Tính diện tích phần của tam giác ABM nằm ngoài (O). Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là AB kẻ hai tia Ax và By cùng vuông góc với AB. Trên tia Ax lấy điểm I, tia vuông góc với CI tại [r]
(1)I BIỂU THỨC VÔ TỈ A Những điều cần ghi nhớ
Hằng đẳng thức đáng nhớ:
2 2
(a b ) a 2ab b
2 2
(a b ) a 2ab b
3 2
(a b ) a 3a b3ab b
3 2
(a b ) a 3a b3ab b
2
( )( )
a b a b a b
3 2
( )( )
a b a b a ab b
3 2
( )( )
a b a b a ab b
Lũy thừa: sô
n
n a a a a a a
m n m n
a a a
m m n n a a a
(ab)n a bn n (am n) amn
0
a với a0 Căn bậc hai
A số khơng âm Điều kiện để có nghĩa A0
X AX A (A0)
, | | , A A A A A | | A A
| | | |
AB A B
0,
AB A B A B
0, 0
A A
A B
B B
Trục mẫu
,
A
A A
A
,
A A B
B B
B
2
1
, 0,
A B
B A B
A B A B , 0, A B
B A B
A B A B
, 0, 0,
A B
A B A B
A B A B
, 0, 0,
A B
A B A B
(2)B Bài tập
1. Thực phép tính a) 32 72 162
2
b) 54 51 4,5 22 27
3
c)
2
3 7
d) 5
5 5
2. Thực phép tính
a) 3 3
b) 5 5
c) 24 5 5
d) 2 22 12 2
3. Cho hai biểu thức A 5 15 , B 5 15 Hãy so sánh A+B A-B
4. Hãy tính giá trị biểu thức 14 15 :
2
A
5. Thu gọn biểu thức sau:
a) 15
3 5
A
b) B 1x xyy 1x xyy : 1x xyxy
6. Rút gọn biểu thức
1
x x x
B
x x x
với x0, x1
7.Cho biểu thức 1
4 2
x A
x x x
với x0,x4 a) Rút gọn biểu thức A
b) Tính giá trị biểu thức A x=25
c) Tìm giá trị x để A
8. Cho biểu thức
2
2 (1 )
1 2
x x x
C
x x x
(3)a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị x để A >
11. Cho biểu thức
2
3
1 :
1
A x
x x
a) Với điều kiện xác định x, rút gọn biểu thức A
b) Tìm giá trị A
2
x
12. Cho biểu thức 1
1
x x x
T
x x
a) Tìm x để T có nghĩa
b) Rút gọn biểu thức T
c) Tính giá trị T x
d) Tìm tất giá trị x để A <
13. Cho biểu thức
2 2 : 2
x x y
B
x y x y x x y
a) Với điều kiện xác định x rút gọn biểu thức B
b) Tìm giá trị B x y
14. Cho biểu thức :
1 ( 1)
x x
D
x x x x x x
a) Với điều kiện xác định x rút gọn D
b) Tìm giá trị x để D >
15. Cho biểu thức
2
2
1
x x x x
A
x x x
với x0 , x4
a) Tìm x để A có nghĩa
b) Rút gọn A
c) Tìm x để B=2
(4)II PHƢƠNG TRÌNH BẬC
A Những điều cần ghi nhớ
Phương trình bậc hai có dạng:
0 ( 0)
ax bx c a (1) Tính b24ac
0
phương trình (1) vơ nghiệm
phương trình (1) có nghiệm kép: 1 2
b x x
a
0
phương trình (1) có nghiệm phân biệt: 1
2 b x
a
; 1
2 b x
a
Định lí Vi-ét:
Nếu phương trình bậc 2
0
ax bx c có nghiệm x x1, 2 thì:
1 b S x x
a
P x x1 2 c a
Ngược lại, có số x1 x2 cho x1x2 Svà x x1 2 P chúng nghiệm phương trình:
0 x Sx P Lưu ý:
Cho phương trình bậc hai
0
ax bx c (2) Nếu a b c 0 (2) có nghiệm x11và x2 c
a Nếu a b c 0 (2) có nghiệm x1 1 x2 c
a Phương trình trùng phương có dạng
0 ax bx c Cách giải: đặt
t x , (điều kiện t0) ta phương trình bậc theo t
0 at bt c B Bài tập
(5)2. Giải phương trình bậc hai sau: a)
(1 2)
x x
b)
(2 1)
x x
c)
4x 2( 1) x 30
d) 2
9(3x2) 4(7 ) x 0
e) 3x22 6x 2
f)
2
3 x x
x
3. Cho phương trình (ẩn x): x22(m1)x m 2 2 a) Giải phương trình cho m=1
b) Tìm giá trị m để phương trình cho có nghiệm phân biệt x x1, 2 thỏa: 2 10 x x
4. Cho phương trình 2
4
x x m m với m tham số a) Giải phương trình với m=2
b) Chứng minh phương trình ln có nghiệm
c) Giả sử phương trình có nghiệm x x1; 2, tìm giá trị bé biểu thức 3 Px x
5. Cho phương trình bậc hai, tham số m:
2x (m3)x m 0 (1) a) Giải phương trình m=2
b) Tìm giá trị tham số m để phương trình (1) có hai nghiệm x x1, 2 thỏa 1 2 1 2 x x x x
6. Cho phương trình 2
2( 3)
x m x m (m tham số) a) Tìm m để phương trình có nghiệm kép? Hãy tìm nghiệm kép b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x x1, 2 thỏa: x1x2 2 ?
