions in wireless communications, Now Publishers Inc, 2007

[22] W Weichselberger, M Herdin, H Özcelik and a E Bonek, “A stochastic MIMO channel model with joint correlation of both link ends”, IEEE Transactions on Wireless Communications, 50(1), 90-100, 2006

[23] D Katselis, E Kofidis and S Theodoridis, “On training optimization for estimation of correlated MIMO channels in the presence of multiuser interference”, IEEE Transactions on Signal Processing, 56(10), 4892-4904, 2008

[24] B H a B M Hochwald, “How much training is needed in multiple-antenna wireless links?”, IEEE Transactions on Information Theory, 49(4), 951-963, 2003 [25] X Yuan, C Fan and Y J Zhang, “Fundamental Limits of Training-Based Uplink

Multiuser MIMO Systems”, IEEE Transactions on Wireless Communications, 17(11), 7544-7558, 2018