TUYỂN CHỌN 70 bài tập NÂNG CAO lớp

TUYỂN CHỌN MỘT SỐ BÀI TOÁN NÂNG CAO LỚP A PHẦN ĐẠI SỐ Bài toán So sánh: 2009 20 2009200910 Bài tốn Tính tỉ số A , biết: B 1 1 1 + + + + + + 2007 2008 2009 2008 2007 2006 B= + + + + + 2007 2008 A= Bài toán Cho x, y, z, t ∈ N * Chứng minh rằng: M = x y z t + + + có giá trị khơng phải số x+ y+ z x+ y+t y+ z+t x+ z+t tự nhiên Bài tốn Tìm x; y∈ Z biết: a 25 – y = 8( x – 2009) b x y = x y + 1997 c x + y + = xy – Bài tốn Tìm x biết a 5(2 x + 3) + 2(2 x + 3) + x + = 16 2 b x + x − = x + Bài toán Chứng minh rằng: 19 + 2 + 2 + + 2 < 2 3 10 Bài toán Cho n số x1, x2, , xn số nhận giá trị -1 Chứng minh x1.x2 + x2.x3 + + xn.x1 = n chia hết cho Bài tốn Chứng minh rằng: S= 1 1 1 − + − + n − − n + + 2002 − 2004 < 0,2 2 2 2 2 Bài tốn Tính giá trị biểu thức A = x n + giả sử x + x + = xn Bài toán 10 Tìm max biểu thức: − 4x x2 +1 Bài toán 11 Cho x, y, z số dương Chứng minh D= x y z + + ≤ 2x + y + z y + z + x 2z + x + y Bài tốn 12 Tìm tổng hệ số đa thức nhận sau bỏ dấu ngoặc biểu thức: A(x) = ( - 4x + x2 )2004 ( + 4x + x2 )2005 Bài toán 13 Tìm số a, b, c nguyên dương thỏa mãn: a + 3a + = b a + = c Bài toán 14 Cho x = 2005 Tính giá trị biểu thức: x 2005 − 2006 x 2004 + 2006 x 2003 − 2006 x 2002 + − 2006 x + 2006 x − Bài toán 15 Rút gọn biểu thức: N = xx−2 x + x − 20 + 12 x − Bài toán 16 Trong số x, y, z có số dương, số âm số Hỏi số thuộc loại biết: x = y − y z Bài tốn 17 Tìm hai chữ số tận tổng sau: B = + + 33 + + + 2009 Bài toán 18 Cho 3x – 4y = Tìm biểu thức: M = x + y x2 y2 z x2 + y2 + z2 + + = Bài tốn 19 Tìm x, y, z biết: Bài toán 20 Tìm x, y biết rằng: x + y + 1 + =4 x y Bài toán 21 Cho a số gồm 2n chữ số 1, b số gồm n + chữ số 1, c số gồm n chữ số Chứng minh a + b + c + số phương Bài tốn 22 Chứng minh với số tự nhiên a, tồn số tự nhiên b cho ab + số phương Bài toán 23 Chứng minh chữ số a, b, c thỏa mãn điều kiện ab : cd = a : c abbb : bbbc = a : c Bài tốn 24 Tìm phân số m m m+k khác số tự nhiên k, biết = n n nk Bài toán 25 Cho hai số tự nhiên a b (a < b) Tìm tổng phân số tối giản có mẫu 7, phân số lớn a nhỏ b Bài toán 26 Chứng minh rằng: A = + + + + + n số phương (n lẻ) Bài tốn 27 Tìm n biết rằng: n - n + 2n + chia hết cho n + Bài toán 28 Chứng minh rằng: B = 2 n +1 + hợp số với số ngun dương n Bài tốn 29 Tìm số dư chia (n - 1)111 (n - 1)333 cho n Bài tốn 30 Tìm số tự nhiên n để 1n + 2n + 3n + 4n chia hết cho Bài toán 31 a Chứng minh rằng: Nếu a khơng bội số a6 – chia hết cho b Cho f(x + 1)(x2 – 1) = f(x)(x2 +9) có nghiệm c Chứng minh rằng: a5 – a chia hết cho 10 Bài tốn 32 Tính giá trị biểu thức: A = y + x − z (x2 – 1) + (y – z)2 = 16 Bài toán 33 Chứng minh rằng: a 0,5 ( 20072005 – 20032003 ) số nguyên b M = 1986 2004 − số nguyên 1000 2004 − 9  c Khi viết