2019

Nhưng nếu chúng ta đảo lại bài toán ở ví dụ hoặc thêm giao điểm thì sẽ được các câu hỏi mới khó hơn nhiều giúp các em liên hệ được các hình vẽ với nhau, hiểu sâu bài toán, nắm bắt được [r]

y x

O

D M

C

B A

CHUYÊN ĐỀ THÁNG 12 /2019 Người báo cáo: Trần Thị Thanh Huyền

Ngày báo cáo: 19/12/2019

CHUYÊN ĐỀ: XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP TỪ MỘT BÀI TẬP BAN ĐẦU THEO NHIỀU HƯỚNG KHÁC NHAU

I ĐẶT VẤN ĐỀ

Trong q trình dạy tốn, thầy giáo có khơng lần gặp tốn cũ mà cách phát biểu hồn tồn khác, khác chút Những tốn tương tự, mở rộng, đặc biệt hóa hay lật ngược tốn mà tốn có phương pháp giải Nếu giáo viên định hướng cho học sinh kỷ thường xuyên liên hệ toán với toán biết toán đảo, toán tổng qt, tốn đặc biệt làm cho học sinh phát tốn khơng nhanh chóng xếp loại tốn từ định hướng phương pháp giải cách tích cực chủ động Sau tơi đưa số ví dụ để giải thực trạng để thể nội dung đề tài

II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ: 1.Ví dụ :

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Vẽ tia tiếp tuyến Ax By với nửa đường tròn (Ax, By nửa đường tròn thuộc nửa mặt phẳng bờ AB) Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường trịn đó, cắt Ax By theo thứ tự C D Chứng minh rằng:

a COD = 90o. b CD =AC + BD

Hướng dẫn:

a.-Vì CA CM hai TT đt (O) cắt C ⇒ OC tia phân giác AOM (1) CM = CA

+ DM DB hai TT đt(O) cắt D

⇒ OD tia phân giác MOB (2) DM = DB

- Từ (1) (2) ⇒ CO  OD ( ĐPCM)

b Ta có CD = CM + MD mà CM = CA DM = DB (CMT) Nên CD =AC + BD ( ĐPCM)

y x

N

O

D

M C

B A

y x

O

D M

C

B A

2 Xây dựng hệ thống toán

Bài tốn1: Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB Vẽ tia tiếp tuyến Ax By với nửa đường tròn (Ax, By nửa đường tròn thuộc nửa mặt phẳng bờ AB) Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường trịn đó, cắt Ax By theo thứ tự C D.Chứng minh tích AC.BD khơng đổi M di chuyển đường tròn

Hướng dẫn:

Theo câu a : Tam giác COD vuông O mà OM đường cao nên OM2 = CM.MD Theo câu b: CM = CA, BD = MD

Do OM2 = CA.BD mà OM = R ( khơng đổi) Nên CA.BD khơng đổi

Bài tốn 2: Cho nửa

đường trịn tâm O đường kính AB Vẽ tia tiếp tuyến Ax By với

nửa đường tròn (Ax, By nửa đường tròn thuộc nửa mặt phẳng bờ AB) Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường trịn đó, cắt Ax By theo thứ tự C D Chứng minh đường thẳng AB tiếp xúc với đường ngoại tiếp tam giác COD

Hướng dẫn :

- Gọi N trung điểm CD

⇒ NC = ND = NO (  COD vng)

Do ON bán kính đường tròn ngoại tiếp  COD (1)

- AxAB (gt) By AB(gt)

⇒ AC // BD nên tứ giác ACDB hình thang

- Xét hình thang ACDB có NC = ND OA = OB

Nên ON đường TB hình thang ACDB ⇒ ON // AC Do ON  AB ( AC  AB) (2)

- Từ (1) (2) Suy AB tiếp xúc với đường ngoại tiếp tam giác COD

H

y x

O M

D

C

B A

y x

O

D M

C

B A

Hướng dẫn:

Ta có PACDB = CA + AB +BD + DC = AB + 2CD Mà CD  AB

Suy : PACDB  3AB hay

PACDB  6R Dấu “ = ” xẩy CD = AB

 CD // AB  OM  AB

Khi M nằm cung AB Vậy GTNN PACDB = 6R

- SACDB = AB =  Hay SACDB  2R2

Dấu “ = ” xẩy CD = AB  CD // AB  OM  AB Khi M nằm

chính cung AB

Vậy GTNN SACDB = 2R2 Khi M nằm cung AB

Bài tốn 4: Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB Vẽ tia tiếp tuyến Ax By với nửa đường tròn (Ax, By nửa đường tròn thuộc nửa mặt phẳng bờ AB) Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường trịn đó, cắt Ax By theo thứ tự C D.Tìm giá trị nhỏ tổng diện tích hai tam giác ACM MDM

