Hãy lập mô hình toán học của bài toán xác định số sản phẩm mỗi loại cần phải sản xuất sao cho không bị động trong sản xuất và tổng doanh thu đạt được cao nhất, biết rằng cơ sở có số la[r]
(1)QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH
HAI BIẾN + …
(2)VÍ DỤ 1
Một xí nghiệp cần sản xuất loại bánh: bánh đậu xanh, bánh thập cẩm bánh dẻo Lượng nguyên liệu đường, đậu cho bánh loại, lượng dự trữ nguyên liệu, tiền lãi cho bánh loại cho bảng sau:
(3)VÍ DỤ 1
Gọi x1,x2,x3 số bánh đậu xanh, bánh thập cẩm, bánh
dẻo cần phải sản xuất Điều kiện:
Tiền lãi thu (ngàn đồng)
Lượng đường sử dụng điều kiện:
Lượng đậu sử dụng điều kiện:
1, ,2 3 2 2,5
f x f x x x x x x
1
0,04x 0,06x 0,05x 500
1
(4)VÍ DỤ 1
Vậy ta có mơ hình tốn:
Đây tốn quy hoạch tuyến tính biến, tìm giá trị lớn hàm mục tiêu
1 3
1
1
, , 3 2 2,5 max
0,04 0,06 0,05 500
0,07 0,02 300
0 1,2,3
j
f x f x x x x x x
x x x
x x
x j
(5)VÍ DỤ 2
Giả sử yêu cầu tối thiểu ngày chất dinh dưỡng đạm, đường, khoáng cho loại gia súc tương ứng 90g, 130g, 10g Cho biết hàm lượng chất dinh dưỡng có 1g thức ăn A, B, C giá mua 1kg thức ăn loại cho bảng sau:
Hãy lập mơ hình toán học toán xác định khối lượng thức ăn loại phải mua để tổng số tiền chi cho mua thức ăn
(6)VÍ DỤ 3
Một sở sản xuất đồ gỗ dự định sản xuất ba loại sản phẩm bàn, ghế tủ Định mức sử dụng lao động, chi phí sản xuất giá bán sản phẩm loại ước tính bảng sau:
(7)VÍ DỤ 4
Một trại cưa khúc gỗ thành ván Có hai loại ván: ván thành phẩm ván sử dụng xây dựng Giả sử, đối với:
(8)BÀI TOÁN QHTT TỔNG QUÁT
(1) Hàm f(x) gọi hàm mục tiêu (2) hệ ràng buộc
(3) hệ ràng buộc dấu
(2) Và (3) gọi chung hệ ràng buộc toán
1 2
1 2
1
2 1,2, ,
0
3 1, 2, ,
min (max)
n n i i in n i
j
f x c x c x c x
a x a x a x b i m
x j n
tuy y
(9)DẠNG MA TRẬN CỦA BÀI TỐN QHTT
Xét tốn QHTT dạng:
1 2
11 12 1 21 22 2
1 2
0
min (max)
n n n n
n n
m m mn n m
j
f x c x c x c x
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
x
(10)DẠNG MA TRẬN CỦA BÀI TỐN QHTT
Đặt:
Ta có dạng ma trận toán QHTT:
11 12 1 1
21 22 2 2
1 n n
m n n
m m mn
a a a b x c
a a a b x c
A b x c
b x c
a a a
max T
f c x
(11)BÀI TỐN DẠNG CHÍNH TẮC:
Mọi tốn quy hoạch tuyến tính quy tốn dạng tắc tương đương theo nghĩa trị tối ưu hàm mục tiêu hai toán trùng từ phương án tối ưu toán suy phương án tối ưu của toán
• Các ràng
buộc
đều là
phương trình
• Các ẩn
khơng âm
n
j j j
n
ij j j
j
f x c x min (max) a x b (i 1,m)
x 0 (j 1,n)
i
(12)BÀI TỐN DẠNG CHUẨN TẮC
• Các hệ số tự
bi không âm ()
• Trong ma trận hệ
số có đủ m vecto cột đơn vị: e1, e2,…,em
1
1 0
0
0
m
e e e
n j j j n ij j j j
f x c x (max) a x b (i 1,m)
x (j 1,n)
(13)VÍ DỤ 5
Bài tốn sau có dạng tắc:
1
1
1
1
1
260 120 600 max
2 3 500
100 40 250 40000
6
, , 0
x x x
x x x
x x x
x x x x x
(14)VÍ DỤ 6
Xét toán QHTT sau:
Bài tốn có dạng tắc hay chuẩn tắc
1
1
2 max
12
12
6 1, 2, ,6
j
f x x x x x
x x x
x x x
x x x x
x j
(15)VÍ DỤ 6
Ma trận hệ số tự do: • Ma trận hệ số A:
• Ẩn thứ x5. • Ẩn thứ x6.
