toán tài chính k57c nguyenvantien0405

Giả sử tốc độ tăng trưởng của số tiền A tại thời điểm t bất kỳ tỷ lệ thuận với số tiền hiện tại trong khoảng thời gian đó.. Ta có mô hình:.[r]

TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG

ĐỊNH NGHĨA NGUYÊN HÀM

Định nghĩa: Cho hàm f(x) liên tục (a,b) Ta nói F(x) nguyên hàm f(x) (a,b) nếu:

Ví dụ 1.

( ) ( ) , ( ),

F x = f x " ẻx a b

( )

( )

laø nguyên hàm của trên

nguyên hàm a trên R.

tan 1 tan

\ 2 1

TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH

Tích phân bất định hàm f(x) ký hiệu:

Được xác định sau:

F(x) nguyên hàm f(x) C: số tùy ý

( )

f x dx

ò

( ) ( )

f x dx = F x +C

TÍNH CHẤT

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

)

) .

)

i f x dx f x

ii k f x dx k f x dx

iii f x g x dx f x dx g x dx

¢

é ù =

ê ú

ë û

=

é + ù = +

ê ú

ë û

ò

ò ò

CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM CƠ BẢN

1

3

5 x x

kdx x dx

dx dx

x x

a dx e dx

a

b

a

= =

= =

= =

ò ò

ị ị

VÍ DỤ 2.

Tính tích phân sau

( ) ( )

2

2 1

. . 3

1

3 1

.

x x

x

a dx b e e dx

x x

x x

c dx

x

+

+

-+

+

-ị ị

VÍ DỤ 3.

Tính tích phân sau

( )

3

2

. cos 2 . 2 1

. 1 .

a x x dx b x dx c x x dx

+ +

+

ò ò

VÍ DỤ 4.

Tính tích phân sau

2

2

2

0

1

2 2

0 2

) 4 )

1

) )

1 1

x

a x dx b dx

x

dx dx

c d

x x x

-+

+

-ị ị

VÍ DỤ 5.

Tính tích phân sau

( )

) ln ) 2 1 sin

) cos ) arctan

a x xdx b x xdx c x xdx d x xdx

+

ò ò

TÍCH PHÂN HÀM MŨ Cơng thức:

Ví dụ Tính tích phân sau: ( )

( ) ( )

1

x x

ax b ax b

u u

i e dx e C

ii e dx e C

a

iii e du e C

+ + = + = + = + ò ò ò 4

) )

) ) D a

x x

I

x T x

a A e dx b B e x dx

c C xe dx- d e dx

-= =

= =

ò ị

VÍ DỤ 7.

Tìm phương trình đường cong y=y(x) biết qua điểm (1;0) và:

Đáp án:

3

x

dy

e dx

+

=

( 2)

2 x

VÍ DỤ 8.

1 Tìm phương trình đường cong y=y(x) qua điểm (2;5) có hệ số góc dy/dx=2x điểm

2 Giả sử hàm chi phí biên để sản xuất x đơn vị sản phẩm cho bởi: C’(x)=0,3x2+2x Biết chi phí cố định 2000$

VÍ DỤ 9.

Một đài phát vệ tinh đưa chiến dịch

quảng cáo tích cực để tăng số lượng người nghe hàng ngày Hiện đài phát có 27.000 người nghe ngày nhà quản lý mong muốn số lượng người nghe, S(t), tăng lên với tốc độ tăng trưởng là: S’(t)=60t1/2 người ngày

VÍ DỤ 10.

Bộ phận nghiên cứu thị trường chuỗi siêu thị xác định rằng, cửa hàng, giá biên tế p’(x) ứng với nhu cầu x tuýp kem đánh tuần cho bởi:

Hãy tìm phương trình đường cầu biết giá 4,35$/tuýp nhu cầu hàng tuần 50 tuýp

Hãy xác định nhu cầu giá tuýp 3,89$ Đáp số:

( ) 0,01

' 0,015 x

p x = - e

-( ) 1,5 0,01x 3,44

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Tăng trưởng giới hạn

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Khái niệm

Nghiệm PTVP hàm số???

