Tìm vị trí của M trên C để tứ diện ABHM có thể tích lớn nhất.Tìm giá trị lớn nhất đó.. TÝnh tÝch ph©n:.[r]
(1)ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2012 Môn thi : TOÁN ( ĐỀ 199 ) PhÇn chung cho tÊt c¶ thÝ sinh (7,0 ®iÓm) C©u I (2 ®iÓm) Cho hµm sè y 2x 1 x 1 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số đã cho Tìm trên (C) điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận (C) nhỏ C©u II (2 ®iÓm) x1 y 1 x 6 y Giải hệ phương trình: Giải phương trình: 2(cos x sin x) tan x cot x cot x C©u III (1 ®iÓm) Trong mÆt ph¼ng (P) cho ®êng trßn (C) t©m O ®êng kÝnh AB = 2R.Trªn ®êng th¼ng vu«ng gãc víi (P) t¹i O lÊy ®iÓm S cho OS = R I lµ ®iÓm thuéc ®o¹n OS víi SI = 2R M lµ mét điểm thuộc (C) H là hình chiếu I trên SM Tìm vị trí M trên (C) để tứ diện ABHM có thể tích lớn nhất.Tìm giá trị lớn đó C©u IV (1 ®iÓm) TÝnh tÝch ph©n: I= dx 1 x x2 1 Câu V (1 điểm) Cho x, y, z là số thực dương thỏa mãn xyz=1 Chứng minh 1 1 x y 1 y z 1 z x 1 PhÇn riªng (3,0 ®iÓm).ThÝ sinh chØ ®îc lµm mét hai phÇn (phÇn A hoÆc B) A.Theo chương trình Chuẩn C©u VI.a (1 ®iÓm) Trong mÆt ph¼ng Oxy cho tam gi¸c ABC biÕt A(2; - 3), B(3; - 2), cã diÖn tÝch b»ng và trọng tâm thuộc đường thẳng : 3x – y – = Tìm tọa độ đỉnh C C©u VII.a (1 ®iÓm) Tõ c¸c ch÷ sè 0,1,2,3,6,7,8,9 cã thÓ lËp ®îc bao nhiªu sè tù nhiªn cã ch÷ sè đôi khác ( chữ số đầu tiên phải khác 0) đó phải có chữ số Câu VIII.a (1 điểm) Tìm a để bất phương trình sau có nghiệm: log x log (ax a ) 3 B.Theo chương trình Nâng cao C©u VI.b (1 ®iÓm) Trong mÆt ph¼ng Oxy cho elip (E): x2 y vµ ®êng th¼ng :3x + 4y =12 Tõ ®iÓm M bÊt k× trªn kÎ tíi (E) c¸c tiÕp tuyÕn MA, MB Chøng minh r»ng ®êng th¼ng AB lu«n qua điểm cố định x2 4x C©u VII.b (1 ®iÓm) Cho hµm sè y có đồ thị (C).Giả sử đường thẳng y = kx + cắt (C) x2 điểm phân biệt A, B Tìm tập hợp trung điểm I AB k thay đổi Câu VIII.b (1 điểm) Giải phương trình: 1 log2 x h x 1 - Lop10.com log2 x x2 (2) đáp án ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2012 Môn thi : TOÁN (ĐỀ 199 ) C©u §¸p ¸n §iÓ m (1,0 ®iÓm) T×m trªn (C) nh÷ng ®iÓm Gäi M(x0;y0) lµ mét ®iÓm thuéc (C), (x0 - 1) th× y0 x0 x0 Gäi A, B lÇn lît lµ h×nh chiÕu cña M trªn TC§ vµ TCN th× 2x 1 MA = |x0+1| , MB = | y0- 2| = | - 2| = | | x0 x0 0,25 0,25 0,25 Theo Cauchy th× MA + MB x 1 =2 x0 0,25 MA + MB nhá nhÊt b»ng x0 = hoÆc x0 = -2.Nh vËy ta cã hai ®iÓm cÇn t×m lµ (0;1) vµ (-2;3) II (2,0 ®iÓm) 1.