toán tài chính k57c nguyenvantien0405

Giả sử cơ cấu của người tiêu dùng có 3 mặt hàng thì mỗi giỏ hàng là một bộ ba số thực (x,y,z). Hàm lợi ích cho tương ứng mỗi giỏ hàng với một giá trị duy nhất u=u(x,y,z).[r]

HÀM

KHÁI NIỆM HÀM HAI BIẾN

Định nghĩa: Cho không gian:

Ánh xạ:

Được gọi hàm hai biến xác định tập hợp D Mỗi cặp (x,y) tương ứng với số thực z

x, y biến độc lập; z biến phụ thuộc

( ) ( )

:

, ,

f D R

x y z f x y

®

= a

( )

{ }

2 , : ,

KHÁI NIỆM HÀM HAI BIẾN

Mỗi cặp (x,y) tương ứng với số thực z x, y biến độc lập; z biến phụ thuộc

Tập D miền xác định (domain) Miền giá trị (range) hàm f

   

 , , 

TẬP XÁC ĐỊNH HÀM HAI BIẾN

TẬP XÁC ĐỊNH HÀM HAI BIẾN

A) Ta có:

Tập xác định:

b) Ta có:

Tập xác định:

3, 2

3

f    



 

 , 0, 1 D  x y x y   x 

3, 2 3ln 2 3

f   

 

 , 2

VÍ DỤ 1

Tìm vẽ tập xác định hàm số sau: ( )

( ) ( )

2

) ,

) , ln

a f x y y x

b f x y x y

=

KHÁI NIỆM HÀM BA BIẾN

Định nghĩa: Cho không gian:

Ánh xạ:

Được gọi hàm ba biến xác định tập hợp D Mỗi cặp (x,y,z) tương ứng với số thực u

x, y, z biến độc lập; u biến phụ thuộc

Tập xác định hàm số tập hợp tất cặp (x,y,z) cho giá trị biểu thức f(x,y,z) số thực

( ) ( )

:

, , , ,

f D R

x y z u f x y z

®

= a

( )

{ }

3 , , : , ,

ĐỒ THỊ.

Định nghĩa Nếu f hàm hai biến với miền xác định D đồ thị f tập hợp tất điểm (x,y,z) cho

 ,   , 

ĐỒ THỊ HÀM NHIỀU BIẾN

 ,  2

ĐỒ THỊ HÀM NHIỀU BIẾN

 ,  2

ĐỒ THỊ HÀM NHIỀU BIẾN

 ,  3 2

ĐỒ THỊ HÀM NHIỀU BIẾN

 ,   1 x2 y2

f x y x e 

HÀM NHIỀU BIẾN TRONG KINH TẾ

a) Hàm sản xuất

b) Hàm tổng chi phí, tổng doanh thu, tổng lợi nhuận c) Hàm lợi ích

VÍ DỤ 2

Tìm giới hạn sau

Sinh viên tự tham khảo thêm

        

       

2

2 2

, 0,1 , 1,2

2

2 2

, 1,2 , 0,0

3

) lim ) lim

3

) lim ) lim

x y x y

x y x y

x y

a b x y x y xy

x y

x y x y

c d

x y x y

 

 

  

GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC

Định nghĩa Hàm số hai biến f liên tục (a,b)

Hàm số f liên tục D liên tục điểm (a,b) D

Chú ý

Các hàm đa thức liên tục R2 , hàm hữu tỉ liên tục

miền xác định

VÍ DỤ 3.

