Đề thi tuyển sinh Cao học Khoa học TN Tp HCM 2008 – Toán Cơ bản

(b) Cho n là một số nguyên dương và gọi W là không gian con của V gồm tất cả các đa thức có bậc không vượt quá n.[r]

ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO HỌC 2008 ĐỢT – TRƯỜNG ĐHKHTN TPHCM

NGÀNH TÓAN – MÔN CƠ BẢN Thời gian làm : 180 phút

Phần Giải Tích Bài Cho (E,δ) không gian metric

d : E x E  R

(x,y) 

Chứng minh(E,d) không gian metric

Bài Cho (E,d) không gian metric A tập không rỗng E.Xét ánh xạ φ:E→R xác định

,

( ) ( , ) inf( , )

a A

x d x A x a x E





   

a) Chứng minh | ( )x ( )|y d x y( , ),x y E,  b) Chứng tỏ  liên tục E

Bài Cho f g hai ánh xạ liên lục từ không gian metric X vào không gian metric Y.Giả sử A tập không rỗng X cho :f(x)=g(x) ,  x A

Chứng minh f(x)=g(x),  x A

Bài Cho hàm số :

: ( , )

( , ) ( , )

n

f R x a b R

x t f x t





và t0( , )a b .Giả sử

i) Với t ( , )a b ,hàm số xf x t( , ) đo ii) Có hàm khả tích g R: n R

 cho với t( , )a b

| ( , ) |f x t g x( ), x Rn

  

iii) Có hàm số : n lim ( , ) ( ), n

t t

h R R cho f x t h x x R



   

0

Chứng minh h hàm khả tích

( , ) ( )

lim

n n

t t R R

f x t dx h x dx





 

0

PHẦN ĐẠI SỐ

Bài : Gọi A,B,C sở tắc 4, 3, sở

   

 

D   2,1 ,  3, 2

Xét ánh xạ tuyến tính

g f

4 3 2 thỏa :

   

f x, y, z, t  x2y 5z 2t, 2x  4y 3z t, 4x  7z 3t x, y, z, t 4:

và  

B,C

1 1 4

g

2 3 2

 

 

  



 

(a) Viết ma trận  

A,C

g f  

B,D

g

(b) Tìm sở H cho Im(f) sở K cho Ker(g) Cho biết HK có phải sở khơng ? Tại ?

Bài :

Cho V, |  không gian Euclide

(a) Giả sử    , , V thỏa :  3,  2,  4 Tính giá trị tổng :

2 2

S                       

(b) Giả sử W không gian V cho : VWW Chứng minh : WW Bài :

Cho V  x không gian vector gồm tất đa thức theo biến x với hệ số nằm trường số thực Định nghĩa ánh xạ :

       

1

0

| : x  , f | g f x g x dx, f , g  x

(a) Chứng minh ánh xạ nói tích vơ hướng ( tích ) V