Sở Giáo dục và Đào tạo Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh H TNH Giải toán trên máy tính cầm tay Đề thi chính thức Khối 9 THCS - Năm học 2010-2011 Thời gian lm bi: 90 phút - Ngày thi: 06/01/2011 Chú ý: - Đề thi gồm 4 trang - Thí sinh làm bài trực tiếp vào bản đề thi này. Điểm toàn bài thi Các giám khảo (Họ, tên và chữ ký) Số phách (Do Chủ tịch Hội đồng thi ghi) Bằng số Bằng chữ GK1 GK2 Bài 1: Tớnh giỏ tr ca biu thc sau(ly kt qu vi 5 ch s phn thp phõn a) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3sin15 25' 4cos12 12'.sin 42 20' os36 15' 2cos15 25' 3cos65 13'.sin15 12' os31 33'.sin18 20' c A c + + = + + b) 1 2 1 : 1 1 1 x x B x x x x x x = + ữ ữ ữ ữ + + vi x = 143,08 a) Kt qu A b) S lc cỏch gii: Rỳt gn A ri tớnh hoc tớnh trc tip Kt qu: x 14,23529 Bài 2: Tỡm cỏc ch s a, b, c, d,e,f trong mi phộp tớnh sau. Bit a, b hn kộm nhau 1 n v a) 5. 2712960ab cdef = b) 0 . 600400a b cdef = c) 5 . 761436ab c bac = a) 7 3 5. 2 .3 .5.157 785.3456ab cdef = = suy ra a = 7; b = 8; c = 3; d = 4;e = 5; f = 6; b) 4 2 0 . 2 .5 .19.79 304.1975a b cdef = = suy ra a = 3; b = 4; c = 1; d = 9; e = 7; f = 5; c) 2 2 5 . 2 .3 .13.1627 3254.234ab c bac = = suy ra a = 3; b = 2; c = 4 Bài 3: a) Trong mt phng ta Oxy cho ng thng d: y = 3 1 3 2 2 x + + . Tớnh gúc to bi d v trc Ox (kt qu ly n giõy) MTCT9 - Trang 1 B 14,23529 A 1,67744 b) Giải các phương trình: 2 3 1 6 3 7 15 11 3 5 3 2 4 3 2 3 5 x x + − − − − − = ÷ ÷ − + − − (kết quả lấy 5 chữ số ở phần thập phân) c) Cho hàm số y = f(x), biết (1) 0,3579 ( ) ( 1) 1 ( ) f f n f n nf n = + = + với mọi * n N∈ . Tính 1 (2011)f a) Ta có: 1 0 3 1 3 1 tan 34 56'52" 2 2 tg α α + + = ⇒ = ≈ b) Từ giả thiết ta biến đổi 2 3 1 6 1 6 3 7 15 11 3 5 3 2 3 2 4 3 2 3 5 x + − − − − − + = ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ − + + − − Lưu A = 2 3 1 6 3 5 3 2 + − − ÷ ÷ − + ; B = 1 6 3 7 3 2 4 3 − − ÷ ÷ ÷ ÷ + − ; C = 15 11 2 3 5 − − Ta suy ra: Ax + B = C => x = 1,4492 C B A − ≈ − c) Đặt f(1) = a; bằng quy nạp ta tính được: (2) 1.2 1 1. 1 . 2 (2) 1 (3) 2.3 1 2. (2) 1 3 . 1 2. 1 . 1 2 (3) 1 3 (4) 3.4 1 3. (3) 1 6 . 1 3. 1 . 1 3 2 ( 1) .( 1) 1 . 2 a a f a a a f a a a f a f a a a a f a a a f a f a a a a f n n n a = = + + + = = = = + + + + + + = = = = + + + + + + = + + L Vậy 2010.2011. 1 1 2 (2011) a f a + = thay số ta được 1 (2011)f ≈ 2 021 057,794 Bài 4: Cho đa thức P(x) biết: P(x) chia cho x – 1 dư 5; x -2 dư 7; x – 3 dư 10; x + 2 dư - 4; Tìm dư của đa thức P(x) cho (x -1)(x – 2)(x – 3)((x + 2) Theo bài ra ta có: P(1) =5; P(2) = 7; P(3) =10; P(-2) = - 4 Suy ra P(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3) (x + 2) .Q(x) + ax 3 + bx 2 +cx + d. Theo bài ra ta có hệ MTCT9 - Trang 2 Ta có hệ: 3 0,15 20 5 2 7 3 2 0,4 8 4 2 7 5 26 8 2 5 27 9 3 10 43 2,15 3 3 20 8 4 2 4 31 3,1 10 a a b c d a b c b a b c d a b c a b c d c a b c a b c d d = = + + + = − + + = = = − + + + = ⇒ + + = ⇒ + + + = = = − + − = − − + − + = − = = Vậy đa thức dư: R(x) =0,15x 3 -0,4x 2 + 2,15x + 3,1 Bài 5: 2 4 28 27 