(không kể thời gian phát đề) Câu 1.[r]
(1)ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
————-ĐỀ THI GIỮA KÌ
NĂM HỌC 2020-2021
——oOo——-Mơn thi: Phương trình vi phân đạo hàm riêng
Mã mơn học:
MAT
Số tín chỉ:
3
Đề số:
1
Dành cho sinh viên lớp:
Cao học 20-22
Ngành học:
Thời gian làm bài
(không kể thời gian phát đề)
Câu 1.
Cho hàm
a
,
f
∈
C
1(
R
2)
.
Xét phương trình
a(x
,
t)u
x(x
,
t) +
u
t(x
,
t) +
u(x
,
t) =
f
(x
,
t)
,
x
∈
R
,
t
>
0.
(a) Giả sử
|
a(x
,
t)
| ≤
1,
∀
(x
,
t)
∈
R
2và
u
∈
C
1(
R
×
(
0,
∞
))
∩
C(
R
×
[
0,
∞
))
là nghiệm của
phương trình cho Chứng minh rằng
max
(x,t)∈∆(X,T)
|
u(x
,
t)
| ≤
x∈[Xmax
−T,X+T]|
u(x
, 0
)
|
+
(x,t)max
∈∆(X,T)|
f
(x
,
t)
|
với
∆
(X
,
T) =
{
0
≤
t
≤
T
,
|
x
−
X
| ≤
T
−
t
}
,
T
>
0,
X
∈
R
.
(b) Với
a(x
,
t) =
1/
(t
+
1
)
,
f
(x
,
t) =
1, tìm nghiệm phương trình thỏa mãn
u(x
, 0
) =
cos
(x)
,
x
>
0.
Tìm miền mà nghiệm vừa tìm nghiệm thỏa mãn điều kiện trên.
(c) Với
T
>
2, tìm hàm điều khiển
h(t)
sao cho có nghiệm phương trình thỏa
mãn
u(
0,
t) =
h(t)
, 0
<
t
<
T
,
và
u(x
,
T) =
1, 0
<
x
<
ln
(
3
)
.
Liệu có hàm điều khiển
h(t)
nào khi
T
<
2?
Câu 2.
Xác định loại phương trình sau:
3
u
xx(x
,
y)
−
2
u
xy(x
,
y) +
2
u
yy(x
,
y) +
2
u(x
,
y) =
0
trong
R
2.
Tìm nghiệm giải tích phương trình cho thỏa mãn
u(
0,
y) =
cos
(y)
,
u
x(
0,
y) =
0.
Kiểm tra lại nghiệm tìm được.
Câu 3.
Giả sử
u
∈
C
2(B
1)
∩
C
1(
B
¯
1)
,
B
1=
{
(x
,
y)
∈
R
2:
x
2+
y
2<
1
}
,
là nghiệm bài
toán biên Dirichlet
(
∆
u
= (xy
+
1
)u
+
f
(x
,
y)
trong
B
¯
1,
u
=
0
trên
∂
B
1.
Chứng minh rằng
Z
B1
|∇
u(x
,
y)
|
2dxdy
≤
C
ZB1