2 0,01

2

6 ' 400

" '

x

dy

x x y e

dx

dy dy

ky y xy x xy

dx dx

-= - =

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Bài toán lãi kép liên tục

Gọi P số tiền đầu tư ban đầu

A số tiền có sau thời gian t

Giả sử tốc độ tăng trưởng số tiền A thời điểm t tỷ lệ thuận với số tiền khoảng thời gian

Ta có mơ hình:

R: số phù hợp

( )

,

dA

r A A P A P

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Ta có mơ hình:

Mặt khác:

Ta có cơng thức tính lãi kép liên tục với lãi suất r t thời gian đầu tư

( )

1

ln rt C

dA dA dA

r A r dt rdt

dt A dt A dt

dA rt A rt C A t e e

A

= Û = Û =

Û = Û = + Û =

ò ò

ò

( )0 r0. C ( ) . rt

LUẬT TĂNG TRƯỞNG THEO HÀM MŨ

Định lý Nếu

Trong đó:

Q0: khối lượng t=0

r>0: tốc độ tăng trưởng tương đối t: thời gian

Q: khối lượng thời điểm t

PHÂN RÃ PHÓNG XẠ

Năm 1946, Willard Libby (người sau nhận giải Nobel Hóa học) nhận thấy động vật cịn sống, chất phóng xạ cacbon-14 giữ mức không đổi mơ

Tuy nhiên, thực vật động vật chết, carbon-14

giảm phân rã phóng xạ với tỷ lệ tương ứng với lượng có Tốc độ phân rã 0,0001238

Ví dụ 11 Một mảnh xương người tìm thấy địa điểm khảo cổ Châu Phi Nếu 10% lượng chất phóng xạ

VÍ DỤ 12 BÀI TỐN TĂNG TRƯỞNG

Ấn Độ có dân số khoảng 1,2 tỷ người vào năm 2010 (t=0) Gọi P dân số Ấn Độ thời điểm t năm sau năm 2010 (đơn vị tỷ người) giả sử tốc độ gia tăng dân số Ấn Độ 1,5% liên tục theo thời gian

A) Tìm phương trình biểu diện tốc độ tăng trưởng dân số Ấn Độ sau năm 2010 biết tốc độ 1,5% tốc độ tăng trưởng lien tục

B) Ước lượng dân số Ấn Độ vào năm 2030?

Đáp số:

VÍ DỤ 13 BÀI TOÁN TĂNG TRƯỞNG

Nếu quy luật tăng trưởng mũ áp dụng cho dân số Việt Nam Hãy tìm tốc độ tăng trưởng để sau 100 năm dân số Việt Nam tăng gấp đôi?

Đáp số: 0,69%

Giả sử gửi tiền với lãi kép tính liên tục với lãi suất r

TĂNG TRƯỞNG GIỚI HẠN

Trong học tập kỹ (bơi, đánh máy …) ta giả sử có mức kỹ tối đa đạt M

Tốc độ phát triển kỹ y tỷ lệ thuận với hiệu mức kỹ đạt y mức tối đa M

Ta có mơ hình

( ) ( )0

dy

k M y y

TĂNG TRƯỞNG GIỚI HẠN Một cách tương tự ta có:

( 1 kt )

y = M - e

-( )

( )

ln

0

kt C C kt

C

dy dy

k M y kdt

dt M y

dy

kdt M y kt C

M y

M y e M y e e

y M e

VÍ DỤ 14.

Đối với người học bơi, khoảng cách (m) mà người bơi phút sau t luyện tập xấp xỉ

bởi:

Tốc độ phát triển sau 10 luyện tập là? Đ/S: 1,34m cho luyện tập

( 0,04 )

50 t

TĂNG TRƯỞNG MŨ

Đặc điểm Mơ hình PT Ứng dụng

Tăng trưởng không giới hạn

Tốc độ tăng

trưởng tỷ lệ với lượng

Tăng trưởng ngắn hạn (người, vi khuẩn)

Tăng trưởng tiền tính lãi liên tục

Phân rã theo hàm mũ

Tốc độ phân rã tỷ lệ với ượng

Cạn kiệt tài nguyên thiên nhiên

Phân rã phóng xạ Hấp thụ ánh sáng (trong nước)

Áp suất khí (t chiều cao)

