[r]
(1)Chuyên toán THPT GV: Bá Thành Phần I: Mở đầu
I/Đặt vấn đề.
Trong đề thi tốt nghiệp THPT , Đại học , Cao đẳng, THCN hàng năm tốn tích phân khơng thể thiếu, tốn tích phân tốn khó cần đến áp dụng linh hoạt định nghĩa, tính chất , phương pháp tính tích phân
Chuyên đề hy vọng góp phần giúp em học sinh hiểu sâu tránh sai lầm thường mắc phải giải tốn tích phân
II/ Phương pháp
- Đưa hệ thống lí thuyết, hệ thống phương pháp giải
- Bài tập ứng với dạng toán, lỗi thường mắc phải học sinh Phần II: Nội dung
I/ cơ sở khoa học 1/Nguyên hàm:
Đn: Cho hàm số f(x) xác định K Hàm số F(x) gọi nguyên hàm hàm số f(x) K F’(x) =f(x) với x thuộc K
Kí hiệu:
( ) ( )
f x dx F x C= +
∫
Nhận xét: bắt đầu học nguyên hàm em học sinh thường hay lúng túng hay bị nhầm với đạo hàm Để tránh bị nhầm em nên nhớ : “ để tính ∫ f x dx( ) ta cần tìm một hàm số cho đạo hàm của bằng f(x)”
T/c: tính chất sau suy trực tiếp từđịnh nghĩa a) (∫ f x dx( ) ) '= f x( )
b) ∫kf x dx( ) =k f x dx∫ ( )
c)∫[f x( )±g x dx( )] =∫ f x dx( ) ±∫g x dx( ) 2 Tích phân:
ĐN: Ta có cơng thức Niu tơn – Laipnitz
( ) ( ) ( ) ( )
b b
a a
f x d x = F x = F b − F a
∫
(2)Chuyên toán THPT GV: Bá Thành
Tính chất 1: ( ) ( )
b a
a b
f x d x = − f x d x
∫ ∫
Tính chất 2: ( ) ( )
b b
a a
kf x dx=k f x dx
∫ ∫ với k thuộc R
Tính chất 3: [ ( ) ( )] ( ) ( )
b b b
a a a
f x ± g x dx = f x dx± g x dx
∫ ∫ ∫
Tính chất 4: ( ) ( ) ( )
c b c
a a b
f x dx= f x dx+ f x dx
∫ ∫ ∫
A) các phương pháp tính nguyên hàm, tích phân
Việc tính nguyên hàm hàm số không đơn giản chút Do mà tơi đưa phương pháp có tính đườn lối Nó dẫn dắt từ đạo hàm hàm hợp đạo hàm hai hàm
Đó phương pháp sử dụng nguyên hàm bản, phương pháp đổi biến số, phương pháp tính Tích phân phần
I/ Tính tích phân bằng việc sử dụng nguyên hàm cơ bản:
Bằng việc sử dụng nguyên hàm hàm số sơ cấp xác định ngun hàm từđó tính giá trị tích phân
1 ∫kdx=kx C+
1
1
x
x dx C
α α
α +
= +
+
∫ ((α∈R,α ≠ −1) dx ln x C
x = +
∫
4
ln
x
x a
a dx C
a
= +
∫
5 x x
e dx=e +C ∫
6 2 arctanx+C
dx x =
+
∫ ( có thếđặt x= tant/2)
2 arcsinx+C
1
dx x
= −
∫ ( có thểđặt x= sint) ∫s inx dx= - cosx + C
(3)Chuyên toán THPT GV: Bá Thành Bài tập 1: Tính tích phân sau
a) I=
2
(x + 2x+1)dx
∫ b) I=
1 1
x
e + dx
−
∫
Giải:
a) I = ( )
4
2
1
1
1 2 1
4 4