Hướng dẫn:

Ta có:

+) SACDB = ( AC + BD) AB = CD.AB

Mà CD  AB SACDB AB2 = 2R2 (1) Dấu “ =” xẩy điểm M

nằm cung AB

+) SAMB = MH.AB Mà MH  R SAMB R.2R = R2(2) Dấu “ =” xẩy điểm M nằm cung AB +) SAMC + S BMD = SACDB - SAMB (3).Từ (1), (2) (3) suy

Để SAMC + S BMD nhỏ SACDB nhỏ SAMB lớn Mà SACDB nhỏ = 2R2 SAMB lớn = R2

Vậy SAMC + S BMD nhỏ = R2

cách chủ động, đồng thời tạo hứng thú cho em học tập Xuất phát từ ý tưởng ta lại có số tập thú vị

Bài toán 5( Bài tốn đảo ví dụ )

Cho đoạn thẳng AB, kẻ hai tia Ax By vng góc với AB nằm mặt phẳng có bờ đường thẳng AB Trên tia Ax tia Ay lấy hai điểm C D cho AC + BD = CD Chứng minh CD tiếp tuyến đường trịn đường kính AB

Huớng dẫn:

Ở có nhiều cách làm:

Cách 1: Sử dụng định nghĩa định lý tiếp tuyến -Trên CD lấy điểm M cho CM = CA

⇒ MD = BD ( AC + BD = CD)

-Do tam giác ACM MDB cân C D

⇒ 

AMC =

 180 ACM  

BMD =

 180 BDM  AMC + BMD =

 

0

360 ( )

ACM BDM

 

- Mà ACM + BDM = 1800 ( tứ giác ABDC hình thang vng)

Nên AMC + BMD = 900 ⇒ AMB = 900 ⇒ M thuộc đường trịn đường kính AB(1)

- Trên AB lấy điểm O cho OA = OB Nối O với M ta có MO = OA = OB hay tam giác AOM cân O ⇒ OMA + AMC = OAM + CAM = 900 ⇒ OM  CD (2)

- Từ (1) (2) suy CD tiếp tuyến đường trịn đường kính AB

Cách 2:

Lấy đoạn CD điểm M cho CM = CA Gọi E F theo thứ tự trung điểm AM MB Nối C với E nối D với F cắt O’

- Xét cân CAM có CE đường trung tuyến

Nên CE đường cao đường phân giác(1)

- Xét cân MDB có DF đường trung

tuyến Nên DF đường cao đường phân giác(2) - Từ (1) (2) suy O CD ' + CDO '

= 900(vì ACD + CDB = 1800) ⇒ CO D ' = 900. Do tứ giác O’EMF hình chữ nhật ⇒ AMB = 900 MO’ = EF

- Trên AB lấy điểm O cho OA = OB Vì  AMB  vng nên MO = OA = OB

= AB (3)

- Xét AMB có: EA = EM MF = FB nên FE đường TB tam giác AMB

⇒ FE = AB (4)

- Từ (3) (4) suy MO = MO’ hay O  O’

- Xét ACO MCO có CO chung, CA = CM, MCO = ACO ⇒ ACO = MCO(

c.g.c) Suy CMO = CAO = 900 hay CM  MO nên CD tiếp tuyến đường trịn đường kính AB

Cách 3:

- Từ O kẻ đường thẳng  AB cắt CD N suy NC = ND

Xét hình thang vng ACDB có ON đường TB nên ON = = = CN = ND ⇒ NCO cân

tại N

⇒ NCO CON  mà ACO CON ( CA // ON)

⇒ ACO NCO

- Từ O kẻ OM  CD ( M  CD)

- Xét ACO MCO có A Mˆ ˆ = 900, CO chung, ACO NCO

nên ACO = MCO( ch – gn)

Do AO = OB = OM hay M thuộc đường trịn đường kính AB mà CD  OM M

nên CD tiếp tuyến đường trịn đường kính AB

Nhận xét: Qua toán rèn cho em thành thạo kỷ chứng minh tốn hình học khơng có cách mà có nhiều khác nắm vững nội dung tốn cách tích cực, chủ động tự giác Từ giúp em tự tin thấy say mê Toán học nhiều Cũng từ cách làm thứ tốn ta có tốn số toán khác cách cho thêm giao điểm

