Tài liệu tăng tiết: Phương trình vô tỷ

PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN SỐ PHỤ: Để khử căn thức, ta có thể đưa thêm một hoặc nhiều ẩn phụ.. Tùy theo dạng của phương trình, bất phương trình mà lựa chọn cho thích hợp..[r]

Trường THPT Phú Riềng Tuần: 13 -14-15 Tài liệu tăng tiết: Phương trình vô tỷ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ A) PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC I) TÓM TẮT LÍ THUYẾT 1) Các dạng  A  (hay B  0)  A B A  B B   AB A  B  A  B  A  B3 2) Các dạng khác - Đặt điều kiện cho n A là A  , nâng hai vế lên lũy thừa tương ứng để khử thức Lưu ý:  A.B  A  B   2n 2n A  B A  B  A n 1  B n 1 - Đặt ẩn phụ để đưa phương trình hay hệ phương trình đơn giản II) MỘT SỐ VÍ DỤ: Ví dụ 1: Giải các phương trình sau 1)  x  x  x  2) 25  x  x  3) x  x    x Giải 1)  x  x  x  2 x   x     2 4  x  x  ( x  2)  x  3x  x    x3 x   x  2) 25  x  x  x 1  x  x     x4   2 x   x   25  x  ( x  1) x  x  24     3) x  x    x  x  x   x  x  x   x       x3 x   x   3 x  x   ( x  2) 2 x  x    Ví dụ 2: Giải các phương trình : x  x  1) x  x    x   x     x3  x  1  x  2 x   x Lop10.com Trang Trường THPT Phú Riềng 2) x    x   x  Tài liệu tăng tiết: Phương trình vô tỷ x    2x   x 1   4  x  4  x  2    x    x  (1  x)(1  x)   x  (1  x)(1  x)  x     4  x     x     x     x0  x   x   (1  x)(1  x)  x  x     III PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN SỐ PHỤ: Để khử thức, ta có thể đưa thêm nhiều ẩn phụ Tùy theo dạng phương trình, bất phương trình mà lựa chọn cho thích hợp x 1  m (1) Ví dụ 1: Cho phương trình : ( x  3)( x  1)  4( x  3) x 3 a) Giải phương trình với m = -3 b) Tìm m để phương trình có nghiệm x 1  X  ( x  3)( x  1) nên pt (1) đưa :X2+4X-m=0 (2) Giải: Đặt X  ( x  3) x 3  X  1 a) Với m = -3 thì phương trình (2) trở thành X  X      X  3 + Nếu x  x  x 1 X  1  1  ( x  3)   x 3 1  ( x  3)( x  1) x  2x    x    x  1  x   + Nếu x  x  x 1 X  3  3  ( x  3)   x 3 9  ( x  3)( x  1)  x  x  12   x    x   13  x   13 b) Trước hết phương trình (2) có nghiệm      m   m  4 x 1  X0 Giả sử nghiệm là X0 thì ( x  3) x 3 + Nếu X0 = thì x = – x  + Nếu X0 > thì   x    X 02 ( x  3)( x  1)  X x  + Nếu X0 < thì   x    X 02 ( x  3)( x  1)  X Vậy với m  4 thì phương trình (2) có nghiệm tức là phương trình (1) có nghiệm Ví dụ 2: Giải phương trình  x   x  (3  x)(6  x)  Hướng dẫn: Đặt X   x   x Đưa phương trình:X2 – 2X – = Lop10.com Trang Trường THPT Phú Riềng Ví dụ 3: Giải phương trình x   x  Tài liệu tăng tiết: Phương trình vô tỷ 1   x   y Hướng dẫn: Đặt y  x   y   x   Đáp số: x=1; x   y   x  2x  4 Ví dụ 4: Giải bất phương trình x  2x x t  2 Hướng dẫn: Đặt t  x  Bất phương trình trở thành 2t  5t     t  x   x   Trường hợp 1: t    0  x    Trường hợp 2: t  Bất phương trình vô nghiệm Ví dụ 5: Giải phương trình – (4  x)(2  x) = x – 2x – (1) Hướng dẫn: Đặt t = (4  x)(2  x) (t  0) t  (1) trở thành: – 4t = – t   t  * Tuy nhiên, số trường hợp, sau đặt ẩn phụ t, phương trình còn lại ẩn x cũ, đó ta coi x là tham số phương trình coi x là ẩn thứ (cùng với t) hệ phương trình Cụ thể: + Nếu phương trình (ẩn t, tham số x) có biệt thức  chính phương (  = g ( x ) , g(x) là đa thức, thường có bậc 1) thì giải t theo x; phương trình là phương trình đẳng cấp (của x và t) thì đặt x = ty Ví dụ 6: Giải phương trình (4x – 1) x  = x + 2x + (1) Hướng dẫn: Đặt t = x  (t  1) (1) trở thành (4x – 1)t = t + 2x –  = (4 x  3) (chính phương)  x 1  (4 x  1)  (4 x  3)   t=    x   x  Ví dụ 7: Giải phương trình x – 3x + = x 3x  (1) Hướng dẫn: Đặt t = 3x  (t  0) (1) trở thành t + xt – x =  3x   x  x  3x    3x   2 x  Cách 2: phương trình đẳng cấp  đặt x = ty: t + y t – y t =  t (1 + y – y ) = Ví dụ 8: Giải phương trình  Cách 1:  = x (chính phương)  t = 2(1 – x) x  x  = x – 2x – + Nếu phương trình không phải đẳng cấp và  không chính phương