[r]
(1)Chuyên đề dấu hiệu chia hết cho
A LÝ thuyÕt:
I./ Kiến thức bản: Đặt : A = abcd
a) A ⇔d ∈{0;2;4;6;8} b) A ⇔d ∈ ∈{0;5}
II./ KiÕn thøc më réng a) A 2; A ⇔d =
c) A ⇔ cd4
d) A 25 ⇔ cd25
e) A 8⇔ bcd
g) A 125⇔ bcd 125 B Bµi tËp
Bài Trong số sau, số chia hÕt cho 2, cho 4, cho 5, cho , cho 125 5341; 1010; 1984; 1076; 2782; 3452; 6375; 7800
Giải
+) Các số chia hết cho là: 1010; 1984; 1076; 2782; 3452; 7800 +) Các số chia hÕt cho lµ : 1984; 1076; 3452; 7800
+) Các số chia hết cho là: 1010; 7800; 6375.; +) Các số chia hết cho là: 1984; 7800
+) C¸c sè chia hÕt cho 125 lµ: 6375
Bài Thay số x, y chữ số thích hợp để: a) 375x chia hết cho 5; cho 25; cho 125 b) 12xy4 chia hết cho 2;
Gi¶i a) 375x 5⇔x ∈ {0;5}
375x 25 ⇔5x 25 ⇔x =
375x 125 ⇔ 375x ⇔ 75x125 ⇔x =
b)
+) 12xy4 2⇔víi mäi x, y chữ số
+) 12xy4 y4 4 ⇔y ∈ {0;2;4;6;8}
VËy víi mäi ch÷ số x y {0;2;4;6;8} 12xy4
Bài Với chữ số 2; 5; 6; 7, viết tất số : a) Chia hÕt cho b) Chia hÕt cho c) Chia hÕt cho 25 d) Chia hÕt cho 125
Giải Với chữ số 2; 5; 6;
a) C¸c sè chia hÕt cho cã chữ số tận chia hết số phải tìm : 6752; 7652; 2756; 7256; 5672; 6572; 2576; 5276
(2)6752; 2576
c) C¸c sè chia hÕt cho 25 cã chữ số tận chia hết cho 25 nên số phải tìm : 7625
Bi Dùng chữ số 0; 1; 2; có tạo thành số có chữ số , chữ số cho lấy lần cho
a) Các số chia hết cho b) Các số chia hết cho
c) Các số chia hết cho chia hết cho Gii
a) Các số đợc tạo thành có chữ số tận : 1520; 1250; 2150; 2510; 5120; 5210.(sáu số) Các số chia hết cho
Các số đợc tạo thành có chữ số tận : 5102; 5012; 1502; 1052 (4 số)
Các số chia hÕt cho
Vậy số tạo thành thoả mãn đề chia hết cho có 10 số b) Các số đ−ợc tạo thành có chữ số tận :
1520; 1250; 2150; 2510; 5120; 5210.(sáu số) Các số đợc tạo thành có chữ số tận : 1205; 2015; 2105; 1025 (4 sè)
Vậy số tạo thành thoả mãn đề chia hết cho có 10 số
c) Các số vừa chia hết cho vừa chia hết cho phải có chữ số tận Vậy có số thoả mãn đề vừa chia hết cho , vừa chia hết cho
Bài 5.Từ 1đến 100 có số chia hết cho 2, cóbao nhiêu sốchia hết cho Giải
* Từ đến 100 có số chia chia hết cho : 2; 4; ….98; 100
Từ đến 100 có số số chia chia hết cho là: (100 - 2) : + = 50 (số) * Từ đến 100 có số chia chia hết cho : 5; 10; ….95; 100
Từ đến 100 có số số chia chia hết cho là: (100 - 5) : + = 20 (số) Bài Tìm tập hợp số tự nhiên n vừa chia hết cho 2, vừa chia hết cho
a) 136 < n< 182 b) 1995 < n < 2001 Gi¶i
a) Ta cã 136 < n < 182 => n ∈{137;138;;180;181}
Các số tự nhiên vừa chia hết cho 2, vừa chia hết cho có tận Do đó: Tập hợp số tự nhiên n vừa chia hết cho 2, vừa chia hết cho 136 < n< 182 là: n ∈{140;150;160;170,}
b) Ta cã 1995 < n < 2001 => n ∈{1996;1997;;1999;2000}
Các số tự nhiên vừa chia hết cho 2, vừa chia hết cho có tận Do đó: Tập hợp số tự nhiên n vừa chia hết cho 2, vừa chia hết cho 136 < n< 182 là: n ∈{2000}
(3)b) (8n + 1)(6n +5) kh«ng chia hÕt cho c) (n + 3)(n +6) chia hÕt cho
Gi¶i a) Ta cã : (5n + 7)(4n +6) = (5n + 7) (2n +3)
