Víi c¸c bµi tËp sè nguyªn tè còng kh«ng tho¸t khái t×nh tr¹ng nµy.. B¶ng sè nguyªn tè.[r]
(1)Môc lôc
Môc lôc
I Mở đầu
1 Vị trí số nguyên tè sè häc
2 Thùc tr¹ng häc to¸n hiƯn cđa häc sinh
II BiƯn pháp đ thực hiệnÃ
(2)Mở đầu
Vị trí số nguyên tố số học
Số học môn học chơng trình phổ thơng, đợc đa vào từ năm đầu cấp THCS nhng hầu nh có mặt tất kỳ thi học sinh giỏi cấp sở đến cấp quốc gia nh kỳ thi quốc tế Nếu coi số học “bà chúa” Tốn học số ngun tố vấn đề trọng tâm số học số lớn phân tích đợc thừa số nguyên tố phân tích Bởi thể giải toán vấn đề trọng tâm ngời dạy nh ngời học, hình thức tốt để rèn luyện kỹ năng, rèn luyện tính cần cù kiên trì nhẫn nại rèn luyện trí thơng minh sáng tạo Hơn nữa, giải tốn thớc đo lực ngời học toán
Thực trạng học toán học sinh
Hiện môn số học môn mà đa số học sinh sợ Đối với học sinh lời học đành, học sinh “chăm học” “thuộc” lý thuyết nhng không giải đợc Với tập số nguyên tố không khỏi tình trạng Thơng thờng học sinh hiểu giải đợc toán cụ thể mà thầy giải cha biết qua để học tập cách giải, cách suy nghĩ toán khác, toán tơng tự nhiều học sinh bắt gặp toán nháp lia khơng định hớng đợc giải nh nào? Nguyên nhân dẫn đến tình trạng là:
Học sinh lời học, lời suy nghĩ, cha hiểu đợc chất vấn đề.Khơng tìm phơng pháp giải (không biết đâu)
Những tồn học sinh mà ngời thầy Thơng thờng ngời thầy nặng trình bày lời giải tìm mà cha trọng đến hớng dẫn học sinh tìm lời giải
Đối với học sinh lớp việc giải tốn nói chung tốn số ngun tố nói riêng lại khó khăn em cha có kinh nghiệm giải tốn, cha có kỹ cơng cụ giải tốn cịn hạn chế Với đặc điểm tâm lý học sinh lớp thích hoạt động tìm kiếm, khơng thích áp đặt Các em nhớ lâu mà thân tìm ra, điều lại vun đắp lòng say mê học tốn, thơi thúc em nghiên cứu khám phá đến chân trời vinh quang toán học Vậy làm để giúp em có phơng pháp học tập tốt, điều mà tơi trăn trở trình giảng dạy nh bồi dỡng học sinh giỏi Tốn Tơi xin mạo muội đa suy nghĩ, việc làm thân chẳng hạn dạy cho học sinh giải tập v s nguyờn t
Để giải tËp vỊ sè nguyªn tè cho häc sinh líp 6, học sinh cần nắm lý thuyết sau:
Định nghĩa số nguyên tố, hợp số Bảng số nguyên tè
Sù ph©n tÝch mét sè thõa sè nguyên tố Các tính chất chia hết, dấu hiệu chia hết Các tính chất chẵn lẻ
Bin phỏp ó thực hiện Phơng châm thực là:
(3)Cho học sinh quan sát kỹ bảng số nguyên tố thấy số nguyên tố bé nhất số nguyên tố chẵn Và số nguyên tố khác đều số lẻ
Chứng minh rằng: số nguyên tố chẵn
Giả sử tồn số nguyên tố p mà p chẵn nên p có d¹ng p = 2k (k N) ( P
lớn 2) p hợp sè VËy chØ cã nhÊt p =
1.b) Học sinh quan sát bảng số nguyên tố thấy cặp số tự nhiên liên tiếp số nguyên tố Bộ số lẻ liên tiếp 3, 5, số nguyên tố nhất.
