Tìm m để trên đường thẳng y = m có đúng 4 điểm sao cho từ mỗi điểm đó kẻ được đúng 2 tiếp tuyến đến C và mỗi cặp tiếp tuyến đó tạo thành một góc 450.. ðề thi HSG môn Toán..[r]
(1)Nguyễn Văn Xá 159 SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HƯNG YÊN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH HƯNG YÊN NĂM HỌC 2008 – 2009 MÔN TOÁN – Lớp 12 Thời gian 180 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1: (3,0 điểm) a) Giải bất phương trình: ( x − 3) log ( x − ) < ( x − 3) log ( x + 11) + 2 2009 x + = cos y + cos z b) Giải hệ phương trình: 2009 y + = cos z + cos x 2009 z + = cos x + cos y Câu 2: (2,5 điểm) a) Tìm tất các giá trị m để phương trình sau có nghiệm: 4cos x + − 4cos x − = m , với m là tham số b) Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý thỏa mãn điều kiện a + b + c = Tìm giá ab bc ca m trị lớn biểu thức: M = + + 2c + ab 2a + bc 2b + ca Câu 3: (3,5 điểm) a) Trong không gian Oxyz tìm phương trình mặt phẳng (R) qua hai điể M(-4; -9; 12), A(2; 0; 0) và cắt các trục Oy, Oz hai điểm B, C cho OB – = OC (B, C không trùng với gốc tọa độ O) b) Giả sử tồn hình nón ( ) thỏa mãn các điều kiện sau: Thiết diện qua trục là tam giác cạnh a Hình cầu S1 nội tiếp hình nón có bán kính r1 Hình cầu S2 nằm hình nón, tiếp xúc với tất các đường sinh và tiếp xúc với hình cầu S1; hình cầu S3 nằm trong hình nón, tiếp xúc với tất các đường sinh và tiếp xúc với hình cầu S2; … hình cầu S2009 nằm hình nón, tiếp xúc với tất các đường sinh và tiếp xúc với hình cầu S2008 Gọi Vk là thể tích hình cầu Sk ( k ∈ N ,1 ≤ k ≤ 2009 ) và V là thể tích hình nón i) Tính r1 theo a và tỷ số ii) Tính ∑V V1 V 2009 k theo a Câu 4: (1,0 điểm) Trong bảng hình vuông gồm 10 x 10 ô vuông (10 hàng, 10 cột), người ta viết vào các ô vụông các số tự nhiên từ đến 100 theo cách sau: hàng thứ nhất, từ trái sang phải, viết các số từ đến 10; hàng thứ hai, từ trái sang phải, viết các số từ 11 đến 20; hết hàng thứ 10 Sau đó cắt bảng hình vuông thành hình chữ nhật cỡ x x Tính tích sở hai số hình chữ nhật cộng 50 tích lại Cần phải cắt bảng hình vuông nào để tổng tìm nhỏ nhất? k =1 ðề thi HSG môn Toán Trang 138 Lop10.com (2) Nguyễn Văn Xá 160 SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HƯNG YÊN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH HƯNG YÊN NĂM HỌC 2007 – 2008 MÔN TOÁN – Lớp 12 Thời gian 180 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1: (2,5 điểm) e x − e y = x − y a/ Giải hệ phương trình: x log + log y = 10 b/ Hãy xác định số nghiệm phương trình (ẩn x) sau: x − 2008 + x − 2007 = x − 2006 Câu 2: (3,5 điểm) a/ Cho tam giác ABC có A(2; -1) và các đường phân giác các góc B,C có phương trình: x – 2y + = 0; x + y + = Lập phương trình đường thẳng chứa BC b/ Trong không gian Oxyz cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có A(0;0;0), B(1;0;0), D(0;1;0), A’(0;0;1) Giải sử M, N là hai điểm di động trên đoạn thẳng AB’ và BD cho AM = BN = a < a < ( ) +) Tính toạ độ vectơ MN theo a +) Tìm a cho đường thẳng chứa MN là đường vuông góc chung hai đường thẳng AB’ và BD Câu 3: (2,0 điểm) a/ Tìm nghiệm nguyên phương trình: x + y + 10 x + y = b/ Các số thực dương x, y, z thoả mãn điều kiện: x + y + z = Chứng minh rằng: xy yz zx + + ≥3 z x y Câu 4: (2,0 điểm) a/ Cho phương trình: x n + x n+1 + + x − = 0, ( x ∈ N * ) Chứng minh phương trình có nghiệm dương và gọi nghiệm đó là xn Tìm limxn n → ∞ b/ Trên mặt cái bánh cốm (màu xanh) hình vuông có cạnh cm có 51 hại vừng Chứng minh có thể vẽ đường tròn màu đỏ bán kính cm trên mặt cái bánh cốm chứa ít hạt vừng bên ………………….Hết………………… ðề thi HSG môn Toán Trang 139 Lop10.com (3) Nguyễn Văn Xá 161 SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HƯNG YÊN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH HƯNG YÊN NĂM HỌC 2006 – 2007 MÔN TOÁN – Lớp 12 Thời gian 180 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1: (1,5 điểm) Cho hàm số y = x + mx − m + x −1 ( Cm ) Tìm trên đường thẳng qua điểm cực đại, điểm cực tiểu đồ thị hàm số (Cm) tiếp xúc với đường tròn có phương trình: x + y − x + 2my − 3m + 4m + = Câu 2: (1,0 điểm) Tỉnh A có khu công nghiệp khác và có doanh nghiệp khác mốn vào đầu tư các khu công nghiệp đó Tỉnh A muốn chọn từ đó khu công nghiệp, doanh nghiệp và xếp doanh nghiệp vào đầu tư khu công nghiệp (Mỗi khu công nghiệp có đúng doanh nghiệp vào đầu tư) Hỏi có bao nhiêu cách xếp vậy? Câu 3: (2,0 điểm) a/ Tính giới hạn: lim x →1 ∫ x.2 x − x −1 200π b/ Tính tích phân: + cos x dx Câu 4: (2,0 điểm) a/ Tìm tất các nghiệm nguyên (x; y) phương trình: x − xy − x + y + = b/ Giải phương trình: t g (π sinx ) = 2 ( x − 1) ( y + ) = y ( x + 1) c/ Giải hệ phương trình: 2 ( y − 1) ( x + ) = x ( y + 1) Câu 5: (1,0 điểm) Một kiến xuất phát từ đỉnh A muốn leo đến đỉnh C’ hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Hỏi kiến phải leo theo đường nào là ngắn nhất; và có đường ngắn (Hình lập phương đáy ABCD có các mặt kín nhựa đặt trên mặt bàn phẳng) Câu 6: (2,0 điểm) Cho tứ diện OABC có các góc tam diện vuông đỉnh O, P là điểm chuyển động trên đáy ABC Tìm giá trị nhỏ biểu thức: T= PA2 PB PC + + OA2 OB OC ………………….Hết………………… Họ và tên thí sinh:………………………………Số báo danh:………Phòng thi:……… Chữ ký giám thị số 1:………………………………… Chữ ký giám thị số 2:………………………………… ðề thi HSG môn Toán Lop10.com Trang 140 (4) Nguyễn Văn Xá 162 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH HƯNG YÊN NĂM HỌC 2005 – 2006 MÔN TOÁN – Lớp 12 Thời gian 180 phút (không kể thời gian giao đề) SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HƯNG YÊN Câu 1: (3,0 điểm) a/ Giải bất phương trình: x − x + + x − x + ≥ x − x + b/ Cho Pn ( x ) = x n sin α − x.sin ( nα ) + sin ( n − 1) α ; Q ( x ) = x − x.cosα + Chứng minh Pn(x) chia hết cho Q(x) với ∀α ∈ R và ∀n ∈ N , n ≥ Câu 2: (2,0 điểm) a/ Giải phương trình: x! + y! + z! = t! (với x, y, z, t là các số tự nhiên) b/ Giải phương trình: 3sin x − sinx x π − 3sinx −1 = −4sin − 2 4 Câu 3: (1,0 điểm) Cho dãy số nguyên dương {an} thoả mãn điều kiện: an > an−1.an +1 , ∀n ∈ N * 11 n + + + x →∞ n an a1 a2 Tính giới hạn: lim Câu 4: (1,5 điểm) Chứng minh rằng: i 2n +1 − Cn = Trong đó ký hiệu ∑ n +1 i =0 i + n ∑a n i = a1 + a2 + + an Câu 5: (1,0 điểm) Cho đường tròn tâm O cắt ba cạnh BC, CA, AB tam giác ABC tương ứng A1 và A2, B1 và B2, C1 và C2 Gọi x, y, z tương ứng là các đường thẳng qua A1, B1, C1 và vuông góc với BC, CA, AB; gọi x’, y’, z’ tương ứng là các đường thẳng qua A2, B2, C2 và vuông góc với BC, CA, AB Chứng minh x, y, z đồng quy thì x’, y’, z’ đồng quy Câu 