• Ẩn thứ x2.
12
b
1 0 0 1 1 0
12 0 1 0 0 1
1 1 1 0
A
1
e e2
3
(16)CÁC LOẠI PHƯƠNG ÁN
Định nghĩa Vec tơ thỏa tất ràng buộc toán quy hoạch tuyến tính gọi phương án chấp nhận
Định nghĩa Phương án chấp nhận làm cho hàm
(17)VÍ DỤ 7
Cho toán QHTT:
Trong phương án sau phương án phương án chấp nhận
1 2
1
120 100 max
2
5 15
0,
f x x x
x x
x x
x x
1
1 2
2
u u u u
(18)PHƯƠNG ÁN CƠ BẢN
Trong tốn tắc Xét phương án
Hệ vectơ liên kết với phương án
Trong Aj vec tơ cột thứ j ma trận hệ số Amn
Định nghĩa Phương án hệ vecto liên kết với phương án độc lập tuyến tính
Ẩn xj gọi
1, , ,2 n
x x x x
j | j 0
(19)PACB TRONG BÀI TOÁN CHUẨN TẮC
Cho ẩn thứ k hệ số tự thứ k, cịn ẩn khơng 0, nghĩa là:
Ta phương án x = (0,6,0,0,12,3)
Phương án khơng suy biến có đủ thành phần dương Đây phương án ban đầu toán
Tổng quát, toán QHTT dạng chuẩn bất kì, cho ẩn thứ k hệ số tự thứ k ( k = 1,2,…,m ), cịn ẩn khơng 0, ta phương án ban đầu tốn Nếu xếp lại ta có dạng sau
1 0; 6; 0; 0; 12; 3
x x x x x x
0
1, , , ,0,0, ,02 m
(20)ĐƯA BÀI TỐN VỀ DẠNG CHÍNH TẮC
Bước Kiểm tra ràng buộc chính
• Ràng buộc dạng nhỏ hơn:
•
• Ta cộng thêm ẩn phụ:
• Ràng buộc dạng lớn hơn:
• Ta trừ ẩn phụ:
1 2
i i in n i
a x a x a x b
1 2
i i in n n k i
a x a x a x x b
1 2
i i in n i
a x a x a x b
1 2
i i in n n k i
(21)ĐƯA BÀI TỐN VỀ DẠNG CHÍNH TẮC
Bước Kiểm tra điều kiện dấu ẩn số
Nếu có ẩn dạng: ta đổi biến:
Nếu ẩn xi có dấu tùy ý ta đổi biến:
Chú ý:
Các ẩn ẩn phụ không âm
Hệ số ẩn phụ hàm mục tiêu
Khi tìm PATU tốn dạng tắc ta cần tính giá trị ẩn ban đầu bỏ ẩn phụ thì PATU toán dạng tổng quát đã cho
0
i
x
i i i
x x x
i i
(22)VÍ DỤ 8
Đưa tốn sau dạng tắc:
1
1
1
1
2
4 12
7
2
0,
f x x x x
x x x
x x
x x x
x x
(23)VÍ DỤ 8 Đáp án:
1 3
1 3
1 3
1 3
1 3
4
2
4 12
7
2
0, 0, 0,
0,
f x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
(24)PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC (ĐỒ THỊ)
Sinh viên tham khảo thêm lý thuyết sách
College Mathematics for Busines – Raymond A Barnett Chương phần Linear Programing
(25)PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ
Xét toán quy hoach tuyến tính :
2
1
min max
j j j
ij j i
j
f x c x
a x b
(26)PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ
Biểu diễn ràng buộc lên đồ thị Oxy.
