Đề và đáp án thi thử đại học, cao đẳng môn thi: Toán (số 199)

Tìm vị trí của M trên C để tứ diện ABHM có thể tích lớn nhất.Tìm giá trị lớn nhất đó.. TÝnh tÝch ph©n:.[r]

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2012 Môn thi : TOÁN ( ĐỀ 199 ) PhÇn chung cho tÊt c¶ thÝ sinh (7,0 ®iÓm) C©u I (2 ®iÓm) Cho hµm sè y  2x 1 x 1 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số đã cho Tìm trên (C) điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận (C) nhỏ C©u II (2 ®iÓm)  x1  y 1   x 6  y   Giải hệ phương trình:  Giải phương trình: 2(cos x  sin x)  tan x  cot x cot x  C©u III (1 ®iÓm) Trong mÆt ph¼ng (P) cho ®­êng trßn (C) t©m O ®­êng kÝnh AB = 2R.Trªn ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi (P) t¹i O lÊy ®iÓm S cho OS = R I lµ ®iÓm thuéc ®o¹n OS víi SI = 2R M lµ mét điểm thuộc (C) H là hình chiếu I trên SM Tìm vị trí M trên (C) để tứ diện ABHM có thể tích lớn nhất.Tìm giá trị lớn đó C©u IV (1 ®iÓm) TÝnh tÝch ph©n: I= dx  1 x   x2 1 Câu V (1 điểm) Cho x, y, z là số thực dương thỏa mãn xyz=1 Chứng minh 1   1 x  y 1 y  z 1 z  x 1 PhÇn riªng (3,0 ®iÓm).ThÝ sinh chØ ®­îc lµm mét hai phÇn (phÇn A hoÆc B) A.Theo chương trình Chuẩn C©u VI.a (1 ®iÓm) Trong mÆt ph¼ng Oxy cho tam gi¸c ABC biÕt A(2; - 3), B(3; - 2), cã diÖn tÝch b»ng và trọng tâm thuộc đường thẳng  : 3x – y – = Tìm tọa độ đỉnh C C©u VII.a (1 ®iÓm) Tõ c¸c ch÷ sè 0,1,2,3,6,7,8,9 cã thÓ lËp ®­îc bao nhiªu sè tù nhiªn cã ch÷ sè đôi khác ( chữ số đầu tiên phải khác 0) đó phải có chữ số Câu VIII.a (1 điểm) Tìm a để bất phương trình sau có nghiệm: log x   log (ax  a ) 3 B.Theo chương trình Nâng cao C©u VI.b (1 ®iÓm) Trong mÆt ph¼ng Oxy cho elip (E): x2 y   vµ ®­êng th¼ng  :3x + 4y =12 Tõ ®iÓm M bÊt k× trªn  kÎ tíi (E) c¸c tiÕp tuyÕn MA, MB Chøng minh r»ng ®­êng th¼ng AB lu«n qua điểm cố định x2  4x  C©u VII.b (1 ®iÓm) Cho hµm sè y  có đồ thị (C).Giả sử đường thẳng y = kx + cắt (C) x2 điểm phân biệt A, B Tìm tập hợp trung điểm I AB k thay đổi Câu VIII.b (1 điểm) Giải phương trình:   1 log2 x h  x   1 - Lop10.com log2 x   x2 đáp án ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2012 Môn thi : TOÁN (ĐỀ 199 ) C©u §¸p ¸n §iÓ m (1,0 ®iÓm) T×m trªn (C) nh÷ng ®iÓm Gäi M(x0;y0) lµ mét ®iÓm thuéc (C), (x0  - 1) th× y0  x0  x0  Gäi A, B lÇn lît lµ h×nh chiÕu cña M trªn TC§ vµ TCN th× 2x 1 MA = |x0+1| , MB = | y0- 2| = | - 2| = | | x0  x0  0,25 0,25 0,25 Theo Cauchy th× MA + MB  x  1 =2 x0  0,25  MA + MB nhá nhÊt b»ng x0 = hoÆc x0 = -2.Nh vËy ta cã hai ®iÓm cÇn t×m lµ (0;1) vµ (-2;3) II (2,0 ®iÓm) 1.