thì coi t và x là ẩn hệ phương trình Lop10.com Trang Trường THPT Phú Riềng Ví dụ 9: Giải phương trình x + x  = (1) Hướng dẫn: Đặt t = x  (t  0) x  t  Ta có hệ phương trình  t  x  Trừ hai phương trình hệ cho được: (t + x)( x – t + 1) =  x   x t  x     t  x   x   x  Ví dụ 10: Giải phương trình x + 4x = x  (1) Hướng dẫn: x  x  t  khó khăn  Nếu đặt t = x  (t  0) ta hệ  t  x   Ta dự kiến đặt x  = at + b để đưa hệ phương trình đối xứng: x  x  at  b Ta có hệ phương trình:  2 a t  2abt  x   b Tài liệu tăng tiết: Phương trình vô tỷ a   a  2ab  hệ này đối xứng    b  a  b   b  Như ta đặt t + = x  (t  – 2) x  x  t  3  17 5  13 Khi đó có hệ pt đối xứng:  (ĐS x  ; ) t  t  x  2 Ví dụ 11: Giải phương trình 4x  x + 7x = (x > 0) 28 Hướng dẫn: 4x  1 Dự đoán đặt = at + b ta tìm a = 1, b = để có hệ phương trình đối xứng Như đặt t + = 28 2 4x  28 Ví dụ 12: Giải phương trình x x 1 + = (1) x 1 x Hướng dẫn: x x 1 Đặt t = = (t > 0)  x 1 x t (1) trở thành: t + =  t – 3t + = t Ví dụ 13: Giải phương trình x  +  x + ( x  1)(4  x ) = (1) Hướng dẫn: Lop10.com Trang Trường THPT Phú Riềng Đặt t = x 1 + 4x  Tài liệu tăng tiết: Phương trình vô tỷ ( x  1)(4  x ) = t 5 2 t2  = Ví dụ 14: Giải phương trình (1) trở thành: t + x2  x + Hướng dẫn: Đặt  x (1  x ) = + (1) x  x = t (t  0) (1) trở thành: t + t  = + 3     t   (3   t ) Ví dụ 15: Giải phương trình x2  x + x2  x  = + Hướng dẫn: u  x  x Đặt  v  x  x   t2  = + – t (dạng căn) (1) (1) trở thành: u + v = + u  v   Ta có hệ phương trình  v  u  Ví dụ 16: Giải phương trình 3(2 + x  ) = 2x + x  Hướng dẫn: u   x  Đặt  v  x  Ví dụ 3: Giải phương trình x  + x  + x  + 3x  = 25 (1) Giải Đặt f(x) = VT(1), xét trên [ ,   ) 9 Ta thấy f ’(x) > 0,  x >  f(x) đồng biến trên [ ,   )  (1) có nghiệm thì nghiệm đó Xét 2 thấy f(5) =  x = là nghiệm BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ: 1) 2) x 1   x  x   2x   (x=3) (x=4) Bài 1:Tìm điều kiện m để phương trình a) Có nghiệm thực b) Có nghiệm thực c) Có nghiệm thực x2  2x  m  2x 1 Lop10.com Trang Trường THPT Phú Riềng Tài liệu tăng tiết: Phương trình vô tỷ  x  Hướng dẫn: Phương trình đã cho tương đương với:  Dùng đồ thị 2 m  3 x  x   m   có nghiệm thực Bài 2: Tìm điều kiện m để phương trình 16  x  16  x m Hướng dẫn: Đặt t  16  x  t  0; 4 Phương trình trở thành t     t  4t  m Lập bảng biến thiên t hàm số y = t2 – 4t, ta có: 4  m  IV) BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ: Bài 1:Giải các phương trình 27583 1 1 2) x  x   kq : x   17; x   21 2 2 1 3) x  x   x   kq : x  11 4) x    x  x  kq : x  ; x  5) x   x   x   kq : x  1)3 x  34  x   kq : x  6) x    x  x  x   kq : x  7) x   x   kq : x  8) x   x   x   x  kq : x  9) x    x   x Bài 2: giải các phương trình 1) x   x  2) 3x  x   x   3)  x2  4x   2x  4) x  x   5) x2  2x   2x  x2 x2  4 Bài 3: Giải các phương trình sau 4) 1) 4 x=0 (x=6) (x   ) 14 (x  ) (x  5) (x  (x  0 x  x    x  3x  x  x 1  x    15 ) ( x  2 ) 2) x   x   x   3) x   x   (x  9) 4) x   x  x  ( x  1) 5) 47 24 (x  11 ) (x=2) 3 ) Lop10.com Trang Trường THPT Phú Riềng 6) x    x  Bài 4: Giải các phương trình Tài liệu tăng tiết: Phương trình vô tỷ ( x  0) 1) (x + 5)(2 – x) = x  3x 3 x + 2) x  – 4 x  x  = – x  = x=2 ; ( x  3) x + 4) (x=1;x=-4) (2  x ) + (7  x ) – (x=2) 1  29 ) 2 (2  x )(7  x ) = ptvn 5) x  x   x  x   x  x  19 (x=1;x=-2) 6) x  x   x  x   (x=1;x=2) 7)  x  x2   x  x2  ( x  8) x  x   2 x  x   ( x  1; x  1  5) 2 7 ) 9) x  26  x  x 26  x  11 (x=1;x=5) 10) x   x   x  x (x=2;x=0; x  2  14 ) 3 x   x   x   x  x  (x=2) 11) 12) 4 x  1 x   x  x  ( x  ) Bài 5: Giải các phương trình 1) ( x  5)(2  x)  x  x (x   x  4) 2) x    x  ( x  1)(4  x)  (x   x  3) 3) x   x  3x   (x   x   2)  x  1 x 1 (x   x   x  10) 5) x    x  ( x  2)(5  x)  (x  6) x   x   x  12  x  16 7) x  x   x  x   (x=1;x=2) 8) x   x   x   x  x  (x=2) 4) 33 ) (x=5) Lop10.com Trang