x
x x
+ + = + + − + + = +
b) I=
3
1
1
1
( )
3
x
e
e e
+ −
= −
Bài tập 2: Tính tích phân sau I = ∫
− +
2
2
2
) (x
dx
Giải
Hàm số y = 2 ) (
1 +
x không xác định x= -1∈[−2;2] suy hàm số khơng liên tục [−2;2] tích phân không tồn
* y: nhiều học sinh thường mắc sai lầm sau: I = ∫ − +
2
2
2
) (x
dx
= ∫ − +
+
2
2
2
) (
) (
x x d
=-1 +
x
2
− =-3
1 = -3
* Nguyên nhân sai lầm : Hàm số y = 2
) (
1 +
x không xác định x= -1∈[−2;2] suy hàm số không liên tục [−2;2] nên không sử dụng công thức newtơn – leibnitz cách giải
* Chú ý đối với học sinh: Khi tính f x dx
b a
) (
∫ cần ý xem hàm số y=f(x) có liên tục [a;b] khơng? có áp dụng phương pháp học để tính tích phân cho cịn khơng kết luận tích phân khơng tồn
(4)Chuyên toán THPT GV: Bá Thành 1/ ∫
−
5
0
4
) (x
dx
2/ x x 2dx
2
) ( −
∫
−
3/ dx
x
∫2
0
cos
π
4/ dx
x x e x x ∫
−
+ −
1
1
3
Chú ý: Trong dạng tốn có tốn khó Các bạn thường phải áp dụng phương pháp hệ số bất đinh để làm Xét dạng sau ( ) x, p(x) x
( )( ) (x-a)(x-b)(x-c)
p x
d d
x−a x b−
∫ ∫
đó P(x) đa thức có bậc bé bậc mẫu Khi ta phải thiết lập hệ phương trình đểđi tìm A,B,C sau: ( ) x = A x
( )( )
p x B
d d
x a x b x a x b
+
− − − −
∫ ∫
( ) x = A x
( )( )( )
p x B C
d d
x a x b x c x a x b x c
+ +
− − − − − −
∫ ∫
II/ Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số:
Giả sử ta cần phải tìm ∫ f u du( ) Trong nhiều trường hợp cách thuận lợi ta coi u hàm khả vi theo biến x Như việc tìm ∫ f u du( ) đưa việc tìm
( ( )) '( )
f u x u x dx
∫ cách đơn giản Bài 1: Tính tích phân:
I =
3
5
0
1
x +x dx
∫
Giải:
Đặt t = 2
1+x ⇔t = +1 x ⇒2tdt=2xdx
Đổi cận:
1
3 2
x o t
x t
= ⇒ =
= ⇒ =
(5)Chuyên toán THPT GV: Bá Thành
3
4 2 2
0
7
2
1 ( 1)
2 848
7 105
x x xdx t t dt
t t t
+ = −
= − + =
∫ ∫
Bài 2 :Tính tích phân: I = ∫
+
π
01 sinx
dx
* Giải:
I = ∫
+
π
01 sinx
dx = ∫ ∫ − = − − = − + π π π π π π π 0
0
4 cos 2 cos x tg x x d x dx
= tg
4 =
− − π π tg
* Sai lầm thường gặp: Đặt t = tan
x
dx = 2
2
t dt
+ ;1 sinx
1
+ =
2 ) ( t t + + ⇒∫ + x dx sin
1 =∫ +
) ( t dt
=∫ + −2
) (
2 t d(t+1) =
1 +
t + c
⇒ I = ∫
+
π
01 sinx
dx
=
tan x − + π = tan π − +
- tan 1+
do tan
π
khơng xác định nên tích phân khơng tồn *Nguyên nhân sai lầm:
Đặt t = tan
x
x∈[0;π] x = πthì tan
x
khơng có nghĩa
* Chú ý học sinh:
