Ve bai toan British MO 1986

[r]

VỀ BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC TRONG KỲ THI

British Mathematical Olympiad 1986

Nguyễn Văn Huyện

SV trường Đại học Giao Thông Vận Tải Tp.HCM

1 Nội dung viết

Trong kỳ thi vơ địch tốn nước Anh năm 1986 có toán bất đẳng thức thú vịsau

Bài Toán Với , ,a b c ba số thực thỏa mãn đồng thời điều kiện sau đây

2 2

0 a b c

a b c

    

    

Chứng minh bất đẳng thức a b2 b c2 c a2 6.

British Mathematical Olympiad 1986 

Có thể nói bất đẳng thức khó dấu đẳng thức tốn khơng tâm biên mà cos2 , cos4 , cos8

9 9

a  b  c 

cùng hốn vị, dấu “kỳ lạ” mà tốn gây

khó khăn cho phương pháp mà ta biết phương

pháp mạnh S.O.S hay dồn biến, … Trong quyển sách “Sử dụng

phương pháp Cauchy-Schwarz để chứng minh bất đẳng thức” anh Võ Quốc Bá Cẩn

có đưa lời giải độc đáo Cauchy-Schwarz sau

Lời Giải Từ giả thiết toán ta dễdàng suy abbcca 3 Sử

dụng đẳng thức

 2   2  2  2  

3 a bb cc a a ab2 c b bc2 a c ca2 b , kết hợp với bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có

    2  2 2

2 2 2 2

9VT  a b c  2abc  2bca  2cab 

 

     

   

2

2 2 2 2 2

2

2 2

2

2 54

ab c a b a b a b abc a b c a b c ab bc ca a b c

         

     





Từđó suy a b2 b c2 c a2 6.

Có thể nói mấu chốt lời giải việc sử dụng đẳng thức  1

đểsau sử dụng thành công bất đẳng thức Cauchy-Schwarz Trong sách anh Cẩn lí giải việc tìm  1 cách sử dụng phương pháp nhân tử Langrange (sẽđược học chương trình tốn cao cấp bậc đại học)

như sau Bằng cách đặt

  2    2 

1

, ,

F a b c a bb cc a a  b c  a b  c

Ta thấy điểm cực trị hàm F a b c nghi , ,  ệm hệphương trình sau

2 2

0

6

F F F

a b c

a b c a b c

                       2 2 2

2 2

2

2

2

0

ab c a

bc a b

ca b c

a b c a b c

                                 

Từđó suy  1 0, hệ  2 lúc trở thành 2 2 2

2 2

2

2

2

0 ab c a bc a b ca b c a b c a b c

                           

Từba phương trình đầu, ta rút

2 2

2

2 2

2 ab c bc a ca b

a b c 

      

Để ý đẳng thức điều kiện xảy dấu đẳng thức bất

đẳng thức Cauchy-Schwarz mà ta có lời giải độc đáo trình bày phần

Không dừng lại ởđây, kỹ thuật tương tựnhư ta giải trọn vẹn toán tổng quát bất đẳng thức sau

Tổng Quát Với a b c, , là ba số thực thỏa mãn đồng thời điều kiện sau

2 2

0 a b c

a b c t

    

    

Chứng minh với số thực ,k t ta ln có bất đẳng thức sau

2 2 2 3 9.

a bb cc akabc t k  k

(Võ Quốc Bá Cẩn, Lê Việt Hải)

Lời Giải Từ giả thiết toán, ta dễdàng tính

2 2 2

9 ab bc ca t a b b c c a t

    



   



Mặt khác, ta lại có

      

3 3 3 0.

Từđó suy a b3 b c3 c a3 ab3bc3ca3, thế

     

       

  

2 2 2

3 3

2 2 2

2 2

4

2

9

ab a b bc b c ca c a a b b c c a

ab a b bc b c ca c a abc a b c ab bc ca a b c

t                        

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có

    

 

2

2 2

2

2

2 2

9 3

3

3

2

3

a b c ab bc ca VT a b b c c a kabc k

ab bc ca a ab c kbc k

ab bc ca a b c ab c kbc k

                                                                

Bằng tính tốn trực tiếp, ta dễ dàng tìm

 

 

2

2

2 2

4

2

3

6

ab bc ca

ab c kbc k ab c kbc kt

t k k

                      

Từđó suy

2 2 2 3 9.

a bb cc akabc t k  k

Bài toán chứng minh xong 

Nhận Xét Ngồi đểtính a b3 b c3 c a3  9t4 ta có thể sử dụng hằng

Những tốn bất đẳng thức khó, hình thức đơn giản, đẹp mắt có dấu

đẳng thức xảy biến lệch (lệch tâm hay lệch biên) thường khơng có nhiều, để xây dựng tốn địi hỏi người

ra đề phải có trình độ lão luyện Chắc hẳn

đơi lần chạm trán với tốn mà khơng lần bị

đánh gục Chúng ta nêu tốn đại diện cho tiêu chuẩn nói trên, bất đẳng thức tiếng giáo sư Vasile Cirtoaje

Bài toán Nếu , ,a b c ba số thực tùy ý,

 2 2 22  3 3 3 

3

a b c  a bb cc a

Vasile Cirtoaje 

Ẩn bên vẻ bềngoài đơn giản bất đẳng thức khó ngồi

trường hợp tầm thường a b c đểđẳng thức xảy cịn trường hợp đặc biệt   2 24

, , sin , sin , sin

7 7

a b c k    hoán vị Lại dấu đẳng thức lượng giác ?! Chính mà lời giải bình thường cho bất đẳng thức có dấu “bất thường” dường khơng có !

Những chứng minh cho toán đa phần đưa tốn dạng tổng bình phương điều địi hỏi người làm tốn phải có nhãn quan nhạy bén để nhận biết tồn phép phân tích Mãi sau xuất chứng minh đơn giản độc đáo phép bất đẳng thức quen thuộc

 2    

3 , ,

x y z  xyyzzx x y z

Trên diễn đàn tốn học tồn cầu ww.Mathlinks.ro anh can_hang2007 có nói bất đẳng thức sau chứng minh

Cauchy-Schwarz chưa cơng bố lời giải Bằng tốn tổng quát có lời giải AM-GM kết hợp với Cauchy-Schwarz thú vịsau

Lời Giải Vì bất đẳng thức cho dạng nên ta chuẩn hóa cho a  b c 3, tồn số thực t cho a2   b2 c2 t2 Tiếp

đến, ta đặt a 1 x b,  1 y c,  1 z x  y z tính

  2  2 2

2 2

1 1

x y z  a  b  c  t Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành

 2

2 3

3 12t a bb cc a Ta lại có

           

 

   

 

 

3 3

3 3

3

3 3 2 2

2 2

2 2

3

1 1 1

3 3

3 3

3 9

3 9

3 9

a b b c c a x y y z z x

x x y xy x y x

x y z x y y z z x x yz x y

xyz x y y z z x t t x y y z z x xyz t t

t t t

          

     

         

      

      

    



  

Vậy ta cần chứng minh

 2

2

12t 2t 73t 3t 1,

4

7t  t 2t

2 Tài liệu tham khảo

[1] Võ Quốc Bá Cẩn, Sử dụng phương pháp Cauchy-Schwarz để chứng minh bất đẳng thức, nhà xuất đại học Sư phạm, 2010

[2] Câu lạc toán trường PTNK thành phố Hồ Chí Minh, Lê Việt Hải Phương pháp nhân tử Langrange bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, 2011

Thành phố Hồ Chí Minh