Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 36 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
36
Dung lượng
0,98 MB
Nội dung
1- BDHSG mơn Tốn 8- GV: Lương Cơng Hiển- THCSVăn Lang- Vạn Ninh- Khánh Hịa MỘT VÀI DẠNG TỐN HÌNH HỌC THƯỜNG GẶP TRONG CÁC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CÁC CẤP DẠNG I.Chứng minh đẳng thức Hình Học I.1 Dạng a = b Bài 1: Trong tam giác ABC lấy điểm P cho góc PBA, PCA Gọi D, E hình chiếu P AB, AC M trung điểm BC Chứng minh MD = ME A E D P H B K C M HD: Chứng minh Các tam giác MHD, MKE Bài 2: Cho ABCD hình thang ( AB//CD) Hai cạnh bên cắt E, hai đường chéo cắt O Chứng minh đường thẳng EO qua trung điểm hai đáy hình thang Bài Cho tam giác vuông cân ABC AB AC Trên cạnh AB lấy điểm M cho BM 2MA , nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C vẽ đường thẳng AB Đường thẳng MC cắt NA E , đường thẳng BE cắt đường thẳng AC F a/Chứng minh AF AM b/Gọi H trung điểm FC Chứng minh EH BM Bx vng góc với AB, Bx lấy điểm N cho BN Giải: K F A E M N B C a/Đường thẳng EC cắt đường thẳng BN K Ta có: AC AB gt , KB AB gt FC / / KB AF AE AF AC AF AC AB NB EN AF AC AE NB NK AB NK NK NK EN 1 2- BDHSG mơn Tốn 8- GV: Lương Công Hiển- THCSVăn Lang- Vạn Ninh- Khánh Hòa AC AM AC AB AB BK MB KN NB KN 2 AB AB KN AB KN AB (2) KN AB 2 AB AB AF AM (Đpcm) Từ (1) (2) AF AB b/Từ chứng minh suy AFB AMC ABF ACM Mà ABF AFB 900 ACM AFB 900 FC FEC 900 EH FH AC AC AC Mà FH FA AH BM EH BM dfcm 3 Bài : Cho tam giác ABC Trên tia đối tia BA, CA lấy theo thứ tự điểm D, E cho BD CE BC Gọi O giao điểm BE CD Qua O vẽ đường thẳng song song với tia phân giác góc A, đường thẳng cắt AC K Chứng minh AB CK A K B 1 C O M E D Vẽ hình bình hành ABMC AB CM 1 1 C1 CMB nên BO tia phân giác CBM 2 Tương tự CO tia phân giác BCM Do MO tia phân giác BMC Suy OM song song với tia phân giác A , suy K , O, M thẳng hàng Ta có: B1 3- BDHSG mơn Tốn 8- GV: Lương Cơng Hiển- THCSVăn Lang- Vạn Ninh- Khánh Hịa 1 BMC BAC K1 2 Nên tam giác KMC cân C CK CM Từ (1) (2) suy CK AB Ta có: M1 (2) Bài : Cho tứ giác ABCD có góc ABC, ADC vng Lấy M, N, P, Q thứ tự AB, BC, CD, DA cho MNPQ hình chữ nhật Chứng minh trung điểm AC cách MN PQ B M H E N C I A Q K F P D Gợi ý: Gọi I, E, F thứ tự trung điểm AC, MN, PQ; H K hình chiếu I MN, PQ => HE = FK; BE = DF BMN + DQP = BAC + DAC => BMN – BAC = DAC – DQP => BIE = DIF => Các tam giác IEB, IFD => EI = FI => tam giác EHI, FHI => IH = IK I.2 Dạng ab =cd Bài Cho ABC vuông A, vẽ đường cao AH Chứng minh a/AB2 = BH.BC b) AH2 = HB.HC Bài 2: Các đường phân giác đỉnh B C ABC cắt K Đường thẳng vuông góc với AK K cắt đường thẳng AB AC D E Chứng minh DE2 = BD.CE HD: Chứng minh DBK ~ EKC Bài 3: Đường thẳng qua trung điểm cạnh đối AB, CD tứ giác ABCD cắt đường thẳng AD, BC theo thứ tự I, K Chứng minh: IA KC = ID KB Giải K Gọi M, N theo thứ tự trung điểm AB, CD Ta có AM = BM; DN = CN I Vẽ AE, BF song song với CD F B AME = BMF (g.c.g) AE = BF M IA AE BF (1) = ID DN CN KB BF = Củng theo định lí Talét ta có: (2) KC CN IA KB IA KC = ID KB Từ (1) (2) suy = ID KC Theo định lí Talét ta có: A E D N C 4- BDHSG mơn Tốn 8- GV: Lương Cơng Hiển- THCSVăn Lang- Vạn Ninh- Khánh Hòa Bài 4: Cho