Chøng minh r»ng:
+ cặp số tự nhiên liên tiếp nguyên tố + Bộ số lẻ liên tiếp 3, 5, số nguyên tè nhÊt Chøng minh:
ThËt vËy, xÐt cỈp sè tù nhiªn liªn tiÕp a, a + (a > 2) sè a
vµ a + mét sè chia hÕt cho nªn hợp số
Xột b s l a, a + 2, a + (a > 3) số lẻ liên tiếp có số bội 3, bội lớn nên hợp số
KÕt luËn 1:
+ 2, cặp số tự nhiên liên tiếp nguyên tố. + Bộ số lẻ liên tiếp 3, 5, số nguyên tố nhất. Nhìn vào bảng số nguyên tố thấy từ đến 10 có số nguyên tố, từ đến 100 có 25 số nguyên tố, từ đến 1000 có 168 số nguyên tố Vậy phải chăng số nguyên tố đợc xếp cách tha dần trục số.
Ví dụ Hãy tìm 10 số tự nhiên liên tiếp chứa nhiều số nguyên tố (học sinh nhìn vào bảng số ngun tố thấy số tự nhiên từ đến 11)
Gäi 10 số tự nhiên liên tiếp là: a, a + 1, a + 2,… , a + (a > 1) Với a = ta có số nguyên tè lµ 2, 3, 5, 7, 11 (cã sè nguyªn tè)
Với a > ta có dãy 10 số có số chẵn, số lẻ, số chẵn hợp số Trong số lẻ liên tiếp dãy a, a + 2, …, a + (nếu a lẻ) a +1, a + 3, a + 5, a + 7, a + (nếu a chẵn)
Gi¶ sư số lẻ là: a, a + 2, a + 4, a + 6, a + NÕu a ⋮ a + ⋮ nªn a + hợp số
Nếu a = 3k + (k N) a + nên a + hợp số Nếu a = 3k + (k N) th× a + ⋮ nên a + hợp số Nh d·y sè lỴ cã nhiỊu nhÊt sè nguyên tố Tơng tự giả sử số lẻ a + 1, a +3, a + 5, a + 7, a + NÕu a ⋮ a + nên a + hợp sè
NÕu a = 3k + (k N) a + nên a + hợp số Nếu a = 3k + (k N) a + nên a + hợp số
Vậy số lẻ có nhiều số nguyên tè VËy 10 sè tù nhiªn liªn tiÕp chøa nhiỊu số nguyên tố 2, 3, 11
Ví dụ Bài 158 sách Bài tập toán 6-Tập
Gọi a = 2.3.4.5… 101, có phải 100 số tự nhiên liên tiếp sau hợp số không?
a + 2, a + 3, … , a+ 101
Gi¶i: Ta thÊy a > 2; a > 3, …, a > 101
vµ: a + nên a + hợp số (v× a cã chøa thõa sè 2) a + nên a + hợp số (v× a cã chøa thõa sè 3)
………
(4)Giải: Gọi a = 2.3.4… 10001, 10000 số tự nhiên liên tiếp a + 2, a + 3, , a + 10001
…
Râ rµng a > 2; a > 3, …, a > 10001
vµ: a + nên a + hợp số (v× a cã chøa thõa sè 2) a + nên a + hợp số (v× a cã chøa thõa sè 3)
………
a + 10001 ⋮ 10001 nªn a + 10001 hợp số (vì a có chứa thõa sè 10001)
Vậy a + 2, a + 3, … , a + 10001 a = 2.3.4.5… 10001 hợp số Qua ví dụ cho phép ta kết luận:
+ Tập hợp số nguyên tố đợc xếp tha dần trục số
+ Và cho học sinh thừa nhận ngời ta chứng minh đợc có vơ số số ngun tố Nhìn bảng số nguyên tố xem số nguyên tố đợc biểu diễn theo công thức nào?
3 = 4.1 – = 4.1 + = 4.2 – 11 = 4.3 –
…
Phải số nguyên tố lớn viết đợc dới dạng 4k ( k ± N*). b) Cũng tơng tự nhìn bảng số nguyên tố ta thấy:
5 = 3.2 – = 3.2 + 11 = 3.4 – 13 = 3.4 +
…
Vậy phải số nguyên tố lớn viết đợc dới dạng 3k (k ± N*).
c) Cũng tơng tự nhìn bảng số nguyên tố ta thÊy: = 6.1 –
7 = 6.1 + 11 = 6.2 – 13 = 6.2 +
…
Vậy phải số nguyên tố lớn viết đợc dới dạng 6k (k
± N*).