V× ⇒(5n + 7) (2n +3) ⇒ (5n + 7)(4n +6)
b) Ta cã : (8n + 7)(6n +5)
Vì ⇒8n + 7; 6n +5 số lẻ nên (8n + 7)(6n +5) số lẻ, :k
(8n + 7)(6n +5) k
c) * NÕu n = 2k (k∈N) th×:
(n + 3)(n +6) = (2k +3)(2k + 6) = (2k +3).2.(k+3) = 2(k + 3)(2k + 3) V× ⇒2(k + 3)(2k + 3) ⇒(n + 3)(n +6)
* NÕu n = 2k + (k∈N) th×:
(n + 3)(n +6) = (2k + +3)(2k + + 6) 2 = (2k + 4)(2k + 7) = 2(k + 2)(2k + 7) V× ⇒2(k + 2)(2k + 7) 2⇒(n + 3)(n +6)
VËy ⇒(n + 3)(n +6) Bµi Chøng minh r»ng:
a) 94260 - 35137 chia hÕt cho
b) 995 - 984 + 973 - 962 chia hÕt cho vµ
c) 5n - (n ∈N)
d) 92n - vµ (n ∈N)
e) n2 + n + kh«ng chia hÕt không chia hết cho
g) n2 + n + kh«ng chia hÕt cho
Gi¶i a) 94260 - 35137 = 9424 15 - 35137 =
) ( ) ( ) ( − =
V× (5) ⇒ 94260 - 35137
b) 995 - 984 + 973 - 962 =
) ( ) ( ) ( ) ( ) ( − + − =
Vì (0) nên 995 - 984 + 973 - 962 vµ c) 5n - (n
∈N)
- Víi n = th× 5n - = 50 - = 1- = Vì nên 5n -
- Víi n = th× 5n - = 51 - = 5- = Vì nên 5n -
- Víi n > th× 5n - =
)
( - = (4) Vì (4) nên 5n -
VËy 5n - (n
∈N)
d) 92n -
vµ (n ∈N)
Ta cã : 92n - = (92)n - =
)
( - =
vì nên 92n - vµ (n ∈N)
e) n2 + n + không chia hết không chia hÕt cho
Ta cã : n2 + n + = n(n + 1) +
- Vì n(n+1) tích số tự nhiªn liªn tiÕp nªn n(n+1) tøc n(n + 1) số chẵn
(4)=> n(n + 1) + k => n2 + n + k
- Vì n(n+1) tích số tự nhiên liên tiếp nên tận nên n(n + 1) + tận cïng lµ 5,
=> n(n + 1) + k => n2 + n + k
g) n2 + n + k
Ta cã : n2 + n + = n( n + 1) +
Vì n(n + 1) sè tù nhiªn liªn tiÕp nªn cã tËn cïng cã thể 0; 2; nên : n( n + 1) + cã tËn cïng lµ 6; 8; không chia hết n2 + n + k
Bài Không làm tính hÃy cho biết số sau có chia hÕt cho kh«ng? a) A = 20022001 - 20012000
b) B = 20012002 + 19992000
c) C = + 33 + 34 + 35
Gi¶i
a) A = 20022001 - 20012000 = 2002 20022000 - 20012000 = 2.2001.20022000 - 20012000
Tích số lẻ số lẻ nên 20012000 số lẻ Do đó:
20012000 kh«ng chia hÕt cho
⇒2.2001.20022000 - 20012000 K
2.2001.20022000
b) Tích số lẻ số lẻ nên 20012002 , 19992000 số lẻ Do đó:
B = 20012002 + 19992000 số chẵn => B
c) , 33 , 34 , 35 số lẻ nên tổng C = + 33 + 34 + 35 số chẵn Do đó: C
Bµi 10 Chøng minh B = 20002001 - 20012002 không chia hết cho
Giải B = 20002001 - 20012002 = 2000 20002000 - 20012002
v× 2000 => 2000 20002000
⇒ 2000 20002000 - 20012002K5 2001 K ⇒20012002 K
⇒ B K
Bài 11 Gọi A tổng tất số chẵn không vợt 2002, B tổng tất số lẻ không vợt 2002 Hỏi hiƯu A - B cã chia hÕt cho kh«ng, có chia hết cho không
Giải
A tổng tất số chẵn không vợt 2002 lµ: A = + + 6+ …+ 1998 + 2000 + 2002 Tæng A cã tÊt c¶: (2002 - 2) : + = 1001 số B tổng tất số lẻ không vợt 2002
B = + + + …+ 1997 + 1999 + 2001 Tæng B cã tÊt c¶: (2001 - 1) : + = 1001 sè
(5)=
1 so 1001
1
1
1+ + +…+ = 1001
V× 1001 K nên A - B K vµ
Bµi 12 Cã hai sè tự nhiên mà tổng 3456 số lớn gấp lần số nhỏ không
Giải
Số lớn gấp lần số nhỏ tổng chúng lần số nhỏ , nên tổng chúng chia hết cho
Mà 3456 không chia hết hai số tự nhiên nµo mµ tỉng b»ng 3456 vµ sè lín gÊp lần số nhỏ không
Bài 13 Cho a, b ∈ N Hái ab(a + b) cã tËn cïng không?