hình thoi ABCD có B 600 Một đường thẳng qua D khơng cắt hình thoi cắt đường thẳng AB, BC E, F Gọi M giao điểm AF CE CMR: a) EAC đồng dạng với ACF b) AD2 AM AF Giải: a) Ta có EAD đồng dạng với DCF AE CD AE AC (vì AD = AC = AD CF AC CF CD ) B Xét EAC ACF có: EAC ACF 1200 AE AC ; suy ra: AC CF EAC đồng dạng với ACF (c.g.c) b) Chứng minh ACM đồng dạng với AFC AC AM AF mà AC = AD nên ta có AD2 AM AF A C M F E D I.3 Dạng ab cd = mn Bài 1: Cho tam giác ABC nhọn, vẽ đường cao BD CE cắt H Chứng minh BH.BD + CH.CE = BC2 HD: Vẽ HF BC Chứng minh BH.BD = BF BC CH.CE = CF.BC Bài 2: Cho ABC, Vẽ đường phân giác AD Chứng minh AB.AC – DB.DC = AD2 HD: Vẽ tia Cx bên tam giác cho DCx BAD ,Cx cắt AD I Bài : Cho hình bình hành ABCD ( có AC BD ), O giao điểm AC BD Gọi E , F hình chiếu B D xuống đường thẳng AC Gọi H K hình chiếu C xuống đường thẳng AB AD Chứng minh: a)Tứ giác BEDF hình bình hành ? b) CH CD CK.CB c) AB.AH AD.AK AC2 Bài giải: H C B F O E A D K Ta có : BE AC (gt); DF AC (gt) BE // DF (1) Xét BEO DFO Có: BEO DFO 900 OB = OD (t/c hình bình hành) 5- BDHSG mơn Tốn 8- GV: Lương Cơng Hiển- THCSVăn Lang- Vạn Ninh- Khánh Hòa EOB FOB (đối đỉnh) BEO DFO (cạnh huyền – góc nhọn) BE = DF (2) Từ (1) (2) Tứ giác BEDF hình bình hành (đpcm) b) Ta có: ABCD hình bình hành (gt) ABC ADC Mà ABC HBC ADC KDC 1800 HBC KDC Xét CBH CDK có: BHC DKC 900 HBC KDC (chứng minh trên) CH CK CBH CDK ( g g ) CH CD CK.CB CB CD Bài Cho ABC vuông A AC AB , đường cao AH H BC Trên tia HC lấy điểm D cho HA HD Đường vng góc với BC D cắt AC E a)Chứng minh hai tam giác BEC ADC đồng dạng Tính độ dài đoạn BE theo m AB b)Gọi M trung điểm đoạn BE Chứng minh hai tam giác BHM BEC đồng dạng Tính số đo góc AHM c)Tia AM cắt BC G Chứng minh GB.AH + GB.HC = BC.HD A E M B H G C D a)Hai tam giác ADC BEC có: CD CA (hai tam giác vuông CDE CAB đồng dạng) CE CB Do : BEC ADC Suy : BEC ADC 1350 (vì AHD vng cân H theo giả thiết) Nên AEB 450 ABE vuông cân A suy BE AB m BM BE AD b)Ta có: DoBEC ADC BC BC AC Mà AD AH (tam giác AHD vuông cân H) BM AD AH BH BH Nên ABH CBA BC AC AC AB BE C chung; 6- BDHSG mơn Tốn 8- GV: Lương Cơng Hiển- THCSVăn Lang- Vạn Ninh- Khánh Hịa Do BHM BEC (c.g.c) , suy BHM BEC 1350 AHM 450 c) ABE vuông cân A, nên tia AM tia phân giác BAC GB AB AB ED AH HD , mà ABC DEC ED / / AH GC AC AC DC HC HC GB HD GB HD GB HD Do đó: GC HC GB GC HD HC BC AH HC ĐCCM Suy : I.4 Dạng a c m b d n Bài 1: Cho D, E, F nằm cạnh BC, AC, AB tam giác ABC cho AD, BE, CF đồng qui M Chứng minh rằng: AM AE AF DM CE BF * Định hướng: Cần chuyển tỉ số vế phải mẫu Chứng minh Qua A vẽ đường thẳng song song với BC cắt BE CF I K Áp dụng định lí Talet ta có: AE AI CE BC AE AF KI AF AK CE BF BC BF BC K A E F (1) AM AI AK AI AK KI (2) Từ (1) DM BD CD BD CD BC M C B D (2) suy đpcm Bài 2:Cho tam giác ABC có BAC 1200 Các phân giác AD, BE CF a)Chứng minh 1 AD AB AC b)Tính FDE A E F C I B D K a) Từ B kẻ BK / / AC cắt AD K, ta có tam giác ABK Do đó: I AB DB DK AB AD 1 AC. AB AD AC DC DA AD AD AB AC 7- BDHSG mơn Tốn 8- GV: Lương Cơng Hiển- THCSVăn Lang- Vạn Ninh- Khánh Hịa b) Áp dụng tính chất đườn phân giác tính BD BC AB AB AC AB AC AB AC DA CA EA Suy nên DE phân giác BDA DB CB EB