Phương trình tuyến tính thuần nhất cấp hai này chi phối dao ñộng tự do của chất ñiểm; chúng ta sẽ xét chi tiết bài toán này trong Mục 2.4.. Phương trình tuyến tính thuần nhất ðịnh l[r]
(1)Bài giảng số
• Phương trình vi phân cấp hai giảm cấp • ðại cương PTVP tuyến tính cấp
1 Phương trình vi phân cấp hai giảm cấp ñược
ðịnh nghĩa Phương trình vi phân cấp hai có dạng tổng quát
F(x, y, y', y'') = 0 (1)
a) Khi vng mt bin ph thuc y Phương trình (1) có dạng
F(x, y', y'') = 0
Cách giải ðặt p = y' = dy
dx ⇒ y'' = dy
dx
đưa phương trình ñã cho phương trình vi phân cấp F x p p( , , ')=0 Ví dụ 1. Giải phương trình xy" + 2y' = 6x
•••• ðặt p = y' = dy
dx ⇒ y'' = dp
dx • xdp 2p 6x
dx + = ⇒
2 6
dp p dx +x = • Thừa số tích phân
2
2
dx x
e x
ρ= ∫ =
• Dx(x2p) = 6x2 ⇒ x2p = 2x3 + C1 ⇒ p = dy/dx = 2x + C1/x2
•
2
( ) C
y x x C
x
= + +
b) Khi vng mt bin đc lp x. Phương trình (1) có dạng F(y, y', y") =
Cách giải ðặt p = y' = dy
dx ⇒ y'' =
dp dp dy dp p dx =dy dx = dy
đưa phương trình cho phương trình vi phân cấp ( , ,F y pdp) dy =
Ví dụ 2. Giải phương trình yy" = (y')2, với y ñạo hàm dương • ðặt p = y' = dy
dx ⇒ y'' = dp dp dy dx = dy dx • ypdp p2 dp dy
(2)• dp dy p = y
∫ ∫ ⇒ lnp = lny + C ⇒ p = C1 2 y,
2 C
C =e • Từ dy C y2 C dx2 dy
dx = ⇔ = y
• C2x = dy y
∫ = lny + C3
• y(x) = exp(C2x – C3) = AeBx, A=e−C3 B = C2
c Khi vắng mặt biến ñộc lập x biến phụ thuộc y PT(1) có dạng ( ', ")
F y y = Cách giải
+ ðặt p y' y" dp p' dx
= ⇒ = =
+ ðưa pt dạng F p p( , ')=0
+ Giải nghiệm p=p x( ), từ suy nghiệm y =y x( )
Ví dụ 3. Giải phương trình y" = (y')2 +) p = y' ⇒ dp y"
dx = +) dp p2
dx = ⇒ 0 :
dp
p p dx
p
= ∨ ≠ ∫ =∫
+) p=0⇒y =C +) p≠0: x A
p
− = + ⇒ dy dx
x A = − + ∫ ∫ +) y = B − ln|x + A|
+) Vậy pt có hai họ nghiệm: y = B − ln|x + A| y = C 2.Một số ví dụ luyện tập
Tìm nghiệm tổng quát PTVP sau:
• (Tr 155) 2xy3+ex +(3x y2 2+sin ) 'y y =0 + KQ : x y2 3+ex −cosy =C
(3)• 13 (Tr 155) 4xy2+ =y' 5x y4 + KQ : ( ) 12 5
( )
y x
C x x
= + −
Chương PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH CẤP CAO § 2.1 ðại cương phương trình vi phân tuyến tính cấp hai ðặt vấn đề
Trong Chương ñã nghiên cứu phương trình vi phân cấp Bây tiếp tục với phương trình bậc cao n≥2 mở ñầu chương với phương trình tuyến tính Lý thuyết tổng qt phương trình vi phân tuyến tính tương tự phương trình tuyến tính cấp hai
1 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai
ðịnh nghĩa Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai có dạng A x y( ) ′′+B x y( ) ′+C x y( ) =F x( ) (2)
ñó A x B x C x F x( ) ( ) ( ) ( ), , , hàm liên tục biết khoảng mở I Ví dụ Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai:
1
(cos ) (1 ) tan
x
e y′′+ x y′+ + x y = − x
Ví dụ Phương trình vi phân khơng tuyến tính (phi tuyến) cấp hai:
y′′=yy′
ðịnh nghĩa (2) phương trình tuyến tính khơng F x( )≡/0, phương trình tuyến tính F x( )≡0
