[r]
(1)đề tài :
Tìm lời giải, Khai thác mở rộng vài dạng toán chứng minh bất đẳng thức có điều kiện cho trớc
a/- Đặt vấn đề:
1 Lý chọn đề tài:
- Khi gặp toán dạng chứng minh bất đẳng thức với điều kiện ràng buộc cho trớc đa số HS lớp 8, 9, kể HS giỏi gặp lúng túng khó khăn việc tìm lời giải, đặc biệt dạng tốn thờng gặp kì thi HSG lớp 8, lớp thi vào trờng chuyên lớp chọn bậc THPT, điều khiển cho HS tìm lời giải gọn đẹp, đồng thời khai thác mở rộng toán điều quan trọng cho em - Qua thực tiển giảng dạy, bồi dỡng học sinh giỏi đa vào áp dụng thấy đợc hiệu tốt
Mục đích nghiên cứu:
- Tìm lời giải, khai thác mở rộng vài dạng tốn chứng minh bất đẳng thức có điều kiện cho trớc nhằm tạo tính hứng thú cho em học sinh giỏi bậc THCS để từ em khơng bị lúng túng gặp dạng tốn
NhiƯm vơ nghiªn cøu:
- Đề phơng pháp giải vài dạng tốn chứng minh bất đẳng thức có điều kiện ràng buộc bậc THCS theo hớng phát giải vấn đề
Gi¶ thuyÕt khoa häc:
- Nếu vận dụng tốt phơng pháp dạy học giải vấn đề vào việc phát hiện, tìm lời giải số dạng tốn chứng minh bất đẳng thức có điều kiện ràng buộc góp phần phát huy tính tích cực, độc lập sáng tạo, hình thành cho học sinh lực tự giải vấn đề, nâng cao chất lợng dạy học toỏn
5 Phơng pháp nghiên cứu:
- Nghiên cứu SGK, toán tuổi thơ, giới ta, báo tài liệu liên quan, - Điều tra tổng kết kinh nghiƯm
- Thùc nghiƯm s ph¹m
B/- Giải quyt : Vớ d 1:
Bài toán 1.1:
Chøng minh r»ng nÕu a + b a2 + b2
Lời giải: (a2 + b2 −1
2 ) + (1- a - b ) = (a
2
− a+1 4)+(b
2
−b+1
4)=(a − 2)
2
+(b−1 2)
2
≥0
Mà 1− a −b ≤0 ( vì a + b ). Do a2 + b2 −1
2≥0 => a2 + b2
(2)Bài toán 1.2:
Chứng minh r»ng nÕu :
a + b +c th× a2 + b2 + c2
( Bài giải cho toán tơng tự nh lời giải toán 1) Lời giải:
Ta cã: (a2 + b2 + c2 −1
4 ) + (1- a - b - c) = =
c2− c+1 4=(a −
1 2)
2
+(b −1 2)
2
+(c −1 2)
2
≥0 (a2− a+1
4)+(b
2
− b+1 4)+¿
Mà 1 a b c 0 ( vì a + b+c )
Do a2 + b2+ c2 −1
4≥0 => a2 + b2+ c2
4 (§pcm) Cã thĨ mở rộng thêm toán có cách giải tơng tự nh sau:
Bài toán 1.3: Cho a + b + c + d = Chøng minh r»ng a2 + b2 + c2+ d 2 1
Lêi gi¶i:
Ta cã: (a2 + b2 + c2+ d2 - 1 ) + (2- a - b – c - d) = =
(a2− a+1 4)+(b
2−b
+1 4)+(c
2−c
+1 4)+(d
2−d −1
4)=(a − 2)
2
+(b −1 2)
2
+(c −1 2)
2
+(d −1 2)
2
≥0
Mµ 1− a −b − c − d=0 ( v× a + b+c+d ¿1 )
Do a2 + b2+ c2 +d2 −1≥0 => a2 + b2+ c2+d2 1 (Đpcm) Đẳng thức xảy a = b = c = d =