Chứng minh tương tự DF phân giác ADC Từ suy EDF 900 Bài Cho tam giác ABC vuông A AC AB Vẽ đường cao AH H BC Trên tia đối tia BC lấy điểm K cho KH HA Qua K kẻ Từ ( a ) suy AD đường thẳng song song với AH, cắt đường thẳng AC P a/Chứng minh : Tam giác AKC đồng dạng với tam giác BPC b/Gọi Q trung điểm BP Chứng minh tam giác BHQ đồng dạng với tam giác BPC c/Tia AQ cắt BC I Chứng minh AH BC 1 HB IB I K B H Q P PK / / AH CKP a/ Suy AKC C A CK CA CP CB (1) CAB BPC c.g.c 0 b/ AKH vuông cân H K1 45 Từ (1) K1 P1 45 BAP vuông cân A BP AB BH AB AB BC AB BH AB BH AB BC AB BC AB BC BP BH BQ BP BQ BC BP BC Chứng minh BHA BH AB BH BP BAC 8- BDHSG mơn Tốn 8- GV: Lương Cơng Hiển- THCSVăn Lang- Vạn Ninh- Khánh Hịa BH BQ ; PBC chung BHQ BPC c.g.c BP BC c/ BAP vuông cân A, AQ trung tuyến nên phân giác AI phân giác IC AC (2) ABC IB AB AC AH ABC HBA (3) AB HB BHQ BPC có: Từ (2) (3) ta có: IC AH IB BC AH BC AH 1 IB HB IB HB IB HB AH BC 1 dfcm HB IB Bài Cho hình vng ABCD có hai đường chéo AC BD cắt O Trên cạnh AB lấy M MB MA cạnh BC lấy N cho MON 900 Gọi E giao điểm AN với DC, gọi K giao điểm ON với BE a)Chứng minh MON vuông cân b)Chứng minh MN song song với BE c)Chứng minh CK vng góc với BE d)Qua K vẽ đường song song với OM cắt BC H Chứng minh: KC KN CN 1 KB KH BH Giải: M A O B N K D C E H a)Ta có : BOC 900 CON BON 900 ; MON 900 BOM BON 900 BOM CON BOC 450 Ta có BD phân giác ABC MBO CBO BOC 450 Vậy ta có : MBO NCO Tương tự ta có: NCO DCO 9- BDHSG mơn Tốn 8- GV: Lương Cơng Hiển- THCSVăn Lang- Vạn Ninh- Khánh Hịa Xét OBM OCN có OB OC; BOM CON ; MBO NCO OBM OCN OM ON Xét MON có MON 900 ; OM ON MON vuông cân b) OBM OCN MB NC mà AB BC AB MB BC NC AM BN AM BM MB NC AN BN Ta có: AB / / CD AM / / CE NE NC AM AN Vậy ta có: MN / / BE (Theo định lý Talet đảo) MB NE c)Vì MN / / BE BKN MNO 450 (đồng vị có tam giác MON vng cân) NB NO BNK ONC (vì có BNK ONK ; BKN OCN 450 ) NK NC NB NO - Xét BNO; KNC có BNO CNK ; BNO KNC NK NC NKC NBO 450 Vậy ta có: BKC BKN CKN 450 450 900 CK BE d)– Vì KH / /OM mà MK OK MK KH NKH 900 mà NKC 450 CKH 450 BKN NKC CKH 450 Xét BKC có BKN NKC KN phân giác BKC , mà KH KN KC HC KH phân giác BKC KB HB KN BN Chứng minh tương tự ta có : KH BH KC KN NC HC BN CN BH 1 Vậy ta có KB KH BH HB BH BH BH Bài 5: Cho hình vng ABCD, tia đối tia CD lấy điểm M CM CD , vẽ hình vng CMNP (P nằm B C), DP cắt BM H, MP cắt BD K a/Chứng minh: DH vng góc với BM PC PH KP BC DH MK c/Chứng minh: MP.MK DK BD DM b/Tính Q 10- BDHSG mơn Tốn 8- GV: Lương Cơng Hiển- THCSVăn Lang- Vạn Ninh- Khánh Hòa A B K H N P D C M a/Chứng minh : DH vuông góc với BM Chứng minh được: CD BC; PC CM ; DCB BCM 900 DPC BMC c.g.c BHP 900 PC DM PC SPDM b/Chứng minh được: MP BD BC DM BC SBDM 1 DB KP DB.KP S PH S PH Tương tự PBM ; PBD DH DB.MK S BDM DH DB.MK S BDM 2 S S PBM S PBD Q PDM S BDM (1) c/Chứng minh: MCP MKD g.g MP.MK MC.MD Chứng minh: DBC DKM ( g.g ) DK BD DC.DM Từ 1 & MP.MK DK BD DM MC DC MP.MK DK BD DM DẠNG II Tính số đo góc, độ dài cạnh, Tính tổng ( hiệu, tích ) đoạn tỉ số Bài 1: Cho hình chữ nhật ABCD Gọi H hình chiếu vng góc A BD; I J thứ tự trung điểm đoạn thẳng DH BC Tính số đo góc AIJ Giải: 22- BDHSG mơn Tốn 8- GV: Lương Cơng Hiển- THCSVăn