Ví dụ Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai:
1
(cos ) (1 ) tan
x
e y′′+ x y′+ + x y = − x
là phương trình khơng Phương trình tương ứng là: (cos ) (1 )
x
e y′′+ x y′+ + x y =
Trong trường hợp phương trình vi phân (2) mơ hệ vật lý, thừa số không ( )F x tương ứng với tác động bên ngồi tới hệ
Cách vit khác :
+ P/t tuyến tính cấp khơng :
"y +p x y( ) '+q x y( ) =f x( ) + Và p/trình tương ứng
" ( ) ' ( )
(4)Ví dụ
Phương trình vi phân tuyến tính thường xuất mơ hình tốn học hệ học mạch ñiện Chẳng hạn, giả sử chất ñiểm khối lượng m bị gắn vào hai ñầu, đầu gắn vào lị xo chịu tác ñộng lực FS ñầu gắn với lị xo chống sốc chịu tác động lực FR (Hình 2.1.1) Giả thiết phản lực
S
F lị xo tỷ lệ với độ dịch chuyển x (hướng dương sang bên phải, hướng âm sang bên trái) chất điểm tính từ vị trí cân bằng, lực lị xo chống sốc FR tỷ lệ với vận tốc v=dx dt/ chất ñiểm Với trợ giúp Hìn 2.1.2 có hướng tương ứng hai lực tác động :
S
F = −kx FR = −cv ( ,k c>0) Dấu trừ ñây xác: FS âm x dương, FR âm v dương ðịnh luật Newton
F =ma cho ta
" S R;
mx =F +F tức
2
2
d x dx
m c kx
dt + dt + =
Như có phương trình vi phân có nghiệm hàm vị trí x(t) chất điểm m Phương trình tuyến tính cấp hai chi phối dao động tự chất ñiểm; xét chi tiết toán Mục 2.4
Nếu kết hợp với FS FR, chất ñiểm m chịu tác động ngoại lực F(t), lúc cộng thêm vào vế phải phương trình ta nhận phương trình
2
2 ( )
d x dx
m c kx F t
dt + dt + =
Phương trình vi phân tuyến tính khơng chi phối dao ñộng cưỡng chất ñiểm tác ñộng ngoại lực F(t)
2 Phương trình tuyến tính ðịnh lí (Nguyên lí chồng chất nghiệm)
+ y y1, 2 nghiệm phương trình tuyến tính nhất: y′′+p x y( ) ′+q x y( ) =0 (3) khoảng I
+ Khi y =C y1 1+C y2 2 nghiệm (3) khoảng I, với số tuỳ ý C1 C2
Hình 2.1.1 Hệ chất điểm – lò xo – lò xo chống sốc
(5)Ví dụ y′′ +4y =0 có nghiệm y1=cos2x, y2=sin2x
+ Theo ðL : y =2cos 2x−3 sin 2x nghiệm pt + Nghiệm tổng quát pt y′′ +4y =0 :
y =C1cos2x+C2sin2x
Một ñiều quan trọng cần hiểu cơng thức nghiệm tổng qt đơn giản bao gồm lượng ‘’hai lần vô hạn’’ nghiệm riêng hai hệ số c1 c2có thể ñược chọn cách ñộc lập Các Hình từ 2.1.3 ñến 2.1.5 minh họa số trường hợp xảy ra, c1 c2 không hai hệ số khác khơng
Hình 2.1.3 Các nghiệm
( ) cos
y x =c xcủa y"+ =y
Hình 2.1.4 Các nghiệm y x( )=c2cosx
" y + =y
Hình 2.1.5 Các nghiệm y"+ =y với
1
c c2 khác
Ở phía đưa phương trình tuyến tính mx"+cx'+ =kx F t( )
như mơ hình tốn học chuyển động chất điểm minh họa Hình 2.1.1 Về phương diện vật lý chuyển ñộng chất ñiểm hồn tồn xác định vị trí vận tốc ban đầu Do đó, cho trước giá trị
(0)
x x'(0), phương trình
2 ( )
d x dx
m c kx F t
dt + dt + = ln xác định nghiệm
duy thỏa mãn tốn giá trị ban đầu
3 Phương trình tuyến tính khơng
ðể phương trình vi phân mơ hình tốn tốt cho tốn tốn lí phải có nghiệm thoả mãn điều kiện đầu tương ứng