Đối với phương pháp đổi biến số đặt t = u(x) u(x) phải hàm số liên tục có đạo hàm liên tục [a;b]
*Một số tập tương tự:
Tính tích phân sau: 1/ ∫
π
0 sinx
dx
2/∫
+
π
01 cosx
dx
Bài 3: Tính
(6)Chuyên toán THPT GV: Bá Thành Giải:
Đặt t x x2 a dt dx2
t x a
= + − ⇒ =
−
2 ln
dx dt
t C t
x a
⇒ = = +
−
∫ ∫
Bài 4: Tính I = ∫ − +
4
0
9 6x
x dx
* Sai lầm thường gặp:
I = ∫ − +
4
0
9 6x
x dx = ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
3
3
3 40
4
0
2
0
2
− = − = −
= − −
=
− ∫
∫ x dx x d x x
* Nguyên nhân sai lầm:
Phép biến đổi (x−3)2 =x−3 với x ∈[ ]0;4 không tương đương * Lời giải đúng:
I = ∫ − +
4
0
9 6x
x dx
=∫ ( − ) =∫ − ( − )=∫−( − ) ( − )+∫( − ) ( − )
3
0
4
3
0
0
2
3
3
3
3 dx x d x x d x x d x
x
= -( ) ( )
2
3
3
3
0
= + = −
+
− x
x
* Chú ý đối với học sinh:
( )
(f x ) f( )x
n n =
2
(n≥1,n∈N)
I = ∫ ( ( )) =
b a
n f x n
2 f( )x dx
b a
∫ ta phải xét dấu hàm số f(x) trên[a;b] dùng tính chất tích phân tách I thành tổng phân không chứa dấu giá trị tuyệt đối
Một số tập tương tự: 1/ I = ∫ −
π
0
2 sin
1 xdx ;
2/ I = ∫ − +
3
0
2
2x x
x dx
3/ I = ∫
− +
2
2
2
2
x
(7)Chuyên toán THPT GV: Bá Thành
4/ I = ∫ + −
3
6
2
2 cot
π
π
x g x
tg dx
Bài 4: Tính I = ∫
− + +
0
1
2 2x x
dx
* Sai lầm thường gặp:
I = ( )
( ) ( )
0
0
1
1
arctan arctan1 arctan 1
d x
x x
π
− −
+
= + = − =
+ +
∫
* Nguyên nhân sai lầm :
Đáp số tốn khơng sai Nhưng khái niệm hàm ngược khơng đưa vào chương trình thpt
* Lời giải đúng:
Đặt x+1 = tant ( )
1 tan
dx t dt
⇒ = +
với x=-1 t = với x = t =
4
π
Khi I = ( )
2
4
4
0
1 tan
tan
t dt
dt t t
π π
π
π
+
= = =
+
∫ ∫
* Chú ý học sinh:
Các khái niệm arcsinx , arctanx khơng trình bày sách giáo khoa Học sinh có thểđọc thấy số tập áp dụng khái niệm sách tham khảo, sách viết theo sách giáo khoa cũ (trước năm 2000) Từ năm 2000 đến khái niệm khơng có sách giáo khoa nên học sinh không áp dụng phương pháp Vì gặp tích phân dạng ∫
+
b a
dx x2
1
ta dùng phương pháp đổi biến sốđặt t = tanx t
= cotx
∫
−
b a
dx x2
1
đặt x = sint x = cost
*Một số tập tương tự: 1/ I = ∫ −
8
4
16
dx x x
2/ I = dx
x x x
∫1 ++ +
0
(8)Chuyên toán THPT GV: Bá Thành 3/ I = ∫
−
3
0
3
1 x dx x
Bài 5:
Tính :I = ∫
−
4
0
3
1
dx x x
*Suy luận sai lầm: Đặt x= sint , dx = costdt
∫ =∫
−
dt t
t dx
x x
cos sin
3
3
Đổi cận: với x = t = với x=
4
t = ?