2 27 24 1 6 3 2 x x x+ + = + + (1) a) Viết một quy trình ấn phím giải phương trình (1) và lấy kết quả chính xác đến 0,0001 Viết lên màn hình biểu thức: 2 4 28 27 2 27 24 1 6 3 2 x x x+ + = + + (trên máy 570 ES), X SHIFT SOLVE = = Kết quả x 0,2222≈ b) Chứng minh nghiệm vừa tìm được là nghiệm duy nhất của phương trình trên. Đặt P(x) = 2 4 28 27 2 27 24 1 6 3 2 x x x+ + − − + (trên máy 570 ES), X Xét x > 0,2222: Gán X = 0,2222 Sau đó thực hiện viết lên màn hình biểu thức: X =X + 0,00001: A = 2 4 28 27 2 27 24 1 6 3 2 x x x+ + − − + = = Sau đó == liên tục: Kết quả A > 0 Tương tự xét x < 0,2222 Gán X = 0,2222 Sau đó thực hiện viết lên màn hình biểu thức: X =X - 0,00001: A = 2 4 28 27 2 27 24 1 6 3 2 x x x+ + − − + = = Sau đó == liên tục: Kết quả A < 0 Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất trên. Bài 6: Cho 8 đường tròn có cùng bán kính r đôi một tiếp xúc nhau và cùng tiếp xúc ngoài với đường đường tròn lớn bán kính R.(Lấy kết quả 5 chữ số thập phân) a) Tính r theo R b) Tính r biết R = 2010 cm. a) Gọi O là tâm đường tròn lớn bán kính R. O 1; O 2; là tâm hai đường tròn liên tiếp tiếp xúc nhau. Gọi I là tiếp điểm của hai đường tròn O 1; O 2 Theo bài ra ta có: góc 1 2 ˆ O OO = 0 45 tam giác OO 1 O 2 cân tại O và IO MTCT9 - Trang 3 O O 1 O 2 I Vuông góc với O 1 O 2 và OO 2 = OO 1 = r + R Ta có góc O 1 OI = 22 0 30’. Ta có sin 22 0 30’= r R r+ .từ đây ta suy ra 0 0 .sin 22 30' 1 sin 22 30' R r = − b) Thay số: ta được 1246,6478r cm≈ Bài 7: Một hình tròn nội tiếp một hình vuông có cạnh a = 2,2011cm, sau đó nội tiếp trong đường tròn một hình vuông và quá trình đó cứ tiếp diễn như thế. Gọi S n là tổng của n hình tròn đầu tiên nội tiếp các hình vuông. Tính S 10 (lấy kết quả với 5 chữ số thập phân) Sơ lược cách giải: Sau mỗi lần thực hiện thì bán kính đường tròn thứ n+1 giảm đi 1 2 so với bán kính đường tròn thứ n. Do đó diện tích hình tròn thứ n + 1 giảm đi 1 2 so với diện tích hình tròn thứ n Vậy S 10 = 2 2 2 2 2 2 3 4 11 11 1 1 7,60214 2 2 2 2 2 2 a a a a a π π π π π + + + + = − ≈ ÷ L cm 2 Bài 8: a) Tính tổng các ước dương lẻ của số A = 8863701824 b) Tìm các số có dạng aabb sao cho ( 1)( 1) ( 1)( 1)aabb a a b b= + + × − − . a) Sơ lược cách giải: Ta phân tích 6 2 2 .101.1171A = Vậy tổng các dương lẻ của A bằng: ( ) ( ) 2 1 101 1 1171 1171 139 986 126+ + + = b) Từ giả thiết ta suy ra: 10 11 100 11( 1)( 1) 111 11 b a b a b a b − + = + − ⇒ = − với b=1, 2, …, 9 Lập quy trình như sau: ALPHA B ALPHA = ALPHA B + 1 ALPHA : ALPHA A ALPHA = (10 ALPHA B – 11) ÷ (111 – 11 ALPHA B) = = ấn = = cho đến khi B = 10 thì dừng lại ta được kết quả A = 3 ; B = 8 Thử lại ta thấy đúng Vậy số cần tìm aabb = 3388 = 44. 77. MTCT9 - Trang 4 . kộm nhau 1 n v a) 5. 2712960ab cdef = b) 0 . 600400a b cdef = c) 5 . 761436ab c bac = a) 7 3 5. 2 .3 .5.157 785.3456ab cdef = = suy ra a = 7; b = 8; c =. trên. Bài 6: Cho 8 đường tròn có cùng bán kính r đôi một tiếp xúc nhau và cùng tiếp xúc ngoài với đường đường tròn lớn bán kính R.(Lấy kết quả 5 chữ số thập