Đặc điểm Mơ hình PT Ứng dụng

Tăng trưởng không giới hạn

Tốc độ tăng

trưởng tỷ lệ với lượng

Tăng trưởng ngắn hạn (người, vi khuẩn)

Tăng trưởng tiền tính lãi liên tục

Phân rã theo hàm mũ

Tốc độ phân rã tỷ lệ với ượng

Cạn kiệt tài nguyên thiên nhiên

Phân rã phóng xạ Hấp thụ ánh sáng (trong nước)

TĂNG TRƯỞNG MŨ

Đặc điểm Mơ hình PT Ứng dụng

Tăng trưởng giới hạn

Tốc độ tăng

trưởng tỷ lệ với hiệu lượng giá trị cố định

) Bán hàng thời trang

Khấu hao thiết bị Tăng trưởng công ty Học tập Tăng trưởng Logistic

Tốc độ phân rã tỷ lệ với lượng hiệu lượng giá trị cố

định

Tăng trưởng dân số dài hạn Bán hàng Sự lan truyền tin đồn Tăng trưởng công ty

Bệnh dịch

Đặc điểm Mơ hình PT Ứng dụng

Tăng trưởng giới hạn

Tốc độ tăng

trưởng tỷ lệ với hiệu lượng giá trị cố định

Bán hàng thời trang

Khấu hao thiết bị Tăng trưởng công ty Học tập Tăng trưởng Logistic

Tốc độ phân rã tỷ lệ với lượng hiệu lượng giá trị cố

định

Tăng trưởng dân số dài hạn Bán hàng Sự lan truyền tin đồn Tăng trưởng công ty

VÍ DỤ 15 SỰ LAN TRUYỀN TIN ĐỒN

Nhà xã hội học phát tin đồn có xu hướng lan truyền với tốc độ tỷ lệ với số người nghe tin đồn x số người chưa nghe tin đồn (P-x) Trong P tổng số người Một sinh viên kí túc xá có 400 sinh viên nghe tin đồn có bệnh lao trường P=400 và:

Gọi t thời gian tính theo phút A) Tìm cơng thức x(t)

B) Sau phút có người nghe tin đồn C) Tìm giới hạn:

( ) ( )

0,001 400

dx

x x x

dt = - =

( )

lim

SỰ LAN TRUYỀN TIN ĐỒN

Sau phút nửa số sinh viên KTX nghe tin đồn?

( ) ( )

( ) 0,4

0,001 400

400

1 399 t

dx

x x x

TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Diện tích đường cong

Diện tích phần hình tơ màu bao nhiêu?

DIỆN TÍCH DƯỚI ĐƯỜNG CONG Tổng bên trái - Left Sum

Tổng bên phải – Right Sum

NHẬN XÉT

Chia đoạn [1;5] thành 16 đoạn ta có:

Chia thành 100 đoạn ta có:

100 14,214 14,545 100

L = < Area < = R

16 13,59 15,09 16

ĐÁNH GIÁ SAI SỐ

Sai số xấp xỉ: chênh lệch giá trị thực tế giá trị xấp xỉ

Khơng thể tính cụ thể đánh giá

ĐỊNH LÝ

Cho hàm số f(x)>0, đơn điệu đoạn [a,b] Chia đoạn [a;b] thành n đoạn

Lấy Ln Rn để xấp xỉ diện tích bị chặn hàm f, trục 0x đường thẳng x=a; x=b

Chặn sai số là:

(Chênh lệch đầu mút) * (Độ dài khoảng chia)

( ) ( ) .b a ( ) ( ) .

f b f a f b f a x

n

VÍ DỤ 16. Cho hàm số

Ta cần tính diện tích hình f(x) từ x=2 đến x=5

A) Vẽ đồ thị hàm số khoảng [0;6] vẽ hcn trái, phải đoạn [2;5] với n=6

B) Tính L6; R6 sai số xấp xỉ

TỔNG TÍCH PHÂN

Cho hàm số f(x) xác định [a;b]

Chia đoạn [a;b] thành n đoạn với điểm chia sau:

Khi này:

0 n

a = x < x < x < < x = b

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

0 1

1 n

n n k

k n

n n k

k

L f x x f x x f x x f x x R f x x f x x f x x f x x

-

-=

=

= D + D + + D = D

= D + D + + D = D

TỔNG RIEMANN Ta có:

ck điểm thuộc khoảng [xk-1;xk]