ðịnh lí (Tồn nghiệm) Các hàm p x q x( ) ( ), liên tục khoảng mở I chứa ñiểm a, cho trước hai số b0 b1 Khi phương trình
( ) ( ) ( )
(6)ðịnh lý cho ta thấy toán giá trị ban đầu (tuyn tính) có nghiệm nhất toàn khoảng I, khoảng mà hàm hệ số (4) liên tục Khác hẳn ñối với phương trình vi phân phi tuyn - nói chung có nhất nghiệm khoảng nhỏ
Tìm nghiệm phương trình tuyến tính cấp thuần :
Tìm hai nghiệm phân biệt y1 y2, sau thiết lập nghiệm tổng qt
1 2
y =c y +c y Xét ñiều kiện ban ñầu y a( )=b y a0, '( )=b1, ta có hệ pt { 1 2
1 2
( ) ( ) , ' ( ) ' ( ) c y a c y a b c y a c y a b
+ =
+ = ñối với hệ số c1 c2
Ví dụ Chứng minh hàm y x1( )=ex,y x2( )=xex nghiệm
phương trình vi phân y′′−2y′+ =y Tìm nghiệm thoả mãn ñiều kiện ban ñầu: y( )0 =3,y′( )0 =1
• Dễ dàng kiểm tra hàm cho nghiệm • Nghiệm tổng qt phương trình y =C e1 x+C xe2 x
• Thay vào điều kiện cho có: ( )
( )00 11 32
y C
y C C
= =
′ = + =
{
1
3
C C
=
⇔ = −
• Nghiệm tốn giá trị ban đầu y =3ex−2xex
Câu hỏi : Liệu có phải ln tìm nghiệm tổng qt ñã biết hai nghiệm y1 y2 ñiều kiện ban ñầu b0 b1 ?
4 Sự ñộc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính
a.ðỊNH NGHĨA. ● Hai hàm xác ñịnh khoảng I được gọi độc lập tuyến tính I nếu hai hàm khơng thể viết dạng tích số nhân với hàm cịn lại
● Hai hàm gọi phụ thuộc tuyến tính trên khoảng mở chúng khơng độc lập tuyến tính,Tức hai hàm tích số với hàm cịn lại
Ví dụ Những cặp hàm sau ñộc lập tuyến tính ñường thẳng thực sinx cosx ;
ex e−2x ;
(7)x+1 x2 ;
x |x|
b Wronskian
Cho trước hai hàm f g, Wronskian của f g ñịnh thức
W= ' '
' '
f g fg f g f g = −
Ký hiệu : W f g( , ) W x( )
f g phụ thuộc tt I W f g( , )=0 I f g ñộc lập tt I W f g( , )≠0 I
d ðỊNH LÝ (Nghiệm tổng quát phương trình nhất)
Cho y1 y2 hai nghim đc lp tuyn tính ph ng trình thun nht : y"+p x y( ) '+q x y( ) =0 (4)
với p q liên tc khoảng mở I Nếu Y một nghiệm Phương trình (4) I, đó tồn số c1 c2 cho
1 1( ) 2( ) Y =c y x +c y x
với mọi x I Chúng ta gọi tổ hợp tuyến tính Y =c y1 1+c y2 2 nghim tng quát phương trình vi phân (4)
Ví dụ Xét phương trình vi phân: y" 4− y =0 (5)
+ Có
1( ) x
y x =e
2( ) x
y x =e− hai nghiệm pt + y1 y2 nghiệm độc lập tuyến tính
+ Ta thấy: y x3( )=cosh2x y x4( )=sinh2x nghiệm phương trình (5) Từðịnh lý suy hàm cosh2x sinh2x ñược biểu diễn tổ hợp tuyến tính
1( ) x
y x =e ( )
2 x
y x =e− cosh2 2
2
x x
x = e + e− sinh2 2
2
x x
x= e − e− 5 Phương trình tuyến tính cấp hai với hệ số
Ví dụ mở đầu: Xét phương trình y" ' 6− y+ y =0 (*), + y =erxta nhận ñược
2 rx 5 rx 6 rx 0
r e − re + e =
hay : (r −2)(r−3)erx =0
+ Ta thấy: y =erx sẽ một nghiệm của (*) nếu r =2 hoặc r =3 Từ đó
ta tìm hai nghiệm đơn:
1( ) x
y x =e 2( ) x y x =e
Tng quát: Xét: ay"+by'+cy =0 (6)
Bằng cách tương tự ta kết luận y x( )=erx thỏa mãn phương trình vi phân
r một nghiệm phương trình đại số
2 0.
