Bài giảng 0809_Toan9__hsgh.doc

PHÒNG GIÁO DỤC&ĐÀO TẠO HUYỆN BUÔN ĐÔN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC THCS CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2008-2009 Môn: TOÁN Thời gian làm bài:150 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu 1 (2 điểm): Chứng minh rằng: 21139 625)62049)(625( 5122935 − −−+ =−−− Câu 2 (4 điểm): Với x, y là số dương thỏa mản: ( xy + )1)(1( 22 yx ++ ) 2 = 2000 tính giá trị của biểu thức S = x 2 1 y + + y 2 1 x + Câu 3 (4 điểm): Giải các phương trình sau: a) (x+ 12) ( x+6) ( x + 4) ( x+ 2) = 165x 2 b) 3x 2 +21x +16 +2 77 2 ++ xx = 0 Câu 4 (2 điểm): Cho ba số thực a, b, c. Chứng minh rằng: 4 2 a + b 2 + c 2 ≥ ab – ac + 2bc Câu 5 (4 điểm): Gọi AH và BK là các đường cao của tam giác ABC. O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng: OC ⊥ HK. Câu 6 (4 điểm): Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi I, J, K lần lượt là tâm của đường tròn nội tiếp các tam giác ABC, AHB, AHC. a) Chứng minh AI vuông góc với JK. b) Chứng minh tứ giác BJKC nội tiếp đường tròn. Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GỈOI BẬC THCS CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2008-2009 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN Câu 1 (2 điểm): Biến đổi vế trái: 11555122935VT )15(526512293 )352(51229 2 2 =+−=−−−= −=−=−− −=− Biến đổi vế phải: Ta có: 2 2 )625(62049 )23(625 −=− −=− ⇒ Tử số ( )( )( )( ) 23625625625 −−−+= ( ) ( ) ( ) ( ) 1 21139 21139 VP 211392323232425 322 = − − =⇒ −=−=−−−= Vậy 21139 625)62049)(625( 5122935 − −−+ =−−− 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ Câu 2 (4 điểm): Ta có: 2000 = (xy + 2 2 (1 )(1 )x y+ + ) 2 = x 2 y 2 + 2 xy 2 2 (1 )(1 )x y+ + + 1 +y 2 +x 2 +x 2 y 2 (1đ) = x 2 (y 2 +1) +2xy 2 2 (1 )(1 )x y+ + + y 2 (x 2 +1) +1 (1,5đ) = (x 2 1y + + y 2 1 x+ ) 2 +1 (0,5đ) ⇒ (x 2 1y + + y 2 1 x+ ) 2 = 1999 (0,5đ) ⇒ S = 1999 (0,5đ) Câu 3 (4 điểm): a) (x+ 12) ( x+6) ( x + 4) ( x+ 2) = 165x 2 ⇔ [ ] )2)(12( ++ xx [ ] )4)(6( ++ xx - 165x 2 = 0 ⇔ (x 2 + 2x+ 12x+24)(x 2 +4x+6x+24) – 165x 2 = 0 (0,25đ) ⇔ (x 2 +24 +14x)(x 2 +24 +10x) - 165x 2 = 0 ⇔ (x 2 +24+ 12x + 2x )(x 2 +24+ 12 x -2x) -165x 2 = 0 (0,25đ) ⇔ (x 2 +24+ 12x ) 2 –(2x) 2 - 165x 2 = 0 (0,25đ) ⇔ (x 2 +24+ 12x ) 2 - 169x 2 = 0 (0,25đ) ⇔ (x 2 +24+ 12x ) 2 - (13x) 2 = 0 (0,25đ) ⇔ ( x 2 +24+ 12x +13x)(x 2 +24+ 12x -13x) = 0 ⇔ ( x 2 +25x+24)(x 2 -x + 24) = 0 ⇔ (x 2 +24x+ x+ 24)( x 2 - 2 2 1 x + 4 1 + 4 95 ) = 0 (0,25đ) ⇔ [ ] )24()24( +++ xxx       +− 4 95 ) 2 1 ( 2 x = 0 ⇔ (x+24)(x+1)       +− 4 95 ) 2 1 ( 2 x = 0 (0,25đ) ⇔        =+− =+ =+ 0 4 95 ) 2 1 ( 01 024 2 x x x ⇔      −= −= vn x x 1 24 (0,25đ) b) Điều kiện x 2 + 7x + 7 ≥ 0 (0,25đ) Đặt 077 2 ≥=++ yxx ⇒ x 2 +7x + 7 = y 2 (0,25đ) Khi đó phương trình đã cho trở thành: 3y 2 +2y –5 =0     −= = ⇔=+−⇔ )( 3 5 1 0)53)(1( loaiy y yy (0,5đ) Với y = 1 ta có:    −= −= ⇔=++⇔=++⇔=++ 6 1 0)6)(1(067177 22 x x xxxxxx (1đ) Câu 4 (2 điểm): Xét hiệu: ( 4 2 a + b 2 + c 2 ) - (ab – ac + 2bc) (0,25đ) = 4 2 a + b 2 + c 2 – ab + ac – 2bc (0,25đ) = 4 2 a - ( ab – ac) + (b 2 – 2ab + c 2 ) (0,25đ) = 2 2 )()( 2 .2 2 cbcb aa −+−−       (0,5đ) 0) 2 ( 2 ≥+−= cb a (0,5đ) Vậy: abacabcb a 2 4 22 2 +−≥++ (0,25đ) Câu 5 (4 điểm): Kẻ tiếp tuyến Cx với (0) ta có: ( 0,5đ) ∧ ACx = ∧ B (cùng chắn cung AC) (*) (0,5đ) Xét tứ giác AKHB ta có: ∧ AKB = ∧ AHB = 90 0 Suy ra tứ giác AKHB nội tiếp (0,5đ) x H K O C A B E D H K J I C B A Suy ra ∧ B + ∧ AKH = 180 0 (1) ( Tổng hai góc đối của một tứ giác nội tiếp) (0,5đ) Mặt khác ta có: ∧ CKH + ∧ AKH = 180 0 (kề bù) (2) Từ (1)và (2) suy ra ∧ B = ∧ CKH (3) (0,5đ) Từ (*) và (3) suy ra ∧ ACx = ∧ CKH (0,5đ) Suy ra Cx // KH (0,5đ) Mà Cx ⊥ OC (vì Cx là tiếp tuyến của đường tròn (0) ) Suy ra KH ⊥ OC suy ra Đcpcm (0,5đ) Câu 6 (4 điểm): - Vẽ hình và lập Gt, Kl đúng a) - AEC ∆ có góc ngoài EC ˆ ACA ˆ KBE ˆ A += - Có: HA ˆ KHA ˆ BEA ˆ B += mà HA ˆ KCA ˆ K = ; HA ˆ BBC ˆ A = ABEEA ˆ BBE ˆ A ∆⇒=⇒ cân tại B có BJ là phân giác ⇒ BJ ⊥ AE Chứng minh tương tự có CI ⊥ AD - Tam giác AJK có I là trực tâm ⇒ AI ⊥ JK b) Cộng góc, suy ra được: o 180CK ˆ JJB ˆ CIB ˆ CJK ˆ I =+⇒= Suy ra BJKC nội tiếp. 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 1đ . HỌC SINH GIỎI BẬC THCS CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2008-2009 Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu 1 (2 điểm): Chứng minh rằng: 21139