Bài tập tổng ôn KTQD

Sử dụng qui tắc tính đạo hàm của hệ hàm ẩn để phân tích biến động của trạng thái cân bằng khi Y 0 , T 0 thay đổi... Ta dùng hàm cung để phân tích biến động của lượng cân bằng khi T 0 [r]

(1)

Ngơ văn Mỹ-Tốn Kinh Tế- KTQD GIẢI BÀI TẬP TỔNG ễN

GIẢI BÀI TẬP TỔNG ễN

Bài 1 Xột kinh tế cú ngành với ma trận hệ số chi phớ trực tiếp dạng giỏ trị:

1 Giải thớch ý nghĩa kinh tế phần tử ; tổng cỏc phần tử dũng 1; tổng cỏc phần tử cột

2 Tỡm ma trận giải thớch ý nghĩa kinh tế cỏc phần tử ma trận

3 Lập bảng I/O ma trận tổng cầu là:

4 Lập bảng I/O cầu cuối cựng sản phẩm ngành 120 tổng cầu sản phẩm ngành 400

5 Xác định ma trận tổng cầu ma trận cầu cuối

6 Cho biết muốn tăng cầu cuối sản phẩm ngành lên đơn vị thỡ tổng cung ngành phải tăng bao nhiêu?

Giải Cõu

+ Phần tử a12 = 0,15 lượng giá trị sản phẩm ngành cần thiết để làm đơn vị giá trị sản

phẩm ngành

+ Tổng cỏc phần tử dũng 1: a11 + a12 = 0,25 lượng giá trị sản phẩm ngành cần thiết để ngành

và ngành ngành làm đơn vị giá trị sản phẩm

+ Tổng cỏc phần tử cột 2: a12 + a22 = 0,25 lượng giá trị sản phẩm ngành cần thiết để ngành

2 làm đơn vị giá trị sản phẩm

Cõu 2 Ta cú: 

  

  

 

     

  

9 , ,

15 , , ) ( , ,

15 , ,

A E A

Khi đó: 

  

  

 

9 , ,

15 , , )

(E A

Ta lại cú: E A C

A E A

E 

  

      

    



  

153 , 256 ,

192 , 153 , , ,

15 , , 78 ,

1

)

(

Xột phần tử c12 0,192: Để NKT tăng thêm đơn vị giá trị cầu cuối sản phẩm thỡ tổng cầu sản phẩm phải tăng lượng giá trị c12 0,192

Cõu 3 Áp dụng cụng thức: cú:

Tương tự tính: x12 = 60; x22 = 40 Ta nhận bảng I/O sau:

Tổng cầu Cầu trung gian

Cầu cuối cựng 200

400

20 60 40 40

120 320 

  

  

1 , ,

15 , ,

A

12 a

)

(  

 E A

C

200 400 



X

10 10

 

x

78 ,

 A E

) (ij X

a

xij  ij j 

40 200 , ;

20 200 ,

0 21 21 1

1 11

11a X   x a X  

(2)

2 Cõu 4 Ta có hệ phương trỡnh:

                          320 200 120 400 , 400 15 , , , 400 2 1 2 22 12 21 11 x X x X X X x x X a X a X a X a X X gt

Bảng I/O nhận trùng với bảng cú cõu

Cõu 5 Ta sử dụng cụng thức:

Thay vào (*) cú: 

                          10 , 14 46 , 13 10 10 , , 15 , , 78 , X X

X ma trận tổng cầu cần tỡm

Cõu 6 Đây câu hỏi ý nghĩa kinh tế phần tử c21 ma trận hệ số chi phớ toàn

Ta cú: Để NKT tăng cầu cuối sản phẩm lên đơn vị

giá trị đơn vị thỡ tổng cầu sản phẩm (hay tổng cung ngành 2) phải tăng lên 0,256 đơn vị giá trị

Bài 2 Cho mụ hỡnh thị trường hàng hoá:

1 Hai mặt hàng mụ hỡnh cỏc mặt hàng thay hay bổ sung? vỡ sao? Xác định trạng thái cân thị trường m = 90

3 Xác định số % biến động lượng cân hàng hoá thứ m tăng 1% m=90

Giải

Cõu 1 48 0,5 0,5

2

1

1  

      p Q p p Q d

d có nghĩa giá hàng thứ không đổi giá hàng

2 tăng lên thỡ cầu hàng tăng; hàng hoá mô hỡnh cỏc hàng hoỏ thay Ta nhận kết tương tự sử dụng hàm cầu hàng

Cõu ĐKCB:

               20 , 60 , 2 2 1 m p p p p Q Q Q Q s d s d

Theo qui tắc Cramer cú:

75 , 11 , 190 m

p   ;

75 , 11 110    m

p (p1,p2 0 thỡ: m27,5) Ta cú: 75 , 11 15 ; 75 , 11 239       m Q m

Q (Q1,Q20m15/8)

Thay m = 90 vào kết trờn cú: p1 20;p240&Q128;Q260

Cõu 3 Ta cú:

75 , 11 75 , 11 239 1 / 1             Q m m Q Q m m Q m Q  Khi m = 90 cú: / 0,273

1

  m

Q



) ( )

(  

 E A  x X

1

)

(  

 E A

C 0,256

78 , ,

21 

(3)

Trong đó: M0 – thu nhập, I0 – đầu tư với M0, I0 >

1 Xác định trạng thái cân thị trường qui tắc Cramer

2 Cú ý kiến cho I0 = M0 = 10 hai đại lượng tăng 1% thỡ giỏ cõn

khụng đổi; ý kiến có khơng?

Giải

Cõu 1 Đặt: QS = QD= Q; có hệ: 

 

   

  

0

1 ,

3 , 32

I p

Q

M p

Q

Áp dụng qui tắc Cramer cú:

5

78 , ,

0 0 0



 M I

Q ;

5

41 , ,

0 0 0



 M I

p với điều kiện

0 41 , ,

0 M0 I0 

Cõu Ta cú: p p(M0,I0) M0 I0 tăng 1% thỡ số % biến động giá cân 

p là:

0

0 /

/M p I

p  

 

 (*)

Khi M0 = I0 =10 thỡ p 8,6; 0,06; 0,02

0

    



  

I p M

p

Cỏc hệ số co gión là:

024 , ;

070 ,

0

0 /

/   

 M p I

p 

 Thay kết vào (*) cú:

046 , 024 , 070 ,

0  





Như vậy, mức M0 = I0 = 10 M0, I0 tăng 1% thỡ giỏ cõn ptăng 0,046% Túm lại,

nhận định giá cân p không đổi nhận định sai

Bài 4 Cho mụ hỡnh:

Trong đó: Y-thu nhập; C-tiêu dùng; T0-thuế; I0- đầu tư; G-chi tiêu phủ

1 Giải thớch ý nghĩa kinh tế a, b, g

2 Xác định trạng thỏi cõn (Y*, C*, G*) qui tắc Cramer

3 Cú ý kiến cho thuế T0 tăng thỡ thu nhập cõn giảm, chi tiêu phủ

trạng thái cân tăng; ý kiến có thoả đáng?

4 Cho b = 0,7; a = 50, g = 0,1; I0 = 500; T0 = 50 Hóy cho biết có thuế tăng 1% thỡ thu

nhập cõn giảm bao nhiờu %?

Giải

Cõu Ta cú a mức tiờu dựng thu nhập sau thuế: Y-T0 = 0; b MPC(Y-T0); g- suất chi tiêu

chính phủ - hay mức tăng lên chi tiêu phủ thu nhập quốc dân Y tăng đơn vị

Cõu Áp dụng qui tắc Cramer ta cú kết quả:

    

   

   

0 ,

3 , 32

I P Q

M P

Q Q Q

S D

    

  

 

 

  

 

  

1 &

)

(

) ;

1

: ( )

( 0 0

0

g b g

gY G

a bT b a

T Y b a C

(4)

4

) (

) )( (

1

0

bT a I g D

bT g bT

a D

bT a I D

b g D

G C Y

  

  



  

  

Khi đó:

) , , , , (

1 0

0

0 f a b g I T

g b

bT a I

Y 

 

  



) , , , , (

) (

0 0

0

T I g b a g g

b bT a I g

G 

 

  



Cõu 3 Ta cú:

1

  

  

 

g b

b T

Y

hay thuế tăng thu nhập cân giảm nhận định Ta

lại có:

1

  

  

 

g b

gb T

G

hay thuế tăng thỡ chi tiờu chớnh phủ tăng nhận định sai

Cõu 4 Thay cỏc số liệu giả thiết vào biểu thức thu nhập cõn cú:

2575; 3,5

0    

 



T Y

Y

Khi đó: ( 3,5) 0,068

2575 50

0

/     



  



T Y Y T T Y

 - thu nhập cõn giảm 0,068%

Bài 5 Cho mụ hỡnh thu nhập quốc dõn:

Trong đó: Y-thu nhập quốc dân; C-tiêu dùng; I0-đầu tư; X0-xuất khẩu; M-nhập khẩu; Yd-thu nhập

sau thuế

1 Giải thớch ý nghĩa kinh tế t?

2 Xác định thu nhập trạng thái cân

3 Cho Cho biết kinh tế có thặng dư hay

thâm hụt thương mại; có thặng dư hay thâm hụt ngân sách?

Giải

Cõu 1 Ta cú: Yd Y T (1t)Y T tY- t mức tăng lên thuế thu nhập Y tăng đơn vị hay t thuế suất

Cõu 2 Thay Yd vào cỏc biểu thức C M ta cú:

) (

0 0 

   

 

    

Y t M

Y t C

M X G I C Y

 

Ta thay (2),(3) vào (1) để có:

) ( ) (

0 0

t t

X G I Y

   

  





 (4)

      

  



  

    

) ( ) (

)

(

)

( 0

t Y

Y M

Y C

M X G I C Y

d d d

 

 

, ; 250 ;

400 ;

250 ;

2 , ; ,

0  0 0 0 

  I G X t

(5)

Ngô văn Mỹ-Toán Kinh Tế- KTQD GIẢI BÀI TẬP TỔNG ễN Cõu 3 Thay cỏc số liệu giả thiết vào (4) cú:

52 , 1956 * 

Y Ta lại cú: M* (1t)Y 0,2(10,1)1956,52352,17 Tương tự: 65

, 195 52 , 1956 ,

*   



 tY

T Khi đó: X0M250352,170- kinh tế có thâm hụt

thương mại; T*G0 195,654000-nền kinh tế cú thõm hụt ngõn sỏch

Bài 6 Cho mụ hỡnh kinh tế:

Trong đó: Y-thu nhập quốc dân; C-tiêu dùng; I-đầu tư; X0-xuất khẩu; M-nhập khẩu; L-cầu tiền;

r-lói xuất, Ms-cung tiền, Yd-thu nhập sau thuế

1 Hóy xỏc định thu nhập lói suất cõn

2 Cho G0 = 400; I0 = 20; X0 = 150; t = 0,1; Ms = 400; cho biết trạng cán cân thương mại

và tỡnh trạng ngõn sỏch chớnh phủ Tỡm hệ số co gión Y* theo M

s, giải thớch ý nghĩa kinh tế

của hệ số này?