Tìm khoảng liên tục hàm số:

 

2

2

, x y

f x y

x y  

ĐẠO HÀM RIÊNG

Cho hàm hai biến z=f(x,y) xác định tập D

Xem y số ta hàm biến theo x

Lấy đạo hàm hàm số ta đạo hàm riêng theo biến x

Tương tự ta đạo hàm riêng theo biến y Ký hiệu:

( ) ( )

( ) ( )

, , '

, , '

x x x x

y y y y

f z

f x y ff x y D f z

x x x

f z

f x y ff x y D f z

y y y

ĐẠO HÀM RIÊNG

Đạo hàm riêng hàm f(x,y) điểm (x0,y0)

Lấy đạo hàm riêng theo biến xem biến cịn lại số tiến hành lấy đạo hàm hàm biến

( ) ( )

( ) ( )

0

0

0 0

0

0 0

0

, ,

' lim

, ,

' lim

x x x

y y y

f x y f x y f

f

x x x

f x y f x y f

f

y y y

-VÍ DỤ 4.

Cho hàm số

Đạo hàm riêng theo x (xem y số)

Đạo hàm riêng theo y (xem x số)

3 3

z = x + xy - y

3

'y

z = xy - y

2

'x 3

VÍ DỤ 5.

Tìm đạo hàm riêng hàm số sau:

Với hàm nhiều hai biến ta làm tương tự

 

 

 

3

) ,

) , sin

1

) , , xy ln

a f x y x x y y x

b f x y

y c f x y z e z

       

ĐẠO HÀM RIÊNG CẤP CAO

Đạo hàm riêng đạo hàm riêng cấp gọi ĐHR cấp

Tương tự cho cấp cao Ký hiệu:

   

   

2 2

2

2 2

2

x x xx x y xy

y x yx y y yy

z f z z f z

f f f f

x x x x y x x y x y

z f z z f z

f f f f

x y y x y x y y y y

VÍ DỤ 6.

Tính đạo hàm riêng cấp hàm số sau

Đáp án

3

z x  y  xy

2

' 3 ' 2

" 6 " 1 " 1 " 2

x y

xx xy

yy

z x y z y x

z x z

z z

   

 

 

VÍ DỤ 7.

Tính ĐHR cấp hàm số:

) y ) xy ) ln x

a z x b z e c z

y

 

    

VÍ DỤ 8.

Tìm đạo hàm riêng cấp hàm số:

Hỏi:

- Hàm biến có ĐHR cấp 2? - Hàm n biến có ĐHR cấp 2?

- Thứ tự lấy ĐHR có ảnh hưởng đến kết quả???

 ,  3 2

ĐẠO HÀM RIÊNG CẤP CAO

Định lý Clairaut Giả sử hàm f xác định đĩa D chứa điểm (a,b) Nếu hàm số liên tục D thì:

Ma trận Hessian

1 1 2 2

1

n

n

n n n n

x x x x x x x x x x x x

x x x x x x

f f f

f f f

H

f f f

                               ,   ,  xy yx

VÍ DỤ 9.

Tìm ma trận Hess hàm ba biến sau

Sinh viên kiểm tra lại kết

( , , )

f x y z x y z

2 5 4

2 5 3

2 4 3 4

6 12 15

12 12 20

15 20 20

x y z x y z x y z H x y z x y z x y z x y z x y z x y z

 

 

 

 

VI PHÂN TOÀN PHẦN HÀM NHIỀU BIẾN Cho hàm hai biến f(x,y) có đạo hàm riêng f’x; f’y Khi biểu thức:

Được gọi vi phân toàn phần hàm hai biến cho Ý nghĩa:

 dx  dy  df

x y

VÍ DỤ 10.

Hàm số

Có vi phân tồn phần

3

z x  y  xy

 3   2 

VI PHÂN CẤP 2

Vi phân cấp hàm hai biến f(x,y) biểu thức có dạng:

Chú ý:

2

2 2

xy

x y

d f  f dx  f dxdy  f dy

   

2

2 2

2 2

x y

xx xy yx yy

xx xy yy

d f d df d f dx f dy

d f f dx f dxdy f dydx f dy

d f f dx f dxdy f dy

VÍ DỤ 11.