Giải
- Nếu a b số chẵn ab(a + b) số chẵn ab(a + b) 2 nên ab(a + b) k
- NÕu a vµ b số lẻ ab(a + b) số chẵn => ab(a + b) 2
nên ab(a + b) k
VËy víi a, b ∈ N ab(a + b k
Bài 14 Cho A = 13! - 11!
a) A cã chia hÕt cho hay kh«ng? b) A cã chia hÕt cho hay kh«ng? c) A cã chia hết cho 155 hay không?
Giải
Ta có A = 13! - 11! = 2…12.13 - 10 11 = ( 0)−( 0)=( 0)
a) Vì ( 0) nên A
b) Vì ( 0) nên A
c) Ta cã A = 13! - 11! = 2…11.12.13- 11! = 11! 12 13 - 11! = 11! (12 13 -1) = 11! (156 - 1) = 155
V× 155 nªn A
Bài 15 Tổng số tự nhiên từ đến 154 có chia hết cho 2, cho không? Giải
Gọi A tổng số tự nhiên từ đến 154 Ta có: A = + + … + 154
=
2 154 ) 154 ( +
= 155 77 +) V× 155 k ⇒ 155 77 k ⇒ Ak
+) 155 ⇒ 155 77 5 ⇒A
Bµi 16 Cho A = 119 + 118 + 117 + … + 11 + Chøng minh A
(6)Ta cã A = 119 + 118 + 117 + … + 11 + = ( ) ( ) ( ) ( ) tan 10 + + … + + + la cung co so
= ( 0)
Vì ( 0) nên A
Bài 17 Trong số tự nhiên nhỏ 1000 cã bao nhiªu sè chia hÕt cho nh−ng không chia hết cho
Giải Các số tự nhiên nhỏ 1000 là: 0; 1; 999
Các số chia hết cho nhng không chia hÕt cho cã tËn cïng lµ 2; 4; 6; Mỗi chục số có số nh vËy
Từ đến 999 có 100 chục số Do có tất : 100 = 400 s
Vậy số tự nhiên nhỏ h¬n 1000 cã 400 sè chia hÕt cho nh−ng không chia hết cho
Bài 18 Tìm số tự nhiên chia cho d 1; chia cho 25 d Giải
- Các sè chia hÕt cho 25 cã tËn cïng lµ 00; 25; 50; 75; nên số chia cho 25 d cã tËn cïng lµ 03; 28; 53 ; 78
- C¸c sè chia hÕt cho cã chữ số tận tạo thành số chia hết cho nªn sè chia hÕt cho d− cã chữ số tận tạo thành số chia hết cho d− Trong c¸c sè 00; 25; 50; 75 cã sè 75 chia cho d−
Vậy số tự nhiên có tận 53 chia cho d 1; chia cho 25 d Bài 19 Tìm số tự nhiên chia cho d− , chia cho 125 th× d− 12
Giải
- Các số chia hết cho 125 cã tËn cïng lµ 000; 125; 250; 375; 500; 625; 750; 875; nên số chia cho 125 d 12 cã tËn cïng lµ 012; 137; 262; 387; 512; 637; 762; 887;
- C¸c sè chia hÕt cho có chữ số tận tạo thành số chia hÕt cho nªn sè chia hÕt cho d có chữ số tận tạo thành sè chia hÕt cho d− Trong c¸c sè 012; 137; 262; 387; 512; 637; 762; 887cã sè 387 chia cho d−
VËy sè tù nhiªn có tận 387 chia cho d 3; chia cho 125 d 12 Bài 20 Có phép trừ hai số tự nhiên mà số trừ gấp lần hiệu số bị trừ 1030 hay không?