Giải

Cõu 1 Điều kiện cân thị trường tiền tệ: ) ( 1200

4 ,

0 s

s Y r M

M

L   

Thay Yd vào C, M; tiếp thay I, C, M vào phương trỡnh Y ta cú:

) ( 2000

) , , (

) ( , 2000

) ( ,

0 0

X G I r Y

t

Y t X

G r I

Y t Y

   



     

  

Ghộp (1) (2) ta cú hệ:

) ( 2000

) , , (

1200

,

0 0

  

   



 

X G I r Y

t

M r

Y s

Áp dụng qui tắc Cramer với (3) ta cú:

t

M X

G I

Y s

840 1160

2000 )

(

1200 0 0 0

    



t

M t X

G I

r s

840 1160

) , , ( ) (

4 ,

0 0 0 0



    



Cõu 2 Thay giả thiết vào kết nhận được: 064

, ; 93 ,

1192 

 



r Y

Nhập cõn bằng: M 0,1.0,9.Y 107,36150 X0-Nền kinh tế có thặng dư thương mại Thuế cõn bằng: T 0,1Y 119,293400G0-Nền kinh tế cú thõm hụt ngõn sỏch

          



 

 

    

s d

d d

M L

r Y

L

r I

I

Y t Y

Y M

Y C

M X G I C Y

1200

,

2000 ) (

1 ,

8 ,

0

(6)

Ngô văn Mỹ-Toán Kinh Tế- KTQD GIẢI BÀI TẬP TỔNG ễN

6

1 Trong mụ hỡnh trờn cỏc biến kinh tế cỏc biến nội sinh, cỏc biến cỏc biến ngoại sinh?

2 Tỡm Y*, r* cõn Dựng lý thuyết hệ hàm ẩn phân tích tác động M

s, G0 tới thu nhập

lói suất cõn

3 Cho Ms=1500; xác định mức chi tiêu phủ để cân đối ngân sách

4 Cho G0=94, Ms=1500; tỡm cỏc hệ số co gión Y* theo G0, M0 giải thớch ý nghĩa kết

quả Cho biết tỡnh trạng ngõn sỏch chớnh phủ

Giải

Cõu 1 Mụ hỡnh cú phương trỡnh nờn cỏc biến nội sinh gồm: Y, C, I, T, L, T; cỏc biến ngoại sinh là: G0, Ms

Cõu 2 Ta cú kết quả:

25

) 100 (

50 0  



 M G

Y s

25

500

,

5 0  



 G Ms

r

Phõn tớch tĩnh so sỏnh

Ta cú hệ: (*)

100

,

50

0 

  

  

 

 

G r Y

M r

Y s

Trong đó: Y Y(Ms,G0);r r(Ms,G0)

Lấy đạo hàm riêng toàn phần hệ (*) theo Ms ta cú:

(**)

4 ,

1 50

5

      

 

  



 

  



 

s s

M r M

Y

M r M

Y

Hệ (**) cú nghiệm:

0 25

1   

 

s M

Y

- hay lượng cung tiền Ms tăng thỡ thu nhập cõn tăng

0 25

4 ,

   

  s M

r

-hay lượng cung tiền Ms tăng thỡ lói suất cõn giảm

Tương tự lấy đạo hàm riêng toàn phần hệ (*) theo G0 ta tỡm

0

&

G r G Y

  

  

Cõu 3 Ms = 1500 thỡ cú:

25 50

6500 G0

Y   Điều kiện cân đối ngân sách là:

80 25

,

25 0 0

0    

 



G G Y G

T

Cõu 4 Khi G0 = 94, Ms = 1500 cú: Y* = 448; ta cú:

         

  

 

  

 



  

s M L

r Y L

r I

Y T

T Y C

G I C Y

50 65

25 , 25

) ( , 15

(7)

42 , ;

13 ,

0 /

/   

 M Y G

Y s 



Trong đó: Y-thu nhập quốc dân; C-tổng tiêu dùng; I-tổng đầu tư; Ms-lượng cung tiền; G0-chi tiờu

chớnh phủ, r-lói suất

1 Xác định thu nhập, tiêu dùng lói suất cõn

2 Cho biết b tăng lên, yếu tố khác không đổi thỡ thu nhập cõn tăng hay giảm vỡ sao? Cho biết b giảm đi, yếu tố khác khơng đổi thỡ lói suất cõn tăng hay giảm, vỡ sao?

Giải

Cõu 1 Thay I, C vào biểu thức thu nhập Y cú: 1b(1t)Y lraeG0

Ta cú hệ: 1 (1 ) (*)

  

 

     

s M hr kY

G e a lr Y t b

Áp dụng quy tắc Cramer cú:  

lk t b h

lM G e a h

Y s

  

   



) (

)

(

 

 b t  lk

h

t b M G e a k

r s

  

      

) (

) ( )

( 0

Y* > theo giả thiết; r* > k(aeG0)Ms1b(1t)0 (**)

Cõu 2 Ta cú:  

 

 (1 ) 

) ( )

(

2

0 

  

 

   

 

lk t b h

t h lM G e a h b

Y s

hay b tăng thỡ thu nhập cõn tăng

Cõu 3 Tương tự có:

 

 (1 ) 

) ( )

1 (

2 

  

 

 

  

lk t b h

t TSh MS t M b

r s

hay b tăng thỡ lói suất cõn tăng

Bài 9 Hàm doanh thu trung bỡnh hóng độc quyền dạng: AR=240-0,5Q

1 Tỡm hệ số co gión cầu theo giỏ mức giỏ p = 190; giải thớch ý nghĩa kinh tế hệ số này?

2 Tỡm hàm doanh thu biờn; giải thớch ý nghĩa kinh tế tỷ số Q=100

3 Xác định mức biến động TR(Q) doanh nghiệp tăng lượng hàng bán từ 80 lên 100 đơn vị?

4 Cho hàm chi phớ Điểm hồ vốn hóng cú thuộc khoảng

(30,40) khụng? Vỡ sao?

Giải

Cõu 1 Do AR(Q) = p nên có hàm cầu ngược: p = 240-0,5Q Khi p = 190 thỡ Q = 100; hệ số co

gión cầu theo giỏ: 3,8

) , (

1 100 190 /

1

/      

dQ dp Q

p dp dQ Q

p p Q

 Tại mức giá p = 190

giá tăng 1% cầu giảm 3,8%

Cõu 2 Hàm TR(Q)=AR(Q).Q=240Q-0,5Q2 

     

 



   



   

 

 

 

) , (

) ;

0 , (

) , ; ( ) (

) ( 0

h k hr kY M

b l l e lr

e I

t b a

Y t b a C

G G

I C Y

s

) (

Q AR

Q MR

3 0,25

12

40 Q Q Q

(8)

8

khi hàm doanh thu biên MR(Q)TR(Q)240Q

Ta cú: 0,73

190 140

, 240

240 )

( )

( /

) (

) ( )

( )

( 100

/ 

  

 

 

 TR Q Q

Q Q dQ

Q dTR Q

TR Q Q

Q TR

Q R T Q AR

Q

MR 

- hay mức sản lượng Q = 100 mà tăng Q lên 1% thỡ doanh thu tăng 0,73%

Cõu 3 Mức tăng lên tổng doanh thu là:       100

80 100

80

) 240 ( )

(Q dQ Q dQ

MR A

3000 |

2 240 10080

2

 Q

Q

Cõu 4 Ta cú hàm lợi nhuận: (Q)TR(Q)TC(Q)0,25Q31,5Q2 228Q40 (Q)0,75Q2 3Q2280Q1 15,54;Q2 19,54 Bảng xét dấu:

Q  -15,54 19,54  - | + -

) (Q

 | đồng biến | nghịch biến Nhận thấy hàm (Q) nghịch biến Q > 19,54 Mặt khác lại có:

  

  

 

0 4520 )

40 (

0 1400 )

30 (  

Kết hợp ý ta kết luận phương trình (Q)0có nghiệm Q(30,40)- điểm hồ vốn hãng

Với: p-giá đơn vị hàng hoỏ (p >0)

Chứng minh thị trường tồn trạng thái cân giá cân lớn

Giải Xét hàm dư cung:      

p p

f( ) 10 21 15 hàm liờn tục p > Giỏ cõn cú ký hiệu 

p thỡ ln có: S(p)D(p) f(p)S(p)D(p)0

Như vậy, ta phải chứng minh phương trỡnh f(p)0 cú nghiệm (01)

Ta cú:      

p p

f( ) 10 21 15 hàm liờn tục p >

Mặt khỏc: f(p)10p121p115p10 p0 hay f(p) đồng biến Ta lại cú: f(1)1021150

Và:  

 ( )

lim

p f p

Từ điều thỡ phương trỡnh f(p)0 cú nghiệm (01) hay giá cân tồn lớn

Bài 11 Cho mụ hỡnh thị trường hàng hố A có dạng;

) (Q



   

 



 

) , , ( 21

10 15

  

 



p p

(9)

Trong đó: p-giá hàng A (p > 0), Y0 (Y0 > 0) thu nhập

1 Chứng minh thị trường hàng A tồn trạng thái cân

2 Dùng đạo hàm hàm ẩn phân tích biến động giá cân thu nhập Y0 thay đổi Sử dụng

hàm cung, hóy phõn tớch biến động lượng cân Y0 thay đổi

3 Sử dụng qui tắc tính đạo hàm hệ hàm ẩn để phân tích biến động trạng thái cân Y0 thay đổi

Giải

Cõu Hàm dư cung: f(p)1,5p0,24p0,12Y02 Y0 + Hàm dư cung xác định, liờn tục p0

+ Ta lại cú: f(p)0,3p0,80,4p1,1 0 p0 hàm dư cung hàm đồng biến p0

+ Mặt khỏc lại cú:

0

2 , )

(    Y02 Y0  Y0 

f

 

  f(p) Lim p

Khi theo định lý giá trị trung gian hàm liên tục phương trỡnh f(p) = cú nghiệm nghiệm lớn 1- nghiệm giá cân

Cõu 2 Ta luụn cú: ( , ) 1,5( ) 4( ) 0

2 ,

,

0     

  



Y Y p

p Y

p

F xác định ẩn hàm p  p(Y0)

Theo qui tắc đạo hàm hàm ẩn có:

) ( , ) ( ,

1 /

/

1 ,

,

0

 

 

 

  

     



p p

Y p

F Y F dY

dp

Hay Y0 tăng thỡ giỏ cõn p

* tăng

Ta lại cú:

   



 

 



) (

) ( , ) (

0

2 ,

Y p p

p p

S Q

Khi đó: 0,3( )

0 , 0

0

 

    

  

dY dp p

dY dp dp dQ dY

dQ

- hay Y0 tăng thỡ lượng cân Q* tăng Cõu 3 Sử dụng hai hàm cung cầu ta cú hệ:

(*)

) (

0 ) ( ,

0 ,

2 , 

  

   

 

  

 

Y Y p

Q

p Q

xác định ẩn hai hàm số: QQ(Y0);p p(Y0) Lấy đạo hàm toàn phần hệ (*) theo Y0 cú kết quả:

(**)

4 )

( ,

0 )

( ,

0 ,

0 , 0

      

  

 

   

Y dY dp p

dY dQ

dY dp p

dY dQ

Ta có định thức Jacobi dạng: 

  

  





0 ,

2 ,

2

5 ,

Y Y p

(10)

10

8 ,

, 1

,

8 ,

) ( , ) ( , )

( ,

) ( ,

1   

 

 



 p p

p p J

0 ) ( ) ( , )

( ,

) ( , 0

0 ,

,

8 ,

0

  

 

    

  

J Y p

J p Y

p dY

dQ

0 4

0

    



J Y J

Y dY

dp

Ta dễ nhận thấy kết nhận trùng với kết cú phần Như vậy, thu nhập Y0 tăng thỡ giỏ cõn lượng cân tăng

Bài 12 Cho mụ hỡnh thị trường A dạng:

Trong đó: Y0-thu nhập; T0-thuế; p-giỏ; Y0,T0, p >

1 Chứng minh thị trường hàng A tồn trạng thái cân

2 Dùng đạo hàm hàm ẩn phân tích biến động giá cân thu nhập Y0 thay đổi; T0

thay đổi

3 Sử dụng hàm cung, hóy phõn tớch biến động lượng cân Y0 thay đổi; sử dụng hàm

cầu để phân tích biến động lượng cân T0 thay đổi

4 Sử dụng qui tắc tính đạo hàm hệ hàm ẩn để phân tích biến động trạng thái cân Y0, T0 thay đổi

Giải

Cõu 1 Trước hết ta đặt điều kiện để cung cầu dương:

Ta giải hệ: 60 50 0,15 (*)

) (

60 15 , 50

0

Y p

p do p

Y p

S D

    

 

 

   

 

  Ta có hàm dư cung:

0

2

3 , 100

2 , 12 ) ( ) ( )

( p Y

T p p

D p S p

f   

    

 với điều kiện (*)

Ta lại cú:

1 , ) (

0     

T p p

f - hàm dư cung hàm đồng biến

Mặt khỏc cú: f( 60)D( 60)1002 600,3Y0 0

0

) 15 0225

, 2500 ( , 12 ) 15 , 50 ( ) 15 , 50 (

0

0 0

0  

 

   

 

T

Y Y

Y S

Y f

Khi theo định lý giá trị trung bỡnh hàm liờn tục phương trỡnh f(p) cú nghiệm nghiệm thoả (*)- giá cân

Cõu Giỏ cõn thoả món:

    

   

  

0

1 , 12

3 , 100

T p S

(11)

Ngơ văn Mỹ-Tốn Kinh Tế- KTQD GIẢI BÀI TẬP TỔNG ễN ) , , ( , ) ( 100 ) ( , 12 ) ( ) ( )

( 0 0 0

0 T Y p F Y p T p p D p S p

f  

               (**)

Hệ thức (**) xác định ẩn hàm hai biến p  p(Y0,T0); theo qui tắc tính đạo hàm hàm ẩn có kết sau:

0 , , , , / / 0 0                      T p T p p F Y F Y p

-hay Y0 tăng thỡ giỏ cõn

tăng

Tương tự có:

1 , ) ( ) ( , 12 / / 2 0                    T p T p p F T F T p

vỡ giỏ cõn p* thoả (*)

