Đang tải... (xem toàn văn)
[r]
(1)Phßng GD VÜnh Têng
Đề khảo sát đội tuyển HSG lớp lần 1 năm hc 2006-2007
Môn: Toán
Thi gian: 150 phỳt (không kể thời gian giao đề) Câu 1:
a, Tìm số tự nhiên a, b, c thoả mÃn hệ phơng trình:
a3b3 c3
=3 abc
a2=2(b+c)
¿{
¿
b, Giải hệ phơng trình:
z2+1=2xy
x2−1
=2 yz√1−4 xy ¿{
¿
C©u 2:
a, Cho a R tho¶ m·n: a5 – a3 + a = 2
Chøng minh r»ng: < a6 < 4
b, Tìm số nguyên x, y, z thoả mãn bất đẳng thức: x2 + y2 + z2 xy + 3y + 2z 4
Câu 3:
a,Tìm x, y thoả mÃn phơng trình sau:
|x 1|2006+|x 2|2007=1 vµ x2 + y2 – 2x = 11
b, Tìm tất số nguyên dơng n cho: n4 + n3 +1 số phơng
C©u 4:
a, Cho đờng trịn tâm O bán kính r nội tiếp ΔABC Đờng trịn (O, r)
tiÕp xóc víi BC, CA, AB t¹i M, N, P Gäi p =
2 chu vi ΔABC
BiÕt AP
4
BP3 +
BM4
MC3+
CN4
NA3=¿ p TÝnh c¸c gãc cđa ΔABC
b, Với 2007 đờng trịn đồng tâm O Qua B nằm ngồi 2007 đờng trịn đó, kẻ * 2007 tiếp tuyến đến 2007 đờng tròn Chứng minh x 2007 tiếp điểm thuộc đờng trịn
C©u 5: Chøng minh r»ng: NÕu a, b, c > th×:
a96
+b96+c96
a95
+b95+c95≥
3
(2)Phßng GD vÜnh têng
Đáp án chấm khảo sát đội tuyển hsg lớp lần I Năm hc 2006-2007
Môn: Toán
Câu 1: (2.5 điểm)
a,Phân tích pt (1) thành nhân tử , ta đợc
(a – b – c)(a2 + b2 + c2 +ab – bc + ac) = 0
Hay
2 (a – b – c) [(a + b )2 +(a + c )2 + (b - c )2] =
⇒ (a – b – c) = hc (a + b )2 +(a + c )2 + (b - c )2 = 0
*NÕu a – b – c = th× a = b + c thay vµo pt (2) ta cã: a2 = 2a
⇔ a(a – 2) = Do đó: a = a =
+Víi a = th× b + c = mà b, c N nên b = c =
+Víi a = th× b + c = mà b, c N nên b = 0; c = hc
b = 2; c = hc b = c = *NÕu (a + b )2 +(a + c )2 + (b - c )2 = th× a= -b; a = -c vµ b = c
mµ a, b, c N nªn a = b = c =
Vậy số tự nhiên a, b, c cần tìm là: a = b = c = 0; a= 2, b = 2, c = 0; a = 2, b = 0, c = vµ a = 2, b = c =1
b, Tõ pt (1) ta suy ra: xy
4
Tõ pt (2) ta cã: xy
4
VËy xy =
4 Từ ta có hệ ¿ xy=1
4 z2+1=1
x2−1=0 ⇔
¿xy=1
4 z=0
x2=1
¿{ {
¿
VËy nghiÖm (x, y, z) lµ (1;
4 ; 0) vµ (1; -1 ; 0)
0,5 ®
0,5 ®
0,5 ® 0.25 ® 0.25 ®
0.25 ® 0.25 đ
Câu 2: (2.5 điểm)
a, Từ ĐK toán suy a nên ta có:
a6 + = (a2 + 1)(a4 – a2 +1)
¿ ¿a
2
+1
a (a
5
− a3+a)
¿
¿2(a
2
+1
a )=2(a+
a)>0⇒a>0
Do:
a+a ≥2⇒a
6
+1≥4⇒a6≥3