Lang- Vạn Ninh- Khánh Hịa Tam giác vuông EOM tam giác vuông FON OM ON ; N1 M d) a) b) c) a) AOM NOH EM NF Từ 3 , EM NE NF FM MENF hình thoi (5) Từ (5) suy FM FN FD DN mà DN MB(cmt ) MF DF BM Gọi chu vi tam giác MCF p cạnh hình vng ABCD a p MC CF MF MC CF BM DF ( DoMF DF MB) ( MC MB) (CF FD) BC CD a a 2a Hình vng ABCD cho trước a khơng đổi p khơng đổi Bài 3: Cho hình vng ABCD có AC cắt BD O, M điểm thuộc cạnh BC (M khác B, C ) Tia AM cắt đường thẳng CD N Trên cạnh AB lấy điểm E cho BE CM Chứng minh OEM vuông cân Chứng minh : ME / / BN Từ C kẻ CH BN H BN Chứng minh ba điểm O, M , H thẳng hàng E A B Xét OEB OMC Vì ABCD hình vng nên ta có : OB OC Và B1 C1 450 O BE CM gt Suy OEM OMC (c.g.c) OE OM O1 O3 Lại có: O2 O3 BOC 900 tứ giác ABCD hình vng D M H' H C O2 O1 EOM 900 kết hợp với OE OM OEM vuông cân O b) Từ giả thiết ABCD hình vng AB CD AB / /CD AM BM (định lý Ta-let) * AB / /CD AB / /CN MN MC Mà BE CM gt AB CD AE BM thay vào * AM AE Ta có: ME / / BN (theo Định lý Talet đảo) MN EB c) Gọi H ' giao điểm OM BN Từ ME / / BN OME MH ' B Mà OME 450 OEM vng cân O MH ' B 450 C1 N 23- BDHSG mơn Tốn 8- GV: Lương Cơng Hiển- THCSVăn Lang- Vạn Ninh- Khánh Hòa OMC BMH ' g.g OM MC , kết hợp OMB CMH ' (hai góc đối đỉnh) BM MH OMB CMH '(c.g.c) OBM MH 'C 450 Vậy BH 'C BH 'M MH 'C 90 CH ' BN Mà CH BN H BN H H ' hay điểm O, M , H thẳng hàng (đpcm) Bài Cho hình chữ nhật ABCD Trên đường chéo BD lấy điểm P, gọi M điểm đối xứng C qua P a) Tứ giác AMDB hình ? b) Gọi E F hình chiếu điểm M lên AB, AD Chứng minh EF / / AC ba điểm E, F , P thẳng hàng c) Chứng minh tỉ số cạnh hình chữ nhật MEAF khơng phụ thuộc vào vị trí điểm P d) Giả sử CP BD CP 2,4cm, PD Tính cạnh hình chữ nhật PB 16 ABCD a) Gọi O giao điểm đường chéo hình chữ nhật ABCD PO đường trung bình tam giác CAM AM / / PO tứ giác AMDB hình C D P M I E F B A thang b) Do AM / / BD nên OBA MAE (đồng vị ) Tam giác AOB cân O nên OBA OAB Gọi I giao điểm đường chéo hình chữ nhật AEMF tam giác AIE cân I nên IAE IEA (1) Từ chứng minh : FEA OAB , EF / / AC Mặt khác IP đường trung bình tam giác MAC nên IP / / AC Từ (1) (2) suy ba điểm E,F,P thẳng hàng c) MAF d) Nếu DBA g g nên MF AD không đổi FA AB PD PD PB k PD 9k , PB 16k PB 16 16 (2) 24- BDHSG mơn Tốn 8- GV: Lương Cơng Hiển- THCSVăn Lang- Vạn Ninh- Khánh Hịa CP PB PD CP Do đó: CP2 PB.PD hay 2,4 9.16k k 0,2 PD 9k 1,8cm Nếu CP BD CBD DCP( g.g ) PB 16k 3,2cm BD 5cm Chứng minh BC BP.BD 16 Do BC 4cm; CD 3cm Bài 5:Cho điểm O nằm tam giác ABC, tia AO, BO, Co cắt cạnh tam giác ABC theo thứ tự A’, B’, C’ Chứng minh rằng: OA' OB' OC' OA OB OC b) 1 2 AA' BB' CC' AA' BB' CC' OA OB OC c) M = Tìm vị trí O để tổng M có giá trị nhỏ OA' OB' OC' OA OB OC d) N = Tìm vị trí O để tích N có giá trị A OA' OB' OC' a) nhỏ Giải Gọi SABC = S, S1 = SBOC , S2 = SCOA , S3 = SAOB Ta có: B' S S S S OA C' = = (1) OA' SOA'C SOA'B S1 O SOA'B SOA'C SOA'B S1 OA' SOA'C (2) = = AA' SAA'C SAA'B SAA'C SAA'B S S S OA B A' Từ (1) (2) suy AA' S S S1 S3 OC S S S OB' OC' OB Tương tự ta có ; ; ; OB' S2 OC' S3 BB' S CC' S OA' OB' OC' S1 S2 S3 S a) 1 AA' BB' CC' S S S S OA OB OC S2 S3 S1 S3 S1 S2 2S b) 2 AA' BB' CC' S S S S OA OB OC S2 S3 S1 S3 S1 S2 S1 