Xác định phần giới hạn ràng buộc tập phương án.
Xác định điểm cực biên (đỉnh) tập phương án thỏa mãn ràng buộc.
Xác định giá trị hàm mục tiêu điểm cực biên.
(27)VÍ DỤ BÀI TOÁN KẾ HOẠCH SẢN XUẤT
Một nhà sản xuất lều sử dụng vùng núi có dòng sản phẩm: tiêu chuẩn thám hiểm
Mỗi lều tiêu chuẩn yêu cầu công lao động từ phận cắt công từ phận lắp ráp
Mỗi lều thám hiểm đòi hỏi công lao động từ phận cắt làm việc từ phận lắp ráp
Số lao động tối đa có sẵn ngày phòng cắt lắp ráp 32 84
(28)MƠ HÌNH BÀI TOÁN
Gọi x, y số lều tiêu chuẩn thám hiểm
, 50 80 max
0,
32 0 2
3 4 84
x
f x y y x
x y P
x y
y
(29)TẬP PHƯƠNG ÁN
•Ta tính toán lợi nhuận điểm nằm
trong miền khả thi (feasible region) hay tập phương án
•Tại (x,y)=(12,10) ta có P=1400 •Tại (x,y)=(23,2) ta có P=1310
2 32
3 4 8
0, 0 4
x x
y x
y y
(30)ĐƯỜNG ĐẲNG LỢI
Gán cho P giá trị cố định vẽ đồ thị P=50x+80y hệ trục tọa độ Oxy ta có đường thẳng Đường có tên constant profit line hay đường đẳng lợi
Mọi điểm thuộc tập phương án nằm đường cho ta kế hoạch sản xuất có lợi ích P Với giá trị khác P ta có đường đẳng lợi khác song song với đường đẳng lợi lại, có chung hệ số góc
Để thuận tiện ta đưa phương trình đường đẳng lợi dạng:
5 50 80
8 80
P
(31)ĐƯỜNG ĐẲNG LỢI
Lợi nhuận lớn nằm điểm mà đường đẳng lợi xa so với gốc tọa độ nằm miền khả
Trong ví dụ điểm (20,6) Profit max: P=20.50+6.80=1480
Nhận xét PATU nằm điểm góc (corner points) tập phương án
max max
5
8 80
P
y x
P y
(32)VÍ DỤ 10
Đối với tập phương án hình vẽ (A) Cho P = x + y Vẽ đồ thị đường đẳng lợi thông qua điểm (5, 5) (10, 10) Đặt đường thẳng dọc theo đường có lợi nhuận nhỏ trượt theo hướng tăng lợi nhuận, mà
không làm thay đổi độ dốc Giá trị tối đa P bao nhiêu? Giá trị tối đa xảy đâu?
(33)CÁC ĐỊNH LÝ
Định lý Nếu toán quy hoạch tuyến tính có PATU PATU PACB tập phương án
Định lý (Về tồn phương án tối ưu)
A) Nếu tập phương án toán QHTT bị chặn tốn max có PATU
B) Nếu tập phương án không bị chặn hệ số hàm mục tiêu dương tốn có PATU tốn max khơng có PATU
(34)(35)VÍ DỤ 11A
(36)VÍ DỤ 11B
(37)VÍ DỤ 12
Giải tốn QHTT sau:
1 2
1
1
1
1
,
2
2
5
0,
f x x x x
x x x x x x
x x
(38)VÍ DỤ 13
Biểu diễn đồ thị bất đẳng thức lên hệ trục tọa độ ta miền
phương án hình ngũ giác ABCDE Các điểm có tọa độ sau A(0,0); B(0,2); C(1,4); D(4,1); E(2,0) điểm cực biên thay cực biên vào hàm mục tiêu ta có f(A) = 0; f(B) = 2; f(C) = 3; f(D) = -3; f(E) = -2
Vậy phương án tối ưu x*=(4,1)
hàm mục tiêu đạt giá trị Min
D C
A B
(39)VÍ DỤ 14
Một xí nghiệp đóng tàu đánh cá cần đóng loại tàu 100 mã lực 50 mã lực Trong xí nghiệp có loại thợ định sản lượng kế hoạch Thợ rèn có 2000 cơng, thợ sắt có 3000 cơng, thợ mộc có 1500 cơng Định mức lao động loại tàu cho bản:
Hỏi xí nghiệp nên đóng tàu loại để đạt tổng số mã lực cao nhất?