7. Giải phương trình sau:
a)
2
x x b)
4x 7x 2
c)
36x 97x 360 d)
3
x x
e)
9x 8x 1
f)
2 x x
g) 1
2
x
x x
i)
13 36 x x
8. Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài chiều rộng 6m bình phương độ dài đường chéo gấp lần chu vi Xác định chiều dài chiều rộng hình chữ nhật
9. Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài 32m, chiều rộng 24m, người ta định làm vườn cảnh có đường xung quanh Hỏi bề rộng mặt đường để diện tích phần đất cịn lại 560m2
(6)II HỆ PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN A Những điều cần ghi nhớ
Hệ phương trình bậc hai ẩn có dạng:
' ' '
ax by c a x b y c
Cách giải: dùng phương pháp cộng đại số phương pháp thế B Bài tập
1. Giải hệ phương trình sau:
a)
3 12
x y x y
b) 3
5 12
x y x y
c) 17
5 11
x y x y
d)
3 14
x y x y
e)
3 x x y
f)
5
x y x y g)
5
x y x y h) 1 2 2 x y x y
2. Cho hệ phương trình 2
2
x y m
x y m
a) Giải hệ phương trình với m=1 b) Tìm m để hệ có nghiêm (x;y) thỏa: 2 10 x y
3. Tìm hai số a,b cho 7a+4b=-4 đường thẳng ax+by=-1 qua điểm A(-2;-1)
4. Hai máy ủi làm việc vịng 12 san lấp
10khu đất Nếu máy ủi thứ làm 42 nghỉ sau máy ủi thứ hai làm 22 hai máy ủi san lấp 25% khu đất Hỏi làm máy ủi san lấp xong khu đất cho
(7)III HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI A Những điều cần ghi nhớ
Hàm số bậc có dạng yax b (với a0) Đồ thị hàm số yax b đường thẳng
Để vẽ đồ thị trên, ta cần tìm hai điểm phân biệt mà đồ thị qua
Thơng thường ta tìm giao điểm với trục tung (cho x=0, tìm y), giao điểm với trục hồnh (cho y=0, tìm x)
Hàm số bậc hai có dạng
yax (với a0) Đồ thị hàm số
yax Parabol, có đỉnh trùng với gốc tọa độ Nếu a0 bề lõm quay lên
Nếu a0 bề lõm quay xuống
Cách vẽ: Cần tìm thêm điểm mà Parabol qua (thơng thường cho x b tính y), kết hợp với hệ số a, vẽ đồ thị
Điều kiện để đƣờng thẳng song song vng góc
Cho hai đường thẳng có phương trình d: yax b d' : ya x b
Khi d d a a 1 / / ' ' '
a a d d
b b
' '
'
a a d d
b b
Phƣơng trình hồnh độ giao điểm
Để tìm tọa độ giao điểm hai đồ thị hàm
yax ykx b ta giải phương trình hồnh độ giao điểm:
ax kx b B Bài tập
1. Vẽ đồ thị hàm số sau: a) y2x
b)y 3x
c) y2x3 d) y x
e)
4 y x f) 4x 5 y
2. Vẽ đồ thị hàm số sau:
a)
2
y x b)
3
y x c)
4
y x d)
(8)3. Cho hai hàm số
y x
y x Vẽ đồ thị hai hàm số sau lên hệ trục tọa độ Tìm giao điểm chúng có
4.a) Vẽ đồ thị (P) hàm số 2 x
y đường thẳng (d): y=x+4 hệ trục tọa độ b) Tìm tọa độ giao điểm (P) (d) phép tính
5. Trên hệ trục tọa độ, vẽ đồ thị Parabol (P): x
y đường thẳng (d): y 6 x Tìm tọa độ giao điểm (P) (d) phương pháp đại số
6. Cho Parabol (P):
yx đường thẳng (d): ymx2 (m tham số, m0) a) Vẽ đồ thị (P) mặt phẳng tọa độ Oxy
b) Khi m=3, tìm tọa độ giao điểm (P) (d)
c) Gọi A x( A;yA), (B xB;yB) giao điểm phân biệt (P) (d) Tìm giá trị m cho
2( )
A B A B
y y x x
7.a) Cho hàm số
y x hàm số y=x-2 Vẽ đồ thị hai hàm số hệ trục tọa độ Tìm tọa độ giao điểm hai đồ thị phương pháp đại số
b) Cho (P) : x
y đường thẳng (d):
ymx m Tìm m để (d) tiếp xúc với (P)
Chứng minh hai đường thẳng (d1) (d2) tiếp xúc với (P) vừa tìm vng góc với
8. Cho hai đường thẳng d1: y=(m+1)x+5 ; d2: y=2x+n
Với giá trị m, n d1 trùng với d2 ?