S2 S3 S2 S1 S3 c) M = OA' OB' OC' S1 S2 S3 S2 S1 S2 S3 S3 S1 S1 S2 S3 S2 S1 S3 222 S2 S1 S2 S3 S3 S1 Đẳng thức xẩy S1 = S2 = S3 O trọng tâm tam giác ABC S S S S S S S S S S S S d) N = 3 S1 S2 S3 S1.S2 S3 Aùp dụng Bđt Cô si ta có C 25- BDHSG mơn Tốn 8- GV: Lương Cơng Hiển- THCSVăn Lang- Vạn Ninh- Khánh Hịa S2 S3 S1 S3 S1 S2 N = S1.S2 S3 2 2 4S1S2 4S2S3 4S1S3 S1.S2 S3 64 N Đẳng thức xẩy S1 = S2 = S3 O trọng tâm tam giác ABC Bài 6:Cho ABC cân A, có BC = 2a, M trung điểm BC, lấy D, E thuộc AB, AC cho DME = B A a) Chứng minh tích BD CE khơng đổi b)Chứng minh DM tia phân giác BDE c) Tính chu vi AED ABC tam giác Giải a) Ta có DMC = DME + CME = B + BDM , mà DME = B (gt) nên CME = BDM , kết hợp với B = C ( ABC cân A) I suy BDM CME (g.g) BD BM D = BD CE = BM CM = a không đổi CM CE K DM BD DM BD b) BDM CME = = ME CM BM DBM (c.g.c) MDE = BMD hay E H ME B (do BM = CM) DME DM tia phân giác BDE c) chứng minh tương tự ta có EM tia phân giác DEC kẻ MH CE ,MI DE, MK DB MH = MI = MK DKM = DIM DK =DI EIM = EHM EI = EH Chu vi AED PAED = AD + DE + EA = AK +AH = 2AH (Vì AH = AK) ABC tam giác nên suy CME củng tam giác CH = AH = 1,5a PAED = AH = 1,5 a = 3a M C MC a 2 Bài 7: Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AA ', BB ', CC ', H trực tâm a) Tính tổng HA ' HB ' HC ' AA ' BB ' CC ' b) Gọi AI phân giác tam giác ABC; IM , IN thứ tự phân giác góc AIC góc AIB Chứng minh rằng: AN.BI CM BN IC.AM c) Chứng minh rằng: x AB BC CA AA ' BB ' CC ' 2 4 A B' C' M N a) S HAB S ABC HA '.BC HA ' AA '.BC AA ' C B A' I D 26- BDHSG mơn Tốn 8- GV: Lương Cơng Hiển- THCSVăn Lang- Vạn Ninh- Khánh Hòa S HAB HC ' S HAC HB ' ; S ABC CC ' S ABC BB ' HA ' HB ' HC ' S HBC S HAB S HAC 1 AA ' BB ' CC ' S ABC S ABC S ABC b) Áp dụng tính chất phân giác vào tam giác ABC, ABI , AIC : BI AB AN AI CM IC ; ; IC AC NB BI MA AI BI AN CM AB AI IC AB IC 1 IC NB MA AC BI AI AC BI BI AN CM BN IC AM c)Vẽ Cx CC ' Gọi D điểm đối xứng A qua Cx Chứng minh góc BAD vng, CD AC, AD 2.CC ' Xét điểm B, C , D ta có : BD BC CD BAD vuông A nên : AB2 AD2 BD2 AB AD BC CD Tương tự: AB 4CC '2 BC AC 4CC '2 BC AC AB 2 Tương tự: AA '2 AB AC BC 2 BB '2 AB BC AC 2 Chứng minh được: AA '2 BB '2 CC '2 AB BC AC AB BC AC 2 4 AA '2 BB '2 CC '2 Đẳng thức xảy BC AC, AC AB, AB BC AB AC BC ABC Bài 8: Cho hình vng ABCD , gọi M điểm cạnh BC Trong nửa mặt phẳng bờ AB chứa C, dựng hình vng AMHN Qua M dựng đường thẳng d song song với AB, d cắt AH E.Đường thẳng AH cắt DC F a) Chứng minh BM ND b) Tứ giác EMFN hình c) Chứng minh chu vi tam giác MFC khơng đổi M thay đổi BC A B d E M N O D C F H 27- BDHSG mơn Tốn 8- GV: Lương Cơng Hiển- THCSVăn Lang- Vạn Ninh- Khánh Hịa a) Do ABCD hình vng nên A1 MAD 900 (1) mà AMHN hình vng A2 MAD 900 (2) Từ 1 ; suy A1 A2 Do đó, AND AMB c.g.c B D1 900 BM ND b) Do ABCD hình vuông D2 900 NDC D1 D2 900 900 1800 N , D, C thẳng hàng Gọi O giao điểm hai đường chéo AH , MN hình vng AMHN O tâm đối xứng hình vng AMHN AH đường trung trực đoạn MN, mà E, F AH EN EM FM FN (3) EOM FON OM ON ; N1 M O1 O2 EM FN (4) Từ 3 ; EM NE NF FM MEMF hình thoi (5) c) Từ (5) suy FM FN FD DN Mà DN MB MF DF BM Gọi chu vi tam giác MCF p cạnh hình vng a Ta có: P MC CF MF MC CF