dạng thập phân số hữu tỉ  − 0,81  11  2004 có 4000 chữ số sau dấu phẩy Bài toán 34 So sánh A B biết: A= 1 1 1 + + + + 2 2 B = 101 102 103 104 105 Bài toán 35 Tìm x biết: a x + + x +1 + x x + x +1 + x +3 = 57 131 b (4x – 3)4 = (4x – 3)2 Bài tốn 36 Ba tơ khởi hành từ A phía B Vận tốc tơ thứ vận tốc ô tô thứ hai 3km/h Thời gian ô tô thứ nhất, thứ hai, thứ ba hết quảng đường AB 40 phút, 5 giờ, Tính vận tốc ô tô + a (a ∈ Z+) số vơ tỉ Bài tốn 37 Chứng minh Bài toán 38 Cho số thực a, b cho tập hợp { a2 + a ; b } { b2 + b ; b } Chứng minh rằng: a = b Bài toán 39 Cho năm số tự nhiên a, b, c, d, e thỏa mãn: ab = bc = cd = de = ea Chứng minh rằng: a = b = c = d = e Bài tốn 40 Tìm x, y biết: a 5x – 17y = 2xy x – y = 5; 2x + 3y = xy b x + 2y – 3z = 5xyz (x – 2y)(y + 7) – x = 192 ( xyz > 0) B Phần hình học Bài tốn 41 Tính Aˆ tam giác ABC cân A biết đường thẳng d qua đỉnh A chai tam giác ABC thành hai tam giác cân Bài tốn 42 Cho ∆ ABC vng cân A, trung tuyến AM Lấy E ∈ BC BH, CK ⊥ AE (H, K ∈ AE) Chứng minh ∆ MHK vng cân Bài tốn 43 Cho ∆ ABC có góc ABC = 50 ; góc BAC = 70 Phân giác góc ACB cắt AB M Trên MC lấy điểm N cho góc MBN = 40 Chứng minh rằng: BN = MC Bài toán 44 Cho ∆ ABC Vẽ phía ngồi tam giác tam giác vng cân A ABE ACF Vẽ AH ⊥ BC Đường thẳng AH cắt EF O Chứng minh O trung điểm EF Bài toán 45 Cho ∆ ABC Qua A vẽ đường thẳng xy // BC Từ điểm M cạnh BC vẽ đường thẳng song song với AB, AC chúng cắt xy theo thứ tự D E Chứng minh rằng: a ∆ ABC = ∆ MDE b Ba đường thẳng AM, BD, CE qua điểm Bài toán 46 Cho ∆ ABC vuông A Trên cạnh BC lấy hai điểm M N cho BM =  BA; CN = CA Tính MAN  Bài tốn 47 Cho ∆ ABC có A = 90 (AB < AC), phân giác AD Từ D vẽ đường  thẳng vng góc với BC cắt AC M Tính MBD   Bài tốn 48 ∆ ABC có B = 75 o ; C = 60 o Kéo dài BC đoạn thẳng CD cho CD =  BC Tính ADB   Bài toán 49 Cho ∆ ABC cân, A = 80 Trên cạnh BC lấy điểm I cho BAI = 50 ;  cạnh AC lấy điểm K cho ABK = 30 Hai đoạn thẳng AI BK cắt H Chứng minh ∆ HIK cân Bài toán 50 Cho ∆ ABC cân A Gọi M điểm nằm cạnh BC cho MB <  MC Lấy điểm O đoạn thẳng AM Chứng minh AOˆ B > AOC Bài toán 51 Cho xOy Trên hai cạnh Ox Oy lấy điểm A B cho OA + OB = 2a Xác định vị trí A B AB đạt Bài toán 52 Cho đoạn thẳng MN = 4cm, điểm O nằm M N Trên nửa mặt phẳng bờ MN vẽ tam giác cân đỉnh O OMA OMB cho góc đỉnh O 45 Tìm vị trí O để AB Tính độ dài nhỏ  Bài tốn 53 Cho ∆ ABC cân A có A = 100 , tia phân giác góc B cắt AC D Chứng minh BC = BD + AD Bài toán 54 Cho ∆ ABC vng có AC = 3AB Trên AC lấy điểm D E cho AD = DE = EC Chứng minh AEB + ACB = 45 Bài toán 55 Cho tam giác ABC cân A, Â = 30 , BC = 2cm Trên cạnh AC lấy điểm D cho CBD = 60 Tính độ dài AD  Bài toán 56 Cho tam giác ABC cân A, B = 75 Kẻ CH vng góc với AB Chứng minh CH = AB Bài tốn 57 Cho tam giác