100 mã
lực
50 mã lực Thợ sắt
(3000) Thợ rèn
(2000) Thợ mộc
(1500)
150 120
80
(40)VÍ DỤ 14
Gọi x1, x2 số tàu 100 mã lực 50 mã lực cần đóng
(41)VÍ DỤ 15
Một xí nghiệp sử dụng tối đa 510 máy cán, 360 máy tiện, 150 máy mài để chế tạo loại sản phẩm A, B, C Để chế tạo đơn vị sản phẩm A cần máy cán, máy tiện, máy mài; đơn vị sản phẩm B cần máy cán, máy tiện; đơn vị sản phẩm C cần máy cán máy tiện, máy mài Mỗi sản phẩm A trị giá 48 ngàn đồng, sản phẩm B trị giá 16 ngàn đồng, sản phẩm C trị giá 27 ngàn đồng
(42)VÍ DỤ 16
Một xí nghiệp điện sản xuất quạt điện loại Cần cắt từ tôn cánh quạt điện theo kiểu A, B, C Có mẫu cắt khác theo bảng sau:
Kiểu cánh quạt
Mẫu cắt
1 A
B C
2 0
1
1
0
0
(43)PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH
Simplex method
Xuất phát từ PACB đầu tiên, tìm cách đánh giá PACB ấy, chưa tối ưu tìm cách chuyển sang một PACB tốt hơn.
Quá trình lặp lại số PACB hữu hạn nên sau một số hữu hạn bước kết luận tốn khơng giải hàm mục tiêu khơng bị chặn tìm được phương án tối ưu
(44)PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH
1) Tìm phương án cực biên (phương án bản)
2) Xét xem PACB PATU hay chưa Nếu tối ưu kết thúc Ngược lại chuyển sang bước
3) Tìm phương án cực biên liền kề tốt PACB xét
(45)VÍ DỤ 17
Xét tốn dạng chuẩn tắc
(46)VÍ DỤ 17
Ẩn bản: x3, x4
Phương án bản: x1=x2=0; x3=4; x4=5
Ta có: 1 1 B A
0,0,4,5 0 2
0
f x
x
x x1 2x2 3x3 2x4
f
(47)VÍ DỤ 17
Ta đánh giá f(x) sau:
Bài toán nên với
Ta chưa đánh giá giá trị nhỏ f
0 1 1 2 2
2 2 9 3 2 5 2 3 2 4 3 2 2 3 2 x x x f x x x f x x x x x x x f x x x x x f
x 2 3x1 9x2
f
(48)VÍ DỤ 17
Thử chọn x1, x4 làm ẩn Cho x2, x3=0 ta có
Phương án bản: Ta có: 4 1 x x x x x
2,0,0,3
(49)VÍ DỤ 17
Ta đánh giá f(x) sau:
Dễ thấy:
Vậy phương án tối ưu:
2 3
4 2 3 2 9 4 2 3 2 x x x f x x x x x f
x 4
f
2,0,0,3
*
(50)CHÚ Ý
Tổng quát ta có:
Với x0 phương án bản
+ Nếu toán ta cần Delta dương + Nếu tốn max ta cần Delta âm
Trong PP đơn hình phía sau Delta bảng đơn hình ngược dấu với Delta
Ẩn không
x f x k xk
f
0
k
(51)(52)BẢNG ĐƠN HÌNH
Cách tính Delta cột:
Lấy hệ số cột bên trái bảng
Nhân với hệ số cột cần tính
Trừ giá trị đầu cột cần tính Cách tính giá trị f(x):