6: (1,5 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ cho đường tròn (C) có phương trình: x + y = Tìm m để trên đường thẳng y = m có đúng điểm cho từ điểm đó kẻ đúng tiếp tuyến đến (C) và cặp tiếp tuyến đó tạo thành góc 450 ………………….Hết………………… i =0 Họ và tên thí sinh:………………………………Số báo danh:………Phòng thi:……… Chữ ký giám thị số 1:………………………………… Chữ ký giám thị số 2:………………………………… ðề thi HSG môn Toán Trang 141 Lop10.com (5) Nguyễn Văn Xá 163 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH HƯNG YÊN NĂM HỌC 2004 – 2005 MÔN TOÁN – Lớp 12 Thời gian 180 phút (không kể thời gian giao đề) SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HƯNG YÊN Câu 1: (2,0 điểm) Cho hàm số y = x + x (C ) a/ Tìm điểm A, B tương ứng thuộc nhánh đồ thị (C) cho AB ngắn b/ Gọi d1, d là cặp tiếp tuyến song song đồ thị hàm số (C) Hãy tìm cặp tiếp tuyến đó cho khoảng cách chúng là lớn Câu 2: (1,0 điểm) Cho I n = ∫ x (1 − x ) dx, n ∈ N * Hãy tính lim n x →∞ I n +1 In Câu 3: (2,0 điểm) Giả sử phương trình x − x + ax + b = có nghiệm thực phân biệt Chứng minh a + 3b > Câu 4: (3,0 điểm) Cho tứ diện SABC Hai điểm I, J thứ tự chuyển động trên AB, AC cho: cố định AB AC + = Chứng minh mặt phẳng (SIJ) luôn qua đường thẳng AI AJ U1 ∈ R Câu 5: (2,0 điểm) Cho dãy số {Un} xác định sau: với U n +1 = ln (1 + U n ) − 2005 * n ∈ N Chứng minh dãy số {Un} có giới hạn hữu hạn ………………….Hết………………… Họ và tên thí sinh:………………………………Số báo danh:………Phòng thi:……… Chữ ký giám thị số 1:………………………………… Chữ ký giám thị số 2:………………………………… ðề thi HSG môn Toán Trang 142 Lop10.com (6) Nguyễn Văn Xá 164 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH HƯNG YÊN NĂM HỌC 2003 – 2004 MÔN TOÁN – Lớp 12 Thời gian 180 phút (không kể thời gian giao đề) SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HƯNG YÊN Câu 1: (3,0 điểm) ax + b x + x +1 Cho hàm số y = a/ Tìm a, b để hàm số có cực trị b/ Tìm a, b để hàm số có cực đại và cực tiểu c/ Với a = 1, chứng minh rằng: ∀b ∈ R , đồ thị hàm số có điểm uốn thẳng hàng Lập phương trình đường thẳng này Câu 2: (2,0 điểm) a/ Biết cos2α = ∫ 3π ln dx Hãy tìm sinα π < α < 1− x 2 b/ Cho số nguyên m ≥ và cho n ∈ N * Chứng minh rằng: km n ( cos x ) + n s inx .dx < ∫0 ∑ k =1 n Câu 3: (2,0 điểm) a/ Giải phương trình lượng giác: sinx+ sin x + s in x + sin x = cos x + cos x + cos3 x + cos x b/ Chứng minh tam giác ABC ta luôn có: 1 1 A B C A B C + + = t g + tg + tg + cot g cot g cot g sin A sin B sin C 2 2 2 Câu 4: (2,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Đề-Các trực chuẩn Oxyz cho đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) có phương trình là: (d ) : x +1 y −1 z − = = −2 P x y z :2 − + − = ( ) a/ Tìm toạ độ giao điểm A đường thẳng (d) với mặt phẳng (P) Tính góc đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) b/ Viết phương trình hình chiếu vuông góc (d’), đường thẳng (d) trên mặt phẳng (P) Lấy điểm B nằm trên đường thẳng (d) cho AB = a, với a là số dương cho trước Xét tiử số AB + AM với điểm M di động trên mặt phẳng (P) Chứng tỏ rằng, BM tồn vị trí M để tỉ số đó đạt giá trị lớn và giá trị nhỏ Câu 5: (1,0 điểm) Cho số x, y dương Chứng minh rằng: 2001x 2003x + ≥ 2001x − y + 2003x − y y y 2004 2000 ………………….Hết………………… ðề thi HSG môn Toán Trang 143 Lop10.com (7)