* Nguyên nhân sai lầm:
Khi gặp tích phân hàm số có chứa
1−x thường đặt x = sint tích phân gặp khó khăn đổi cận cụ thể với x =
4
khơng tìm xác t = ? * Lời giải đúng:
Đặt t =
1−x ⇒dt = dx tdt xdx x
x
=
⇒
−
1
Đổi cận: với x = t = 1; với x =
t = 15
I =∫
−
4
0
3
1
dx x x
= ∫ ( ) ∫ ( ) − = −
− =
− = −
= −
4 15
1
4 15
1
4 15
2
3 192
15 33 192
15 15 15
1
1 t
t dt t t
tdt t
* Chú ý học sinh: Khi gặp tích phân hàm số có chứa 1−x2 thường đặt x = sint gặp tích phân hàm số có chứa 1+x2 đặt x = tant cần ý đến cận tích phân cận giá trị lượng giác góc đặc biệt làm theo phương pháp cịn khơng phải nghĩđếnphương pháp khác
*Một số tập tương tự:
1/ tính I = dx x x ∫
+
7
0
3
(9)Chuyên tốn THPT GV: Bá Thành 2/tính I = ∫
+
2
1 x x2
dx
Bài 6: Tính I = ∫ − + − 1 1 dx x x
* Sai lầm thường mắc: I = ∫ ∫
− − − + − = + − 1 1 2 2 2 1 1 1 dx x x x x x x
Đặt t = x+ dx
x dt
x
− = ⇒ 1
Đổi cận với x = -1 t = -2 ; với x=1 t=2; I =∫
− − 2 2 t dt = dt t
t 2)
1 ( 2 − − + ∫ −
=(lnt+ -lnt− )
2 2 2 ln − − − + = t t = ln 2 2 ln 2 2 ln 2 2 − + = − − + − − − +
* Nguyên nhân sai lầm:
2 2 1 1 x x x x x + − = + −
sai [−1;1] chứa x = nên
chia tử mẫu cho x = Nhưng từ sai lầm bạn thấy x=0 không thuộc thuộc tập xác định cách làm thật tuyệt vời
* Lời giải đúng: Xét hàm số F(x) =
1 2 ln 2 2 + + + − x x x x
( áp dụng phương pháp hệ số bất định )
F’(x) =
1 ) 2 (ln 2 2 + − = ′ + + + − x x x x x x
Do I = ∫ − + − 1 1 dx x x = 2 ln 2 2 + + + − x x x x ln 1 = − 2 2 + −
(10)Chuyên toán THPT GV: Bá Thành BÀI TẬP ĐỀ NGHI
1) a)Tính x +adx
∫ ( tính đạo hàm hàm số f(x)=
x x +a )
2) ( )
1
3
3
0
1
x x + d x
∫ ( đặt
1
t=x + )
3)
0
sin
1 os
x x
dx
c x
π
+
∫ ( đặt x=π −t ) 4)
2
4
1 x dx x
+
∫ ( đặt t =
x)
5) 2
0
a
a −x dx
∫ 6) ∫ a2+x dx2
7)
4 tan
dx x π
∫ ( đặt t=tan x) 8)
4
1 sin os
x dx c x π
+
∫ ( đặt t= 1+sin2x ) III, PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN;
Từđẳng thức (uv)’=uv’+u’v
Ta có: ∫uv dx' =uv−∫u vdx' cơng thức tính tích phân phần Để tính tích phân ( )
b a
I =∫ f x dx ta thực bước sau: Bước 1: Biến đổi tích phân ban đầu dạng
1
( ) ( ) ( )
b b
a a
I =∫ f x dx=∫ f x f x dx
Bước 2: đặt
1
u = f ( ) u '
v '= f ( ) v
{ xx ⇒ {
Bước 3: Khi
'
b b a
a
(11)Chuyên toán THPT GV: Bá Thành Chú y: Khi sử dụng phương pháp tích phân phần để tính tích phân, cần tuân thủ theo nguyên tắc sau :
1 Lựa chọn phép đặt v’ cho v xác định cách dễ dàng Tích phân '
b a
vu dx