Giải NX : SBT - ST = H => SBT = ST + H
Số trừ gấp lần hiệu số bị trừ gấp lần hiệu SBT chia hết cho mà 1030 không chia hết nên phép trừ hai số tự nhiên mà số trừ gấp lần hiệu số bị trừ 1030
Bµi 21 Chøng minh r»ng mét sè tù nhiên đợc viết toàn chữ số không chia hÕt cho
(7)NhËn xÐt : 44 k 8; 444 k
Giải sử A đợc ghi n chữ số (n >3) Ta cã : A =
4
4444 44
so chu n
= 44…4000 + 444 = 44…4 1000 + 440 = 44…4 125 + 444
V× ⇒44…4 125 mµ 444 k ⇒44…4 125 + 44 ⇒ A
(8)bµi tËp vỊ dÊu hiƯu chia hÕt cho vµ
Bµi Trong số sau, số chia hết cho 2, cho 4, cho 5, cho , cho 125 5341; 1010; 1984; 1076; 2782; 3452; 6375; 7800
Bài Thay số x, y chữ số thích hợp để: a) 375x chia hết cho 5; cho 25; cho 125
Bài Với chữ số 2; 5; 6; 7, viết tất số : a) Chia hÕt cho b) Chia hÕt cho c) Chia hÕt cho 25 d) Chia hÕt cho 125
Bài Dùng chữ số 0; 1; 2; có tạo thành số có chữ số , chữ số cho lấy lần cho
a) Các số chia hết cho b) Các số chia hết cho
c) Các số chia hết cho chia hết cho
Bài 5.Từ 1đến 100 có số chia hết cho 2, cóbao nhiêu sốchia hết cho Bài Tìm tập hợp số tự nhiên n vừa chia hết cho 2, vừa chia hết cho
a) 136 < n< 182 b) 1995 < n < 2001 Bµi Chøng tỏ với số tự nhiên n tích :
a) (5n + 7)(4n +6) chia hÕt cho
b) (8n + 1)(6n +5) kh«ng chia hÕt cho c) (n + 3)(n +6) chia hÕt cho
Bµi Chøng minh r»ng:
a) 94260 - 35137 chia hÕt cho
b) 995 - 984 + 973 - 962 chia hÕt cho vµ
c) 5n - (n ∈N)
d) 92n - vµ (n ∈N)
e) n2 + n + không chia hết không chia hết cho
g) n2 + n + không chia hết cho
Bài Không làm tính hÃy cho biết số sau có chia hÕt cho kh«ng? a) A = 20022001 - 20012000
b) B = 20012002 + 19992000
c) C = + 33 + 34 + 35
Bµi 10 Chøng minh B = 20002001 - 20012002 không chia hết cho
Bài 11 Gọi A tổng tất số chẵn không vợt 2002, B tổng tất số lẻ không vợt 2002 Hỏi hiệu A - B có chia hÕt cho kh«ng, cã chia hÕt cho không
Bài 12 Có hai số tự nhiên mà tổng 3456 số lớn gấp lần số nhỏ không
Bài 13 Cho a, b ∈ N Hái ab(a + b) cã tËn cïng không?
Bài 14 Cho A = 13! - 11!
(9)b) A cã chia hÕt cho hay kh«ng? c) A cã chia hÕt cho 155 hay kh«ng?
Bài 15 Tổng số tự nhiên từ đến 154 có chia hết cho 2, cho không? Bài 16 Cho A = 119 + 118 + 117 + … + 11 + Chứng minh A
Bµi 17 Trong số tự nhiên nhỏ 1000 có sè chia hÕt cho nh−ng kh«ng chia hÕt cho
Bài 18 Tìm số tự nhiên chia cho d 1; chia cho 25 d Bài 19 Tìm số tự nhiên chia cho d− , chia cho 125 th× d− 12
Bµi 20 Cã phÐp trõ hai sè tù nhiên mà số trừ gấp lần hiệu số bị trừ 1030 hay không?
Bài 21 Chứng minh số tự nhiên đợc viết toàn chữ số không chia hết cho
(10)