Với nhận xét nh học sinh tự tin trình giải toán nh chøng minh
Ví dụ 1) Chứng minh số nguyên tố lớn viết đợc dới dạng 4k (k ± N*).
2) Chứng minh số nguyên tố lớn viết đợc dới dạng 3k (k± N*).
3) Chứng minh số nguyên tố lớn viết đợc dới dạng 6k (k ± N*).
Chøng minh:
Khi chia số tự nhiên a lớn cho đợc số d lần lợt 0, 1, 2,
Khi a = 4m a hỵp sè Khi a = 4k +
Khi a = 4p + a nên a hợp số
Khi a = 4q + = 4q + – = 4(q + 1) – có dạng 4k – k = q + Kết luận: Mọi số nguyên tố lớn có dạng 4k 1.±
Các trờng 2); 3) chứng minh hoàn toán tơng tự
VÝ dơ Chøng minh r»ng mäi sè nguyªn tè p > th× p2 : d 1.
(5)KÕt luËn 2:
Mọi số nguyên tố lớn viết đợc dới dạng 4k 1± (k N*).
Mọi số nguyên tố lớn viết đợc dới dạng 3k 1± (k N*).
Mọi số nguyên tố lớn viết đợc dới dạng 6k (k ± N*).
Mäi sè nguyªn tè lớn bình phơng chia cho 3 d 1.
Điều ngợc lại mệnh đề không
Nhờ nhận xét mà ta có kết luận số nguyên tố điều giúp em nắm đợc sâu chất số nguyên tố từ em hình thành đợc phơng pháp giải tốn số nguyên tố
Sau số toán đợc áp dụng từ cách làm
Bài tốn Số 2003 viết đợc dới dạng tổng số nguyên tố không?
Giải: Rõ ràng không 2003 số lẻ 2003 = số chẵn + số lẻ Số chẵn nên 2003 = + 2001 mà 2001 ⋮ nên hợp số
Bài toán Tìm số tự nhiên a, b cho a.b = a + b số nguyên tố. Giải: Để a.b nguyên tố a = (hoặc b = 1), số lại phải số nguyên tố. Với a = b nguyên t
vì: a + b nguyên tố mà a = nên + b nguyên tố NÕu + b ch½n + b = b = (loại b nguyên tố) Nếu + b lẻ b chẵn nên b =
Vậy cặp số tự nhiên nht ú l v
Bài toán Tìm tất số nguyên tố x, y, z cho: xy + = z cịng lµ sè nguyên tố
Giải: Vì x, y nguyên tố nªn x ≥ 2, y ≥ xy ≥ vµ xy + ≥ mµ xy
+ = z nªn z ≥ z lẻ (z nguyên tố) nên xy chẵn x chẵn x = (vì x nguyên tố)
Nếu y chẵn (y nguyên tố) nên y =
Nếu y lẻ, y có dạng y = 2k + (k N*) z = x2k + 1 +
= 2.(22)k + (do x = 2).
Ta thÊy 22 : d (22)k : d nªn 2.(22)k : d nªn z = 2.(22)k + vô lý z nguyên tố lớn
Vy có x = 2, y = thoả mãn đề Thử lại: 22 + = 5.
Bài toán Tìm số nguyên tố x, y cho x2 – 2y2 = 1.
Giải: Từ x2 – 2y2 = x2 = + 2y2 + 2y2 lẻ nên x2 lẻ x lẻ, x có dạng x = 2m + (m N*) Khi tốn cho trở thành (2m + 1)2 = + 2y2 hay 4m2 + 4m + = + 2y2 hay y2 = 2m2 + 2m = 2m(m+1) Do m, m + số nguyên liên tiếp nên 2m(m + 1) chẵn, y2 chẵn y chẵn y = (vì y nguyên tố). Với y = x2 = + 2.22 = x =
VËy víi x =3, y = x2 2y2 = x, y nguyên tố.
