Chuyên đề tính chất đường phân giác của tam giác

TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC I KIẾN THỨC CƠ BẢN Định lý Trong tam giác, đường phân giác góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ABC  DB AB     DC AC BAD  CAD  Chú ý * Định lý với đường phân giác góc ngồi tam giác ABC  AB  AC  EB AB      CAE  EC AC BAE  * Các định lý có định lý đảo DB AB   AD đường phân giác tam giác DC AC EB AB   AE đường phân giác tam giác EC AC II BÀI TẬP MINH HỌA A.DẠNG BÀI CƠ BẢN DẠNG Tính độ dài đoạn thẳng PHƯƠNG PHÁP GIẢI  Áp dụng tính chất đường phân giác, lập tỉ lệ thức đoạn thẳng sử dụng kĩ thuật đại số hóa hình học  Áp dụng định lí Py-ta-go VÍ DỤ Ví dụ Cho tam giác ABC có AB  5cm, BC  7cm CA  6cm Tia phân giác góc BAC A cắt cạnh BC E Tính đoạn EB, EC Lời giải (hình 286) Áp dụng tính chất đường phân giác AD vào tam giác ABC tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: C EB EC EB  EC BC    , BA CA BA  CA BA  CA Hay E D Hình 286 EB EC 35 42    EB  (cm ); EC  (cm ) 11 11 11 Ví dụ Cho tam giác ABC vng A , đường phân giác BD Tính AB, BC biết AD  4cm DC  5cm Lời giải (hình 287) A Áp dụng tính chất đường phân giác BD vào tam giác ABC , ta được: AB  4t AB DA     (với t  ) BC  5t BC DC  4t Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác ABC vuông A , ta được: B D 5t Hình 287 BC  CA2  AB hay (5t )2  92  (4t )2  (3t )2  92  3t   t  (vì t  ) Vậy AB  12(cm ); BC  15(cm ) Ví dụ Cho tam giác ABC có BC  24cm, AC  3AB Tia phân giác góc ngồi A cắt đường thẳng BC E Tính độ dài EB Lời giải (hình 288) Áp dụng tính chất đường phân giác ngồi AE vào tam giác ABC , ta được: EB BA BA EB EC      EC CA 3BA 3 A Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta được: EB EC EC  EB BC 24      12(cm ) 3 1 2 Vậy EB  12cm B 24cmC E Hình 288 DẠNG 2.Tính tỉ số độ dài, tỉ số diện tích hai tam giác C PHƯƠNG PHÁP GIẢI  Áp dụng tính chất đường phân giác, lập tỉ lệ thức đoạn thẳng  Sử dụng kĩ thuật đại số hóa hình học Cơng thức kết thu từ cơng thức tính diện tích tam giác VÍ DỤ Ví dụ Cho tam giác ABC với đường trung tuyến AM Tia phân giác góc AMB cắt cạnh AB D , tia phân giác góc AMC cắt cạnh AC E Chứng minh DE  BC A Lời giải (hình 289) Từ giả thiết AM trung tuyến, đặt BM  MC  a D Áp dụng tính chất đường phân giác MD ME vào hai tam giác AMB AMC , ta được: E B   AD AM AM      DB MB a  AD  AE   AE AM AM DB EC      MC a   EC M C Hình 289 Điều chứng tỏ đường thẳng DE cắt hai cạnh AB AC tam giác ABC định hai cạnh đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ, nên DE  BC (theo định lí Ta-lét đảo) Ví dụ a) Cho tam giác ABC với đường trung tuyến AM phân giác AD Tính diện tích tam giác ADM biết AB  m, AC  n (n  m ) b) Cho n  7cm, m  3cm Hỏi diện tích tam giác ADM chiếm phần trăm diện tích tam giác ABC ? A Lời giải (hình 290) a) Ta có S ADM S ABC  DM DM hay S ADM  S BC BC (vì chung chiều cao kẻ từ A đến BC , với S  S ABC ) Ta