Cõu Ta cú:

                ) , ( ) ( , 12 ) ( 0 T Y p p T p p S Q

Khi có:

1 , 0 0                   Y p T p Y p p Q Y Q

- hay Y0 tăng thỡ Q* tăng (với điều kiện T0 không đổi)

Tương tự ta cú:               ) , ( , 100 ) ( 0 T Y p p Y p p D Q

Khi có:

0 0                  T p T p p Q T Q

-hay thuế tăng lượng cân giảm

Ta dùng hàm cung để phân tích biến động lượng cân T0 tăng, dùng hàm cầu để phân

tích biến động lượng cân thu nhập Y0 thay đổi; nhiên cách làm thường khơng

thuận lợi cách ta làm trờn

Cõu Ta cú hệ:

                                   ) ( , 12 , 100 ) ( , 12 , 100 0 T p Q Y p Q T p Q Y p Q (*)

Hệ (*) xác định ẩn hai hàm số hai biến số là: Q Q(Y0,T0) p  p(Y0,T0) Lấy đạo hàm riêng toàn phần hệ (*) theo Y0 ta cú:

                                                    , , , 0 , 0 0 0 0 0 Y p T p Y Q Y p Y Q Y p T p Y Q Y p Y Q (**)

(12)

12

0

1 ,

4 ,

2

T p T

p J

     

  

0

12 ,

4 , 0

2 ,

0

      

 

 



J T

p J

T p Y

Q

- hay Y0 tăng lên thỡ Q* tăng

Tương tự có:

0 0

1 ,

0

   

  

J J

Y p

-hay Y0 tăng thỡ giỏ p* tăng

Các kết nhận trùng với kết cú Tương tự lấy đạo hàm riêng toàn phần hệ theo T0 ta tính đạo hàm cũn lại

1 Xác định trạng thái cân

2 Giả sử Chính phủ đánh lượng thuế t đơn vị hàng bán ra; hỏi phải định t thỡ tổng thuế thu cực đại

3 Phải thuế tăng 1% thỡ giỏ cõn tăng 1%?

Giải

Cõu 1 Trạng thái cân nghiệm hệ;

   

   

  

 

 

 

150 60

30 , 180

2

p Q Q

p

Q p

Cõu 2 Khi có thuế t trạng thái cân nghiệm hệ:

      

  

  

0 ;

2 30

5 , 180

2

t p

Q p

Q t

p

s s s

Ta có lượng cân bằng: (0 150)

5 , 150

~   

t t

Q

Tổng thuế thu được: max

5 , 150

~  

tQ t t

T

Nhận thấy T đạt lớn với 2,5T3 hay xét: f(t)t2(150t)max

Ta ln có:

0 100

3 300

) (



     

t t t tt

f

f (100)0

   

 

 

2

2 30

5 , 180

s d Q p

(13)

Vậy lượng thuế thu đạt cực đại t*=100

Câu 3 Khi có thuế giá cân thị trường giá người mua:

5 150

4 150

~p p t t t t

s     



có:

750 ~ ~ /

~ 

  

t t dt

p d p t t p

 - tăng t lên 1% p~tăng chưa tới 1%

Bài 14 Cho hàm: ; với Q sản lượng (Q  0) Tỡm hàm VC(Q); AVC(Q) Xỏc định FC

2 Tỡm hệ số co gión tổng chi phớ theo Q mức Q = 10 giải thớch ý nghĩa kinh tế nú 3* Tỡm cỏc hàm MC(Q) AC(Q); chứng minh MC cắt AC điểm mà AC(Q) đạt cực tiểu

Giải

Câu 1 Ta có: FCTC(0)75; VC(Q)TC(Q)FCQ35Q214Q

Khi có: ( ) ( )  25 14

Q Q Q

Q VC Q AVC

Câu 2 Ta có TC(10) = 715; lại có: MC(Q)TC(Q)3Q210Q14MC(10)214

Khi đó: 214 2,99

715 10 )

( ) (

10

/   

 Q Q

TC MC Q

Q TC

Q



Ý nghĩa kinh tế: Tại mức Q = 10 mà ta tăng Q lên 1% tổng chi phí tăng lên xấp xỉ 2,99%

Câu 3 Ta có:

Q Q

Q TC Q

AC( ) ( )  25 1475

( ) 75

2 

   

Q Q

Q C

A (1)

Vế trái (1) hàm số liên tục Q > có:

( ) 150 0

3   

 

 Q

Q Q

C

A - vế trái (1) đồng biến Q>0

Mặt khác lại có:

   

    

 

Q

Q C LimA

C A

) (

0 ) (

Từ kết ta kết luận hàm AC(Q) đạt cực tiểu điểm Q* > thoả mãn:

0 ) (

75

2 



 



Q

Q (2)

Xét: ( ) ( ) 25 14753 210 142 25 750

Q Q Q Q

Q Q Q

Q Q MC Q

AC

0 75 ) 75

(   2     2 

Q Q

Q (3)

Để ý đến (2) (3) có nghiệm Q* hay MC(Q) cắt AC(Q) điểm mà AC(Q) đạt cực tiểu

(Ta dùng máy tính để tính gần Q*) Bài 15 (Quan hệ hàm tổng cỏc hàm suy dẫn)

Cho hàm tổng T(x) (chẳng hạn hàm tổng chi phớ, hàm tổng doanh thu,…) 75

14

)

(Q Q3  Q2 Q

(14)

14

1 Hóy viết hàm cận biờn M(x); hàm trung bỡnh A(x) Giải thớch ý nghĩa tỷ số:

3 Chứng tỏ rằng, A(x) đạt cực trị x* thỡ M(x*)=A(x*)

4 Hóy nờu qui tắc chung để vẽ đường A(x) M(x) lên hệ trục toạ độ A(x) có cực trị

5 Cú kết luận gỡ hệ số co gión T theo x điểm mà A(x) đạt cực trị

Giải

Câu 1 Hàm cận biên M(x)T(x); hàm trung bình ( ) ( ) (x0)

x x T x

A

Câu 2 Ta có: T x

dx x dT x T

x x

A x M

/ ) ( ) ( ) (

)

(  

- hệ số co giãn hàm T(x)

Câu 4 Ta có: ( ) ( ) (x0)

x x T x A

2

) ( ) ( ) (

x x T x x T x

A   

Khi A(x) đạt cực trị x* thì:

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

(    

 

          

 T x A x M x

x x T x

T x x T x

A

a Nếu A(x) đạt cực tiểu x* thì:

+ Khi xx có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) M(x) A(x)

x x T x T x

T x x T x

A           (1)

Hệ thức (1) chứng tỏ xxthì đồ thị đường M(x) thấp đồ thị A(x)

+ Khi xx có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) M(x) A(x)

x x T x T x

T x x T x

A           (2)

Hệ thức (2) chứng tỏ xxthì đồ thị đường M(x) cao đồ thị A(x)

b Nếu A(x) đạt cực đại x* thì:

+ Khi xx có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) M(x) A(x)

x x T x T x

T x x T x

A           (3)

Hệ thức (3) chứng tỏ xxthì đồ thị đường M(x) cao đồ thị A(x)

+ Khi xx có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) M(x) A(x)

x x T x T x

T x x T x

A           (4)

Hệ thức (4) chứng tỏ xxthì đồ thị đường M(x) cao đồ thị A(x)

Câu 5 Ta có:

) (

) ( ) ( ) (

/     

 

  

x A

x M x

T x T

x

x T 

Bài 16 Lượng cầu hàng hoá A phụ thuộc vào giá p dạng:

1 Hệ số co gión DA cú phụ thuộc vào giỏ p hay khụng?

) (

x A

x M

) ,

( 

 k n

(15)

2 Với n = 1; hóy tớnh giải thớch ý nghĩa kinh tế cỏc kết đạt

Giải

Câu 1 Ta có:  

/

/  

 

 kp n

p k

p dp

dD D

p n

n A

A p A D

 - hệ số co giãn không phụ thuộc giá

Câu 2 Khi n = có: DA kp1DA (1)kp20DA 2kp30 p0

Đây tình kinh tế mà giá tăng lên cầu giảm tốc độ giảm cầu theo giá tăng giá tăng (hoặc nói đơn giản: giá tăng cầu giảm với nhịp tăng)

Bài 17 Dõn số quốc gia là: ; tổng tiờu dựng quốc gia là: ; t biến thời gian

1 Giải thớch ý nghĩa H0, C0

2 Tỡm nhịp tăng trưởng tiêu dùng tính đầu người quốc gia

Giải

Câu 1 Xét H(t)H02at H(0)H02a.0H00- H0 dân số vào thời điểm gốc

Tương tự xét: C(t)C0ebt C(0)C0eb.0 C00- Vậy C0 tiêu dùng vào thời điểm gốc

Câu 2 Từ ln2 ln2

2 1

2 )

( 0

0

0 H a a

H dt dH H r H

t

H at

at H

at    



Tương tự có: rC b Tiêu dùng tính đầu ngưịi C/H; áp dụng cơng thức nhịp tăng

trưởng thương có:

2 ln

/ r r b a

rC H  C  H  

Bài 18 Cho G = G(t), S = S(t) hàm xuất hàng hoá dịch vụ Việt nam; biết nhịp tăng trưởng xuất hàng hoá rG = a (a > 0), nhịp tăng trưởng xuất dịch

vụ rS = b (b > 0) Hóy viết biểu thức nhịp tăng trưởng tổng xuất X(t) = G(t) + S(t) Giải

Áp dụng công thức nhịp tăng trưởng tổng có:

b t S t G

t S a

t S t G

t G r

t S t G

t S r

t S t G

t G

rX G S

) ( ) (

) ( )

( ) (

) ( )

( ) (

) ( )

( ) (

) (

  

 

 



Bài 19 Cho xuất Việt nam là: ; nhập Việt nam là:

1 Giải thớch ý nghĩa kinh tế X0, M0, a, b

2 Tỡm nhịp tăng trưởng xuất rũng NX(t) = X(t) - M(t)

3* Giả sử vào thời điểm gốc có thâm hụt thương mại; hóy cho biết diễn biến cỏn cõn thương mại tương lai

Giải

Câu 1 Lập luận tương tự tập có thì:

X0 - xuất vào thời điểm gốc; M0 - nhập vào thời điểm gốc; có: rX a,rM b Câu 2 Áp dụng công thức nhịp tăng trưởng hiệu có:

2

dp D d

D A

A 

) , (

2 0

0 

H H a

H at

) , (

0 

Ce C b

C bt

) , ( )

(t X0e X0 a

X at

) , (

0 

M e M b

(16)

16

b t M t X

t M a

t M t X

t X r

t M t X

t M r

t M t X

t X

rEX X M

) ( ) (

) ( )

( ) (

) ( )

( ) (

) ( )

( ) (

) (

 

 

 

 

Câu 3 Theo giả thiết có thâm hụt thương mại vào thời điểm gốc nên có: M0 > X0 (1) Khi có

tình xảy ra:

a Nếu nhịp tăng trưởng xuất không vượt nhịp tăng trưởng nhập thâm hụt thương mại trì vĩnh viễn Thật vậy:

  

  

     

  

    

 

0

0 )

2 (

) (

0

t e X e M t

e X e

M t

at X bt

M a

X b

M bt at

at bt

b Nếu nhịp tăng trưởng xuất lớn nhịp tăng trưởng nhập có thời điểm EX = sau thời điểm EX > Thật vậy:

0 ) (

0 ) ( ) (

X M e

e M e X t M t

X   at  bt  abt  (3)

Do có giả thiết (1) a > b nên phương trình (3) có nghiệm dương nhất:

b a

X M t

 

 ln( 0/ 0)

Dễ thấy t t X(t)M(t)EX(t)0

Bài 20 Một hóng độc quyền có hàm sản xuất ngắn hạn là: ; hàm cầu ngược sản phẩm hóng là: Hóng cú thể thuờ lao động với mức lương cố định 8$/1 đơn vị

1 Xác định số đơn vị lao động L cần thuê để lợi nhuận hóng đạt cực đại

2 Tỡm hệ số co gión lợi nhuận theo L mức L = 25; giải thớch ý nghĩa kinh tế hệ số này?

3 Cho biết hàm thu hút lao động hóng cú dạng với t biến thời gian Hóy tớnh nhịp tăng trưởng sản lượng Q

Giải

Cõu 1 Ta cú:

16

2

,

0 Q

L L

Q   ;

2 16

2

Q Q

Lp

TC     ; TR pQ(2002Q)Q Khi đó:

) ( 200

5 ,

2 2  



 Q Q Max Q



40

200

5    

 

 

Q Q



0 5   

 ; hàm lợi nhuận hàm lừm, nờn mức sản lượng cực đại lợi nhuận Q 40 Mức sử dụng lao động tối ưu là: L 100