A) Vi phân cấp hàm số:

là

B) Tính vi phân cấp hàm số:

 

 

2 2 3

2

) ln )

) z sin

a z x y b z xy x y

c x y

   

 

3

z x  y  xy

2 6 2 2

CỰC TRỊ HÀM NHIỀU BIẾN

Cuc dai

CỰC TRỊ HÀM HAI BIẾN_CỰC ĐẠI

Khái niệm: cho hàm hai biến z=f(x,y) xác định D Xét điểm

Nếu điểm M(x,y) nằm quanh M0 M≠ M0 ta có:

Thì M0 gọi điểm cực đại hàm số

     ,   0, 

CỰC ĐẠI HÀM HAI BIẾN

     ,   0, 

CỰC TRỊ HÀM HAI BIẾN_CỰC TIỂU

Khái niệm: cho hàm hai biến z=f(x,y) xác định D Xét điểm

Nếu điểm M(x,y) nằm quanh M0 M≠ M0 ta có:

Thì M0 gọi điểm cực tiểu hàm số

     ,   0, 

CỰC TIỂU HÀM HAI BIẾN

     ,   0, 

VÍ DỤ 12.

Xét hàm số f(x,y)=x2+y2-2x+3 điểm Ta có:

Do giá trị hàm số M0 nhỏ giá trị hàm số điểm xung quanh (khác M0) nên M0 điểm cực tiểu hàm số

   

     

0

2

2 2

1;0

, 2

f M f

f M f x y x y x x y

 

         

     

CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

Một cách tương tự ta định nghĩa cực đại, cực tiểu hàm nhiều biến

Cho hàm nhiều biến f(x1,x2,…,xn) xác định có đạo hàm riêng theo tất biến độc lập D

Điểm điểm: Cực đại khi?

Cực tiểu khi?

1

( , , , )n

ĐIỀU KIỆN CẦN

Nếu hàm số f(x1,x2,…,xn) xác định có đạo hàm riêng theo tất

cả biến độc lập D đạt cực trị (cực đại cực tiểu) điểm

Điểm thỏa mãn điều kiện gọi điểm dừng hàm số Hàm số đạt cực trị điểm dừng

Đây điều kiện cần, chưa phải điều kiện đủ

1

( , , , )n

M x x x D

1

( , , , ) ,n 1, 2, ,

i

f

x x x i n

x



 

ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ

Để hàm số đạt cực trị điểm M thì:

+ Điều kiện cần:

+ Điều kiện đủ: theo ma trận Hess M

1 Xác định dương  Cực tiểu

2 Xác định âm  Cực đại

3 Còn lại  Chưa kết luận

  , 1, 2, ,

i

f

M i n

x



 

ĐIỀU KIỆN ĐỦ CỦA CỰC TRỊ

Giả sử

là điểm dừng hàm số f(x1,x2,…,xn) điểm hàm

số có tất đạo hàm riêng cấp hai liên tục Đặt:

1

( , , , )n

M x x x  D

2

1

( , , , ) ( , 1,2, , )

ij n

i j

f

a x x x i j n

x x



 

ĐIỀU KIỆN ĐỦ ĐỂ CÓ CỰC TRỊ

Ma trận Hess:

Xét định thức chính:

11 12

21 22

1

n n

n n nn

a a a

a a a

H

a a a

                   

11 12 11 12

21 22 21 22

11 12

1 11

21

1 2

, , , , ,

k n

k n

k n

k k kk n n nn

a a a a a a

a a a a a a

a a

D a D D D

a a

a a a a a a

TIÊU CHUẨN XÉT CỰC TRỊ

i) Nếu D1>0, D2>0, …, Dn>0 M điểm cực tiểu hàm số ii) Nếu D1<0, D2>0, …, (-1)n Dn>0 M điểm cực đại

hàm số

iii) Nếu Di≥0 (hay (-1)i Di>0 ) tồn k cho Dk=0 chưa thể kết luận cực trị địa phương hàm số Hàm số đạt cực trị không đạt cực trị điểm M Muốn có kết luận ta phải sử dụng phương pháp khác

