Đề thi tuyển sinh Cao học Khoa học TN Tp HCM 2008 – Toán Cơ bản

(b) Cho n là một số nguyên dương và gọi W là không gian con của V gồm tất cả các đa thức có bậc không vượt quá n.[r]

(1)ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO HỌC 2008 ĐỢT – TRƯỜNG ĐHKHTN TPHCM NGÀNH TÓAN – MÔN CƠ BẢN Thời gian làm : 180 phút Phần Giải Tích Bài Cho (E,δ) không gian metric d : E x E  R (x,y)  Chứng minh(E,d) không gian metric Bài Cho (E,d) không gian metric A tập không rỗng E.Xét ánh xạ φ:E→R xác định , ( ) ( , ) inf( , ) a A x d x A x a x E       a) Chứng minh | ( )x ( )|y d x y( , ),x y E,  b) Chứng tỏ  liên tục E Bài Cho f g hai ánh xạ liên lục từ không gian metric X vào không gian metric Y.Giả sử A tập không rỗng X cho :f(x)=g(x) ,  x A Chứng minh f(x)=g(x),  x A Bài Cho hàm số : : ( , ) ( , ) ( , ) n f R x a b R x t f x t   và t0( , )a b .Giả sử i) Với t ( , )a b ,hàm số xf x t( , ) đo ii) Có hàm khả tích g R: n R  cho với t( , )a b | ( , ) |f x t g x( ), x Rn    iii) Có hàm số : n lim ( , ) ( ), n t t h R R cho f x t h x x R      0 Chứng minh h hàm khả tích ( , ) ( ) lim n n t t R R f x t dx h x dx     0 (2)PHẦN ĐẠI SỐ Bài : Gọi A,B,C sở tắc 4, 3, sở       D   2,1 ,  3, 2 Xét ánh xạ tuyến tính g f 4 3 2 thỏa :     f x, y, z, t  x2y 5z 2t, 2x  4y 3z t, 4x  7z 3t x, y, z, t 4: và   B,C 1 1 4 g 2 3 2           (a) Viết ma trận   A,C g f   B,D g (b) Tìm sở H cho Im(f) sở K cho Ker(g) Cho biết HK có phải sở khơng ? Tại ? Bài : Cho V, |  không gian Euclide (a) Giả sử    , , V thỏa :  3,  2,  4 Tính giá trị tổng : 2 2 S                        (b) Giả sử W không gian V cho : VWW Chứng minh : WW Bài : Cho V  x không gian vector gồm tất đa thức theo biến x với hệ số nằm trường số thực Định nghĩa ánh xạ :         1 0 | : x  , f | g f x g x dx, f , g  x (a) Chứng minh ánh xạ nói tích vơ hướng ( tích ) V