2 Câu VII.b 1.0 điểm Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh bên bằng a và mặt chéo SAC là tam giác đều.. Qua A dựng mặt phẳng P vuông góc với SC .Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt.[r]
(1)ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 2012 Môn thi : TOÁN ( ĐỀ 79 ) PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7.0 điểm) Câu I (2.0 điểm) Cho hàm số y x x Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số Biện luận số nghiệm phương trình x x m theo tham số m x 1 Câu II (2.0 điểm ) Giải phương trình: sin 2 x cos x 1 sin x Giải phương trình: log x x 14 log16 x x 40 log x x Câu III (1.0 điểm) Tính tích phân I x sin x dx x cos x 1 y z và mặt phẳng 3 ( P ) : x y z Tìm tọa độ giao điểm A đường thẳng d với mặt phẳng (P ) Viết phương Câu IV(1.0điểm) Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d: trình đường thẳng qua điểm A vuông góc với d và nằm (P ) Câu V:(1.0điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai điểm A(1;1;2) , B (2;0;2) Tìm quỹ tích các điểm cách hai mặt phẳng (OAB) và (Oxy ) PHẦN RIÊNG ( 3.0 điểm): Thí sinh làm hai phần (phần A B) A.Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a(2.0 điểm) Cho hàm số f ( x) e x sin x x2 Tìm giá trị nhỏ f (x) và chứng minh f ( x) có đúng hai nghiệm z1 z 5 5.i Giải hệ phương trình sau tập hợp số phức: 2 z1 z 5 2.i Câu VII.a(1.0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy cho ABC có A 0; Các đường phân giác và trung tuyến xuất phát từ đỉnh B có phương trình là d1 : x y ,d : x y Viết phương trình ba cạnh tam giác ABC B.Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2.0 điểm) 1 Giải phương trình 3.4 x x 6.4 x x 1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường sau: y = x.sin2x, y = 2x, x = Câu VII.b (1.0 điểm) Cho hình chóp tứ giác SABCD có cạnh bên a và mặt chéo SAC là tam giác Qua A dựng mặt phẳng (P ) vuông góc với SC Tính diện tích thiết diện tạo mặt phẳng (P ) và hình chóp Hết đề … Họ và tên thí sinh: ……… …………… ; Số báo danh: Lop10.com (2) ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG Môn thi : TOÁN ( ĐỀ 79 ) điểm Câu I a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y x x Tập xác định: Hàm số có tập xác định D R 0,25 x Sự biến thiên: y' x x Ta có y' x yCD y 0 2; yCT y 2 2 0,25 Bảng biến thiên: 0,25 x y' 0 y 2 Đồ thị: 0,25 y x -3 -2 -1 -1 -2 -3 b) Biện luận số nghiệm phương trình x x Ta có x x m theo tham số m x 1 m x x x m,x Do đó số nghiệm x 1 phương trình số giao điểm y x x x ,C' và đường thẳng y m,x Lop10.com 0,25 (3) f x x Vì y x x x nên C' bao gồm: f x x + Giữ nguyên đồ thị (C) bên phải đường thẳng x + Lấy đối xứng đồ thị (C) bên trái đường thẳng x qua Ox 0,25 Đồ thị: 0,25 y x -3 -2 -1 -1 -2 -3 + + + Câu II a) b) Dựa vào đồ thị ta có: m 2 : Phương trình vô nghiệm; m 2 : Phương trình có nghiệm kép; 2 m : Phương trình có nghiệm phân biệt; + m : Phương trình có nghiệm phân biệt 0,25 điểm Giải phương trình sin 2 x cos x 1 sin x Biến đổi phương trình dạng sin x 2 sin x 1 2 sin x 1 0,75 Do đó nghiệm phương trình là 7 k 2 5 k 