ÁP DỤNG CHO HÀM BIẾN

Ma trận Hess hàm biến:

1

2

( ) ; ( ) ( ); ( )

xx xy yx yy

A B A f M B f M f M C f M H

B C D A

A B

D AC B

ÁP DỤNG CHO HÀM BIẾN

i) Nếu A>0, ∆>0 M điểm cực tiểu

ii) Nếu A<0, ∆>0 M điểm cực đại

iii) Nếu ∆<0 M khơng điểm cực trị

CÁC BƯỚC TÌM CỰC TRỊ HÀM BIẾN

1 Tìm tập xác định

2 Tính đạo hàm riêng cấp 1, cấp Giải hệ pt tìm điểm dừng

4 Tính đhr cấp điểm dừng Xét dấu định thức cấp

6 Kết luận điểm cực trị tính cực trị (nếu có) '

'

x

y z z

 

 

 

VÍ DỤ 13.

Tìm cực trị hàm số

Đ/S: cực tiểu M(1;1)

3

( , ) 3

VÍ DỤ 14.

Tìm cực trị hàm số:

4 2 5

2

3

) )

8

) )

)

a z x y x xy y b z xy x y

x

c z y d z x xy y x y

x y

e z x y xy

       

       

VÍ DỤ 15 (cực trị hàm biến)

Tìm cực trị hàm số

Đ/S: cực tiểu M(1;-2;1/2)

3 2

( , , ) 2 2 3 1.

CỰC TRỊ CĨ ĐIỀU KIỆN

Tìm cực trị hàm số:

Với điều kiện:

Hướng dẫn Giải điều kiện, đưa hàm biến Nhưng điều kiện phức tạp thì???

 , 

f x y xy  x

CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN

Cho hàm số z=f(x,y) với ràng buộc ϕ(x,y)=0

Giả sử M(x0;y0) điểm cực trị hàm số z với ràng buộc tồn số λ cho:

Số λ gọi nhân tử Lagrange

Hàm số L(x,y, λ)=f(x,y)+ λϕ(x,y) gọi hàm số Lagrange

0 0

0 0

0

( , ) ( , )

( , ) ( , )

( , )

f

x y x y

x x

f

x y x y

CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN

Ta viết lại phương trình cho dạng:

Trong đó: L(x,y, λ)=f(x,y)+ λϕ(x,y) Giải phương trình ta có λ, x0,y0

0

0

0

( , ) ( , ) ( , )

HAI BIẾN CHỌN – ĐK ĐỦ

Ta xét giá trị định thức

Hoặc

Tại điểm dừng tìm

xx xy x yx yy y

x y

L L L

D L L L

L L L

              

x y x y

x xx xy x xx xy y yx yy y yx yy

L L L

D L L L L L

L L L L L

ĐIỀU KIỆN ĐỦ

Nếu D>0 M(x0;y0) điểm cực đại có điều kiện hàm số

Nếu D<0 M(x0;y0) điểm cực tiểu có điều kiện hàm số

CÁCH SỬ DỤNG VI PHÂN CẤP 2

Tính giá trị sau:

Nếu D>0 cực tiểu Nếu D<0 cực đại

    2

xx y yy x xy x y

VÍ DỤ 16.

Tìm cực trị hàm số

với điều kiện:

Đ/S: cực tiểu M(4/3; 5/3) Cực đại N(-4/3;-5/3)

( , ) 4 3

f x y   x  y

2 2 1.

VÍ DỤ 17.

1 Tìm cực trị hàm số: Với điều kiện:

2 Tìm cực trị hàm số: Với điều kiện:

 , 

f x y   x y

2 1

x  y 

 ,  15

f x y  x  y 

2

GTLN, GTNN (THAM KHẢO)

Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số tập đóng, bị chặn

Cho D tập đóng, bị chặn miền có biên cho phương trình ϕ(x1,x2,…,xn)=0

Giả sử f(x1,x2,…,xn) hàm số liên tục D.