Lấy cột hệ số nhân cột P Án
n
1
j ij
i
j c a c
Δ
i
n
1
i ib c f
i
(53)DẤU HIỆU VỀ PHƯƠNG ÁN TỐI ƯU
1 Nếu ∆k ≤ x0 phương án tối ưu.
2 Nếu tồn ∆k > mà ajk ≤ tốn khơng có phương án tối ưu
(54)(55)CÁC BƯỚC THỰC HIỆN
Nhớ phép biến đổi sơ cấp dòng ma trận Tương tự tìm hạng ma trận biến đổi
(56)(57)VÍ DỤ 18 Hệ số Ẩn cơ bản PA X1 5 X2 4 X3 5 X4 2 X5 1 X6 3 36 60 52 0 3 0 b A
x 5x1 4x2 5x3 2x4 x5 3x6
(58)VÍ DỤ 18 Hệ số Ẩn cơ bản PA
x1 x2 x3 x4 x5 x6
5
2 x4 52 1
1 x5 60
3 x6 36 0
36 60 52 0 3 0 b A
x 5x1 4x2 5x3 2x4 x5 3x6
(59)VÍ DỤ 18 Hệ số Ẩn cơ bản PA X1 5 X2 4 X3 5 X4 2 X5 1 X6 3
2 X4 52 1
1 X5 60
3 x6 36 0
272 12 0
x 5x1 4x2 5x3 2x4 x5 3x6
f
6 4
2
(60)VÍ DỤ 18 Hệ số Ẩn cơ bản PA X1 5 X2 4 X3 5 X4 2 X5 1 X6 3
2 X4 52 1
1 X5 60
3 x6 36 0
272 12 0
36 60 52 0 3 0 b A
x 5x1 4x2 5x3 2x4 x5 3x6
f
12
1
0
1
(61)ĐÁNH GIÁ
Hệ số
Ẩn cơ bản
PA X1
5
X2 4
X3 5
X4 2
X5 1
X6 3
2 X4 52 1
1 X5 60
3 x6 36 0
272 12 0
Giá trị lớn nằm cột x1
Giá trị nhỏ nằm hàng x6
Vậy đưa biến x1 vào thay cho biến x6
12 3
: 36
15 4
: 60
16 2
: 52
(62)BẢNG MỚI
Hệ số
Ẩn cơ bản
PA X1
5
X2 4
X3 5
X4 2
X5 1
X6 3
2 X4 52 0
1 X5 60
3 x6 36 3 0
272 12 0
2 X4 28 7/3 -2/3
1 X5 12 2 5/3 -4/3
5 x1 12 1/3 0 1/3
128 0 -4
Chia hàng để có hệ số vị trí xoay
Biến đổi dòng để hàng lại
(63)BẢNG MỚI
Hệ số
Ẩn bản
PA X1
5
X2 4
X3 5
X4 2
X5 1
X6 3
2 X4 28 7/3 -2/3
1 X5 12 2 5/3 -4/3
5 x1 12 1/3 0 1/3
128 0 -4
2 X4 0 -1 -2
4 X2 5/6 1/2 -2/3
5 x1 12 1/3 0 1/3
92 0 -2 -3
Đưa biến x2 vào thay biến x5
(64)PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH – CHÚ Ý
1) Đối với tốn có hàm f(x) max chuyển giải toán với hàm g(x) = −f(x) (Chú ý fmax = −gmin) giải trực tiếp với dấu hiệu tối ưu k ≥ 0, dấu hiệu để điều chỉnh phương án k < 0, cịn yếu tố
khác thuật tốn khơng đổi
(65)PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH – CHÚ Ý
3) Trường hợp toán suy biến θ0 có thể 0, θ0 = thực thuật tốn cách bình thường, nghĩa là vectơ ứng với θ0 bị loại khỏi sở
(66)PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH – CHÚ Ý
Khi áp dụng thuật toán cần lưu ý hai trường hợp:
Phương án cực biên x0 có sở J
0 sở đơn vị, lúc ma trận hệ
số phân tích [ A | b] theo sở đơn vị nên ta lập bảng đơn hình Bài tốn dạng chuẩn toán cho phương án cực biên với sở đơn vị, nên từ toán ta lập bảng đơn hình ứng với phương án cực biên
(67)VÍ DỤ 19
Cho toán:
Chứng tỏ vecto x0 = (8, 0, 0, 0) phương án cực biên
Dùng vectơ giải toán theo phương pháp đơn hình
2 6 8 5 min
f x x x x x
1 4
2 3 8
2 5 2
4 7 8 2 20
0 1,2,3,4
j
x x x x
x x x x
x x x x
x j
(68)VÍ DỤ 19
Dễ thấy x0 thỏa mãn ràng buộc toán,
các ràng buộc độc lập tuyến tính, x0 phương
án cực biên không suy biến.