phải tính tỉ số DM : BC Áp dụng tính chất đường phân giác AD vào tam giác ABC , ta được: DB  mt DB BA m     (với t  )  DC  nt DC CA n  n m B DM Hình 290 C Do BC  DB  DC  (m  n ).t , nên: BM  BC   DM  BM  BD  (m  n )t  mt (n  m )t  2 Suy tỉ số DM : BC  Vậy S ADM  b) (m  n )t (n  m )t n m : (m  n )t  2(m  n ) n m S 2(m  n ) Với n  7cm, m  3cm S ADM  73 S  0, 2.S  20%S 2(7  3) Điều chứng tỏ diện tích tam giác ADM chiếm 20% diện tích tam giác ABC Ví dụ Cho tam giác ABC , đường phân giác BD CE Biết AD EA  ;  Tính BC EB cạnh tam giác ABC , biết chu vi tam giác 45cm Lời giải (hình 291) Áp dụng tính chất đường phân giác BD CE vào tam giác ABC , ta được: AB  4t AB AD      (với t  ); BC  6t BC BC  A E AC  5t AC AE     BC  6t BC EB  Từ giả thiết chu vi tam giác ABC 45cm , ta có: D B C Hình 291 45  AB  BC  CA  4t  6t  5t  15t  t  Vậy AB  12cm; BC  18cm;CA  15cm PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN DẠNG CƠ BẢN Bài 1: Tính độ dài x , y hình vẽ sau: Hình Hình Bài 2: Cho tam giác ABC có AB  4cm, AC  5cm, BC  6cm, đường phân giác BD CE cắt I a) Tính độ dài AD, DC b) Tính độ dài AE , BE Bài 3: Cho tam giác cân ABC có AB  BC Đường phân giác góc A cắt BC M , đường phân giác góc C cắt BA N Chứng minh MN // AC Bài 4: Cho ΔABC có AD , BE , CF đường phân giác Chứng minh rằng: AE CD BF      EC DB FA  D  cắt đường chéo BD AC Bài 5: Cho hình bình hành ABCD Phân giác A M N Chứng minh: MN song song với AD Bài 6: Cho ΔABC có phân giác AD , biết AB  m, AC  n a) Tính tỉ số diện tích ΔABD ΔACD theo m n b) Vẽ phân giác DE ADB vẽ phân giác DF  ADC Chứng minh rằng: AF CD BE  AE BD CF  cắt AB D , đường phân giác Bài 7: Cho ΔABC , trung tuyến AM , đường phân giác AMB  cắt AC E AMC a) Chứng minh DE / /BC b) Gọi I giao điểm AM DE Chứng minh DI  IE c) Tính DE , biết BC  30cm,AM  10cm d) ΔABC phải thêm điều kiện để ta có DE  AM ? e) Chứng minh ΔABC cân biết MD  ME Bài 8: Cho ∆ABC vuông cân A Đường cao AH đường phân giác BE cắt I Chứng minh rằng: CE  2.HI LỜI GIẢI PHIẾU BÀI CƠ BẢN Bài 1: Hình Hình MB AB  MC AC a) Xét ΔABC có AM đường phân giác nên: Hay 15 24 15.4   x   20 cm  x 32 b) Xét ΔABC có AD đường phân giác nên: Mà B trung điểm đoạn thẳng DC nên: Từ (1) (2) suy ra: y   y   cm  16 Bài 2: a) Theo tính chất đường phân giác: Do đó, AD  2cm,CD  3cm b) Ta có: Theo tính chất đường phân giác: AE CA AE EB      EB CB 6 11 20 24 Do đó, AE  cm, BE  cm 11 11 DB AB  DC AC DB  DC (2) AD BA AD CD      DC BC 3  nên BM  AB Bài 3: AM phân giác A CM AC BN BC   CN phân giác C nên AN AC Lại có: AB  BC AB BC BN BM Suy ra:     MN // AC AC AC AN CM Bài 4: Xét ΔABC , áp dụng tính chất đường phân giác ta có: AE AB (1)  EC BC CD AC (2)  DB AB BF BC (3)  FA AC Nhân (1), (2), (3) theo vế ta được: AE CD BF AB AC BC   EC DB FA BC AB AC (1) A D E I B C Bài 5: Gọi O giao điểm BD AC Xét tam giác ABD, phân giác AM, ta có: Tương tự, AB BM  AD DM CD CN ;  AD AN Mà AB  CD , suy