(1,0 ®iÓm) Gi¶i hÖ §iÒu kiÖn: x  -1, y  Céng vÕ theo vÕ råi trõ vÕ theo vÕ ta cã hÖ 0,25  x1  x6  y 1  y 4 10   x6  x1  y 4  y 1  §Æt u= x   x  , v = y   y  Ta cã hÖ   u  v 10 u x  v 5  y 5 lµ nghiÖm cña hÖ 5   2 u v   0,25 0,25 2(cos x  sin x) cos x 1 sin x  sin x cos x  cos x sin x   cosx =  x =   k 2 0,25 §èi chiÕu ®iÒu kiÖn pt cã hä nghiÖm x =  III T×m vÞ trÝ (1,0 ®iÓm) 0,25 0,25 (1,0 ®iÓm) Gi¶i ph¬ng tr×nh §iÒu kiÖn:sinx.cosx  vµ cotx  Phơng trình tơng đơng 0,25   k 2 0,25 S H I O 0,25 B A M Lop10.com Tø gi¸c IHMO néi tiÕp nªn SH.SM = SI.SO mµ OS = R , SI = 2R , SO  OM  R  SH = R hay H lµ trung ®iÓm cña SM SM = Gäi K lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña H lªn mp(MAB) th× HK = SO= R , (kh«ng 2 0,25 0,5 đổi)  VBAHM lín nhÊt dt(  MAB) lín nhÊt  M lµ ®iÓm gi÷a cña cung AB Khi đó VBAHM= 3 R (®vtt) IV TÝnh tÝch ph©n (1,0 ®iÓm) §Æt u = x+  x th× u - x=  x  x  2ux  u   x x u2 1 1   dx  1   du 2u 2 u  §æi cËn x= - th× u = -1 1  1 1   du u  I     u 2 1 = 2 1 du  1 u  2 1 x = th× u = +1 1 du  1 u  2 1 0,25 0,25 1 du (1  u )u 2 1  0,25 1   1  2   du =1 u u u    1  0,25 C©u V §Æt x=a3 y=b3 z=c3 th× x, y, z >0 vµ abc=1.Ta cã (1,0 ®iÓm) a3 + b3=(a+b)(a2+b2-ab)  (a+b)ab, a+b>0 vµ a2+b2-ab  ab 0,25  a3 + b3+1  (a+b)ab+abc=ab(a+b+c)>0  1 1  T¬ng tù ta cã 3  , a  b  ab a  b  c  b  c  bc a  b  c  0,5 1  Céng theo vÕ ta cã c  a  ca a  b  c  1 1 1   = + 3 + 3 x  y 1 y  z 1 z  x 1 a  b 1 b  c 1 c  a 1  1 1   c  a  b   DÊu b»ng x¶y x=y=z=1    = a  b  c   ab bc ca  a  b  c  0,25 VI a Tìm tọa độ (1,0 ®iÓm) Ta cã: AB = , M = ( ;  ), pt AB: x – y – = 2 3 S ABC = d(C, AB).AB =  d(C, AB)= 2 Gäi G(t;3t-8) lµ träng t©m tam gi¸c ABC th× d(G, AB)=  d(G, AB)= t  (3t  8)  =  t = hoÆc t = 2 Lop10.com 0,25 0,5  G(1; - 5) hoÆc G(2; - 2)   Mµ CM  3GM  C = (-2; 10) hoÆc C = (1; -4) 0,25 VII a Tõ c¸c ch÷ sè (1,0 ®iÓm) Gäi sè cã ch÷ sè lµ abcdef NÕu a = th× cã c¸ch chän b, c¸ch chän c, c¸ch chän d, c¸ch chän e, c¸ch chän f ë ®©y cã 7.6.5.4.3 = 2520sè NÕu b = th× cã c¸ch chän a, c¸ch chän c, c¸ch chän d, c¸ch chän e, c¸ch chän f ë ®©y cã 6.6.5.4.3 = 2160sè T¬ng tù víi c, d, e, f VËy tÊt c¶ cã 2520+5.2160 = 13320 sè VIII a Tìm a để (1,0 ®iÓm) §iÒu kiÖn: ax + a > Bpt tơng đơng 0,5 0,25 0,25 x   a ( x  1) NÕu a>0 th× x +1 >0.Ta cã x 1 a x 1 0,25 x2  x2   a XÐt hµm sè y = víi x  - x 1 x 1 x 1 y’ = =0 x=1 a> hoÆc a < - 2 ( x  1) x  NÕu a<0 th× x +1 <0.Ta cã VI b Chøng minh (1,0 ®iÓm) Gäi M(x0 ;y0 ), A(x1;y1), B(x2;y2) xx1 yy1   TiÕp tuyÕn ®i qua M nªn TiÕp tuyÕn t¹i A cã d¹ng x0 x1 y0 y1  1 (1)Ta thấy tọa độ A và B thỏa mãn (1) nên đờng thẳng AB có pt xx0 yy0   M thuéc  nªn 3x0 + 4y0 =12  4y0 =12-3x0 4 xx0 yy0 xx0 y (12  x0 )   4   Gọi F(x;y) là điểm cố định mà AB 4 qua víi mäi M th×(x- y)x0 + 4y – =  4xy y 400  xy11  VII b (1,0 ®iÓm) 0,25  0,25 0,25 0,25 0,5 Vậy AB luôn qua điểm cố định F(1;1) T×m tËp hîp y = kx + c¾t (C): y  x2  4x  x2  4x  Ta cã pt = kx + cã nghiÖm ph©n biÖt x2 x2  k  ;Trung điểm I AB có tọa độ thỏa mãn  x 2k 3 x2  5x   2k 2 ;Vậy quĩ tích cần tìm là đờng cong  y kx1  y  2x   Gi¶i ph¬ng tr×nh VIII b (1,0 ®iÓm) §iÒu kiÖn : x>0 §Æt   1 log2 x =u,   1 log2 x  v ta cã pt u +uv2 = + u2 v2  (uv2-1)(u – 1) =   u 21 x =1  uv 1 Lop10.com x2  5x  y 2x  0,25 0,5 0,25 0,25 0,5 0,25