BM DF (Vì MF DF MB) MC MB CF FD BC CD a a 2a Do đó, chu vi tam giác MCF không đổi M thay đổi BC Bài 9: Cho tam giác ABC vuông A AB AC có AD tia phân giác BAC Gọi M N hình chiếu D AB AC , E giao điểm BN DM , F giao điểm CM DN 28- BDHSG mơn Tốn 8- GV: Lương Cơng Hiển- THCSVăn Lang- Vạn Ninh- Khánh Hịa a)Chứng minh tứ giác AMDN hình vuông EF / / BC b)Gọi H giao điểm BN CM Chứng minh ANB đồng dạng với NFA H trực tâm AEF c)Gọi giao điểm AH DM K, giao điểm AH BC O, giao điểm BK AD I Chứng minh : BI AO DM 9 KI KO KM A a/*Chứng minh tứ giác AMDN hình vng +) Chứng minh N AMD 900 ; AND 900 ; MAN 900 M Suy tứ giác AMDN hình chữ nhật +)Hình chữ nhật AMDN có AD phân giác MAN nên tứ giác AMDN hình vng *Chứng minh EF // BC H E B K LF OD FM DB (1) FC DC DB MB Chứng minh: (2) DC MA MB MB Chứng minh AM DN (3) MA DN MB EM Chứng minh (4) DN ED EM FM Từ 1 , , 3 , suy EF / / BC ED FC b/Chứng minh ANB NFA AN DN (5) Chứng minh AN DN suy AB AB DN CN Chứng minh (6) AB CA CN FN (7) Chứng minh CA AM FN FN (8) Chứng minh AM AN Suy AM AN AN FN ANB NFA c.g.c Từ (5) (6) (7) (8) suy AB AN +) Chứng minh : *chứng minh H trực tâm tam giác AEF C 29- BDHSG mơn Tốn 8- GV: Lương Cơng Hiển- THCSVăn Lang- Vạn Ninh- Khánh Hòa NFA nên NBA FAN Mà BAF FAN 900 NBA BAF 900 Suy EH AF , Tương tự: FH AE , suy H trực tâm AEF 1) Đặt S AKD a, SBKD b, S AKB c Khi đó: S ABD S ABD S ABD a b c a b c a b c S AKD S BDK S AKB a b c Vì ANB b a a c b c 3 a b c a c b b a Theo định lý AM-GM ta có: a b a c b c Tương tự : ; 2 c a c b BI AO DM Suy 9 KI KO KM Dấu " " xảy ABD tam giác đều, suy trái với giả thiết Bài 10: Cho tam giác ABC vuông cân A Trên cạnh AC lấy điểm M bất kỳ, cho M khác A C Trên cạnh AB lấy điểm E cho AE CM a) Gọi O trung điểm cạnh BC Chứng minh OEM vuông cân b) Đường thẳng qua A song song với ME , cắt tia BM N Chứng minh : CN AC c) Gọi H giao điểm OM AN Chứng minh tích AH AN khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M cạnh AC a Vì tam giác ABC vuông cân A O trung điểm cạnh BC nên AO đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC Suy OA OC OB H A N E OAB ACO 45 Xét OEA OMC có: OA OC; OAB ACO 450 ; AE CM gt M O B OEA OMC c.g.c OE OM & EOA MOC (1) Vì AO đường trung tuyến tam giác cân ABC nên AO đường cao AO BC AOM MOC AOC 900 (2) Từ (1) (2) suy : AOM AOE EOM 900 C 30- BDHSG mơn Tốn 8- GV: Lương Công Hiển- THCSVăn Lang- Vạn Ninh- Khánh Hịa Vì OE OM & EOM 900 nên OEM vuông cân O b BM BE (3) MN EA Vì tam giác ABC cân A nên AB AC, mà AE CM nên BE AM Do đó, (3) ta thay BE AM , thay EA MC ta được: BM AM (4) AB / /CN (Theo định lý Ta let đảo) MN MC Mà AB AC CN AC Vì ME / / AN nên theo định lý Ta – let ta có: c Từ ME / / AN OME OHA (cặp góc đồng vị) Mà OME 450 (vì OEM vng cân O) suy OHA 450 ACB Hay MHA ACB Kết hợp với OMC AHM (đối đỉnh) (1) OM MC , kết hợp OMA CMH (hai góc đối đỉnh) AM MH OMA CMH (c.g.c) OAM MHC (2) Từ (1) (2) suy AHC MHA MHC 900 , suy CH AN Xét tam giác AHC tam giác CAN đồng dạng theo trường hợp góc góc AH AC AH AN AC.HC không đổi HC AN Bài 11: Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AD, BE, CF cắt H a) Tính tổng HD HE HF AD BE CF b) Chứng minh : BH BE CH CF BC c) Chứng minh: H cách ba