∫ xác định cách dễ dàng so với I Chúng ta cần nhớ dạng sau :
Dạng :
lnx dx,
I = ∫xα đó cần đặt u= lnx
Dạng 2: ( ) x
I =∫ p x e dxα với P đa thức Khi ta đặt u= p(x)
Dạng 3: I =∫ p x( ) sinαxdx (hoặc I =∫p x c( ) osαxdx) Với P(x) đa thức ta đặt u=P(x)
Dạng 4: ax
os
I =∫e c αxdx (hoặc ax
sin
I =∫e αxdx ) Khi đặt u= cos ax (hoặc u= sin ax)
Bài 1: a) Tìm
lnx dx
x ∫
b)Tìm
s inxdx
x ∫
Giải:
a) đặt u= lnx, u’=1/x v’=
4
,
x x v= Khi ta có
4
3
ln 1 ln
4 4 4
x x x x
I = − ∫ x d x = − x +C
b)Đặt
2
, ' 2
' s inx, v=-cosx
u x u x
v
= =
=
Khi :
2
2
o sx -2 x co sx d x o sx + (x sin x - sin x d x )
o sx + (x sin x + co sx ) + C
I x c x c
x c
= − = −
= −
(12)Chuyên toán THPT GV: Bá Thành Chú ý: Thực tế cho thấy tốn tích phân mà chứa hàm ln, sin, cos, hàm mũ Thì cần nên nghĩ đến phương pháp tích phân phần gặp khó khăn Có tốn mà cần phải sử dụng tích phân phần nhiều lần Chú y tốn sau
Bài 2: Tính
2
os3xdx
x
e c π
∫
Giải:
Đặt u = e2 x ,u ' = 2 e2 x v = cos 3x, v’=sin 3x
3
2
2 x x
1
0
sin 3x 2 2
sin 3x dx=
3 3 3 3
e
I e e I
π π
π
= − − −
∫
Tính I1 Đặt 2x 2x
' 2e
u=e ⇒u =
sin 3x, v'= -cos3x
v=
2 2
2 x x x
1
0
0
o s x
s i n x d x o s x d x
3
π π
π
= = − +
∫ c ∫
I e e e c
1
3 I
= +
Do đó:
2
3 3 9
3e
1
e e
I I I
I
π π
π
= − − + = − − −
+
⇒ = −
Chú ý: Tích phân bạn khơng biến đổi theo hướng gặp nhiều khó khăn Cách làm áp dụng tích phân mà gồm hai hàm đạo hàm có tính chất lặp lặp lại
Bài tập tương tự: a)Tính
2
1
sin(ln x)dx
∫
b)Tính 2x
sin 2xdx
e π
(13)Chuyên toán THPT GV: Bá Thành
Bài 3: Tính
0
sin x dx
π
∫
Giải: Đặt
2
2
, d t= d x
x = o t= o
x =
4
t x x t t
t
π π
= → =
⇒
⇒ =
Khi ta có:
4
0
sin x dx 2 sintdtt
π π
=
∫ ∫
Đặt: u = t, u’=1
v = sint, v’= -cos t :
2
2
o
0
s in t d t= -tc o s t o s t d t s in 1
t c t
π π
π π
+ = =
∫ ∫
Bài tập đề nghị : Sử dụng phương pháp tích phân phần tính tích phân sau
a)
1
x
0
(x 1) s inx dx b) (x+1)e dx π
+
∫ ∫
c)
2
2
0
osx sin dx d) x ln xdx
xc x
π
∫ ∫
e)
1
2
x (1 )
x
xe d x
+
∫ ( đặt ẩn số phụ t=1+x sau lại tiếp tục chuyển tích phân phần) Phần III : TỔNG KẾT
Qua chuyên đề muốn gủi đến thầy cô, em học sinh hệ thống lí thuyết nguyên hàm tích phân Trong chuyên đề tơi khơng đưa q khó, thực tế với đối tượng học sinh khơng cần phải mang tích chất đánh đố Mục đích chuyên đề nêu phương pháp có tính chât đường lối, số sai lầm thường gặp Ngồi bạn tìm hiểu số phương pháp PP hệ số bất định, Phương pháp lặp lại hàm