Xác định vùng chỉ có một đường đặc trưng đi qua và vùng sốc.. Giải nghiệm u ( x , t ) trong vùng chỉ có một đường đặc trưng đi qua.[r]
(1)ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
————-ĐỀ THI GIỮA HỌC KÌ II NĂM HỌC 2019-2020
——oOo——-Mơn thi: Phương trình vi phân đạo hàm riêng Mã mơn học:MAT2306 Số tín chỉ:3 Đề số:6 Dành cho sinh viên lớp:Lớp MAT2306 3 Ngành học:Toán Tin
Thời gian làm bài50 phút (không kể thời gian phát đề) Câu 1. Xét tốn Cauchy cho phương trình cấp sau:
ut(x,t) +u2(x,t)ux(x,t) =0khi0 <x <∞,t>0, với điều kiện Cauchyu(x, 0) = 1khix>0,vàu(0,t) = 2khit >0.
(a) Vẽ đường đặc trưng toán cho Xác định vùng có đường đặc trưng qua vùng sốc Giải nghiệmu(x,t)trong vùng có đường đặc trưng đi qua.
(b) Dùng điều kiện Rankine-Hugoniot tính vận tốc sốc Từ xác định đường sốc giải nghiệmu(x,t).Vẽ đồ thị củau(x,t)tại thời điểmt=0, 1, 2.
Câu 2. Xét phương trình cấp sau:
tan2x uxx(x,y)−2ytanx uxy(x,y) +y2uyy(x,y) +tan3x ux(x,y) +2yuy(x,y) = tan3x, với0< x<π/2,y>0.
(a) Xác định loại chuyển phương trình cho dạng tắc. (b) Tìm nghiệm tổng quát phương trình cho.
(c) Tìma,bđể phương trình cho có nghiệmu(x,y)thỏa mãnu(x, 0) = ax+bsinx.Khi đó viết hai nghiệm kiểm tra lại chúng.
Câu 3. Xét toán biên-ban đầu cho phương trình truyền sóng sau:
utt(x,t) =uxx(x,t) +1 khi0<x <1,t >0, ux(0,t) =1,u(1,t) =1/2 khit≥0,
u(x, 0) =−x2/2+x,ut(x, 0) = cos3(πx/2) khi0≤x ≤1.
(a) Tìmv(x)thỏa mãnv”(x) +1=0vàv0(0) = 1,v(1) =1/2.Khi đów =u−vthỏa mãn bài toán nào.
(b) Giải toán biên-ban đầu cho.