( )1 ( )2 ( ) ( )

1

n

n n k

k

S f c x f c x f c x f c x

=

MỘT SỐ TỔNG QUAN TRỌNG CẦN NHỚ

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

1 1

1 1 1

2 1 ) ) ) )

1

) )

2

1 )

2

n n n

i i

i i i

n n n n n n

i i i i i i i i

i i i i i i

n n

i i

n

i

a C nC b Ca C a

c a b a b d a b a b

n n n n n

e i f

VÍ DỤ 17.

Tính tổng Riemann cho hàm số đoạn [0;3] với n=6 ck điểm biên bên phải đoạn

TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

Định lý Nếu f hàm số liên tục đoạn [a,b] tổng Riemann đoạn [a,b] có giới hạn hữu hạn I

Giới hạn gọi tích phân xác định hàm số f(x) đoạn [a,b]

Ký hiệu:

( )

b a

I = ò f x dx

( ) ( )

1

lim

b n

k n

k a

f x dx f c x

đƠ

=

= å D

TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

( )

1 n

k i

f c x b a x

n

=

D -D =

Ý NGHĨA HÌNH HỌC

TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

Tích phân xác định hàm f từ a đến b là:

(nếu giới hạn tồn tại).

Khi ta nói hàm f khả tích [a,b].

( ) ( )

1

lim

b n

k n

i a

f x dx f c x

đƠ

=

= ồ D

CHÚ Ý

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

: dấu tích phân : hàm lấy tích phân : cận lấy tích phân : biến độc lập

Tích phân là số, không phụ thuộc vào

Toång Riemann: *

,

b a

b b b

a a a

n

i i

f x

a b dx x

f x dx x

f x dx f t dt f r dr f x x

VÍ DỤ 18. Tính tích phân:

Chia đoạn [a;b] thành n đoạn nhau

Lập tổng tích phân với ck điểm bên phải.

Ta có: b x a e dx ị b a x h n

-D = =

( ) ( ) ( ) 1

.e

1

n n

a h a h a n h k

i i

n h n h

a h h a h

h

f c x f a i h h h e e e e

S h e e e h

e + + + = = -+ + é ù

D = + = êë + + + úû

-é ù = ê + + + ú= ë û -å å ( )

. 1

1

a h b a

h

h

S e e

e

+

-=

-VÍ DỤ 18.

Cho n tiến đến vơ ta có:

Như vậy:

( )

( )

0

. 1

1

1

a h b a

h

n a b a b a

h

h

S e e

e

S e e e e

+ -đƠ -đ = -ắắ ắđ- - = -b

x b a a

e dx = e - e

VÍ DỤ 19.

Tính diện tích miền có diện tích giới hạn (khơng tính giới hạn)

10

1

2 2

) lim 5

) lim tan

VÍ DỤ 20.

Biểu diễn tích phân sau dạng tổng Riemann Khơng tính giới hạn

 

6 10

5

2

10

0

) ) 4ln

1

) sin )

x

a dx b x x dx x

c xdx a x dx



 

 

GIẢI VÍ DỤ 20 B               10

1 1

1

0 0

0

1

4ln

9 9 9

1 4ln

9 9 9

1 4l

n

10

n

n n n

n i

i

n n n

i i

n n n

n i

i i i

x x dx

R f x x f i i

n n n n n

L f x x f i i i

n n n

i

R L S S f x x f x f f

n x n                                                                                        1

9 9 9 9

1 4ln

2 2

9 n n i i n n n i i

M f c x

M f i i i

n n n n n n n n

VÍ DỤ 21.