2 x k 2 ; x k 2 ; x ;x 6 18 18 0,25 Giải phương trình log x x 14 log16 x x 40 log x x 1 ;x 16 Dễ thấy x = là nghiệm pt đã cho Với x Đặt t log x và biến đổi phương trình dạng Điều kiện: x 0; x 2; x 42 20 0 t 4t 2t 1 Vậy pt có nghiệm x =1; Giải ta t ;t 2 x 4; x 2 Lop10.com 0,25 0,5 0,25 (4) x 4; x Câu III a) 1.0 điểm x sin x dx x cos Tính tích phân I Sử dụng công thức tích phân phần ta có I 0,25 x dx 4 xd J , với J cosx cosx cosx 3 3 dx cosx Để tính J ta đặt t sin x Khi đó J Câu IV dx dt t 1 ln 1 t t 1 cosx Vậy I 0,5 ln 2 2 0,25 4 2 ln 2 1.0 điểm Tìm tọa độ giao điểm A đường thẳng d với mặt phẳng (P ) Viết phương trình đường thẳng qua điểm A vuông góc với d và nằm (P ) 0,25 7 Tìm giao điểm d và (P) ta A 2; ; 2 uur uur uur uur uur Ta có ud 2;1; 3 ,nP 2;1;1 u ud ;n p 1; 2; Vậy phương trình đường thẳng là : x t; y Câu V 0,5 2t; z 2 1.0 điểm Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai điểm A(1;1;2) , B (2;0;2) Tìm quỹ tích các điểm cách hai mặt phẳng (OAB) và (Oxy ) OA, OB 2; 2; 2 1;1; 1 OAB : x y z Oxy : z N x; y; z cách OAB và Oxy d N , OAB d N , Oxy x yz x y z x y z 3z x y 1z 1z Vậy tập hợp các điểm N là hai mặt phẳng có phương trình x y và x y Câu VIa 1z 2.0 điểm Lop10.com 1z 0,25 (5) x2 Tìm giá trị nhỏ f (x) và chứng minh f ( x) có đúng hai nghiệm Cho hàm số f ( x) e x sin x Ta có f ( x ) e x x cos x Do đó f ' x e x x cos x 0,25 Hàm số y e x là hàm đồng biến; hàm số y x cosx là hàm nghịch biến 0,25 vì y' 1 sin x ,x Mặt khác x là nghiệm phương trình e x x cos x nên nó là nghiệm Lập bảng biến thiên hàm số y f x (học sinh tự làm) ta đến kết 0,5 luận phương trình f ( x) có đúng hai nghiệm Từ bảng biến thiên ta có f x 2 x x2 Tìm giá trị nhỏ f (x) và chứng minh f ( x) có đúng hai nghiệm Cho hàm số f ( x) e x sin x Ta có f ( x ) e x x cos x Do đó f ' x e x x cos x 0,25 z1 z 5 5.i Giải hệ phương trình sau tập hợp số phức: 2 z1 z 5 2.i Đáp số: (2 – i; -1 – 3.i), (-1 – 3i; – i), (-2 + i; + 3i), (1 + 3i; -2 + i) Câu VII.a 1.0 điểm Trong mặt phẳng Oxy cho ABC có A 0; Các đường phân giác và trung tuyến xuất phát từ đỉnh B có phương trình là d1 : x y ,d : x y Viết phương trình ba cạnh tam giác ABC Câu VI.b Ta có B d1 d B 2; 1 AB : x y 0,25 Gọi A' đối xứng với A qua d1 H 2; 3 , A' 4;1 0,25 Ta có A' BC BC : x y 0,25 Tìm C 28; AC : x y 35 0,25 2.0 điểm 1 Giải phương trình 3.4 x x 6.4 x x 1 Biến đổi phương trình đã cho dạng 3.22 x 27.32 x 6.22 x 32 x x 2 3 Từ đó ta thu x log 39 39 2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường sau y = x.sin2x, y = 2x, x = Ta có: Lop10.com 0,5 0,5 (6) x.sin2x = 2x x.sin2x – 2x = x(sin2x – 2) =0 x = Diện tích hình phẳng là: S Đặt ( x.sin x x)dx 0.5 x(sin x 2)dx du dx u x 2 2 2 cos x S 4 4 2x dv (sin x 2)dx v 0.5 (đvdt) Câu VII.b 1.0 điểm Cho chóp tứ giác SABCD có cạnh bên a và mặt chéo SAC là tam giác Qua A dựng mặt phẳng (P ) vuông góc với SC Tính diện tích thiết diện tạo mặt phẳng (P ) và hình chóp Học sinh tự vẽ hình Để dựng thiết diện, ta kẻ AC' SC Gọi I AC' SO Kẻ B' D' // BD Ta có S AD' C' B' 1 a a2 B' D' AC' BD 2 Lop10.com 0,25 0,25 0,5 (7)