PHẦN RIÊNG 3,0 điểm Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần phần A hoặc B A.Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a 2,0 điểm 1.. Trong các số phức thỏa mãn điều kiện trên, tìm số phức có mô đu[r]
(1)ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2012 Môn thi : TOÁN ( ĐỀ 190) I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y = x3 – 3(m+1)x2 + 9x – m (1), m là tham số thực Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m = Xác định các giá trị m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng có độ dài Câu II (2,0 điểm) x4 x4 x x 16 Giải bất phương trình ( x R) 2 cos x 2sin x cos x sin x Giải phương trình sin x cos x Câu III (1,0 điểm) ln Cho I = 2e x e x dx Tính eI e3 x e x e x Câu IV(1,0 điểm) A Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a Đáy là tam giác ABC cân BAC 1200 , cạnh BC = 2a Gọi M là trung điểm SA, tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SBC) Câu V (1,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = log 22 x log 22 y log 22 z đó x, y, z là các số dương thỏa mãn điều kiện xyz = II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh làm hai phần (phần A B) A.Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a( 2,0 điểm) Trong mp(Oxy) cho điểm A(1; 0), B(-2; 4), C(-1; 4), D(3; 5) Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng () : x y cho hai tam giác MCD, MAB có diện tích Trong hệ trục Oxyz, viết phương trình tham số đường thẳng qua trực tâm H tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng (ABC); biết điểm A(1; 0; -1), B(2; 3; -1) và C(1; 3; 1) Câu VII.a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn các điều kiện: z i z 3i Trong các số phức thỏa mãn điều kiện trên, tìm số phức có mô đun nhỏ B Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b(2,0 điểm) 1.Trong hệ trục Oxy, cho đường tròn (C) và (C’) có phương trình(C): x2 + y2 = và (C’): x2 + y2 = 1; Các điểm A, B di động trên (C) và (C’) cho Ox là phân giác góc AOB Gọi M là trung điểm đoạn AB, lập phương trình quỹ tích M x y z 1 Trong hệ trục Oxyz, cho đường thẳng (d): và mặt phẳng (P) có phương trình: 1 x + y + z + = Viết phương trình đường thẳng (Δ) thuộc (P) cho (Δ) vuông góc với (d) và khoảng cách từ giao điểm (d) và (P) đến (Δ) 42 Câu VII.b (1,0 điểm) Khai triển đa thức: (1 x) 20 a0 a1 x a2 x a20 x 20 Tính tổng: S a0 a1 a2 21 a20 -Hết - Lop10.com (2) ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2012 Môn thi : TOÁN ( ĐỀ 190) Câu Ý Nội dung Khi m = ta có y = x3 – 6x2 + 9x – *Tập xác định: D = R x * y’ = 3x2 – 12x + ; y’ = x *Bảng biến thiên x y’ - + - Điểm 1đ + + + y - I -1 * Hàm số đồng biến trên ( - ;1) và ( 3; + ); nghịch biến trên ( 1; 3) * Hàm số đạt cực đại x = và yCĐ = 3; hàm số đạt cực tiểu x = và yCT = -1 * Đồ thị : Tập xác định: D = R Ta có y’ = 3[x2 – (m + 1)x + 3] y’ = x2 – (m + 1)x + = Hàm số (1) nghịch biến trên khoảng có độ dài y’ = phải có nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện x1 x2 m 1 Trước hết ta phải có Δ’>0 m2 + 2m – >0 m 1 Khi đó gọi x1, x2 là nghiệm phương trình y’ = Theo định lí Vi-et ta có x1 + x2 = 2(m + 1) và x1x2 = Ta có : x1 x2 (x1 + x2)2 – 4x1x2 = m2 + 2m – = m = m=-3 Vậy với m = m = - thì thỏa mãn điều kiện bài toán x * Đk: x Đặt t = x x (t > 0) x t 2( L) BPT trở thành: t2 - t - t x (a) 2x < * Với t x 16 - 2x x (b) 9 - 2x 2 4( x 16) (9 x) * II (a) x > 145 145 ; x Vậy tập nghệm BPT là: T= * (b) 36 36 Lop10.com 0,5 0,5 0,5 0,5 (3) 𝜋 5𝜋 ≠ 0⇔𝑥 ≠ + 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ 𝑍 Với ĐK trên PT đã cho tương đương với 𝜋 𝜋 3𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑠𝑖𝑛2𝑥 = 3𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥⇔cos 2𝑥 ‒ = cos 𝑥 ‒ 𝜋 𝜋 𝜋 2𝑥 ‒ = 𝑥 ‒ + 𝑘2𝜋 𝑥 =‒ + 𝑘2𝜋 6 ⇔ ⇔ 𝜋 𝜋 𝜋 𝑘2𝜋 ;𝑘 ∈ 𝑍 2𝑥 ‒ =‒ 𝑥 ‒ + 𝑘2𝜋 𝑥 = + 6 ( ) ĐK: 3𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 ≠ 0⇔cos 𝑥 ‒ ( [ ( ) ( ) ( ) ( ) I= 2e3 x e x dx = 3x e e2 x e x ln ( ) [ Đối chiếu ĐK ta nghiệm pt đã cho là 𝑥 = ln ) 0,5 0.5 𝜋 3𝜋 + 𝑘2𝜋,𝑥 = + 𝑘2𝜋, 𝑘 ∈ 𝑍 3e3 x 2e x e x (e3 x e x e x 1) dx e3 x e x e x ln ln 3e3 x 2e x e x 0 e3 x e2 x e x 1dx = ln(e3x + e2x – ex + 1) x 14 11 = ln11 – ln4 = ln ; Vậy eI = 4 0,5 ln = III 0,5 (HS tự vẽ hình) Áp dụng định lí sin ABC có AB = AC = * 2a a2 AB.AC.sin1200 = Gọi H là hình chiếu S lên (ABC), ABC theo gt: SA = SB = SC HA = HB = HC H là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC 2a BC * Và theo định lí sin ABC ta có: = 2R R = = HA sin A S IV = SHA vuông H SH = SA2 HA2 = a a2 SH = S ABC * Gọi hA, hM là khoảng cách từ A, M tới mp(SBC) h SM 1 hM = hA M hA SA 2 = a2 SBC vuông S S SBC 3VS ABC a * Lại có: V = hA hA = = S S ABC S SBC SBC VS ABC 0,5 = 0,5 a Sử dụng phương pháp vectơ Vậy hM = d(M;(SBC)) = 0,5 Lop10.com (4) V Đặt u (log x;1) ; v (log y;1) và w (log z; 2) Ta có u + v + w = ( log2x + log2y + log2z ; 4) = ( log2(xyz) ; 4) = (3; 4) Áp dụng bất đẳng thức u + v + w u v w log 22 x log 22 y log 22 z Dấu = xẩy và u ; v và w cùng hướng log2x = log2y = log2z x = y = và z = 2 Giá trị nhỏ P x = y = và z = 2 0,5 Viết phương trình đường AB: x y và AB VIa Viết phương trình đường CD: x y 17 và CD 17 Điểm M thuộc có toạ độ dạng: M (t ;3t 5) , ta tính được: 13t 19 11t 37 d ( M , AB ) ; d ( M , CD) 17 Từ đó: S MAB S MCD d ( M , AB ) AB d ( M , CD).CD 7 t 9 t Có điểm cần tìm là: M (9; 32), M ( ; 2) 3 Nhận xét rằng: Đường thẳng qua trực tâm H ΔABC và vuông góc với mp(ABC) là giao tuyến mp (P) qua A và vuông góc với BC với mp(Q) qua B và vuông góc với AC là giao tuyến mp qua C và vuông góc với AB Viết pt(P): (P) qua A và nhận BC (-1; 0; 2) làm VTPT Nên pt (P) là :-x + 2z + = Viết pt(Q): (Q) qua B và nhận AC (0;3;2) làm VTPT Nên pt (Q) là:3y + 2z – = Dễ thấy qua M(7;1;2) và có VTCP là u n P , nQ với n P (1;0; 2) n Q (0;3; 2) Suy u =(-6;2;-3) Vậy pt Δ là 0,25 0,25 0,5 0,5 x 6t y 2t z 3t VIIa (t R) 0,5 Đặt z = x + yi; đó x, y R |z - i| = | z - - 3i| |x + (y - 1)i| = |(x - 2) - (y + 3)i| * x - 2y - = Tập hợp điểm M(x; y) biểu diễn số phức z là đường thẳng có phương trình x - 2y - = () * |z| nhỏ | OM | nhỏ M là hình chiếu điểm O(0; 0) trên ( ) M( 0,5 0,5 6 ;- ) z = - i 5 5 Ta có: (C) có tâm O(0; 0) và bán kính R1=2 (C’) có tâm O(0; 0) và bán kính R2=1 Lop10.com 0,5 (5) VIb Với B(xB;yB) (C’) thì xB2+yB2=1 Gọi điểm B1 là đối xứng với B qua Ox suy B1(xB;-yB) thuộc OA và th/m : OA 2OB A(2 x B ; 2 y B ) Khi đó M là trung điểm AB có toạ độ là: x A x B 3x B 2x x xB 2 y y A yB y B yB y B 2 y 2 x2 y2 Thay vào phương trình (C’) ta (E): 1 94 14 Vậy tập hợp M là elíp có phương trình trên Tìm gđ M (d) và (P): x 2t PTTS (d): y 2 t Thay vào pt(P) ta t = -1 Vậy M(1;-3;0) z 1 t Tìm điểm mà Δ qua: Gọi (Q) là mp chứa (d) và vuông góc (P) có pt là nQ u d ,n P = (2;-3;1) 0,5 0,5 Hình chiếu vuông góc (d’) (d) lên (P) là giao tuyến (Q) và (P) nên (d’) có VTCP là u n Q n P (4;1;5) x 4t ' (d’) qua M nên có Pt là y 3 t ' z 5t ' 0,5 Điểm N và thuộc (d’) th/m d(M, Δ)= 42 N(1-4t’;-3-t’;5t’) d(M; Δ) = MN = (4t ') (t ') (5t ') 42t ' 42 t’ = ±1 Vậy tìm điểm t/m : N1(-3;-4;5), N2(5;-2;-5) Ta có: x(1 x) 20 a0 2a1 x 3a2 x 21a20 x 20 (1 x) 60 x(1 x) a0 2a1 x 3a2 x 21a20 x 20 VIIb 19 0,5 20 (*) Nhận thấy: ak x k ak ( x) k đó thay x 1 vào hai vế (*) ta có: S a0 a1 a2 21 a20 422 Lop10.com 0,5 (6)