cạnh tam giác DEF A d) Trên đoạn HB, HC lấy E điểm M , N tùy ý cho F HM CN Chứng minh đường H trung trực đoạn MN qua điểm cố định N M B C D O 31- BDHSG mơn Tốn 8- GV: Lương Cơng Hiển- THCSVăn Lang- Vạn Ninh- Khánh Hòa a) Trước hết chứng minh Tương tự ta có: Nên HD S HBC AD S ABC HE S HCA HF S HAB ; BE S ABC CF S ABC HD HE HF HD HE HF S HBC S HCA S HAB 1 1 AD BE CF AD BE CF S ABC b) Trước hết chứng minh BDH Và CDH BEC BH BE BD.BC CFB CH CF CD.CB BH BE CH CF BC. BD CD BC (dfcm) c) Chứng minh AEF Và CDE ABC AEF ABC CAB CED CBA AEF CED Mà EB AC nên EB phân giác góc DEF Tương tự : DA, FC phân giác góc EDF DFE Vậy H giao điểm đường phân giác tam giác DEF Nên H cách ba cạnh tam giác DEF (đpcm) d) Gọi O giao điểm đường trung trực hai đoạn MN HC , ta có OMH ONC c.c.c OHM OCN (1) Mặt khác ta có OCH cân O nên OHC OCH (2) Từ 1 ta có: OHC OCH HO phân giác góc BHC Vậy O giao điểm trung trực đoạn HC phân giác BHC nên O điểm cố định Hay trung trực đoạn MN qua điểm cố định O Bài 12: Cho hình vng ABCD, cạnh AB lấy điểm E cạnh AD lấy điểm F cho AE AF Vẽ AH vng góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC BC hai điểm M, N a)Chứng minh tứ giác AEMD hình chữ nhật b)Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH Chứng minh AC 2EF 32- BDHSG mơn Tốn 8- GV: Lương Cơng Hiển- THCSVăn Lang- Vạn Ninh- Khánh Hòa c)Chứng minh : 1 2 AD AM AN E A B H a)Ta có: DAM ABF (cùng phụ với F BAH ) AB AD ( gt ); BAF ADM 90D M (ABCD hình vng) C ADM BAF g.c.g DM AF , mà AF AE ( gt ) nên AE DM Lại có: AE / / DM (vì AB / / DC ) N Suy tứ giác AEMD hình bình hành Mặt khác DAE 900 ( gt ) Vậy tứ giác AEMD hình chữ nhật b)Ta có ABH FAH ( g.g ) AB BH BC BH hay AB BC; AE AF AF AH AE AH Lại có: HAB HBC (cùng phụ với ABH ) CBH AEH (c.g.c) 2 S SCBH BC BC CBH 4( gt ) , mà BC AE S EAH AE S EAH AE BC AE E trung điểm AB, F trung điểm AD Do đó: BD 2EF hay AC 2EF (dfcm) c)Do AD / /CN ( gt ) Áp dụng hệ định lý Ta let ta có: AD AM AD CN CN MN AM MN Lại có: MC / / AB gt Áp dụng hệ định lý Ta let ta có: MN MC AB MC AD MC hay AN AB AN MN AN MN 2 MN AD AD CN CM CN CM 1 MN MN AM AN MN MN ( Pytago) 2 2 33- BDHSG mơn Tốn 8- GV: Lương Công Hiển- THCSVăn Lang- Vạn Ninh- Khánh Hòa 2 1 AD AD 1 AM AN AD AM AN (dfcm) Bài 13: Cho O trung điểm đoạn AB Trên nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng AB vẽ tia Ax, By vuông góc với AB Trên tia Ax lấy điểm C (khác A), qua O kẻ đường thẳng vng góc với OC cắt tia By D a)Chứng minh AB AC.BD b)Kẻ OM vng góc CD M Chứng minh AC CM Từ M kẻ MH vng góc AB I Chứng minh BC qua trung điểm MH a)Chứng minh OAC y x I D M C DBO g.g OA AC OA.OB AC.BD DB OB AB AB AC.BD AB AC.BD(dfcm) A 2 K H O OC AC OD OB OC AC OC OD Mà OA OB OD OA AC OA Chứng minh OCD ACO c.g.c OCD ACO Chứng minh OAC OMC ch gn AC MC (dfcm) c)Ta có: OAC OMC OA OM ; CA CM OC trung trực AM OC AM Mặt khác : OA OM OB AMB vuông M OC / / BM (Vì vng góc với AM ) hay OC / / BI b)Theo câu a ta có OAC DBO g.g Chứng minh C trung điểm AI Do MH / / AI theo hệ Ta let ta có: MK BK KH IC BC AC Mà IC AC MK HK BC qua trung điểm MH (đpcm) Bài 14: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Các đường cao AD, BE, CF cắt H a)Chứng minh rằng: BD.DC DH DA b)Chứng minh rằng: HD HE HF AD BE CF B 34- BDHSG mơn Tốn 8- GV: Lương Cơng Hiển- THCSVăn Lang- Vạn Ninh- Khánh Hòa c)Chứng minh rằng: H giao điểm đường phân giác tam giác DEF d)Gọi M , N , P, Q, I , K trung điểm đoạn thẳng BC, CA, AB , EF , FD, DE Chứng minh ba đường thẳng MQ, NI , PK đồng quy a) Chỉ BDH ADC ( g.g ) BD DH BD.DC DH DA AD DC S HBC HD.BC HD b) Ta có: S ABC AD.BC AD HE S HAC HF S HAB Tương tự ; BE S ABC CF S ABC A P c) Chứng minh AEF F N H K Do đó: HD HE HF S HBC S HAC S HAB S ABC 1 AD BE CF S ABC S ABC E Q I B D M ABC c.g.c AEF ABC Tương tự: DEC ABC Do đó: AEF DEC Mà AEF HEF DEC HED 900 nên HEF HED EH phân giác ngồi góc EFD Do H giao đường phân giác tam giác DEF d) Do BEC vuông E, M trung điểm BC nên EM BC (trung tuyến ứng BC Do đó: EMF cân M, mà Q trung điểm EF nên MQ EF MQ đường trung trực EF hay MQ đường trung trực tam giác DEF Hoàn toàn tương tự, chứng minh NI PK đường trung trực tam giác DEF nên ba đường thẳng MQ, NI , PK đồng quy điểm với cạnh huyền), Tương tự: FM Bài 15: Cho hình thang ABCD (đáy lớn CD) Gọi O giao điểm AC BD; đường kẻ từ A B song song với BC AD cắt đường chéo BD AC tương ứng F E Chứng minh: a) EF / / AB b) AB EF CD C 35- BDHSG mơn Tốn 8- GV: Lương Cơng Hiển- THCSVăn Lang- Vạn Ninh- Khánh Hòa c)Gọi S1 , S2 , S3 S theo thứ tự diện tích tam giác OAB, OCD, OAD OBC Chứng minh S1.S2 S3.S4 A a) Do AE / / BC E B O K H F OE OA OB OC BF / / AD OF OB OA OD D B1 Mặt khác AB / /CD ta lại có: A1 OA OB OE OF nên EF / / AB OC OD OB OA b) ABCA1 ABB1D hình bình hành AC DB1 AB EF AB Vì EF / / AB / /CD nên AB EF CD AB DC 1 1 c) Ta có: S1 AH OB; S2 CK OD; S3 AH OD; S4 OK OD 2 2 1 AH OB AH S AH OD AH S 12 ; 32 S4 CK OB CK S2 CK OD CK 2 S S S1.S2 S3 S4 S4 S2 Bài 16 Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AA ', BB ', CC ' H trực tâm C a) Chứng minh BC '.BA CB '.CA BC b) Chứng minh rằng: HB.HC HA.HB HC.HA 1 AB AC BC AC BC AB c) Gọi D trung điểm BC Qua H kẻ đường thẳng vng góc với DH cắt AB, AC M N A Chứng minh H trung điểm MN C' H B' N M B A' D C 36- BDHSG mơn Tốn 8- GV: Lương Cơng Hiển- THCSVăn Lang- Vạn Ninh- Khánh Hịa BH BC ' BH BB ' BC '.BA (1) AB BB ' BH BA ' Chứng minh BHA ' BCB ' BH BB ' BC.BA ' (2) BC BB ' Từ (1) (2) BC '.BA BA'.BC Tương tự : CB '.CA CA '.BC BC '.BA CB '.CA BA '.BC CA '.BC BA ' A ' C .BC BC a)Chứng minh BHC ' b)Có BH BC ' BH CH BC '.CH S BHC AB BB ' AB AC BB ' AC S ABC Tương tự: BAB ' AH BH S AHB AH CH S AHC ; CB.CA S ABC CB AB S ABC HB.HC HA.HB HC.HA S ABC 1 AB AC AC.BC BC AB S ABC HM AH (3) HD CD AH HN (4) Chứng minh AHN BDH g.g BD HD ( gt ) (5) Mà CD BD c)Chứng minh AHM CDH g.g Từ 3 , , 5 HM HN HM HN H trung điểm MN HD HD ... S BOC S AOB S DOC S AOD Thay số để có 20 082 .20092 S AOD S AOD 20 08. 2009 Do : S ABCD 20 082 2.20 08. 2009 20092 20 08 2009 40172 (dvdt ) Bài 2: Cho hình vng ABCD... 2 BD AE C 18- BDHSG mơn Tốn 8- GV: Lương Cơng Hiển- THCSVăn Lang- Vạn Ninh- Khánh Hịa 1 AB AB AB 1 AB AB AB 2 AD AD AD 2 2 8 AB AB AB không... điểm CM DN 28- BDHSG môn Tốn 8- GV: Lương Cơng Hiển- THCSVăn Lang- Vạn Ninh- Khánh Hịa a)Chứng minh tứ giác AMDN hình vng EF / / BC b)Gọi H giao điểm BN CM Chứng minh ANB đồng dạng với NFA