Cõu 2 Ta cú quan hệ:

  

 

) (

L Q Q

Q

 

Nờn theo qui tắc tớnh hệ số co gión hàm hợp cú: /L /QQ/L (*) Khi L = 25 thỡ Q4 2520; (20)3000

5 ,

4L Q Q

p2002

(17)

3 ) 200

(

3000 20 /

   

 

 

 

  

Q

Q Q

Q dQ d Q

; Ta lại cú: /  0,5 dL dQ Q

L L Q

 Thay kết

nhận vào (*) có: 0,33

3 /L  



 Ý nghĩa kinh tế: doanh nghiệp tăng 1% lao động thỡ

lợi nhuận tăng xấp xỉ 0,33%

Cõu 3 Ta cú quan hệ:

(**) )

( ) (

/L L Q

Q r

r t L L

L Q Q

   

 

 



Khi thỡ rL 0,03; ta cú Q/L 0,5 nên từ (**) xác định được: rQ 0,015- có nghĩa nhịp tăng trưởng sản lượng 1,5% năm (khi đơn vị thời gian năm)

Bài 21 Cho hàm lợi nhuận bậc hai:

Hóy cho biết cỏc điều kiện hệ số h, j, k để hàm lợi nhuận thoả đồng thời điều kiện kinh tế sau:

1 Khi sản lượng bán Q = thỡ lợi nhuận õm Hàm lợi nhuận hàm lồi ngặt (thực lồi) Lợi nhuận đạt cực đại Q* >

Giải

Câu 1 Ta phải có: (0)0k0 (1)

Câu 2 Mặt khác: (Q)2hQ j0 theo giả thiết h khác khơng nên có nghiệm:

2 

 



h j

Q jh < (2) Để hàm lợi nhuận đạt cực đại Q* phải có (Q)0 Ta có:

0

2   



 h h

 (3); kết hợp với (2) có: j >

Câu 3 Hơn mặt kinh tế lợi nhuận cực đại phải dương:

0

2 )

(

) (

       

hk j

h hk j

Q

 (4)

Tóm lại hệ số j, h, k thoả mãn cụm điều kiện sau:

      

    

0 0

2 hk

j h j k

Bài 22 Cho hàm số:

1 Tỡm ; xác định giao y với oy; khảo sát tính tăng giảm ; tính lồi lừm y; vẽ đồ thị y

2 Nếu ta dùng hàm số làm hàm chi tiêu (a consumption function) với x thu nhập; y lượng tiêu dựng, thỡ cỏc hệ số a, b, c phải thoả thờm điều kiện gỡ để có tính hợp lý mặt kinh tế?

Giải

t e L1,2 0.03

) ( )

(Q hQ2  jQk Q



) (Q



) ; , ,

(  

 

 a b c x

x c

b a y 

 x

(18)

18

Câu 1 Ta có: a

x c

b a y

x x

   

  

 lim ( )

lim - hay y = a tiệm cận ngang đường cong

 

x Ta lại có:

c b a

y(0)  tung độ giao điểm đường cong cho với trục tung Mặt khác:

     

 0

)

(

x c

x b

y hàm số đồng biến

      

 0

) (

2

3 x

x c

b

y hàm cho lồi

(Tự vẽ đồ thị)

Câu 2 Để hàm số dùng làm hàm tiêu dùng ta cần có điều kiện là:  0

c b

a (*) Khi

tính hợp lý mặt kinh tế giải thích sau:

+ Điều kiện (*) tiêu dùng tự định (tiêu dùng thu nhập x = dương)

+ y0- hàm số đồng biến theo x, hay thu nhập x tăng tiêu dùng tăng Thêm vào có y0

thì tốc độ tăng y theo x giảm- có nghĩa thu nhập tăng tiêu dùng tăng tốc độ tăng

này giảm dần x tăng Hơn nữa, từ a

x c

b a y

x x

   

  

 lim ( )

lim ta thấy thu nhập x mức

rất cao tiêu dùng có xu bão hồ

Bài 23 Tỡm hàm tổng chi phớ trường hợp sau:

1

2

3

Giải

Câu 1 Họ hàm tổng chi phí có dạng:

C Q Q Q dQ Q

Q dQ

Q MC Q

TC( ) ( ) (15 28 3) 5 34 23  (1) Mặt khác có:

100 )

0 ( 100

) (

   

FC TC C C -hay hàm chi phí thoả mãn đầu có dạng:

100

4 )

(Q  Q3 Q2 Q TC

 

 MC Q dQ Qe dQ

Q

TC( ) ( ) 0,5Q (1)

Áp dụng công thức tích phân phần: udvuvvdu với: Q

Q

e dQ e

v dQ du Q

u3  3 ;  0,5 2 0,5 họ hàm chi phí có dạng:

C e

Qe dQ e

Qe Q

TC( )6 0,5Q6 0,5Q 6 0,5Q12 0,5Q (2) Thay Q = vào (2) có:

30 = TC(0) = -12 + C, có C = 42 – hay hàm chi phí thoả mãn đầu là:

42 12

6 )

(Q  Qe0,5Q e0,5Q 

TC

100 ;

3 15 ) ( )

(   2  

 Q MC Q Q Q FC

C

30 ;

3 0,5 

 Qe FC

MC Q

90 ;

2 0,2 

 e FC

(19)

     

 MC Q dQ e dQ e d Q e C

Q

TC( ) ( ) 0,2Q 10 0,2Q (0,2 ) 10 0,2Q (1) Thay Q = vào (1) có:

80 10

) (

90FCTC  CC

Hàm chi phí thoả mãn đầu có dạng:

80 10

)

(Q  e0,2Q  TC

Bài 24 Cho khuynh hướng tiết kiệm biên:

1 Hóy tỡm hàm tiết kiệm biết tiết kiệm khụng thu nhập Y = 81 $

2 Cho biết mức tăng lên tổng tiết kiệm thu nhập tăng từ Y = 100 lờn Y = 200?

Giải

Câu 1 Họ hàm tiết kiệm có dạng:

C Y Y dY

Y dY

Y S Y

S( ) ( ) (0,30,1 0,5) 0,3 0,2 1/2 (1) Thay Y = 81 vào (1) có:

5 , 22 81

2 , 81 , ) 81 (

0S   CC

Hàm tiết kiệm thoả mãn đầu có dạng:

5 , 22

, , )

(Y  Y  Y1/2 S

Câu 2 Mức tăng lên tổng tiết kiệm là:

2 32 )

2 , , ( ) , , ( )

( )

( ) 100 ( ) 200

( 200

100 / 200

100

5 , 200

100 200

100       



   

Y Y

dY Y dY

Y MPS Y

S S

S

Bài 25 Tỡm hàm tổng doanh thu R(Q) trường hợp sau:

2

Giải (Ta thừa nhận điều kiện biên TR(0)=0)

Câu 1 Họ hàm tổng doanh thu có dạng:

C e

Q dQ e

Q dQ

Q MR Q

TR    0,3Q  2 0,3Q

3 10 14

) 28

( )

( (1)

Thay Q = vào (1) có:

3 10

10 ) (

0TR  CC

Hàm tổng doanh thu thoả mãn đầu là: 10

10 14

)

(Q  Q2 e0,3Q TR

Câu 2 Họ hàm tổng doanh thu có dạng:

C Q

Q d Q dQ

Q MR Q

TR( ) ( ) 10(1 )2 (1 )10(1 )1 (1) Thay Q = vào (1) có:

10 10

) (

0TR  CC Hàm tổng doanh thu thoả mãn đầu là:

5 , , , ) ( )

(    

Y MPS Y Y

S

Q e Q Q

R( )28  0,3 ) ( 10 )

(   

Q Q

(20)

20

10

10 )

( 

  

Q Q

TR

Bài 26 Tỡm hàm tổng nhập M(Y) với Y thu nhập quốc dõn khuynh hướng nhập biên M = 20 Y = Xác định mức gia tăng tổng nhập thu nhập quốc dân Y tăng từ Y = 2000 lên Y = 2500?

Giải

Họ hàm nhập có dạng:

C Y dY dY

Y M Y

M( ) ( ) 0,1 0,1  (1) Thay Y = vào (1) có:

20 = M(0) = C hay hàm nhập thoả mãn đầu có dạng: M(Y)=0,1Y+20

Mức tăng lên nhập là:

50

, , )

( )

( ) 2000 ( ) 2500

( 25002000

2500

2000 2500

2000     



M M Y M Y dY  dY Y

M

Bài 27 Biết tiêu dùng C thu nhập Y Y=100 $ khuynh hướng tiờu dựng biờn là:

1.Tỡm hàm tiờu dựng

2 Cho biết mức tăng lên tiêu dùng thu nhập tăng từ 100 $ lên 200 $

3 Tớnh hệ số co gión tiờu dựng mức thu nhập Y = 200 $, giải thớch ý nghĩa kinh tế nú

Giải

Câu 1 Họ hàm tiêu dùng có dạng:

C Y

Y dY

Y MPC Y

C( ) ( ) (0,80,1 0,5) 0,8 0,2 1/2 (1) Thay Y = 100 vào (1) có:

18

80 ) 100 (

100C   CC

Hàm tiêu dùng thoả mãn đầu có dạng:

18

, , )

(Y  Y Y1/2 C

Câu 2 Mức tăng lên tiêu dùng là:



    

 

 200 

100

5 , 200

100

2 60 )

1 , , ( )

( 100

200 ) ( ) 100 ( ) 200

( C C Y MPC Y dY Y dY

C

Câu 3 Khi Y = 200 có C(200)1782

2

1 , , ) 200

(  



C

Ta có:

dY dC C Y

Y C/ 

 , Y=200 có: C/Y 0,924

Tại mức thu nhập Y = 200 thu nhập tăng 1% tiêu dùng tăng xấp xỉ 0,924%

Bài 28 Một hóng cú hàm chi phớ biờn Hàm doanh thu trung bỡnh

1 Hóy xỏc định mức tăng lên tổng chi phí sản lượng tăng từ 10 sản phẩm lên 20 sản phẩm

1 , ) ( 

Y M

5 , , , ) ( )

(    

Y MPC Y Y

C

700

3  

 Q Q

MC Q

(21)

2 Cho FC = 30; hóy xỏc định mức sản lượng tối đa hóa lợi nhuận hóng Cú ý kiến cho mức sản lượng tối đa hóa lợi nhuận hóng thỡ TC đạt cực tiểu, đồng thời TR đạt cực đại; ý kiến có hay khơng?

3 Cho FC = 30; chứng tỏ đường AC đạt giá trị bé

Giải

Cõu 1 Mức tăng lên tổng chi phí là:

13700 700

) 700

3 ( )

( )

( ) 10 ( ) 20

( 20

10

3 20

10 20

10        



TC TC Q MC Q dQ  Q Q dQ Q Q Q

TC

Cõu 2 Ta cú: TC(Q)Q3Q2 700Q30; TR(Q)QAR(Q)1900QQ2; đó: )

0 ( max 30

1200 )

(  3   

 Q Q Q Q



20

1200

) (

0

2   

 

  

Q Q

Q

Q 

0

6 )

(    

Q Q Q

 ; lợi nhuận đạt cực đại mức sản lượng Q*=20

Rừ ràng ý kiến sai vỡ hàm TC(Q) khụng cú cực tiểu; hàm TR(Q) đạt cực đại Q**=950 Cõu 3 Ta cú: ( ) ( )  2 70030 (Q0)

Q Q

Q TC Q AC

(*) 30 ) ( )

(     2 



Q Q

Q g Q C A

0

60 ) ( )

(     3   

 Q

Q Q

g Q C

A (**)

Dễ nhận thấy:

+ AC(Q)g(Q) hàm liờn tục Q > + Do cú (**) thỡ g(Q) hàm đồng biến Q >

+ Ta lại cú:

25 30 ) ( ; 30 )

(     g   

g

Ta khẳng định phương trỡnh (*) cú nghiệm Q(1,3) ; đồng thời Q* hàm AC(Q) đạt cực tiểu vỡ (**) chứng tỏ nú hàm lồi Q >

Bài 29 Một cơng ty độc quyền có hàm cầu ngược: ; hàm chi phớ biờn:

1 Tỡm cỏc giỏ trị Q dương để đảm bảo công ty tăng sản lượng thỡ doanh thu tăng

2 Cú ý kiến cho mức sản lượng tối đa hóa doanh thu cơng ty tối đa hóa lợi nhuận Hóy nhận xột ý kiến

Giải

Cõu 1 Ta cú: TR(Q)PQ400Q0,3Q2MR(Q)4000,6Q

Để công ty tăng sản lượng doanh thu tăng ta phải có MR(Q) > 0; ta có hệ:

, 400

0 , 400

0

) (

0

   

 

 

  

 

 

Q Q

MR Q

Cõu 2 Ta cú: TR(Q)PQ400Q0,3Q2MR(Q)4000,6Q

) , ( 

 Q

Q P4000,3 100

; ,

0 

(22)

22

3 2000

)

(Q  Q 

MR

Q Q

R T Q R

M ( ) ( )0,60  Hàm TR(Q) đạt giá trị lớn

3 2000 



Q

Từ giả thiết ta cú: TC(Q)0,15Q2100; hàm lợi nhuận dạng: 100

400 45

, )

(Q  Q2 Q



Dễ hàm lợi nhuận đạt cực đại

9 4000 ˆ 

Q Tóm lại ý kiến đầu ý kiến sai Bài 30 Một công ty độc quyền có hàm doanh thu trung bỡnh ; hàm chi phớ biờn:

chi phí cố định FC

1 Tỡm hàm chi phớ bỡnh quõn cụng ty trờn Cho , chứng minh hàm chi phớ bỡnh quõn đạt giá trị bé Tỡm cho biết ý nghĩa kinh tế tỷ số trờn

2 Tỡm mức sản lượng tối đa hóa lợi nhuận FC thay đổi

3 Cho biết FC tác động tới mức cung tối ưu; tới lợi nhuận tối ưu công ty nào?

Giải

Cõu 1 Hàm tổng chi phớ:

) ( 25

)

(  3     2   Q

Q FC Q

Q Q AC FC Q Q

Q Q TC

(*)

2 ) ( )

(     2 



Q FC Q

Q g Q C A

0

2 ) ( )

(     3   

 Q

Q FC Q

g Q C

A (**)

Dễ nhận thấy:

+ AC(Q)g(Q) hàm liờn tục Q > + Do cú (**) thỡ g(Q) hàm đồng biến Q >

+ Ta lại cú:

9 ) ( ;

)

(  FC g  FC 

g

Ta khẳng định phương trỡnh (*) cú nghiệm Q(1,3) ; đồng thời Q* hàm AC(Q) đạt cực tiểu vỡ (**) chứng tỏ nú hàm lồi Q >

Xột hiệu: ( ) ( ) (2 ) 2

0

2          



 

Q FC Q

Q Q FC Q Q Q AC Q MC

Q

Để ý đến (*) ta nhận thấy:

Q TR dQ

Q dTC Q TC

Q Q

Q TC

dQ Q dTC Q

AC Q MC Q

AC Q

MC ( ) /

) ( /

) (

/ ) (

) (

) ( )

( )

(       

 

   

 



Túm lại tỷ số chớnh hệ số co gión TC(Q) theo Q tớnh Q*- cho biết điểm Q* mà sản lượng tăng 1% thỡ tổng chi phớ tăng 1%

100 ;

3 ,

0 

 Q FC MC

Q AR 325

25

3 2 

 Q Q

MC

45 5FC

) , ( 

 Q

) (

  Q AC

Q MC

45 5FC

) (

  Q AC

(23)

Ngơ văn Mỹ-Tốn Kinh Tế- KTQD GIẢI BÀI TẬP TỔNG ễN Cõu 2 Hàm lợi nhuận: (Q)Q3 300QFCmax

10

300

) (

0

2   

 

  

Q Q

Q

Q 

0

6 )

(    

Q Q Q



Vậy lợi nhuận đạt giá trị lớn Q 10

Cõu 3 Sản lượng tối đa hố lợi nhuận khơng phụ thuộc vào FC Mặt khỏc ta lại cú:

FC

 





2000 )

10 (  

Khi đó: 10

 dFC

d

-hay FC tăng đơn vị thỡ lợi nhuận tối ưu giảm đơn vị

Bài 31 Cho hàm đầu tư (trong t biến thời gian) Xác định hàm vốn K(t) K(0) = 25

2 Xác định tổng lượng vốn tích luỹ khoảng thời gian

Giải

Câu 1 Ta có họ hàm vốn dạng:

C t

dt t dt

t I t

K( ) ( ) (121/3) 9 4/3 (1) Thay t = vào (1) có:

25 )

0 (

25K CC

Hàm vốn thoả mãn đầu là: K(t)9t4/325

Câu 2 Lượng vốn tích luỹ khoảng thời gian [1,10] là:

899 , 184 10 ) ( 10 ) ( ) ( ) 10

( 4/3

10

1

 

 

K K t I t dt t

K

Bài 32 Một doanh nghiệp cạnh tranh cú hàm chi phớ biờn: với Q sản lượng

1 Xác định mức tăng lên tổng chi phí doanh nghiệp định tăng sản lượng từ Q=5 lên Q = 10 đơn vị

2 Cho giá thị trường sản phẩm doanh nghiệp p = 39 FC = 20 Hóy xỏc định lượng cung cho lợi nhuận cực đại

3* Cho p tăng đơn vị ; hóy xỏc định mức tăng lượng cung tối ưu Q* lợi nhuận tối ưu

4* Cho p tăng 1%, hóy xỏc định số % biến động Q*

Giải

Câu 1 Mức tăng chi phí là:

33 , 258 )

25 12

( )

(

10 ) ( ) ( ) 10 (

10

5 10

5

 

 

 

TC TC Q MC Q dQ  Q Q dQ

TC

Câu 2 Với FC = 20 ta có hàm tổng chi phí có dạng: 20

25

3 )

(Q  Q3 Q2 Q

TC TR(Q)39Q; đó:

max 20

14

3 )

(Q  Q3 Q2 Q 



3

12 ) (t t

I 

 1,10 

t

25 12

)

(Q  Q2  Q

MC







(24)

24

7

14 12

) (

0

2    

 

  

Q Q

Q 

0 ) ( 12 )

(     

 

 Q Q hàm lợi nhuận hàm lõm với Q >

Kết luận Lợi nhuận đạt lớn Q* = (7)143,33

Câu 3 Đây câu khó, phải sử dụng lý thuyết hàm ẩn Thí sinh thi sử dụng cơng thức có Sau chứng minh cho trường hợp tổng quát cho trường hợp công ty cạnh tranh- hay giá p = const Khi đó:

max )

( )

(Q  pQTC Q 



Điều kiện cần: (Q) pTC(Q)0 (1)

Giả sử nghiệm (1) Q* hay có: pTC(Q)0 (2)

Điều kiện đủ:  (Q)TC(Q)0TC(Q)0 (3)

Để phân tích tĩnh so sánh ta phải coi (2) xác định ẩn hàm Q h(p) hay có: 

  



   



 

) (

0 ) ( )

, (

p h Q

Q C T p Q p F

Theo quy tắc lấy đạo hàm hàm ẩn:

0 ) ( )

( /

/ 

       

  

   



Q C T Q C T Q

F p F dp

dQ

có (3)

Như vậy, giá thị trường p tăng lên người sản xuất định cung lượng lớn Ta lại có:

) (

) ( )

(

) ( 

  

  



 

 p h Q

Q TC pQ



Lấy đạo hàm tồn phần (4) theo p có:

   

    

  

 

  

 

 Q

dp dQ dQ dTC p Q dp dQ dQ dTC Q

dp dQ p dp dQ dQ d dp d

) (

 

do có (2)

Trong có: TC(Q)TC(7)16; nên có:

16 



dp dQ

 7



Q dp d

4. Ta có: 0,348

16 39

/   

  

dp dQ Q

p

p Q 

1,9

33 , 143

39

/    

  

dp d p

p

  



Bài 33 Một doanh nghiệp cú hàm doanh thu biờn : Hóy tỡm tổng doanh thu doanh nghiệp định giỏ bỏn sản phẩm p = 715

Giải

2

05 , 960 ) ( 05

, 960 ) ( 15

, 960 )

(Q Q TR Q Q Q AR Q Q

MR         ; hàm cầu

ngược công ty là: p9600,05Q2

Thay p = 715 vào hàm cầu ngược có: 715 960 0,05 70

0

2 



  

Q Q

Q

Khi tổng doanh thu là: TR pQ7157050050

2 15 ,

960 Q

(25)

Bài 34 Công ty độc quyền cú hàm doanh thu biờn

1 Xác định mức tăng lên tổng doanh thu sản lượng tăng từ Q = 50 đơn vị lên Q = 60 đơn vị

2 Xác định doanh thu công ty giá bán sản phẩm p = 70

3 Cho hàm chi phớ biờn cụng ty là: FC = 75 Hóy xỏc định lượng

cung cho lợi nhuận cực đại

Giải

Cõu 1 Mức tăng lên tổng doanh thu là:

100 120

) 120 ( )

( )

50 ( ) 60

( 60

50 60

50

 

 

TR MR Q dQ  Q dQ Q Q

TR

Cõu 2 Ta cú: TR(Q)120QQ2 AR(Q)120Q p (*) Thay p =70 vào (*) thỡ sản lượng tương ứng Q = 50; hay mức giá cú: TR50703500

Cõu 3 Từ giả thiết FC = 75; sử dụng tích phân bất định tỡm được:

75 110

11 ) (

2

 



 Q Q Q

Q

TC

Hàm lợi nhuận: 10 75 max

2 ) (

3

    

 Q Q Q

Q



Dễ tỡm mức sản lượng cực đại lợi nhuận Q 10

Bài 35 Xột mụ hỡnh thị trường hàng hố:

trong p giá

1 Với giỏ trị p thỡ

2 Tỡm trạng thỏi cõn

3 Viết hàm dư cung hàm dư cầu; khảo sát tính đồng nghịch biến hàm Xỏc định lượng dư cung lượng dư cầu

Giải

Cõu 1 Ta xột hệ:

) ( 39

0 43

0

   

  

  

   

  

 

p p

p Q

Q d s

Cõu 2 Note Giá cân nghiệm phương trỡnh: Qs = Qd; phương trỡnh vụ

tỷ cú thể gõy khú khăn cho số thí sinh khơng tốn sơ cấp Ta trỏnh rắc rối cỏch tỡm hàm cung hàm cầu ngược:

) ( 39

43

) ( 2

1

2

       

      

d d

d

s s

s

Q Q

p p Q

Q Q

p p

Q

Lượng cân thoả món: 39

0

2      

Q Q

Q

Thay Q* = vào (2) (3) xác định giá cân p* = 18

Q MR1202

110 11

)

(Q Q2 Q MC

110 11

)

(Q Q2 Q MC

   

  

2 43

1

p Q

d s

0 & d 

s Q

(26)

26

Cõu 3 Hàm dư cung là: f(p)QsQd  p2 43 p1 với điều kiện (1)

p p

f  

 

 



43

1

2 )

( thoả (1)

Hàm dư cung hàm đồng biến; hàm dư cầu g(p)Qd Qs f(p)-nờn nú hàm nghịch biến

Cõu 4 Lượng dư cung kí hiệu PS(Producer, Surplus) tớnh theo cụng thức:

27 )

3 ( 18 )

(

3

0

1      



  

   

dQ Q

Q dQ

Q S Q p P

Q S

Lượng dư cầu kớ hiệu CS (Consumer, Surplus) tớnh theo cụng thức:

36 18 )

39 (

) (

3

0

1        

     



dQ Q

Q Q

p dQ Q D C

Q S

Bài 36 Một doanh nhân bỏ K $ vào thời điểm mua tích trữ loại rượu nho để bán vào thời điểm tương lai; biết giá trị lô rượu tăng theo qui luật

(t biến thời gian); giả sử chi phí bảo quản khơng đáng kể (có thể bỏ qua) Cho biết nhịp tăng trưởng giá trị lô hàng

2 Cho lói suất gộp liờn tục r; hóy xỏc định thời điểm bán lơ rượu có lợi

3 Chứng tỏ rằng, thời điểm bán có lợi thời điểm mà nhịp tăng trưởng giá trị lơ rượu lói suất gộp liờn tục trờn

Giải

Câu 1 Ta có: V(t)Ke t

Khi đó:

t t Ke

Ke dt dV V

r t

t V

2

1

  

 

Câu 2 Ta có: NPV Ke t ert K Ke trt K max

Để đơn giản ta nhận xét rằng: NPV đạt giá trị lớn f(t) t rtmax

Điều kiện cần: 2

4

1

1 ) (

r t r t r

t t

f         (1)

Điều kiện đủ: 0

4 )

(

2 /

3   

 

 r

r t

f - hàm f(t) lõm nên đạt lớn t*

Câu 3 Rõ ràng t* ta ln có: r t





2

- hay thời điểm bán có lợi thời điểm mà r nhịp tăng trưởng lơ hàng

Bài 37 Hàm cung (S) hàm cầu (D) hàng A cú dạng:

Trong đó: p-giá hàng A, M thu nhập

1 Cú ý kiến cho lượng cân khụng phụ thuộc thu nhập; ý kiến hay sai?

2 Giả sử Nhà nước đánh thuế thu nhập với thuế suất t; phân tích tác động thuế tới mức giá cân

t

Ke t V( )

  

  

 

120

, ,

150

,

p M

(27)

Ngô văn Mỹ-Toán Kinh Tế- KTQD GIẢI BÀI TẬP TỔNG ễN Giải

Câu 1 Điều kiện cân bằng: S D

hay ký hiệu giá cân p* có:

120 , , 150 ,

0 p  M  p

nhận thấy giá cân hàm M nên lượng cân phải hàm M Tóm lại, ý kiến đưa ý kiến sai

Câu 2 Thuế suất t thu nhập khả dụng Md (1t)M với t(0,1); điều kiện cân là:

0 270 ) ( , , ) , , ( 120 , ) ( , 150 ,

0 p  t M p F p M t  p t M  (1)

Hệ thức (1) xác định ẩn hàm pg(M,t), đó:

0 , , / / , ) ( , / /                           M p F t F t p t p F M F M p

Bài 38 Gọi p giỏ hàng A; q giỏ hàng B; M thu nhập; T thuế Mụ hỡnh thị trường hàng A có dạng:

1 Cho biết quan hệ hai hàng hoỏ A B

2 Phân tích tác động M, T tới giá cân mặt hàng A

3 Lượng cung SA thay đổi giá hàng A tăng 1% thuế tăng 1%? Giải

Câu 1 Ta có: 0,1.0,8 0,4 0,5 0,90     q p M q DA

-hai mặt hàng thay nhau; giá hàng B tăng mà giá hàng A khơng đổi cầu hàng A tăng

Câu 2 Giá cân mặt hàng A p* thoả mãn hệ thức:

) , , , ( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ,

0 M0,4 p 0,5q0,1 p 0,3T0.05  M0,4 p 0,5q0,1 p 0,3T0.05 F p* M T q (1) Hệ thức (1) xác định ẩn hàm biến số là: p  p(M,T,q) (2)

Áp dụng qui tắc tính đạo hàm hàm ẩn ta có:

0 ) ( 62 , ) ( , ) ( 32 , / / 05 , , , , , , ,                        T p q p M q p M p F M F M p

hay M tăng, thuế giá hàng B khơng đổi giá cân hàng A tăng

Tương tự có:

) ( 62 , ) ( , ) ( 27 , / / 05 , , , , 005 ,                       T p q p M T p p F T F T p

hay T tăng, thu nhập giá hàng B không đổi giá cân hàng A tăng Ta tính thêm đạo hàm p* theo q:

(28)

28

hay q tăng, thu nhập thuế không đổi giá cân hàng A tăng

Câu 3 Áp dụng công thức nhịp tăng trưởng hàm hợp:

% 75 , % ) 05 , ( % ,

/

/     

 SA p p SA T T

A

S r r

r  

Bài 39 Cho mụ hỡnh thị trường hàng A dạng:

Trong đó: p-giá hàng A; Y0-thu nhập;T0-thuế

1 Phân tích ảnh hưởng Y0,T0 tới giá cân bằng; giải thích ý nghĩa kinh tế kết nhận

được

2 Dùng hàm cung phân tích ảnh hưởng Y0 tới lượng cân bằng; dùng hàm cầu phân tích ảnh

hưởng T0 tới lượng cân Giải

Câu 1 Đặt giá cân p* có:

0 ) , ( ) , ( ) , , ( ) , ( ) ,

(pY0 S p T0 F p Y0 T0 D pY0 S pT0 

D (1)

Hệ thức (1) xác định ẩn hàm pg(Y0,T0)(2) Theo quy tắc đạo hàm hàm ẩn:

0 /

/

0 /

/

0

   

   

     

   

    

     

 

p p

T p p

Y

S D

S p

F T F T

p

S D

D p

F Y F Y

p

Câu 2 Ta có:

0 )

, (

) , (

0

0 

  

     

  



 

  

 

T p p D T

Q T

Y g p

Y p D Q

0 )

, (

) , (

0

0 

  

     

  



 

  

 

Y p p

S Y Q T

Y g p

T p S Q

Trong đó: S,D hàm cung hàm cầu hàng A; p-giá hàng A, M thu nhập khả dụng, q giá hàng B

1 Giải thớch ý nghĩa kinh tế ?

2 Hai hàng hoỏ nờu mụ hỡnh cú quan hệ thay hay bổ sung?

3 Tỡm mối liờn hệ để p, M, q thay đổi tỷ lệ thỡ cầu D khụng đổi Giả sử A B hai mặt hàng bổ sung nhau; phân tích ảnh hưởng M, q tới giỏ cõn Phân tích ảnh hưởng M tới lượng cân

Giải

Câu 1 Ta có:   

dp dS S

p p S/

   

    

    

) , ( ) , (

) ,

0 ( ) , (

0 0

0

T p

s

Y p

d

S S

T p S Q

D D

Y p D Q

   

    

  

) ;

; (

,

)

(

,

  



   

q M p D

p S

(29)

Ngơ văn Mỹ-Tốn Kinh Tế- KTQD GIẢI BÀI TẬP TỔNG ễN Câu 2 Xét hàm cầu: D0,1pMq

Nhận thấy:  (0,1 1)



    

q M p q

D

dấu với  Do vậy:

a Khi đó: 0

   

p D

 - A B hai mặt hàng thay

b đó: 0

   

p D

 -A B hai mặt hàng bổ sung

Câu 3 Giả sử tỷ lệ thay đổi biến (0,1), ta có:

) , , ( ) , ,

(p M q D p M q     D

Câu 4 (Ở dùng hàm ẩn hợp lý tính trực tiếp) Ta xét trường hợp 0 ký hiệu giá cân p* có:

0 )

( , ) ( , ) , , ( )

( , ) ( ,

0 p   p Mq F p M q  p   p Mq  (1) Hệ thức (1) xác định ẩn hàm pg(M,q); áp dụng quy tắc đạo hàm hàm ẩn có:

0 )

( , )

( ,

) ( , /

/

1

 

  

     

  



 

 

   

  

 



q M p

p

q M p p

F M F M

p

Tương tự:

/

/ 

 

     

 

p F

q F q

p

Câu 5Lưu ý muốn phân tích ảnh hưởng M tới lượng cân dùng hàm cung hoặc hàm cầu, ta thường dùng hàm cung hàm không chứa M.

Ta có: Q S 0,3(p); đó: pg(M,q) Khi đạo hàm riêng toàn phần:

      

 

  

M p p S M Q

- hay M tăng (p, q khơng đổi) Q* tăng

Bài 41 Cho hàm sản xuất COBB-DOUGLAS: ; đó: Q-sản lượng, K-vốn, L- lao động

1 Tỡm giải thớch ý nghĩa kinh tế điểm K = 27 L = 64

2 Tỡm cỏc hệ số co gión riờng Q theo K L Nếu K L tăng 1% thỡ Q tăng %?

4 Hàm sản xuất trờn cú phải hàm khụng? Nếu thỡ bậc mấy? Nếu doanh nghiệp tăng qui mơ thỡ hiệu có tăng hay khơng?

5 Chứng minh rằng: ; cho biết phần đóng góp vốn K , lao động L

tổng sản lượng làm Q?

6 Hai yếu tố K L hàm trờn cú quan hệ bổ sung hay thay nhau? Xác định tỷ lệ thay K cho L mức k = 27; L = 64; núi rừ ý nghĩa kinh tế tỷ lệ này? Nếu thực tế giỏ đơn vị vốn 40 USD, giá đơn vị lao động USD thỡ mặt kinh tế cú nờn thực tỷ lệ thay trờn hay khụng?

7 Hàm số cho cú thoả luật lợi ớch cận biờn giảm dần khụng?

) , (

30

1



 K L K L

Q

2

1; Q Q

L Q Q Q K Q

L

K   

      

1

 

L L k

k AP MP AP

(30)

30

8 Giả sử vốn K có nhịp tăng 3% năm lao động L có nhịp tăng 1% năm thỡ nhịp tăng Q %?

9 Tại mức sử dụng đầu vào K = 27, L = 64; giả sử dK = 0,1; dL = -0,3 mức biến động vốn lao động Tỡm cỏc mức thay đổi riờng dKQ dLQ giải thớch ý nghĩa kinh tế cỏc

đại lượng đó? Tỡm giải thớch ý nghĩa vi phõn tồn phần dQ

10 Đường đẳng lượng có mức sản lượng Q0 = 1080 có qua điểm có K= 27, L= 64 hay khơng?

Xác định độ dốc đường đẳng lượng này? độ đốc thay đổi vốn K tăng? giải thích ý nghĩa kinh tế tượng trên?

Giải

Câu 1 Ta có:

3 /

/ /

20

20 

      

 

 

K L L

K MP

K Q

k

Khi K = 27; L = 64 26,66

27 64 20

3 /

       

k

MP - hay mức sử dụng đầu vào K = 27, L = 64

giữ nguyên lao động tăng L lên đơn vị Q tăng xấp xỉ 26,66 Tương tự, ta có:

/

10 

     

L K

MPL k = 27, L = 64 thì: 5,625

L

MP

Câu 2 Ta ln có hệ số co giãn riêng:

3 / 20

30

3 / /

/ /

/   

 

 

L K L

K K K

Q Q K K Q 

Tương tự có: Q/L 1/3 Hệ số co giãn Q/L 1/3 có nghĩa giữ nguyên K tăng L lên 1% Q tăng 2/3%

Câu 3 Nếu K L tăng lên 1% số % tăng lên Q là:

/

/  

Q K Q L

 (tức Q tăng 1%)

Câu 4 Hàm sản xuất xét hàm bậc nú ứng với trường hợp tăng quy mô mà hiệu khơng đổi vì:

1 )

, ( 30

) ( ) ( 30 ) ,

(K L  K 2/3 L 1/3  K2/3L1/3Q K L  Q

Cõu Vỡ hàm sản xuất hàm bậc nờn định lý Euler có dạng: )

1 (

Q L Q L K Q

K 

     Trong (1) thỡ

K Q K

 

phần sản phẩm vốn tạo ra, tương tự

L Q L

 

phần sản phẩm lao động tạo ra; phần đóng góp tương ứng vào Q vốn lao động Nếu chia hai vế (1) cho Q thỡ cú:

1

1 / / /

/

)

(           /  / 

    

 Q K Q L

L L K

K AP MP AP

MP L

Q L Q K

Q K Q L

Q Q

L K Q Q

K  

(31)

Câu 6 Ta xét:

/

/ 

 

   

K Q

L Q dL

dK

-hai yếu tố thay ta giảm L phải tăng K lượng

dL dK

để Q không đổi Về mặt toỏn học thỡ

dL dK

độ dốc đường đẳng lượng; độ dốc âm thỡ K L biến thiờn ngược chiều hai yếu tố thay Trong kinh tế học thỡ

dL dK

MRTS-tỷ lệ thay kỹ thuật biên Đương nhiên, tỷ lệ thay thay đổi vỡ độ dốc đường đẳng lượng điểm khác đường khác Khi K = 27; L = 64 thỡ cú:

21 , 66 , 26

625 ,

  

 



K L MP MP dL

dK

Có nghĩa mức sử dụng đầu vào giảm đơn vị L thỡ phải tăng K 0,21 đơn vị thỡ sản lượng Q khơng đổi Tuy nhiên tỷ lệ thay kỹ thuật Bõy ta xột mặt kinh tế: Theo giả thiết thỡ tiết kiệm đơn vị lao động tiết kiệm USD chi phí; tăng 0,21 đơn vị vốn thỡ phớ thờm 0,21.40 = 8,4 USD Như vậy, thay khơng có lợi mặt kinh tế

Câu 7 Ta có: 20 2 20/3 4/3 1/3

2 / /

1      

   



  

L K L

K Q

K Q L

K K

Q

KK

Hoàn toàn tương tự có: QLL 0 Vậy hàm số cho thoả mãn luật lợi ích cận biên giảm dần

Câu 8 Áp dụng công thức: rQQ/KrK Q/LrL2/33%1/31%2.33%

Câu 9 Ta tính vi phân riêng:

666 , , 66 ,

26  

 



 dK

K Q Q

dK 5,625(0,3)1,6875 



 dL

L Q Q dL

Vi phân toàn phần: dQdKQdLQ2,6661,68750,9785

Cõu 10 Thay K = 27, L = 64 vào hàm sản xuất cú: 1080

64 27

30 2/3 1/3 

Q

Như đường mức dạng: 30K2/3L1/31080 có qua điểm K = 27; L = 64 Độ dốc đường mức là:

L K L

K L K K

Q L Q dL

dK

2 20

10 /

/

3 / /

  

  

  

  

Độ dốc hàm hai biến K, L; ta có:

2 ) (

    

L K

dL dK

- cú nghĩa vốn K tăng thỡ

dL dK

giảm lượng vốn phải bỏ để thay cho đơn vị lao động giảm tăng lên

Bài 42 Thu nhập cỏ nhõn (Y) là: L số lao động; R lói suất

1 Do lói suất tăng 1% năm nên cá nhân giảm số làm việc 1% tin thu nhập mỡnh tăng Niềm tin có hay không?

05 , , ,

0 L R

(32)

32

2 Có ý kiến cho thu nhập tăng cựng nhịp với lói suất số làm việc Nhận định hay sai?

Giải

Cõu 1 Ta cú cụng thức: rY Y/LrLY/RrR (1)

Theo giả thiết ta luụn cú: Y/L 0,1;Y/R 0,05;rL 1%;rR1%; thay cỏc kết vào (1) thỡ: (1)rY 0,1(1%)0,051%0,05%- hay thu nhập cá nhân giảm 0,05%; niềm tin

Cõu 2 Giả sử nhịp tăng thu nhập lói suất (1), có:

) , ( )

, ( )

,

(

1 15

,

R L Y R L Y R

L

Y    





 -hay nhịp tăng Y nhỏ nhịp tăng L R;

nhận xét đầu sai

Bài 43

1. Cho hàm sản xuất: Q = Q(K,L,t) với K-vốn,L-lao động, t-biến thời gian Giả sử K = K(t), L = L(t) Hóy phõn tớch tốc độ biến thiên Q theo t?