(8)Phương trình bậc hai ñược gọi ph ng trình ñc tr ng của phương trình vi phân tuyến tính
" ' ay +by+cy =
a ðỊNH LÝ (Nghiệm thực phân biệt)
Nếu nghiệm r1 r2 phương trình đặc trưng (7) thực phân
biệt,
1
( ) r x r x
y x =c e +c e nghiệm tổng qt phương trình (6)
Ví dụ 8. Tìm nghiệm tổng quát của: " ' 3y − y+ y =0
Giải + Phương trình đặc trưng
2
2r −7r+ =3
+ Các nghiệm 1
2
r = r2 =3 thực phân biệt, ðịnh lý cho
ta nghiệm tổng quát /2
1
( ) x x
y x =c e +c e
Ví dụ Phương trình vi phân y" '+ y =0 có phương trình đặc trưng
2 2 ( 2) 0
r + r =r r + =
với hai nghiệm thực phân biệt r1=0 r2= −2 Từ nghiệm tổng qt:
2
1
( ) x
y x = +c c e−
b.ðỊNH LÝ (Nghiệm bội)
Nếu phương trình đặc trưng (7) có nghiệm (thực) r1=r2,
1
1
( ) ( ) r x
y x = c +c x e nghiệm tổng qt phương trình (6)
Ví dụ 10. Giải tốn giá trị ban đầu: {yy(0)" '+ =y5,+ =yy'(0)0;= −3, Giải:
+ Phương trình đặc trưng: r2+2r + = +1 (r 1)2 =0có nghiệm bằng
1
r = = −r
+ Nghiệm tổng quát : y x( )=c e1 −x +c xe2 −x
+ Lấy ñạo hàm ta có: y x'( )= −c e1 −x+c e2 −x −c xe2 −x,
sử dụng ñiều kiện ban đầu nhận phương trình sau:
{
1
(0)
'(0) 3,
y c
y == − +c =c = − suy c1=5 c2=2
+ Từđó nghiệm riêng cần tìm : y x( )=5e−x+2xe−x
(9)
Phương trình Euler cấp hai có dạng
" '
ax y +bxy +cy= , x>0 (8) a, b, c số
Cách giải
+ Thế v=lnx⇒dv = dx x,
2
2 2 2
1
' ,
1 1 1
"
dy dy dv dy
y
dx dv dx x dv
d dy dy d y dv dy d y
y
dx x dv x dv x dv dx x dv x dv
+ = = =
= = − + = − +
+ Biến phương trình (8) thành phương trình tuyến tính hệ số
2
2 ( )
d y dy
a b a cy
dv + − dv+ = (9), với biến ñộc lập v
+ Nếu nghiệm r1 r2 phương trình đặc trưng phương trình (9) thực phân biệt, nghiệm tổng quát Phương trình Euler (8)
1
1
( ) r r
y x =c x +c x
Ví dụ 11 Giải ptvp sau:
" ' 12 x y + xy − y=
Giải
+ Thay v=lnx nhận ñược phương trình
2 12
d y dy
y
dv +dv − =
+ Phương trình đặc trưng
12
r + − =r có nghiệm r1= −4 r2 =3 + Bởi v
e =x nên nghiệm
1
v v
y=C e− +C e hay
1
( )
y x =c x− +c x Bài tập nhà: 43 – 60 trang 115 , – 56 trang 146