Biểu diễn tổng sau dạng tích phân xác định khoảng cho trước

( ) ( ) ( ) 1 2 * *

) lim ln , 2;6 cos

) lim , ;2

) lim , 1;8

) lim , 0;2

n i i n i n i n i i n i i n i n i i n i

a x x x

x

b x

x

c c c x

d x x x

p p đƠ = ®¥ = ®¥ = ®¥ = é ù + D ê úë û

é ù D êë úû

é ù + D ê úë û

é ù é ù

- + D

TÍNH CHẤT CƠ BẢN

Cho f g hai hàm khả tích [a;b] đó: Hàm (α.f+β.g) khả tích [a;b]

Hàm f.g khả tích [a;b]

 ( ) ( ) ( ) ( )

b b b

a a a

f x g x dx f x dx g x dx

     

TÍNH CHẤT

Tính chất cộng Cho ba đoạn [a,b]; [a;c] [c;b] Nếu f(x) khả tích đoạn lớn khả tích đoạn cịn lại và:

Tính khả tích giá trị tích phân khơng thay đổi ta thay đổi giá trị hàm số số hữu hạn điểm

( ) ( ) ( )

b c b

a a c

f x dx  f x dx  f x dx

TÍNH CHẤT

Cho hàm f(x) khả tích đoạn [a;b] Ta có:

Hệ quả:

     

     

         

) ;

) ;

) ; b a b a b b a a

i f x x a b f x dx

ii f x x a b f x dx

iii f x g x x a b f x dx g x dx

                       b b a a

f x dx  f x dx

TÍNH CHẤT

Nếu

thì:

Ví dụ 22 Chứng minh rằng:

  ,  , 

m  f x M  x a b

     

b a

m b a f x dx M b a 

2

1

1

1

x

e dx e



ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH Giả sử f(x) khả tích [a;b] giả sử:

Khi tồn µ cho

Và:

Hệ Nếu f liên tục [a;b] tồn c thuộc [a;b] cho:

min max

m  f M  f

m   M

  . 

b a

f x dx  b a 

    .  b

a

CÔNG THỨC ĐẠO HÀM THEO CẬN TRÊN

Cho hàm f(x) khả tích [a;b] Với a<x<b đặt:

Nếu f(x) liên tục [a;b] thì:

Hàm liên tục [a;b]

( ) x ( )

a

x f t dt j = ò

( )x f x( )

CHỨNG MINH Ta có:

Mặt khác:

Vậy:

( ) ( ) x h ( ) x ( ) x h ( )

a a x

x h x f t dt f t dt f t dt

j j + + + - = ò - ò = ò ( ) ( ( )) ( ) ( ; ) x h x

f t dt f c h h c h x x h

+

= Ỵ +

ò

( ) ( ) ( ( ))

( )

( ) ( )

h

f c h h

x h x

f c h f x

h h

j + - j ®

CÔNG THỨC NEWTON - LEIBNITZ

Định lý Cho f liên tục [a;b] F(x) nguyên hàm f(x) thì:

( ) ( ) ( ) ( )

b

b a a

f x dx = F b - F a = F x

CÔNG THỨC NEWTON - LEIBNITZ Ta có:

Gọi F(x) nguyên hàm f(x) Ta có:

Vậy:

( ) ( ) ( 1)

1

lim

b n

k k k

n

k a

f x dx f c x x

-đƠ

=

= ồ

-ũ

( ) ( ) ( ) ( 1)

1

' k k

k k

k k

F x F x f c F c

x x -= =

-( ) -( 1) ( ) ( 1) ( ) ( )

1

lim n k k k n k k

n

k k

f c x x - F x F x - F b F a

đƠ

= =

ộ ự

- = êë - úû=

CÔNG THỨC NEWTON - LEIBNITZ Do nguyên hàm nên ta có:

Ta có: Vậy:

( ) x ( ) ( )

a

x f t dt F x C

j = ò = +

( )a 0 F a( ) C C F a( )

j = = + Þ =

-( ) b ( ) ( ) ( ) ( )

a

b f t dt F b C F b F a

j = ò = + =

-( ) ( ) ( )

b

a

f x dx = F b - F a

VÍ DỤ 23.

Tính xác diện tích đường cong y=1-x2,

x=0,5 x=1 trục Ox Giải Ta có: ( ) 1 3 0,5 0,5 3 0,5

1 0,5 0,208333

3

x

VÍ DỤ 24.