DÊu = xảy a = (loại)
Vậy a6
>3 (1)
Mặt khác, ta có: + a3 = a5 + a
0.25 ®
(3)⇔
a3+1=a
+
a2>2 (do a ) Do đó: a3 < ⇒ a6<4 (2)
Tõ (1), (2) suy ®pcm b, Ta cã: x2
+y2+z2≤xy+3y+2z −4
⇔x2
+y2+z2−xy−3y −2z+4≤0
z −1¿2≤0 y
2−1¿
2
+¿ x − y
2¿
2
+3¿ ⇔¿
(*)
Tõ (*) thÊy VT
Do đó, ta có:
¿ x − y
2=0 y
2−1=0 z −1=0
⇔
¿x=1
y=2
z=1
¿{ {
¿
0.5 ®
0.5 ®
0.5 ®
C©u ( ®iĨm) a, Gi¶i pt (1) ta cã:
+ NÕu x < lo¹i VT > + NÕu x > lo¹i VT > + NÕu < x < th×
|x −1|2006+|x −2|2007<(−1+x)+(2− x)=1 lo¹i
*Víi x = 1; x = tho¶ m·n
VËy pt (1) có nghiệm x = x = + NÕu x = th× pt (2) ⇔y2
=12⇔y=±√12
+ NÕu x = th× pt (2) y2
=11y=11
*Vậy (x,y) thoả mÃn pt (1) (2) là: (1; √12 ); (1; - √12 ); (2; √11 ); (2; - 11 ) b, Giả sử n4 +n3 +1 số phơng
Vì n
2
2 n4
+n3+1=¿ nªn ta cã:
n
+k¿2=n4+2 kn2+k2
n4+n3+1=¿
(Với k số nguyên dơng đó)
⇒ n2
(n −2k)=k2−1≥0
Đặc biệt k2−1⋮n2 Do đó: k2=
n2≤ k2−1
*NÕu k2 = th× k = 1; n2(n – 2) = o ta cã n = ( tho¶ m·n)
*Khi k th× k2
>k2−1≥ n2
⇒k>n suy n – k < (M©u thuẫn với ĐK
0.25 đ 0.25 đ 0.25 đ 0.25 ® 0.25 ®
0.25 ®
(4)n2(n −2k)=k2−1≥0
VËy n = tho¶ m·n ĐK toán Câu (2 điểm)
áp dụng Bđt CôSi ta có:
AP4
BP3 +BP+BP+BP≥4
4
√AP4
BP3 ∗BP
3
=4 AP (1)
T¬ng tù BM
4
MC3 +3 MC≥4 MB (2)
CN
NA3+3 NA≥4 CN (3)
Cộng vế với vế (1); (2); (3) ta đợc:
AP4 BP3 +
BM4 MC3 +
CN4
NA3+3(BP+MC+NA)≥4(PA+MB+NC) AP4
BP3 +
BM4
MC3 +
CN4
NA3≥(PB+MC+NA)=p
Dấu “=” xảy tơng đơng với xảy dấu (1); (2); (3) tức AP = BP; MB = MC; CN= NA hay AB = BC = AC hay góc A, góc B, góc
C b»ng vµ b»ng 600.
b, BP, BM lµ tiÕp tuyÕn cña (O) Suy ∠BMO =∠BOP¿=900⇒M , P∈
¿
đờng trịn đờng kính BO
Nh * 2007 tiếp điểm ( 2*2007 tiếp tuyến kẻ từ B đến 2007 đ-ờng tròn) đềo thuộc đđ-ờng trịn đđ-ờng kính OB Vậy 2*2007 tiếp điểm thuộc đờng trịn đờng kính BO
0.25 ®
0.25 ® 0.25 ® 0.5 ® 0.25 ® 0.25 ® 0.25 ®
C©u (1 ®iĨm)
Do vai trị bình đẳng số a, b, c nên ta giả sử 0<a≤ b ≤ c
a95 b95c95
áp dụng Bđt Trê B Sép ta cã: 3.(a.a95 + b.b95 + c.c95 )
(a+b+c)(a95+b95+c95) ⇒a96+b96+c96
a95
+b95+c95≥
a+b+c
3 (1)
áp dụng Bđt Cô Si ta có: a+b+c
3 ≥
3
√abc (2) Tõ (1), (2) suy §pcm
CÁC TÀI LIỆU KHÁC VUI LÒNG VÀO WEBSITE: http://phantu2010.violet.vn
A
P N
O
http://phantu2010.violet.vn