Bài toán 6: Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB Vẽ tia tiếp tuyến Ax By với nửa đường tròn (Ax, By nửa đường tròn thuộc nửa mặt phẳng bờ AB) Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường trịn đó, cắt Ax By theo thứ tự C D Nối M với B cắt Ax N Chứng minh

a C trung điểm AN b ON  AD

N

y

x

O

A B

C

D

H N

L

y x

O M

D

C

B A

F Q

P

E N

A B

C

D M

O

x y

Hướng dẫn:

a.Ta có:AC = CM (TCTT cắt nhau) OA = OM = R

Do CO đường trung trực AM

⇒ AM  CO mà AM  NB

⇒ CO // NB

- Xét ANB có OA = OB = R CO // NB ( CMT) nên CO đường trung bình ANB ⇒ CA = NC

b Ta có AN // BD (  AB) ⇒ ANB = NBD ( so le trong)

Mà ANB + NAM = 900 NBD + ODB = 900 nên NAM = ODB = ODM ⇒ MAN  ODM hay = ⇒ = (1)

Mặt khác NMO = AMD ( Vì NMA = OMD = 900 CMN = BMD ) (2)

Từ (1) (2) ⇒  OMN DMA ⇒ MNO = MAD ⇒ tứ giác ANMH nội

tiếp

Do NAM = NHA = 900 hay ON  AD

Nhận xét: Dựa vào cách chứng minh tốn ta lại có tốn khó

Bài tốn 7: Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB Vẽ tia tiếp tuyến Ax By với nửa đường tròn (Ax, By nửa đường tròn thuộc nửa mặt phẳng bờ AB) Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường trịn đó, cắt Ax By theo thứ tự C D.Gọi giao điểm CO AM P, giao điểm OD MB Q Chứng minh

a.Tứ giác CPQD nội tiếp đường tròn

b.Xác định giá trị nhỏ bán kính đường trịn ngoại tiếp tứ giác CEFD

Hướng dẫn:

a.Theo P, Q trung điểm AM MB Nên PQ đường trung bình AMB

⇒ PQ // AB Do đó: = mà MQP = QPO ( CO // MB)

⇒ QPO = MBA (1). Xét tứ giác MDNO có



b Gọi E F trung điểm CD QP N tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác CPQD ⇒ OE // AC NF  QP Mà PQ // AB( câu a)

⇒ NF  AB NF // AC (3)

Mặt khác: NE MQ  CD nên NE // MQ (4)

Từ (3) (4) suy tứ giác NEOF HBH ⇒ NE = FO = R( tứ giác MPOQ HCN)

Xét tam giác CNE có CN = =  = R

Dấu “=” xẩy AB = CD hay M điểm cung CD Vậy giá trị nhỏ bán kính đường trịn ngoại tiếp tứ giác CEFD R

Kết luận : Các toán ta thấy chúng có mối quan hệ mật thiết với Vì dạy tốn mà biết hệ thống liên kết chúng hệ thống tập giúp cho việc giảng dạy thêm phần sinh động mà giúp cho học sinh cảm thấy hứng thú chủ động đồng thời nắm bắt kiến thức cách vững vàng

Bài tập :

Bài 1: Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB Vẽ tia tiếp tuyến Ax By với nửa đường tròn (Ax, By nửa đường tròn thuộc nửa mặt phẳng bờ AB) Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường trịn đó, cắt Ax By theo thứ tự C D.Từ M kẻ MH  AB Gọi

E F chân đường vuông góc hạ từ H xuống AM BM a Chứng minh  AEFB nội tiếp đường tròn

b Gọi G tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEFB Chứng minh EF = 2OG c Chứng minh MH, CB, AD đồng quy

Bài 2. Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB điểm Q cố định nằm đoạn OB Qua Q vẽ đường thẳng d vng góc với OB Vẽ cát Ay cắt nửa đường tròn M cho M ( M năm nửa mặt phẳng bờ đường thẳng d có chứa điểm A) cắt đường thẳng d T Nối T với B cắt nửa đường tròn C Qua N M kẻ tiếp tuyến Nx Mz với nửa đường tròn cắt R Gọi giao điểm BM AN I

a Chứng minh I, R thuộc đường thẳng d