Tính xác diện tích đường cong y=x2+1,

x=0 x=4 trục Ox Giải

Ta có:

( )

4 3 0 3

4 76

4

3 3

x

TÍCH PHÂN HÀM ĐỐI XỨNG Cho f liên tục [-a; a]

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

i) Neáu f hàm chẵn thì:

ii) Nếu f hàm lẻ thì:

2 0 a a a a a

f x dx f x dx

f x f

f x f x

f x dx

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN Tính chiều dài cung

Diện tích hình phẳng Thể tích khối trịn xoay

CHIỀU DÀI CỦA CUNG Ta cần tính chiều dài

cung từ a đến b

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2

2 2

1 1

1 1

2

1

'

lim ' '

n n n

i i i i i i i

i i i

b n

i n

i a

P P x x y y x f c x

L f c x f x dx

- -

-= = =

đƠ =

ộ ự

= - + - = D + êë D úû

é ù é ù

= + êë úû D = + êë úû

å å å

å ò

( )

1 '

b a

CHIỀU DÀI CỦA CUNG

Định lý Nếu f’(x) liên tục [a,b] chiều dài dây cung y=f(x) đoạn [a,b] là:

Ví dụ 25. Tìm độ dài cung y2=x3 từ điểm (1;1) đến

điểm (4;8)

( )

1 '

b a

L = ò + êéëf x ùúû dx

( )

1

80 10 13 13 27

-CHIỀU DÀI CỦA CUNG

Định lý Nếu đường cong có phương trình dạng x=g(y) g’(y) liên tục [c,d] chiều dài đường cong đoạn [c,d] là:

Ví dụ 26 Tìm độ dài cung y2=x từ điểm (0;0) đến

điểm (1;1)

( )

1 g'

d c

L = ò + êéë y ùúû dy

( )

ln

5

2

DIỆN TÍCH MẶT TRỊN XOAY

Diện tích hình trụ Diện tích mặt nón

2

DIỆN TÍCH MẶT TRỊN XOAY

Diện tích mặt nón cụt

( 2)

DIỆN TÍCH MẶT TRỊN XOAY Ta có:

( ) ( )

2 1 '

b

a

A = pò f x + êéëf x dxùúû

( )

1

lim n i i i i

n

i

A p y- y P P

-đƠ = = ồ + ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1

1

2

1

1 '

2 '

n n

i i i i i i k

i i

n

k k

i

y y P P y y f c x

f c f c x

p p p - - -= = = é ù

+ = + + êë úû D

é ù

» + êë úû D

å å

DIỆN TÍCH MẶT TRỊN XOAY Xung quanh Ox y=f(x) có dấu tùy ý

Xung quanh Oy x=g(y) có dấu tùy ý

( ) ( )

2 1 '

b a

A = pò f x + êéëf x dxùúû

( ) ( )

2 1 '

d c

VÍ DỤ 27.

1) Tính diện tích mặt tạo nên xoay đường parabol y=x2

từ điểm (1;1) đến (2;4) A) Quanh trục Oy

B) Quanh trục Ox

GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỦA HÀM SỐ Cho hàm số f(x) liên tục đoạn [a,b]

Giá trị trung bình hàm f là:

( )

1 b

a

VÍ DỤ 28.

1) Tìm giá trị trung bình hàm f(x)=x-3x2 đoạn

[-1;2]

2) Cho hàm cầu sau:

Hãy tìm giá trung bình (theo $) theo lượng cầu đoạn [40, 60]

Đáp số: 1) -5/2 2) 8,55$

( )

1 100 0,05Q

-ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TRONG KINH TẾ

Tìm hàm biết hàm cận biên Giả sử tìm hàm chi phí, hàm doanh thu

VÍ DỤ 29.

Giả sử mức sản lượng Q, chi phí cận biên là:

Tìm hàm chi phí biết chi phí cố định C0=200

( ) 90 120 27

VÍ DỤ 30.

Giả sử mức sản lượng Q, chi phí cận biên là:

Giả sử Q=1 chi phí 60 Tìm hàm chi phí

( ) 50 18 45 4

VÍ DỤ 31.

Giả sử mức sản lượng Q, doanh thu cận biên là:

Giả sử Q=1 R=37 Tìm doanh thu hàm giá theo sản lượng

( ) 3 8 30

VÍ DỤ 32.

Cho biết doanh thu cận biên mức giá p là:

Giả sử P=10 (ngàn đồng/sản phẩm) R=10,4 (triệu đồng) Tìm doanh thu hàm sản lượng theo giá

( ) 4 3 24 15

VÍ DỤ 33.