Trước hết phải đưa tốn dạng tắc
1
1
1
1
2 6 8 5 min
2 3 8
2 5 2
4 7 8 2 20
0 1,2,3,4,5,6
j
f x x x x x
x x x x
x x x x x
x x x x x
x j
(69)VÍ DỤ 19
Từ x0 suy phương án cực biên khơng suy biến
bài tốn dạng tắc: = (8, 0, 0, 0, 18, 12) với sở J0 = {A1, A5, A6} sở đơn vị
Vì để lập bảng đơn hình ứng với phương án cực biên ta phải tìm ma trận hệ số phân tích ma trận điều kiện tốn dạng tắc qua sở J0
(70)VÍ DỤ 19
Quá trình biến đổi ma trận sau:
Dựa ma trận hệ số phân tích ta lập bảng đơn hình
(71)Ta có 3 = > 0, aj3 < (j J), tốn khơng có phương án tối ưu
Hệ số
Ẩn cơ bản
PA X1
-2
X2 -6
X3 8
X4 -5
X5 0
X6 0
-2 X1 -3 0
0 X5 18 -5 -3
0 x6 12 -4 2
-16 -2 0
-2 X1 3/2 -1 0 -1/2
0 X5 36 13/2 -11 3/2
-5 x4 1/2 -2 1/2
-34 1/2 0 -3/2
2 6 8 5 min
(72)VÍ DỤ 20 BÀI TỐN ĐẶT ẨN PHỤ
Giải toán sau phương pháp đơn hình
Với hệ ràng buộc:
1
2 3 min
2
f x x x x x
1
2
2
1
18 2
4 8 8
2 2 3 20
0 1,2,3,4
j
x x x x
x x x
x x x
x j
(73)VÍ DỤ 20 BÀI TOÁN ĐẶT ẨN PHỤ
Trước hết đưa tốn dạng tắc cách cộng vào ràng buộc (2) (3) hai biến phụ x5 x6 Ta có:
Với hệ ràng buộc mới:
Phương án tương ứng tối ưu: x0 = (0, 0, 16, 4, 40, 0)
Giá trị tối ưu hàm mục tiêu là: f = –18
1
2
2
f x x x x x
1
2
2
1
18
4 8
2 20
0 1,2,3,4,5,6
j
x x x x
x x x x
x x x x
x j
(74)VÍ DỤ 21 BÀI TỐN ĐẶT ẨN PHỤ
(75)(76)QUAN HỆ HAI BÀI TOÁN
Nếu tốn M vơ nghiệm tốn ban đầu vơ
nghiệm
Nếu tốn M có nghiệm (x1,x2,…,xn,0,…,0) (x1,x2,
…,xn) nghiệm tốn ban đầu
Nếu tốn M có nghiệm (x1,x2,…,xn,xn+1,…,xn+m) có
nhất ẩn giả >0 tốn ban đầu vơ nghiệm
Thuận lợi: xây dựng phương án ban
(77)(78)VÍ DỤ 22.
Ta có tốn
Đây toán dạng chuẩn tắc nên ta áp dụng phương pháp đơn hình để giải
x x1 2x2 x3 Mx6 Mx7
College Mathematics for Busines