(1,0 ®iÓm) Gi¶i hÖ §iÒu kiÖn: x -1, y Céng vÕ theo vÕ råi trõ vÕ theo vÕ ta cã hÖ 0,25 x1 x6 y 1 y 4 10 x6 x1 y 4 y 1 §Æt u= x x , v = y y Ta cã hÖ u v 10 u x v 5 y 5 lµ nghiÖm cña hÖ 5 2 u v 0,25 0,25 2(cos x sin x) cos x 1 sin x sin x cos x cos x sin x cosx = x = k 2 0,25 §èi chiÕu ®iÒu kiÖn pt cã hä nghiÖm x = III T×m vÞ trÝ (1,0 ®iÓm) 0,25 0,25 (1,0 ®iÓm) Gi¶i ph¬ng tr×nh §iÒu kiÖn:sinx.cosx vµ cotx Phơng trình tơng đơng 0,25 k 2 0,25 S H I O 0,25 B A M Lop10.com (3) Tø gi¸c IHMO néi tiÕp nªn SH.SM = SI.SO mµ OS = R , SI = 2R , SO OM R SH = R hay H lµ trung ®iÓm cña SM SM = Gäi K lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña H lªn mp(MAB) th× HK = SO= R , (kh«ng 2 0,25 0,5 đổi) VBAHM lín nhÊt dt( MAB) lín nhÊt M lµ ®iÓm gi÷a cña cung AB Khi đó VBAHM= 3 R (®vtt) IV TÝnh tÝch ph©n (1,0 ®iÓm) §Æt u = x+ x th× u - x= x x 2ux u x x u2 1 1 dx 1 du 2u 2 u §æi cËn x= - th× u = -1 1 1 1 du u I u 2 1 = 2 1 du 1 u 2 1 x = th× u = +1 1 du 1 u 2 1 0,25 0,25 1 du (1 u )u 2 1 0,25 1 1 2 du =1 u u u 1 0,25 C©u V §Æt x=a3 y=b3 z=c3 th× x, y, z >0 vµ abc=1.Ta cã (1,0 ®iÓm) a3 + b3=(a+b)(a2+b2-ab) (a+b)ab, a+b>0 vµ a2+b2-ab ab 0,25 a3 + b3+1 (a+b)ab+abc=ab(a+b+c)>0 1 1 T¬ng tù ta cã 3 , a b ab a b c b c bc a b c 0,5 1 Céng theo vÕ ta cã c a ca a b c 1 1 1 = + 3 + 3 x y 1 y z 1 z x 1 a b 1 b c 1 c a 1 1 1 c a b DÊu b»ng x¶y x=y=z=1 = a b c ab bc ca a b c 0,25 VI a Tìm tọa độ (1,0 ®iÓm) Ta cã: AB = , M = ( ; ), pt AB: x – y – = 2 3 S ABC = d(C, AB).AB = d(C, AB)= 2 Gäi G(t;3t-8) lµ träng t©m tam gi¸c ABC th× d(G, AB)= d(G, AB)= t (3t 8) = t = hoÆc t = 2 Lop10.com 0,25 0,5 (4) G(1; - 5) hoÆc G(2; - 2) Mµ CM 3GM C = (-2; 10) hoÆc C = (1; -4) 0,25 VII a Tõ c¸c ch÷ sè (1,0 ®iÓm) Gäi sè cã ch÷ sè lµ abcdef NÕu a = th× cã c¸ch chän b, c¸ch chän c, c¸ch chän d, c¸ch chän e, c¸ch chän f ë ®©y cã 7.6.5.4.3 = 2520sè NÕu b = th× cã c¸ch chän a, c¸ch chän c, c¸ch chän d, c¸ch chän e, c¸ch chän f ë ®©y cã 6.6.5.4.3 = 2160sè T¬ng tù víi c, d, e, f VËy tÊt c¶ cã 2520+5.2160 = 13320 sè VIII a Tìm a để (1,0 ®iÓm) §iÒu kiÖn: ax + a > Bpt tơng đơng 0,5 0,25 0,25 x a ( x 1) NÕu a>0 th× x +1 >0.Ta cã x 1 a x 1 0,25 x2 x2 a XÐt hµm sè y = víi x - x 1 x 1 x 1 y’ = =0 x=1 a> hoÆc a < - 2 ( x 1) x NÕu a<0 th× x +1 <0.Ta cã VI b Chøng minh (1,0 ®iÓm) Gäi M(x0 ;y0 ), A(x1;y1), B(x2;y2) xx1 yy1 TiÕp tuyÕn ®i qua M nªn TiÕp tuyÕn t¹i A cã d¹ng x0 x1 y0 y1 1 (1)Ta thấy tọa độ A và B thỏa mãn (1) nên đờng thẳng AB có pt xx0 yy0 M thuéc nªn 3x0 + 4y0 =12 4y0 =12-3x0 4 xx0 yy0 xx0 y (12 x0 ) 4 Gọi F(x;y) là điểm cố định mà AB 4 qua víi mäi M th×(x- y)x0 + 4y – = 4xy y 400 xy11 VII b (1,0 ®iÓm) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 Vậy AB luôn qua điểm cố định F(1;1) T×m tËp hîp y = kx + c¾t (C): y x2 4x x2 4x Ta cã pt = kx + cã nghiÖm ph©n biÖt x2 x2 k ;Trung điểm I AB có tọa độ thỏa mãn x 2k 3 x2 5x 2k 2 ;Vậy quĩ tích cần tìm là đờng cong y kx1 y 2x Gi¶i ph¬ng tr×nh VIII b (1,0 ®iÓm) §iÒu kiÖn : x>0 §Æt 1 log2 x =u, 1 log2 x v ta cã pt u +uv2 = + u2 v2 (uv2-1)(u – 1) = u 21 x =1 uv 1 Lop10.com x2 5x y 2x 0,25 0,5 0,25 0,25 0,5 0,25 (5)