2
Phơng pháp giải áp dụng gọn gàng hiệu cho toán sau:
Bài toán 1.4:
a - b ¿1 víi a2 + b2
2 ( §Ị thi HSG líp Huyện Đức Thọ năm học 2006 2007 )
Lêi gi¶i: (a2 + b2 −1
2 ) + (1- a + b ) = (a
2
− a+1 4)+(b
2
+b+1
4)=(a − 2)
2
+(b+1 2)
2
≥0
Mà 1− a+b=0 ( vì a - b ¿1 ). Do a2 + b2 −1
2≥0 => a2 + b2
2 (§pcm) Đẳng thức xảy a =
2 ; b = -
VÝ dô 2:
(3)(Đề thi HSG toán 9, quận 1, TP HCM,2001 2002)–
Lêi gi¶i:
Ta cã: (a4 +b4 a– 3 b– 3) + ( 2- a- b) = a4 a– 3 a + + b– 4 b– 3 b + 1=– = a3(a-1) (a-1) + b– 3(b-1) (b-1) = (a- 1)(a– 3 -1) +(b- 1)(b3 -1) =
= (a- 1)2(a2 + a + 1) +(b- 1)2(b2 + b + 1) = (a 1)– 2
[(a+1 2)
2
+3
4] +(b 1)– 2 [(b+ 2)
2
+3 4]
0
Mà – a – b ( a+b ≥2 ) Do a4
+b4 - a3 – b3 => a4+b4 a3 + b3
Bài toán 2.2:: Chứng minh nếu: a+b+c ≥3 th× a3 + b3+c3 a4
+b4 +c4
(Đề thi chọn đội tuyển HSG Trờng THCS Lê Quý Đôn, Quận 3, TP HCM, 2005 2006)–
Lêi gi¶i:
Ta cã: (a4 +b4 + c4 a– 3 b– 3 c– 3) + ( a - b c ) =– – a4 a– 3 a + + b– 4 b– 3 b + + c– 4 c– 3 c + =–
= a3(a-1) (a-1) + b– 3(b-1) (b-1) + c– 3(c-1) (c-1) =– =(a- 1)(a3 -1) +(b- 1)(b3 -1) +(c- 1)(c3 -1) =
= (a- 1)2(a2 + a + 1) +(b- 1)2(b2 + b + 1) + (c- 1)2(c2 + c + 1)= = (a 1)– 2
[(a+1 2)
2
+3
4] +(b 1)– 2 [(b+ 2)
2
+3
4] +(c 1)– 2 [(c+ 2)
2
+3 4] Mà a b - c – – ( a+b+3 ) Do a4+b4 +c4- a3 b– 3- c3
=> a3 + b3 +c3
a4+b4 +c4(§pcm)
Khai thác mở rộng từ toán trên, ta đợc toán tổng quát sau: Bài toán 2.3
Cho k sè a1; a2; ; ak cã a1+ a2+ + ak k
CMR: a14+ a24+ + ak4 a13+ a23+ + ak3
ViÖc chøng minh toán ta áp dụng phơng pháp trình bày nh toán cụ thể trên:
Lời gi¶i :
Ta cã: a14 +a24 +…+ a
k4 - a13 - a23 - ….- ak3 + ( k a– 1 - a2 –… - ak ) = (a ❑1 4 a– ❑
1 3 a– 1 +1) +(a24 a– ❑2 3 a– 2 +1 )+…+( a ❑k 4 a– ❑k 3 a–k +1) = a ❑1 3 (a1 - 1) (a– 1 - 1) + a ❑
2 3 (a2-1) (a– 2-1) +…+ a ❑k 3(ak-1) (a– k-1) = =(a1- 1)(a ❑1 3 -1) +(a2- 1)(a ❑
2 3 -1) +…+(ak- 1)(ak3 -1) =
= (a1- 1)2(a12 + a1 + 1) +(a2- 1)2(a22 + a2 + 1) +…+ (ak- 1)2(ak2 + ak + 1) = = (a1 1)– 2
[(a1+1 2)
2
+3
4] +(a2 1)– 2 [(a2+
1 2)
2
+3
4] +…+(ak 1)– 2 [(ak+ 2)
2
(4)Mà k a– 1 a–2 -…- ak ( a1+ a2+ + ak k) Do a14 +a24 +…+ a
k4 - a13 - a23 - …- ak3 Suy ra: a14+ a24+ + ak4 a13+ a23+ + ak3 (Đpcm) Từ toán 2.3 ta đề xuất mở rộng thêm toỏn sau:
Bài toán 2.4
Cho k sè d¬ng a1; a2; ; ak cã a1+ a2+ + ak k
CMR: a1n+ a2n+ + akn a1m+ a2m+ + akm(*) m ; n N ; n > m.