BM CN  DM AN Từ đó, ta có: BM CN BD CA DO AO 1  1     DM AN DM AN DM AN Suy MN //AD Bài 6: a) Vẽ đường cao AH ABC Vì ΔABC có phân giác AD nên: AH BD S ABD BD AB m BD m   Vậy    CD AC n S ACD CD n AH CD b) Ta có: AF AD )  (do DF phân giác ADC CF CD BE BD )  (do DE phân giác ADB AE AD AF CD BE AD CD BD  1 CF BD AE CD BD AD  AF CD.BE  AE BDCF  Bài 7: a) Ta có BD MB )  (do MD phân giác AMB AD MA CE MC )  (do ME phân giác AMC AE MA Mà MB  MC ( M trung điểm BC )  BD CE   DE / /BC AD AE b) Xét ABM ACM có DI / /BM EI / /CM DI EI  AI     Mà BM  CM  DI  EI BM CM  AM  c) Ta có: BD MB BD IM BM IM    Mà (do DI / /BM )  AD MA AD AI AM AI Ta lại có: BM AM  ( DI / /BM ) DI AI BM AI  IM IM BM AM  BM  1  1  DI AI AI AM AM  DI  BM AM 15.10 150   6 AM  BM 10  15 25  ED  2DI  2.6  12 (do DI  IE  DE ) d) Để DE  AM ta cần tứ giác ADME hình chữ nhật   900 Hay DM / /AE,EM / /AD, BAC   90 AM  MB  MC (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC ) Khi BAC  ABM, ACM cân M  MD  AB,ME  AC (đường phân giác tam giác cân đồng thời đường cao Mà AB  AC Suy DM / /AE,EM / /AD Suy tứ giác ADME hình chữ nhật Vậy ABC vng A DE  AM e) Khi DM  EM DME cân M có MI trung tuyến ( DI  IE ) nên đồng thời đường cao  MI  DE Mà DE / /BC (cmt) nên MI  BC  ABC có AI vừa đường trung tuyến vừa đường cao nên tam giác cân   BAH   ABI   (A   B)   45  B   45  C   AEI  Bài 8: Ta có AIE 2 Suy ∆AIE cân A  AI  AE (1) Áp dụng tính chất đường phân giác ∆ABH ∆BAC ta có: IH BH AB BH EC BC AB BC (2); (3)       IA BA AI IH EA BA AE EC Từ (2) (3) suy ra: BH BC  (4) IH EC Vì ∆ABC vng cân A nên BC  2.BH Từ kết hợp với (4) suy EC  2.IH B.DẠNG BÀI NÂNG CAO Ví dụ Cho tam giác ABC vng A có G trọng tâm, BM đường phân giác Biết GM  AC Chứng minh BM vng góc với trung tuyến AD Ví dụ Cho tam giác ABC có I giao điểm ba đường phân giác Đường thẳng qua I cắt đường thẳng BC , CA, AB D , E , F cho D , E nằm phía điểm I Chứng BC AC AB minh rằng:   ID IE IF Ví dụ Cho tam giác ABC vng A (AB < AC), vẽ đường cao AH Trên tia HC lấy điểm D cho HD = AH Đường thẳng vng góc với BC D cắt AC E Gọi M trung điểm BE, tia HD AM cắt BC G Chứng minh: B G  BC AH  HC Ví dụ Cho tam giác ABC vng A có AH đường cao (H thuộc BC), N trung điểm AB Biết AB=6cm, AC=8cm  (K thuộc BC) Tính AK? a) Vẽ AK tia phân giác góc BAC b) Gọi E hình chiếu vng góc H lên AC T điểm đối xứng N qua I với I giao điểm CN HE Chứng minh tứ giác NETH hình bình hành LỜI GIẢI PHIẾU BÀI NÂNG CAO Ví dụ Cho tam giác ABC vng A có G trọng tâm, BM đường phân giác Biết GM  AC Chứng minh BM vng góc với trung tuyến AD Giải Cách (Khơng dùng tính chất đường phân giác) Gọi I giao điểm BM AD, H trung điểm AC  DH // AB DH  AB (vì DH đường trung bình ABC ) Lại có GM // AB (cùng vng góc với AC )  GM // DH Áp dụng hệ định lý ta-lét: Xét ADH có  GM // DH  GM AG GM     DH AD DH Xét ABI có GM // AB   GI GM GH    AI AB BH GI  AI A  3 AD   AI  AG  AD  AI  AI 4  I trung điểm