đáp án kiểm tra giữa kỳ tcc k54 k55 mf và nf nguyenvantien0405

Một trung tâm thương mại có doanh thu phụ thuộc vào thời lượng quảng cáo trên đài phát thanh (x phút) và trên đài truyền hình (y phút). Ngân sách chi cho quảng cáo là B=180 triệu đồng. [r]

KIỂM TRA GIỮA KỲ - BÀI SỐ Câu Tìm đạo hàm vi phân cấp hàm số sau: z arctan x

y  

  

  Câu Tính tích phân sau:

5

2

3

) ) )

2 (2 1)

x

dx dx

a b c x e dx

x x





 

  

Câu Một trung tâm thương mại có doanh thu phụ thuộc vào thời lượng quảng cáo đài phát (x phút) đài truyền hình (y phút) Hàm doanh thu:

  2

, 320 540 2000

R x y  x x  xy y  y

Chi phí cho phút quảng cáo đài phát triệu đồng, đài truyền hình triệu đồng Ngân sách chi cho quảng cáo B=180 triệu đồng

a) Tìm x, y để cực đại doanh thu

b) Nếu ngân sách chi cho quảng cáo tăng triệu đồng doanh thu cực đại tăng lên ?

ĐÁP ÁN Câu Các đạo hàm riêng cấp 1:

2

2 2 2 2 2 2

1 1

1

x y

x y

x y y x y x x

z z

y x y y x y y x y y x y

x x

y y

 

     

           

   

   

   

   

   

Các đạo hàm riêng cấp 2:

 

   

   

   

 

   

2 2

2 2

2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2

1

2

xx x x

x

xx x x yx

y

yy y y

y

y x xy

z z y

x y x y x y

x y y y

y x y

z z z

x y x y x y

x y xy

z z x

x y x y x y



   



      



   

  

  



        

  

   



   



       

  

   

     

2

2 2 2

2 2

2 2 2

2

2

xx xy yy

xy x y xy

d z z dx z dxdy z dy d z dx dxdy dy

x y x y x y

               Câu a)     2

3 3

1 1

lim lim lim

2 10 2 10

(2 1) (2 1)

t t

t t t

dx dx x t x x                           b) 5

2 2

2

lim lim 2 lim 2

2 t t t t

t

dx dx

x t

x  x  

                      c) 0

.x lim x lim t

t t

t

x e dx x e dx I

 



 

 

Ta tính tích phân

.x

t t

I x e dx pp tích phân phần:

0

0 0

x x

x x x x x t t

t

t t t

t t

u x du dx

dv e dx v e

I x e dx xe e dx xe e te e

                                     

Vậy  

0

.x lim x lim t t lim t

t

t t t

t

t

x e dx x e dx te e e

e                     

Vì lim t 0; lim  t lim lim 0 ' 

t t

t t t t

t

e te CT L Hospitale

e e

   

   

      



   

Câu Vì ngân sách chi cho quảng cáo B =180 triệu đồng nên ta có điều kiện ràng buộc: x4y180B

a) Để cực đại doanh thu ta giải tốn tìm cực trị hàm số:

  2

, 320 540 2000

R x y  x x  xy y  y với điều kiện: x4y180 Hàm Lagrange: L x y , ,R x y , B x 4y

  2  

, , 320 540 2000 180

Các đạo hàm riêng cấp 1, cấp 2:

320 3 10 540 180

4

3 10

1

x y

xx xy x

yx yy y

x y

L x y L x y L x y

L L L

L L L

L L L

 



  

 

              

                          Điểm dừng nghiệm hệ:

0 320 4 320 52

0 10 540 10 540 32

180 4 180 16

0

x y

L x y x y x

L x y x y y

x y x y

L

 

 

 

            

   

             

   

           

  



Vậy có điểm dừng: M52;32 ; 16

Ta có:

4

3 10 50

1

D

  

     

 

hàm số đạt cực đại M52;32 với điều kiện 180

x y

Doanh thu cực đại: L52;32;16R52;3220.400(triệu đồng) b) Điều kiện tổng quát: x4yB, với B mức ngân sách Hàm Lagrange tổng quát: L x y , ,R x y ; B x 4y

Doanh thu cực đại tổng quát: L x *, *, *y  R x *; *y *Bx* * y  với  *, *

M x y điểm cực đại ứng với * Ta có: L *

B  



 Vậy ngân sách tăng lên đơn vị tiền tệ doanh thu cực đại biến đổi * đơn vị tiền tệ

Chú ý Trong 3b bạn đặt hàm Lagrange là:

  2  

, , 320 540 2000 180

L x y   x x  xy y  y  x y Thì điểm dừng M52;32 với   16

Vì ta đặt tổng quát L x y , ,R x y ; x4yB nên mức biến đổi doanh thu cực đại L

B 

  

 (bị thay đổi dấu) Do mức thay đổi doanh thu cực đại ngân sách tăng triệu 16 triệu đồng Vì L  16 16

B 