2. Trả lời câu hỏi cho trường hợp cụ thể sau:

và A(t) hàm đồng biến theo t; A(t) > với

Giải

Câu 1 Tốc độ biến thiên Q theo t đạo hàm tồn phần Q theo t:

dt Q dt dL L Q dt dK K Q dt

dQ 

   

 

Câu 2 Trước hết A(t) hàm đồng biến theo t có A(t)0 t0 Ta ln có:

0 ) ( )

( )

(      

  

t t

A L K b L K t A a L K t A dt

dQ        

Kết luận Sản lượng Q tăng theo thời gian

Bài 44 Cho cầu loại hàng hoá (D) phụ thuộc vào giá hàng hố (p) thu nhập (Y) dạng:

1 Tớnh giải thớch ý nghĩa kinh tế cỏc hệ số co gión riờng D theo p, theo Y

2 Tại mức cầu D0 cho trước, giả sử giá p tăng đơn vị thỡ thu nhập Y phải tăng thỡ cầu

khụng đổi

Giải

Câu 1 Ta có: /  0 

 

D p D D

p p D 

0

/  

  

D Y Y

D D Y Y D 

Câu 2 Mức tăng cần thiết Y để trì cầu khơng đổi hệ số thay Y cho p: )

1 , ( )

(  

    

L K t A Q

) , ( 0

0 

K at K a

K

) , ( 0

0 

L bt L b

L



t

2 ln 0,5 

 Y p

(33)

0

1 /

/  

 

   

Y p Y D

p D dp

dY

Bài 45 Cầu cà phờ nhập Nhật (D) phụ thuộc vào giỏ cà phờ giới (p) thu nhập bỡnh quõn đầu người Nhật (Y) dạng:

1 Tớnh giải thớch ý nghĩa kinh tế cỏc hệ số co gión riờng D theo p, Y

2 Giả sử mức nhập D0 cho trước, giá p tăng đơn vị thỡ Y phải thay đổi để

mức cầu không đổi

Giải

Câu 1 Ta có:

2

/  

D Y Y D



0 ) (

2

/ 

   

D p p

D p p D



Câu 2 Ta có:

/ /

3 

  

   

p Y Y

D p D dp

dY

(*)

Giả sử ta mức thu nhập 1000 $ giá p = 10$ từ (*) có: 126

, 10

1000

3 



dp dY

- mức tăng thu nhập Y đảm bảo cầu không đổi dù giá tăng thêm đơn vị

Bài 46 Công ty cạnh tranh sản xuất hai sản phẩm với giá thị trường tương ứng p1 =15, p2=30; chi

phí cố định C0 Hàm chi phớ cú dạng:

1 Xác định lượng cung sản phẩm để lợi nhuận đạt cực đại

2 Chi phí cố định C0 ảnh hưởng tới lượng cung lợi nhuận tối ưu? Giải

Cõu 1 Theo giả thiết thỡ cú: TR(Q)15Q130Q2

Hàm lợi nhuận dạng: (Q)Q125Q1Q210Q2215Q130Q2 C0 max

Điều kiện cần: (1)

0 30 20

5

0 15

2

2 1

  

  



    

Q Q

 

Áp dụng quy tắc Cramer phương pháp ma trận nghich đảo bấm máy ta có điểm dừng là:

;

30 2

1  

 

Q

Điều kiện đủ: Ma trận HESS cú dạng:

0 15 ;

0 20

5

2

1     

    

 

 

 H H H

H

Do ta có điểm dừng nhất, điều kiện đủ thoả với giỏ trị cỏc biến số; nờn lợi nhuận đạt giá trị lớn mức sản lượng Q130;Q29

Cõu 2 Mức sản lượng tối ưu khơng phụ thuộc chi phí cố định C0 Q130;Q29; vỡ điều kiện

cần hệ (1) khụng chứa C0 Ta lại có lợi nhuận tối ưu:

2 ,

0  

Y p

D

0 2

1

1 10

)

(Q Q QQ Q C

(34)

34

0 360

0

0   



 



dC d

C 



Hay C0 tăng đơn vị thỡ lợi nhuận tối ưu giảm đơn vị Bài 47 Doanh nghiệp cú cỏc hàm cầu với hai mặt hàng là:

và hàm chi phớ kết hợp: (C0 > 0)

1 Tỡm cỏc hàm cầu ngược phương pháp ma trận nghịch đảo

2 Với chi phí cố định C0 = 5000; hóy xỏc định lượng cung giá bán mặt hàng để lợi nhuận

đạt cực đại

3 Phân tích ảnh hưởng C0 tới lượng cung, giá bán lợi nhuận cực đại Tỡm hệ số co gión

lợi nhuận cực đại theo C0 C0= 5000 giải thớch ý nghĩa kinh tế hệ số co gión Giải

Cõu 1 Từ giả thiết cú:

) ( 340

2 340

2

1

  

   

  

Q p

p

Q p

p

Áp dụng phương pháp ma trận nghịch đảo dễ tỡm hàm cầu ngược là:

) ( 680

2 1020

2

2 1

  

  

Q Q p

Ta xột hàm lợi nhuận tổng quỏt (cú chứa C0):

max 600

800

2 )

(Q  Q12  Q22 Q1Q2 Q1 Q2 C0 

 Điều kiện cần:

   

   

 

    

 

50 100 )

3 ( 600

4

0 800

6

2

1

2 1

Q Q Q

 

Điều kiện đủ: Ma trận HESS cú dạng:

0 ;

0

4

2

1     

    

 

 

 H H H

H

Do ta có điểm dừng nhất, điều kiện đủ thoả với giá trị biến số; nên lợi nhuận đạt giá trị lớn mức sản lượng Q1100;Q2 50.Thay cỏc lượng cầu tối ưu vào (2) tỡm giỏ tối ưu làp1770;p2530 Mức sản lượng tối ưu khơng phụ thuộc chi phí cố định C0 vỡ điều kiện cần hệ (3) khụng chứa tham số này; giỏ tối ưu khụng phụ thuộc C0 vỡ hệ

(2) khụng chứa tham số Ta lại có lợi nhuận tối ưu:

55000C







Cõu 2 Khi C0 = 5000 thỡ  55000500050000; mức sản lượng cực đại lợi nhuận

50 ;

100 2

1  

 

Q

Cõu 3 Ta cú: 0,1

50000 5000 5000

0

0 /

0

  

 



    



C C

C dC

d C

  

 -có nghĩa mức chi phí cố định C0

= 5000, chi phí tăng 1% thỡ lợi nhuận tối ưu giảm 0,1% 

 

  

  

2

2 1

2 340

340

p p Q

0

2 2

1 220 80

)

(Q Q QQ Q Q Q C

(35)

Bài 48 Một hóng độc quyền sản xuất mặt hàng với hàm chi phí: C = 2000 + 10Q

Sản phẩm tiêu thụ hai thị trường với hàm cầu tương ứng là:

1 Giả sử cụng ty cú chớnh sỏch phõn biệt giỏ thỡ phải chọn chiến lược thỡ lợi nhuận cực đại

2 Trong trường hợp không phân biệt giá (do hiệp định thương mại) thỡ lựa chọn chiến lược nào?

Giải

Câu 1 Khi hàm TC bậc nên biểu diễn hàm doanh thu lợi nhuận qua giá

  

     

     

2

1

25 10 125 210

,

1 , 50 21

Q Q p

p p

p Q

Q

Khi hàm lợi nhuận:

max 2710

54 22

, ,

0 12 22 1 2 



 p p p p

 Điều kiện cần

  

      

 

 

) , 67 ; 110 (

0 54 22 ,

2 ,

2

1

p p

p

  Điều kiện đủ

16 , ;

0 ,

, 0

0 ,

2

1    

    

 

 

 H H

H

Kết luận Lợi nhuận đạt cực đại p(110;67,5);Q (10,23); 322,5

Câu 2 Khi không phân biệt giá, ta đặt p1 = p2 = p thì:

max 2710

76

,

0 2  



 p p



Điều kiện cần p760 p76 dp

d

Điều kiện đủ 2

2

  

dp d 

Kết luận Lợi nhuận đạt cực đại p1 p276;Q (13,4;19,6); 178

Như khơng phân biệt giá lợi nhuận cơng ty giảm đáng kể, tổng lượng hàng bán hai thị trường không đổi

Chú ý: Nếu biểu diễn hàm lợi nhuận qua sản lượng có:

2000 115

200 25

10 12 22 1 2



 Q Q Q Q



Trong trường hợp không phân biệt giá có thêm điều kiện: 85

25

10 1 2

2

1 p  Q  Q 

p

Ta gặp toán cực trị có ràng buộc 2

1

4 , 50

1 , 21

p Q

 

(36)

36

Bài 49 Cho hàm thoả dụng U = (x + 2)(y + 1); đó; x,y số đơn vị hàng loại tiêu dùng Cho p1 = 4, p2 = giá tương ứng cỏc loại hàng hoỏ; cho ngõn sỏch chi cho tiờu dựng

B = 130

1 Hóy xỏc định hành vi tiêu dùng tối ưu Cho biết giá mặt hàng p1,p2 không đổi

ngân sách cho tiêu dùng tăng đơn vị thỡ độ thoả dụng tối ưu U* tăng lên bao nhiêu?

2 Tỡm độ dốc đường bàng quan cho biết ý nghĩa kinh tế độ dốc Giải thớch cụ thể độ dốc x = 16, y = 11

3* Giải tốn với hàm thoả dụng cho đường ngân sách tổng quát:

Giả sử phương án tiêu dùng tối ưu nhận (x*,y*); hóy tớnh giải thớch ý nghĩa kinh tế của:

Giải

Câu 1 Bài tốn có dạng:

    

  

    

0 ,

130

4

max

2

y x

y x xy U

Hàm Lagrange: L(x,y,)xyx2y2(1304x6y) với x,y0 (*) Điều kiện cần

    

    

   

    

    

  

3 11 16

0 130

0

 



y x

y x L

x L

y L

y x

thoả mãn điều kiện (*)

Điều kiện đủ

Ma trận HESS biên có dạng:

0 48

1

6 0

2

1

2

         

          

   

 

 H H

L L g

g g H

yy yx

xy xx

Kết luận Phương án tiêu dùng tối ưu: x 16;y 11 Độ thoả dụng tối ưu U 216

Khi giá mặt hàng không đổi, ngân sách tiêu dùng tăng đơn vị độ thoả dụng tối ưu tăng lượng ; hay có:

3

     

B U

(Người thi phép sử dụng công thức trên; không yêu cầu chứng minh)

Câu 2 Đây câu hỏi tỷ lệ thay mặt hàng thứ cho mặt hàng thứ nhất, ta áp dụng công thức:

2 /

/

     

   

x y y U

x U dx

dy

(*) ) , , ( 1 2

1x p yB p p B

p

B x p x p x

    

   

; ,

(37)

Với x,y0; từ (*) ta khẳng định 0

dx dy

nếu ta xét mức tiêu dùng tối ưu x16;y11 có: 66

,  

dx dy

có nghĩa mức tiêu dùng mà ta giảm mặt hàng đơn vị để trì mức thoả dụng 216





U phải tăng mức sử dụng hàng lên 0,66 đơn vị

Câu 3 Ta giải toán tổng quát:

    

  

    

0 ,

max

2

y x

B y p x p

y x xy U

Hàm Lagrange: L(x,y,)xyx2y2(Bp1xp2y) Điều kiện cần

    

    

    

0

2

y p x p B L

p x

L

p y

L y x



 

(1)

Giải hệ (1) quy tắc Cramer; ta có:

2 1 2

2 2

1 ; ;

2p p D Bp p p p D p p Bp p

D x   y   

Ta nhận hàm cầu Marshall:

1

2 ;

2

p p B p y

p p p B

x      

Dễ chứng minh điều kiện đủ ln thoả mãn có: H 2p1p2 0 Do có:

1 2

p p p B

x   

dễ được:

2 ;

0

1 ;

0

) (

1

2

1

            

   

p B x p

p x p

p B p

x

Từ kết thấy mặt hàng mặt hàng thay mặt hàng 1; mặt hàng hàng hố bình thường

Bài 50 Một nhóm dân cư có hàm thoả dụng giỏ cỏc mặt hàng tương ứng p1=12;

P2=3

1 Hóy xỏc định phương án tiêu dùng cho cụm dân cư để đạt độ thoả dụng U0=1250

với chi phớ

2* Giả sử chi tiêu cực tiểu C*; phân tích biến động C* p1, p2, U0 thay đổi Giải

Câu 1 Bài tốn có dang:

  

   

1250 25

min

12

5 , ,

y x

y x C

(38)

38

Điều kiện cần

    

 

   

     

 

 

 

 

 

 

   



48 , 25 / 12 100 25

0 25

1250

0

, 12

0

, 12 12

5 , ,

 



y x

y x L

x y L

y x

Điều kiện đủ Ma trận HESS biên có dạng:

     

   



 

 

  



 

 

5 , ,

, ,

5 , ,

, ,

5 , ,

, ,

25 , 25

,

, 12

25 , 25

,

, 12

5 , 12

, 12

y x y

x y

x

y x y

x y

x

y x y

x H

Để chứng tỏ H 0 khơng nên tính trực tiếp mà khai triển Laplas định thức theo phần tử dòng

Câu 2 Áp dụng cơng thức có:

100 25

25 / 12

2

   

 

y p C

x p C U C 

Bài 51 Một hóng cú hàm chi phớ TC = 35 + 40Q Cầu loại hàng nước nước tương ứng là: Q1 = 24 - 0,2P1; Q2 = 10 - 0,05P2 đó: Q=Q1+Q2

1 Phải lựa chọn để lợi nhuận lớn trường hợp sau: a Có thể phân biệt giá ngồi nước

b Chỉ đặt giá thống

2 Lợi nhuận cực đại thay đổi trường hợp cầu tối đa nước thay đổi?

Giải

Câu 1 Ta có hai trường hợp:

a Phân biệt giá hai thị trường

Về nguyên tắc hàm lợi nhuận biểu diễn hàm sản lượng hàm giá Trong hàm tổng chi hàm bậc sản lượng hàm cầu hàm cầu xi biểu diễn lợi nhuận qua giá có lợi

Ta có: QQ1Q2 340,2P10,05P2TC3540(340,2P10,05P2) Khi có hàm lợi nhuận:

max 1395

12 32 05

, ,

0 12 22 1 2 



 P P P P

 Điều kiện cần

   

   

 

   

 

120 80

12 ,

0 32 ,

2

1

P P P

P

(39)

Điều kiện đủ Ta có ma trận HESS:

0 04 , ;

0 ,

, 0

0 ,

2

1     

    

 

 

 H H H

H

Kết luận Chiến lược tối ưu hãng:

605 );

4 , ( ); 120 , 80

(  

  

 

Q

P

b Hai thị trường áp dụng giá thống

Ta đặt P = P1 = P2 có hàm lợi nhuận:

max 1395

44 25

, )

(P  P2 P 



0 , ) (

88

44 , ) (

   

     

 

P

P P

P

 

Kết luận Chiến lược tối ưu hãng: 541 ;

6 , ; , ;

88 1  2  

   

 

Q Q

P

Câu 2 Ta có hàm cầu nước là: Q1a0,2P1; giá P1=0 cầu tối đa a (a >0)

Theo giả thiết hàm cầu nước ngồi khơng đổi Ta lại xét hai trường hợp

a Phân biệt giá hai thị trường

max 435

40 12 ) ( 05 , ,

0 12 22  1 2  



 P P a P P a



Điều kiện cần

   



      

 

   

    

120

0

4 ,

8

12 ,

0

,

2

1

P

a a

P P

a P

 

Điều kiện đủ Ta có ma trận HESS:

0 04 , ;

0 ,

, 0

0 ,

2

1     

    

 

 

 H H H

H Kết luận

4 ; 120

) (

8 ;

4 ,

8

2 *

2

1

 

 

 



  

Q P

a a

Q a P

Khi đó: ( 8) 40 285 ( 8)

4

5  2  





a a

a



8

20

 

  

a khi a

da d

Hay lợi nhuận tối ưu trường hợp tăng cầu tối đa nước tăng

b Hai thị trường áp dụng giá thống

Ta đặt P = P1 = P2 có hàm lợi nhuận:

max 40

435 )

20 ( 25 , )

(P  P2 a P  a



0 , ) (

0

40

20

, ) (

   

          

 

P

a a

P a

P P

(40)

40

3 40

8 ,

1    



a khi a

Q

80

8 ,

2    



a khi a

Q

Ta có: 0,25(2a40)2(a20)(2a40)43540aa235 

 

       

 



80 , 40

0

2 a

da d a

a da

d 

Hay lợi nhuận tối ưu đồng biến theo a

Bài 52 Hàm thoả dụng nhóm dân cư xác định ẩn hệ thức:

(*)

1 Tớnh x = 1,y = 2; giải thớch ý nghĩa cỏc kết

2 Tớnh x = 1,y = 2; giải thớch ý nghĩa kết

Giải

Cõu Thay x = 1; y = vào (*) ta cú: (*)(u1)(u2u3)0u1

Ta lại cú:

1 ; ;

2  

   

   y U x yx U U

F

Như vậy, hệ thức (*) xác định ẩn hàm U=U(x,y) tai điểm M(1,2,1) Theo quy tắc lấy đạo hàm hàm ẩn ta có:

) (

2 /

/

2

yx U

yU x y F

F U F

x F MU

x U

U x

 

 

    

    

 

Thay M(1,2,1) vào (1) ta cú:

5 14 1

MU - có nghĩa mức tiêu dùng tăng lượng tiêu dùng mặt hàng thứ đơn vị (giữ nguyên lượng tiêu dùng mặt hàng 2) thỡ độ thoả dụng U tăng 14/5 đơn vị

Tương tự có:

) (

3 /

/

2 2

yx U

xU x y F

F U F

y F MU

y U

U y

 

      

    

 

Thay M(1,2,1) vào (2) ta cú:

5 11 

MU - có nghĩa mức tiêu dùng tăng lượng tiêu dùng mặt hàng thứ đơn vị (giữ nguyên lượng tiêu dùng mặt hàng 1) thỡ độ thoả dụng U tăng 11/5 đơn vị

Ta cú:

x MU x

x U x

U

       

 ( ) ( 1)

2

Khi ta phải lấy đạo hàm riêng (1) theo x phải lưu ý U hàm x; thỡ cú kết sau: )

3 ( )

3 (

)

)(

( )

)(

(

2

3

2

yx U

y UU yU x y yx U yU y yx

U yU x y x

U x x

x 

  

  

 

    

 

  

 

Thay x = 1, y = 2; U = 1; Ux14/5vào (3) cú:

) , (x y U U 

0 )

, ,

(u x y y3x2U3yxU  F

2 2 2

1; ; ,

, ,

y U x

U MU MU y U x U

    

  

(41)

0 448 ,

2

 

  

x U

í nghĩa: cú nghĩa mức tiờu thụ trờn tăng thêm đơn vị mặt hàng (giữ nguyên lượng tiêu dùng mặt hàng 2) thỡ độ thoả dụng biên mặt hàng giảm 8,488 đơn vị

Tương tự có:

y MU y

y U y

U

   

    

 ( ) ( 2)

2

(tự làm)

Cõu 2 Ta cú x =1; y = thỡ U=1 cú nghĩa phương án tiêu dùng nằm đường bàng quan có phương trỡnh: G(x,y) y3x2yx60 (4)

Lấy vi phõn toàn phần vế (4) cú:

) (

2 /

/

0 2 2

3

x x y

y xy y

G x G dx

dy dy

y G dx x G

  

  

          

Hệ thức (5) cho biết độ dốc đường bàng quan trên; thay x = 1; y = vào (5) thỡ cú: )

6 ( 11 14  

dx dy

Hệ thức (6) cho biết độ dốc đường bàng quan x = 1; y =2; tỷ lệ thay biờn hàng hoỏ thứ cho hàng hoỏ thứ Hay núi rừ mức tiêu dùng ta tăng đơn vị mặt hàng thứ thỡ cú thể giảm 14/11 đơn vị hàng thứ mà trỡ độ thoả dụng U =

Bài 53 Cho mụ hỡnh cõn thu nhập quốc dõn:

với giả thiết:

Trong đó: S(Y)-hàm tiết kiệm; T(Y)-hàm thuế; I(Y)-hàm đầu tư; G0- chi tiờu chớnh phủ

1 Giải thớch ý nghĩa kinh tế giả thiết

2 Hóy phân tích ảnh hưởng chi tiêu chớnh phủ tới thu nhập cõn

Giải

Câu 1 Giả thiết: SY,TY,IY 0- cho biết tốc độ tăng tiết kiệm S, thuế T, đầu tư I theo thu nhập Y Giả thiết: SY TY IY đòi hỏi tốc độ tăng nguồn đầu tư S(Y)+T(Y) phải lớn tốc độ tăng đầu tư I(Y) (vì phần cịn dành cho chi tiêu phủ)

Câu 2 Nếu thu nhập cân Y* có:

0 )

( ) ( ) ( ) , ( )

( ) ( )

(Y T Y I Y G0F Y G0 S Y T Y I Y G0

S (1)

Hệ thức (1) xác định ẩn hàm Yg(G0) Theo quy tắc đạo hàm hàm ẩn:

1 /

/ 0

0

        

  

 



Y Y Y T I S

Y F

G F dG

dY

hay G0 tăng Y* tăng Bài 54 Cho mụ hỡnh:

với giả thiết:

0

) ( ) ( )

(Y T Y I Y G

S   

) ( ;

0 ,

,        

 Y Y Y Y Y

Y T I S T I

S

) (

  

 

  

0

) (

) ( ) (

M r L kY

G r I Y C Y

0 ; ; ;

(42)

42

Trong đó: r-lói suất; C(Y)-hàm tiờu dựng; I(r)- hàm đầu tư, G0-chi tiờu chớnh phủ; M0-lượng cung

tiền

1 Cho biết mụ hỡnh trờn thỡ hàm cầu tiền hàm nào? Phân tích ảnh hưởng G0, M0 tới thu nhập cõn Giải

Câu 1 Điều kiện cân thị trường tiền tệ cung tiền cầu tiền; theo giả thiết cung tiền M0 nên hàm cầu tiền là: kY L(r)- hàm gồm hai số hạng, số hạng tỷ lệ thuận với

thu nhập quốc dân Y số hạng nghịch biến với lãi suất

Câu 2 Gọi thu nhập cân (Y*,r*) Yg(G0,M0);rh(G0,M0) có: )

2 (

) ( )

( )

, , , (

0 )

( ) ( )

, , , (

0

   

  



  

 

  



 



M r L kY M G r Y F

G r I Y C Y M G r Y F

Lấy đạo hàm riêng toàn phần (1) (2) theo G0:

      

 

    

 

        

 



 

0

1

0

G r L G Y k

G r I G Y C G Y

r

r Y

(3)

Ta có định thức Jacobi:

0 )

1 ( )

1 (

       

   

   

  

r r Y r

r Y

I k L C L

k

I C

J

0

1 

        

 

 

 

J L G Y L

L I

D r

r r

r

-hay G0 tăng (các yếu tố khác không

đổi) Y* tăng

0

0 ) (

0

2 

  

     



  

J k G

r k

k C

D Y - hay G

0 tăng (các yếu tố khác

khơng đổi) r* tăng

Tương tự, lấy đạo hàm riêng toàn phần (1) (2) theo M0 tìm hai đạo hàm phân tích tĩnh

so sánh cịn lại Theo lí thuyết kinh tế phải có: 0; 0

 

  

  

M r M

Y

(học sinh tự kiểm tra tính tốn)

Định dạng
Số trang	42
Dung lượng	0,91 MB