AD ABD có BI vừa đường phân giác, vừa đường trung tuyến, suy ABD cân B nên BI vừa đường cao vừa đường phân giác Do BM  AD Cách ADH có GM // DH  AM AG    AM  AH  AC  AM  MC AH AD hay MC  AM Áp dụng tính chất đường phân giác ABC , ta có: BC MC BC    AB   BD AB MA Vậy ABD cân B nên BI vừa phân giác vừa đường cao Do BM  AD Ví dụ Cho tam giác ABC có I giao điểm ba đường phân giác Đường thẳng qua I cắt đường thẳng BC , CA, AB D , E , F cho D , E nằm phía điểm I Chứng BC AC AB minh rằng:   ID IE IF Giải Áp dụng tính chất đường phân giác ngồi tam giác, ta có: BD BF CE CD AF AE  ;  ;  ID IF IE ID IF IE Ta có: BC BD CD BF CE     ID ID ID IF IE (1) Ta có: AC AE CE AF CE     IE IE IE IF IE (2) Từ (1) (2) cộng vế với vế, suy ra: BC AC BF AF AB     ID IE IF IF IF Bài Cho tam giác ABC vuông A (AB < AC), vẽ đường cao AH Trên tia HC lấy điểm D cho HD = AH Đường thẳng vng góc với BC D cắt AC E Gọi M trung điểm BE, tia HD AM cắt BC G Chứng minh: B G  BC AH  HC Giải: BG HD  BC AH  HC HC BC AH  HC 1   HD BG HD B H I A G D M E C  BC HC BC  BG HC GC HC 1     BG HD BG HD GB HD Ta chứng minh: H C  G C Ta có: DE // AH  H C  A C HD GB HD AE Dựng đường thẳng qua E vng góc AH I, suy HIED hình chữ nhật   HBA  hai tam giác vng IEA HBA IE = HD = HA; IAE  AE  AB  HC  AC  AC HD AE AB  hay G chân Vì M trung điểm BE, tam giác ABE cân A nên AM tia phân giác góc BAC  tam giác ABC Từ ta có: đường phân giác góc BAC GC AC Vậy HC AC AC GC      GB AB HD AE AB GB Bài Cho tam giác ABC vuông A có AH đường cao (H thuộc BC), N trung điểm AB Biết AB=6cm, AC=8cm  a) Vẽ AK tia phân giác góc B A C (K thuộc BC) Tính AK? b) Gọi E hình chiếu vng góc H lên AC T điểm đối xứng N qua I với I giao điểm CN HE Chứng minh tứ giác NETH hình bình hành Giải: a) Theo tính chất chân đường phân giác ta có: B KC AC CK     KB AB CB H Gọi K’ hình chiếu vng góc K lên AC, suy KK’ // AB Theo định lí Talet ta có: N KK' CK 4 24    K K '  A B   (cm ) AB CB 7 7 I Mặt khác, tam giác AKK’ vuông cân K’ nên: A K  K K ’  24 K T A (cm ) E K' b) Ta chứng minh I trung điểm HE Vì HE  AC nên HE // BA Theo định lí Talet ta có: IE  C I  IH NA CN NB Vì NA = NB nên IE = IH Do I trung điểm HE Theo giả thiết I trung điểm NT Tứ giác NETH có hai đường chéo NT EH có chung trung điểm I nên NETH hình bình hành ========== TỐN HỌC SƠ ĐỒ ========== C ... dụ Cho tam giác ABC có AB  5cm, BC  7cm CA  6cm Tia phân giác góc BAC A cắt cạnh BC E Tính đoạn EB, EC Lời giải (hình 286) Áp dụng tính chất đường phân giác AD vào tam giác ABC tính chất. .. chứng tỏ diện tích tam giác ADM chiếm 20% diện tích tam giác ABC Ví dụ Cho tam giác ABC , đường phân giác BD CE Biết AD EA  ;  Tính BC EB cạnh tam giác ABC , biết chu vi tam giác 45cm Lời giải... dụng tính chất đường phân giác ABC , ta có: BC MC BC    AB   BD AB MA Vậy ABD cân B nên BI vừa phân giác vừa đường cao Do BM  AD Ví dụ Cho tam giác ABC có I giao điểm ba đường phân giác Đường