ABC vng cân B tồn điểm M nằm tam  giác cho MA : MB : MC = : : Tính AMB Bài tốn 58 Nếu a, b, c độ dài ba cạnh tam giác thỏa mãn điều kiện a + b2 > 5c2 c cạnh nhỏ Bài toán 59 Cho tam giác ABC cân A Trên trung tuyến BD lấy E cho cho DAE =   ABD Chứng minh rằng: DAE = ECB Bài tốn 60 Cho ∆ ABC có BAC = 40 , ABC = 60 Gọi D E điểm tương ứng AC AB cho CBD = 40 ; BCE = 70 Giả sử BD cắt CE F Chứng minh rằng: AF ⊥ BC Bài toán 61 Cho tam giác ABC, trung tuyến AM, phân giác AN Từ N vẽ đường thẳng vng góc với AN cắt AB, AM hai điểm P Q Từ Q vẽ đường thẳng vng góc với AB cắt AN O Chứng minh QO ⊥ BC Bài toán 62 Cho ∆ ABC Trung tuyến BM đường phân giác CD cắt I thỏa mãn IB = IC Từ A kẻ AH ⊥ BC Chứng minh IM = IH Bài tốn 63 Cho tam giác ABC vng cân A Gọi M trung điểm BC, G điểm cạnh AB cho GB = 2GA Các đường thẳng GM CA cắt D Đường thẳng qua M vng góc với CG E cắt AC K Gọi P giao điểm DE GK Chứng minh rằng: a DE = BC b PG = PE Bài toán 64 Cho tam giác ABC vuông cân A Giả sử D điểm nằm bên tam giác cho tam giác ABD cân ADB = 150 o Trên nửa mặt phẳng khơng chứa D có bờ đường thẳng AC lấy điểm E cho tam giác ACE Chứng minh điểm B, D, E thẳng hàng Bài toán 65 Cho tam giác ABC, đường trung tuyến BM đường phân giác CD cắt J thỏa mãn điều kiện JB = JC Từ A kẻ AH vng góc với cạnh BC Chứng minh JM = JH Bài tốn 66 Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM, AB = 6cm, AC = 8cm, AM = cm a Tính số đo góc BAC b Tính BC c Tính diện tích tam giác ABC Bài tốn 67 Cho tam giác ABC có góc BAC 105 o, đường phân giacstrong CD đường trung tuyến BM cắt K thỏa mãn KB = KC Gọi H chân đường cao hạ từ A tam giác ABC a Chứng minh HA = HB b Tính góc ABC góc ACB’ Bài tốn 68 Cho tam giác ABC cân Trên cạnh đáy BC lấy điểm D cho CD = 2BD So sánh số đo hai góc BAC CAD Bài tốn 69 Gọi P trung điểm cạnh BC tam giác ABC BE, CF hai đường cao Đường thẳng qua A, vng góc với PE, cắt đường thẳng BE N Gọi K G trung điểm BM CN Gọi H giao điểm đường thẳng KF GE CMR: AH ⊥ EF Bài tốn 70 Cho ∆ DEF vng D, có EK phân giác Kẻ KM ⊥ EF, kéo dài KM cắt đường thẳng DE I Chứng minh: a/ DK = KM ; DE = EM b/ EK ⊥ IF c/ Nếu cho M trung điểm EF Chứng minh: DK = KF ... + Bài toán 28 Chứng minh rằng: B = 2 n +1 + hợp số với số ngun dương n Bài tốn 29 Tìm số dư chia (n - 1)111 (n - 1)333 cho n Bài tốn 30 Tìm số tự nhiên n để 1n + 2n + 3n + 4n chia hết cho Bài. .. Tính vận tốc ô tô + a (a ∈ Z+) số vơ tỉ Bài tốn 37 Chứng minh Bài toán 38 Cho số thực a, b cho tập hợp { a2 + a ; b } { b2 + b ; b } Chứng minh rằng: a = b Bài toán 39 Cho năm số tự nhiên a, b,... xx−2 x + x − 20 + 12 x − Bài tốn 16 Trong số x, y, z có số dương, số âm số Hỏi số thuộc loại biết: x = y − y z Bài tốn 17 Tìm hai chữ số tận tổng sau: B = + + 33 + + + 2009 Bài toán 18 Cho 3x –