Lêi gi¶i
Vì n > m Giả sử am = an-1, theo điều kiện toán ta sÏ chøng minh: a1n+ a2n+ + akn a1n-1+ a2n-1+ + akn-1 m ; n N
Ta cã: a1n + a2n+ + akn - a1n-1- a2n-1- - akn-1+k a– 1 a–2 - …- ak = =(a1n a–
1n-1- a1 +1) +(a2n a–2n-1- a2 +1)+…+ (akn a–kn-1- ak +1) = = (a1-1) (a1n-1- 1) +(a2-1) (a2n-1- 1)+….+ (ak-1) (akn-1- 1) =
=(a1-1)2 (a1n-2+a1n-3+…+ 1) +(a2-1)2 (a2n-2+a2n-3+….+1) +….+ + (ak-1)2 (akn-2+akn-3+…+ 1) (**)
Do ain −1−1=0 ( i =1;2;3;…;k) cã nghiƯm nhÊt , nªn:
a1n −2+a1n −3+ +1=0 v« nghiƯm
VËy a1
n −2
+a1n −3+ +1>0
Nên (**) (*)
Trong toán 2.4 bỏ điều kiện a i dơng( i =1;2;3;;k), ta có toán sau:
Bài toán 2.5: Cho k số a1; a2; ; ak cã a1 + a2+ + ak k
CMR: a12n+a22n+ +ak2n³a12n −1+a22n −1+ +a2kn −1
¿
nỴN rSup \{ size 8\{*\} \} \} \{ ¿
(***)
ViƯc chøng minh bµi toán 2.5 hoàn toàn tơng tự giống nh toán 2.4 Lêi gi¶i
Ta cã: a12n + a22n+ + ak2n - a12n-1- a22n-1- - ak2n-1+k a– 1 a–2 - …- ak = =(a12n a–
12n-1- a1 +1) +(a22n a– 22n-1- a2 +1)+…+ (ak2n a–k2n-1- ak +1) = = (a1-1) (a12n-1- 1) +(a2-1) (a22n-1- 1)+….+ (ak-1) (ak2n-1- 1) =
(5)Do ai
2n −1
−1=0 ( i =1;2;3;…;k) cã nghiÖm nhÊt , nên:
ai2n 2+ai2n 3+ +1=0 vô nghiệm
VËy ai
2n −2
+ai
2n −3
+ +1>0 Nên (****) (***)
C/- Mét sè bµi tËp tù gi¶i:
1 Cho a + b + c + d +e = Chøng minh r»ng a2 + b2 + c2+ d 2+e2
2 Cho a1 + a2 + a3 +a4 +a5 +a6 +a7+a8 = Chøng minh r»ng Cho a12 + a22 + a32 +a42 +a52 +a62 +a72+a82 1
3 Cho a + b + c + d + e = chøng minh r»ng:
a4 + b4 + c4 + d4 + e4 a3 + b3 + c3 + d3 + e3
( §Ị thi HSG Huyện Vũ Quang năm học 2003 2004)
4 Cho x, y số dơng thoà mÃn: x3 + y4 x2
+y3
Chøng minh r»ng: a) x3 + y 3 x2 +y2
b) x2 + y 3 x
+y2
5 Cho hai sè d¬ng x, y tho· m·n x3 + y3 = x y– Chøng minh r»ng: x2 + y2 < 1
D/- KÕt luËn :
- Trên vài dạng toán chứng minh bất đẳng thức với điều kiện ràng buộc cho trớc thờng gặp kì thi HSG lớp 8, kì thi tuyển vào trờng chuyên lớp chọn THPT
- Song tiếp cận tuỳ thuộc vào dạng toán mà GV phải hớng dẩn đồng thời khai thác mở rộng để em học sinh tiếp thu cách chủ động, sáng tạo biết vận dụng linh hoạt vào kì thi (nếu gặp)
- Trong trình vận dụng vào giảng dạy, thấy học sinh phần lớn nắm đợc bài, tự tin gặp dạng toán nêu vận dụng vào giải cách nhanh chóng, hiệu đợc nâng lên rõ rệt
- Trong viết phần nhỏ nhiều dạng toán chứng minh bất đẳng thức với điều kiện ràng buộc cho trớc, tránh khỏi thiếu sót, mong đồng nghiệp góp ý xây dựng để khai thác mở rộng cách chuyên sâu tổng quát nhằm giúp cho em học sinh thấu hiểu cách sâu sắc Tôi xin chân thành cảm ơn./