9. Cho hàm số yx2 y=x+2
a) Vẽ đồ thị hàm số mặt phẳng tọa độ Oxy
b) Tìm tọa độ giao điểm A, B đồ thị hai hàm số phép tính
(9)1. Cho đường trịn (O) có đường kính AB=2R Trên tia đối AB lấy điểm C cho BC=R, đường tròn lấy điểm D cho BD=R, đường thẳng vng góc với BC C cắt tia AD M a) Chứng minh tứ giác BCMD tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh tam giác ABM tam giác cân
c) Tính tích AM.AD theo R
d) Cung BD (O) chia tam giác ABM thành hai phần Tính diện tích phần tam giác ABM nằm (O)
2. Trên đoạn thẳng AB cho điểm C nằm A B Trên nửa mặt phẳng có bờ AB kẻ hai tia Ax By vng góc với AB Trên tia Ax lấy điểm I, tia vng góc với CI C cắt tia By K Đường trịn đường kính IC cắt IK P (P khác I)
a) Chứng minh tứ giác CPKB nội tiếp đường tròn, rõ đường tròn
b) Chứng minh CIPPBK
c) Giả sử A, B, I cố định Hãy xác định vị trí điểm C cho diện tích tứ giác ABKI lớn
3. Cho đường trịn tâm (O), đường kính AC Vẽ dây BD vng góc với AC K (K nằm ngữa A O) Lấy điểm E cung nhỏ CD (E không trùng C D), AE cắt BD H
a) Chứng minh tam giác CBD cân tứ giác CEHK nội tiếp
b) Chứng minh AD2=AH.AE
c) Cho BD=24 cm, BC = 20 cm Tính chu vi hình trịn (O)
4. Cho đường trịn (O;R), đường kính AB cố định CD đường kính thay đổi khơng trùng với AB Tiếp tuyến đường tròn (O;R) B cắt đường thẳng AC AD E F
a) Chứng minh BE.BF=4R2
b) Chứng minh tứ giác CEFD nội tiếp đường tròn
c) Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác CEFD Chứng minh tâm I nằm đường thẳng cố định
5. Cho tam giác ABC vng A, có AB=14, BC=50 Đường phân giác góc ABC đường trung trực cạnh AC cắt E
a) Chứng minh tứ giác ABCE nội tiếp đường tròn Xác định tâm O đường tròn
(10)c) Vẽ đường kính EF đường trịn (O) AE BF cắt P Chứng minh đường thẳng BE, PO, AF đồng quy
d) Tính diện tích phần hình trịn tâm (O) nằm ngồi ngũ giác ABFCE
6. Cho đường tròn (O;R) đường kính AB dây cung CD vng góc với (CA<CB) Hai tai BC DA cắt E Từ E kẻ EH vng góc với AB H; EH cắt CA F Chứng minh rằng:
a) Tứ giác CDFE nội tiếp đường tròn
b) Ba điểm B, D, F thẳng hàng
c) HC tiếp tuyến đường tròn (O)
7. Cho đường trịn tâm (O) đường kính AB Trên đường trịn (O) lấy điểm C (C khơng trùng với A, B CA>CB) Các tiếp tuyến đường tròn (O) A, C cắt điểm D, kẻ CH vng góc với AB (H thuộc AB), DO cắt AC E
a) Chứng minh tứ giác OECH nội tiếp
b) Đường thẳng CD cắt đường thẳng AB F Chứng minh 2BCFCFB900 c) BD cắt CH M Chứng minh EM//AB
8. Cho đường trịn (O;R) A điểm nằm ngồi đường tròn Kẻ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C tiếp điểm)
a) Chứng minh ABOC tứ giác nội tiếp
b) Gọi E giao điểm BC OA Chứng minh BE vng góc với OA OE.OA=R2
c) Trên cung nhỏ BC đường tròn (O;R) lấy điểm K (K khác B C) Tiếp tuyến K đường tròn (O;R) cắt AB, AC theo thứ tự điểm P Q Chứng minh tam giác APQ có chu vi khơng thay đổi K chuyển động cung nhỏ BC
9. Cho hình bình hành ABCD có đỉnh D nằm đường trịn đường kính AB=2R Hạ BN DM vng góc với đường chéo AC
a) Chứng minh tứ giác CBMD nội tiếp