33a Cho hàm chi phí cận biên mức sản lượng Q MC=8e0,2Q chi phí cố định FC=50 Xác định hàm tổng

chi phí chi phí khả biến

XÁC ĐỊNH QUỸ VỐN

Giả sử lượng đầu tư I (tốc độ bổ sung quỹ vốn) quỹ vốn K hàm theo biến thời gian t.

Ta có: I=I(t); K=K(t)

Giữa quỹ vốn đầu tư có quan hệ: (lượng đầu tư thời điểm t biểu thị tốc độ tăng quỹ vốn thời điểm đó)

I(t)=K’(t)

Vậy biết hàm đầu tư I(t) ta xác định hàm quỹ vốn sau:

     

TÍCH PHÂN TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ

Ví dụ 34 Cho hàm đầu tư I(t)=3t1/2 (nghìn la

Thặng dư tiêu dùng

• Thặng dư tiêu dùng đo lường phúc lợi kinh tế

của người mua.

• Thặng dư sản xuất đo lường phúc lợi kinh tế

của người bán.

• Mức sẵn lòng trả mức giá tối đa mà người

mua chấp nhận mua sản phẩm.

• Đây mức giá trị mà người mua đánh giá

một sản phẩm hay dịch vụ,

• Thặng dư tiêu dùng mức sẵn lịng trả

Đo lường CS đường cầu • Đường cầu thị trường mô tả mức sản lượng mà

người tiêu dùng sẵn lịng mua mức giá khác nhau.

John 100

Paul 80

Georg

e 70

Biểu cầu đường cầu

Price of Album

0 Quantity of

Albums

Demand

1

$100 John’s willingness to pay

80 Paul’s willingness to pay

70 George’s willingness to pay

Đo lường thặng dư tiêu dùng

(a) Price = $80 Price of

Album

50 70 80

0 $100

Demand

1 Quantity of

Albums

(b) Price = $70 Price of

Album

50 70 80

0 $100

Demand

1

Total consumer surplus ($40)

Quantity of Albums

John’s consumer surplus ($30)

Paul’s consumer surplus ($10)

• Diện tích phía đường

cầu trên mức giá là thặng dư tiêu dùng.

Đo lường thặng dư tiêu dùng

Consumer surplus

Quantity (a) Thặng dư tiêu dùng mức giá P1

Price

0

Demand

P1

Q1

B A

Tác dụng mức giá đến thặng dư tiêu dùng

Initial consumer

surplus

Quantity

(b) Thặng dư tiêu dùng mức giá P2

Price

0

Demand A

B

C

D E

F

P1

Q1 P2

Q2

Consumer surplus to new consumers

Thặng dư tiêu dùng

• Consumer’s Surplus

• Nếu điểm đường cầu

p=D(x) thặng dư tiêu dùng CS mức giá là:

• CS thể tổng tiết kiệm

người tiêu dùng sẵn sàng trả mức giá lớn cho sản phẩm mua sản

phẩm mức giá

 

( )

0

x

CS = éêD x - p dxùú

ë û ò ( ) ( ) x Q

CS D x dx x p

CS D- Q dQ Q P

=

-=

Thặng dư sản xuất

• Producer’s Surplus

• Thặng dư sản xuất mức giá người bán

trả trừ chi phí cho sản phẩm

Dùng đường cung đo lường PS

• Diện tích phía mức giá trên đường cung là thặng dư sản xuất.

Quantity of Houses Painted Price of

House Painting

500 800 $900

0 600

1

(a) Price = $600

Supply

Đo lường PS đường cung

Quantity of Houses Painted Price of

House Painting

500 800 $900

0 600

1

(b) Price = $800

Georgia’s producer surplus ($200)

Total producer

surplus ($500)

Grandma’s producer surplus ($300)

Tác dụng giá đến thặng dư sản xuất

Producer surplus

Quantity (a) Thặng dư sản xuất giá P1

Price

0

Supply

B

A

C

Quantity (b) Thặng dư sản xuất giá P2

Price

0

P1 B

C

Supply

A

Initial producer

surplus

Q1 P2

Q2

Producer surplus to new producers Additional producer

surplus to initial producers

D E

F

Thặng dư sản xuất

• Producer’s Surplus

• Nếu điểm đường cung

p=D(x) thặng dư sản xuất PS mức giá là:

• PS thể tổng tăng thêm

của nhà sản xuất sẵn sàng

cung cấp sản phẩm mức giá thấp bán sản phẩm mức giá

 

( )

0

x

PS = éêp S x dx- ùú

ë û ò ( ) ( ) x Q

PS x p S x dx

PS Q P S- Q dQ

=

-=

Thặng dư tiêu dùng sản xuất cân bằng thị trường

Producer surplus Consumer

surplus

Price

0 Quantity

Equilibrium price

Equilibrium quantity

Supply

Demand A

C

B D

VÍ DỤ 35.

Cho hàm cung hàm cầu:

Hãy tính thặng dư nhà sản xuất thặng dư người tiêu dùng

2 1 ; 43 2.

S D

VÍ DỤ 35.

Sản lượng cân nghiệm pt:

Thặng dư nhà sản xuất:

Thặng dư người tiêu dùng:

1( ) 1( )

18

Q D Q S Q

P              

18.3 27

PS    Q   dQ 

 

 

3

2

43 18.3

VÍ DỤ 36.

1) Tìm thặng dư tiêu dùng mức giá 8$ biết hàm cầu đảo có phương trình:

2) Tìm thặng dư sản xuất mức giá 20$ biết hàm cung đảo có phương trình:

3) Tìm mức giá cân tìm thặng dư tiêu dùng, thặng dư sản xuất mức giá tiêu dùng biết:

 

1 20 0,05

P D Q Q

  

 

1 2 0,0002

P S Q Q

  

   

1 20 0,05 ; 2 0,0002

D Q Q S Q Q

DÒNG THU NHẬP LIÊN TỤC Continuous Income Stream

Cho f(t) tốc độ dòng thu nhập liên tục, đó tổng thu nhập thu khoảng thời gian từ a đến b là:

 

b

a

FV CỦA DỊNG THU NHẬP LIÊN TỤC Theo cơng thức lãi kép liên tục:

Nếu dòng thu nhập liên tục đầu tư với mức lãi suất r, ghép lãi liên tục giá trị tương lai dịng thu nhập liên tục sau T năm là???

Chú ý

Trong công thức lãi kép liên tục P cố định Chỉ tính cho khoản đầu tư P nhất

Làm tính tổng thu nhập cho dịng thu nhập liên tục.

rt

LẬP TỔNG TÍCH PHÂN Chia khoảng thời gian T

thành n phần, phần Δt. Thu nhập khoảng thứ k (từ tk-1 đến tk) xấp xỉ với:

Giá trị tương lai nó: Tổng thu nhập sau T năm:

 k .

f c t

  . r T t. 

k k

FV f c t e 

 

       

1 0

lim . k

T n

r T c r T t

k n

k

FV f c t e  f t e  dt

  

FV CỦA DÒNG THU NHẬP LIÊN TỤC

Nếu f(t) tốc độ dòng thu nhập liên tục

Giả sử thu nhập đầu tư liên tục với mức lãi suất r, ghép lãi liên tục

Khi này, giá trị tương lai dòng thu nhập sau T năm đầu tư là:

     

0

T T

r T t rT rt

FV f t e  dt e f t e dt

VÍ DỤ 37.

Tốc độ biến thiên lợi nhuận thu từ máy bán hàng tự động cho bởi:

Trong t (năm) thời gian tính từ thời điểm lắp máy

A) Tìm tổng lợi nhuận nhập máy sau năm tính từ lắp đặt B) Giả sử lợi nhuận máy đầu tư liên tục với lãi suất 12% Tính giá trị tương lai tổng lợi nhuận máy sau năm

C) Tìm tổng lãi thu dòng lợi nhuận máy sau năm đầu tư

  5000 0,04t

ÔN TẬP THI CUỐI KỲ

Giới hạn hàm số: VCB, L’Hospital

Tính đạo hàm, vi phân hàm nhiều biến Cực trị hàm nhiều biến kinh tế Phân tích cận biên, hệ số co dãn