Bài toán Tìm số nguyên tố biết chúng tổng số nguyên tố hiệu số nguyên tố
Giải: Gọi số nguyên tố cần tìm p Ta có:
p = p1 + p2 = p3 – p4 (p1, p2, p3, p4 số nguyên tố)
Gi s p1 > p2 p1, p2, p3, p4 số nguyên tố nên p1 + p2 , p3 – p4 số lẻ p2 = 2, p4 = p = p1 + = p3 – p3 = p + p1 = p –
(6)Víi p = p = số nguyên tố
Với p = p = 3, p + = tho¶ m·n yêu cầu toán Với p > 5, p có d¹ng 6k 1.±
Víi p = 6k + th× p + = 6k + ⋮ nên hợp số Với p = 6k th× p – = 6k – ⋮ nên hợp số Thử lại: = + = –
Nªn chØ nhÊt p = tho¶ m·n
Bài tốn Tìm số nguyên tố p để 4p + bình phơng số tự nhiên. Giải: Đặt x2 = 4p + (x N).
Do 4p + lẻ nên x2 lẻ nên x có dạng x = 2k + (k N) Khi đó:
(2k + 1)2 = 4p + hay 4k2 + 4k + = 4p + p = k2 + k = k(k + 1) V× k, k + 1 số nguyên liên tiếp nên có số chẵn Vậy p phải số nguyên tố chẵn nên có p =
Thư l¹i: 4.2 + = = 32.
Bài tốn Tìm số ngun tố p cho: 3p2 + 24p2 + số nguyên tố. Giải:
NÕu p = 3p2 + = 3.22 + = 13 lµ sè nguyªn tè.
24p2 + = 24.22 + = 97 số nguyên tố.
Nếu p > nên p lẻ 3p2 lẻ nên 3p2 + chẵn lớn nên 3p2 + hợp số. Vậy có p =
Bài toán (Sử dụng kết luận 2)
Tìm tất số nguyên tố p cho: p + 10, p + 14 nguyên tố
Giải: Bằng cách mò mẫn cho p = 2, 3, 5,… sau loại giá trị khơng thoả mãn p
Với p = p + 10 p + 14 hợp số
Với p = p + 10 = 13 p + 14 = 17 số nguyên tố Với p > 3, p có dạng p = 3k 1.±
+ Khi p = 3k + th× p + 14 = 3k + 15 ⋮ lớn nên p hợp số + Khi p = 3k – th× p + 10 = 3k + lớn nên p hợp số Vậy có p =
2) Tìm số nguyên tố p cho:
p + 2, p + 8, 4p2 + số nguyên tố. p2 + số nguyên tố.
2p + 1, 4p + số nguyên tố 2p – 1, 4p – số nguyên tố
Giải: Các tốn có cách giải nh toán 8.1 sử dụng kết luận 2)
Bài toán (Sử dụng phép chi hết phÐp chia cã d).
Mét sè nguyªn tè p chia cho 30 có số d r Tìm r với r nguyên tố
Giải: p có dạng p = 30k + r (k N*); < r < 30 (r N). = 2.3.5k + r
Do p nguyên tố nên r không chia hết cho 2, cho 3, cho
Do r số nguyên tố nên ta loại giá trị bội 2, 3, loại tiếp số nguyên tố nhỏ 30 Ta tìm đợc r =
2) Chứng minh chia số nguyên tố cho 30 đợc số d số nguyên tố Kết thay đổi chia p cho 60
Gi¶i: p cã d¹ng p = 30k + r (k N*); < r < 30 (r N). = 2.3.5k + r
Do p nguyên tố nên r không chia hết cho 2, cho 3, cho Loại bội 2, 3, nhỏ 30 lại r = r số nguyên tố nhỏ 30
(7)Ví dụ: 109 = 60.1 + 49 (49 hợp số)
Bài toán 10 Chứng minh số nguyên tố lớn bình phơng nó chia 12 d
Giải: Vì P > 3, p cã d¹ng p = 6k (theo kÕt luËn 2))± nªn p2 = (6k 1)±
= 36k2 12k + = 12k(3k 1) + 1, rõ ràng chia cho 12 d± ± 1. Bài toán 11 Chứng minh rằng: a; a + n; a + 2n số nguyên tố lớn 3 n chia hết cho
Chøng minh: v× a; a + n; a + 2n số nguyên tố lớn nên số lẻ.
Nếu n lẻ a + n chẵn nên a + n lớn nên a + n hợp số, trái với giả thiết a + n số nguyên tố lớn nên n phải số chẵn
Đặt n = 2k
+ NÕu k ⋮ th× n = 2k ⋮ + NÕu k = 3t + 1th× a + n = a + 6t +
a + 2n = a + 12t +
Với a : d a = 3q + 1, a + 6t + = 3q + 6t + ⋮ lớn nên hợp số
Với a : d a + 2n = a + 12t + ⋮ lớn nên hợp số + Nếu k = 3t + số cho là: a, a + 6t + 4, a + 12t +
Víi a : d a + 12t + lớn nên hợp số Với a : d th× a + 6t + ⋮ lớn nên hợp số
Vy để số a; a + n; a + 2n đồng thời số nguyên tố n ⋮
Điều ngợc lại không đúng: Nếu a số nguyên tố lớn n ⋮ thì:
a, a + n, a + 2n kh«ng phải số nguyên tố Chẳng hạn với a = 13, n = th× 13 + 2.6 = 25 hợp số
Bài toán 12 Cho p số nguyên tố lớn p2 + 98 số nguyên tố hay hợp số
Giải: Do p số nguyên tố lớn nên p2 : d hay p2 = 3k + (k N*) nªn p2 + 98 = 3k + + 98 = 3k + 99 ⋮ lớn nên hợp số.
Bài toán 13 Tìm số nguyên tố liên tiếp cho tổng bình phơng chúng sè nguyªn tè
Giải: Gọi số nguyên tố liên tiếp p, q, r Theo tốn 12 số nguyên tố lớn bình phơng chúng chia cho d Vì thế:
p2 : d 1; q2 : d 1; r2 : d nªn p2 + q2 + r2 lớn nên hợp số. Vậy có p = hc p =
+ Víi p = q r số lẻ nên q2, r2 số lẻ nên q2 + r-2 sè ch½n (p ch½n) VËy p2 + q2 + r2 lớn nên hợp sè.
VËy chØ cßn p = q = 5, r =
Thư l¹i: 32 + 52 + 72 = + 25 + 49 = 83 số nguyên tố.
Bài toán 14 Chứng minh r»ng nÕu p vµ p + 10 lµ sè nguyên tố p + 32 hợp số
Chứng minh: Vì p, p + 10 số nguyên tố nên p số lẻ (Vì p chẵn p = 2 p + 10 = 12 hợp số)
Với p = p p + 10 số nguyên tố p + 32 = 35 hợp số Với p > 3, p có dạng: p =3k 1.±
+ Víi p = 3k + th× p + 32 = 3k + +32 = 3k + 33 lớn nên hợp số
+ Víi p = 3k – th× p + 10 = 3k + ⋮ vµ lín nên hợp số, trái với giả thiết p + 10 số nguyên tố
(8)Bài toán 15 (Các toán sau có cách giải với toán 14). Chứng minh rằng:
p 2p + số nguyên tố 4p + hợp số p 8p số nguyên tố 8p + hỵp sè
(9)KÕt ln
Qua trình giảng dạy thực chơng trình, nội dung phơng pháp đa số học sinh nắm vững kiến thức có khả vận dụng thành thạo từ chỗ tìm phơng pháp giải, cơng cụ giải khơng học sinh giải nhanh, xác mà đa đợc lời giải độc đáo, thơng minh, sáng tạo đặc biệt có nhiều em có phơng pháp học tập nghiên cứu khoa học thể t sáng tạo lời giải tốn khó
Trên suy nghĩ, việc làm thực trình giảng dạy theo tinh thần SGK Toán Đây việc làm cần thiết, bớc chập chững nghề dạy học tơi nhận thấy cần phải học hỏi nhiều đồng nghiệp, phải bồi dỡng thờng xuyên, bồi dỡng chun mơn nghiệp vụ, tích luỹ kiến thức Hy vọng đợc đóng góp, nâng đỡ, dìu dắt đồng nghiệp để tơi ngày hồn thiện nghề dạy học