GTLN, GTNN (THAM KHẢO)

B1 Tìm điểm nghi ngờ có cực trị với điều kiện ϕ(x1,x2,

…,xn)=0

B2 Tìm điểm dừng f(x1,x2,…,xn) thuộc D.

VÍ DỤ 18.

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm

trong miền

Đ/S:

2

( , ) x 2

f x y   y  x

2

: 1

D x  y 

1 1

min ,0 ; max ,

2 2

D f f D f f

 

 

         

VÍ DỤ 19.

Miền D:

Biên miền D

Bước 1. Tìm điểm nghi ngờ có cực trị với điều kiện:

Bước 2. Tìm điểm dừng thuộc D hàm số

Bước 3. So sánh giá trị hàm số điểm tìm kết luận

2 1 0

x  y  

2

( , ) 2

VÍ DỤ 19.

Bước 1.

Hàm Lagrange:

Ta có hệ phương trình:

 , ,  2  2 1

L x y  x  y  x  x  y 

 

 

 

2 2 2

2

2

2

0 2

0

0 2

2

0 1 0

1

x y

x x

L x x

y

L y y y

x y

L x y

VÍ DỤ 19.

Giải tiếp hpt ta có nghiệm

Như có điểm nghi ngờ có cực trị với điều kiện:

Đặt điểm sau:

1/ / 2

0 1/ 1/

1 3 / 2 3 / 2

y y x x

x x y y

                                 

2 1 0

x  y  

       

1 1;0 ; 1;0 ; 1/ 2; / ; 1/ 2; /

VÍ DỤ 19.

Bước 2.

Hệ phương trình tìm điểm dừng:

Ta nhận điểm thuộc miền D do:

 

5

0 2 1 0 1/ 2

1/ 2;0

0 4 0 0

x y

f x x

M

f y y

                      

2 0 1

4

VÍ DỤ 19.

Bước 3.

Ta có:

Tương tự:

 1 1;0 12 2.02

f M  f    

              2

1;0 2.0

1 9

; ; ;

2 2

1

;0

2

f M f

f M f f M f

f M f

VÍ DỤ 19.

So sánh giá trị hàm số M1, M2, M3, M4, M5 ta có:

 

   

5

3

1

min ,0

2

1

max ,

2

D

D

f f M f

f f M f M f

 

    

 

 

       

KHÁI NIỆM HÀM ẨN

Trong nhiều trường hợp, ta chứng minh phương trình F(x,y)=0 xác định hàm số y=y(x) ta biểu diễn y theo x cách trực tiếp Trong trường hợp ta phải xét hàm số y gián tiếp dạng phương trình F(x,y)=0

ĐẠO HÀM CỦA HÀM ẨN

Giả sử y=y(x) hàm ẩn xác định phương trình F(x,y)=0 Ta có:

VÍ DỤ 20.

A) Tính đạo hàm hàm y hàm ẩn x xác định phương trình:

Đ/S:

B) Tìm đạo hàm y biết

 

2

2x  y  1 0 y 0

2

'x x

y

y

 

3 6

ỨNG DỤNG

HÀM SẢN XUẤT

Hàm sản xuất hàm dạng:

Q=Q(K,L)

trong K vốn, L lao động

Hàm Cobb-Douglas hàm sản xuất dạng:

trong a, α, β số dương

,

Q aK L 

HÀM TỔNG CHI PHÍ, TỔNG DOANH THU, TỔNG LỢI NHUẬN

Hàm tổng chi phí hàm TC=TC(Q) tính theo yếu tố sản xuất thì:

TC=WKK+WLL+C0

trong WK giá thuế đơn vị vốn, WL giá thuế đơn vị lao động, C0 chi phí cố định

Hàm tổng doanh thu hàm TR=PQ=PQ(K,L) P giá thị trường sản phẩm

HÀM LỢI ÍCH

HÀM CUNG, HÀM CẦU

Giả sử thị trường có n loại hàng hóa với giá trị tương ứng P1, P2,…,Pn Khi

Hàm cung:

Hàm cầu:

1

( , , , )

i

S i n

Q S P P  P

1

( , , , )

i

D i n

ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ GIÁ TRỊ CẬN BIÊN

Xét mơ hình hàm kinh tế:

trong xi biến số kinh tế

Đạo hàm riêng hàm w theo biến xi điểm M

gọi giá trị w – cận biên theo xi điểm

Ý nghĩa: biểu diễn lượng thay đổi giá trị biến w giá trị xi thay đổi đơn vị điều kiện giá trị biến

độc lập cịn lại khơng thay đổi

 1, , ,2 n 

GIÁ TRỊ CẬN BIÊN_HÀM SX

Xét hàm sản xuất: Q=f(K;L)

Các đạo hàm riêng:

được gọi tương ứng hàm sản phẩm cận biên tư

bản (MPK) hàm sản phẩm cận biên lao động (MPL) điểm (K, L)

'K f ( , ); 'L f ( , )

Q K L Q K L

K L

 

 

GIÁ TRỊ CẬN BIÊN_HÀM SX

Đạo hàm riêng:

Biểu diễn xấp xỉ lượng sản phẩm vật gia tăng sử dụng thêm đơn vị tư giữ nguyên mức sử

dụng lao động

Đạo hàm riêng:

Biểu diễn xấp xỉ lượng sản phẩm vật gia tăng sử dụng thêm đơn vị lao động giữ nguyên mức sử dụng tư

'K f ( , )

Q K L

K

 



'L f ( , )

Q K L

L

 

VÍ DỤ 21.

Giả sử hàm sản xuất doanh nghiệp là:

trong K, L, Q mức sử dụng tư bản, mức sử dụng lao động sản lượng hàng ngày Giả sử doanh nghiệp sử dụng 16 đơn vị sản phẩm 81 đơn vị lao động ngày tức K=16; L=81 Xác định sản lượng cận biên tư lao động điểm giải thích ý

nghĩa

1 4 20

GIÁ TRỊ CẬN BIÊN_HÀM LỢI ÍCH

Cho hàm lợi ích:

Đạo hàm riêng:

MUi gọi hàm lợi ích cận biên hàng hóa thứ i

Biểu diễn xấp xỉ lợi ích tăng thêm người tiêu dùng có

thêm đơn vị hàng hóa thứ i điều kiện số đơn vị

các hàng hóa khác khơng thay đổi

1

( , , , )n

U U x x x

( 1, ) i

i

U

MU i n

x



 

VÍ DỤ 22.

Giả sử hàm tiêu dùng hàng ngày người tiêu dùng loại hàng hóa

Trong x1, x2 mức sử dụng hàng hóa hàng hóa 2, U lợi ích người tiêu dùng hàng ngày

Giả sử người tiêu dùng sử dụng 64 đơn vị hàng hóa 25 đơn vị hàng hóa ngày Xác định lợi ích cận biên hàng hóa điểm giải thích ý nghĩa

3

2

1

2

HỆ SỐ CO GIÃN RIÊNG

Cho hàm kinh tế w=f(x1,x2,…,xn)

Hệ số co giãn của hàm w theo biến xi điểm M số đo lượng thay đổi tính phần trăm w xi thay đổi 1% điều kiện giá trị biến độc lập khác không đổi, ký hiệu xác định sau:

 

   

0 0 0

1 0 0 0

1 0

1 , , , , , , , , , i n f i x n i n

f x x x x

voi M x x x

x f x x x

 

VÍ DỤ 23.

Giả sử hàm cầu hàng hóa thị trường hai hàng hóa có liên quan có dạng:

p1, p2: giá hàng hóa 1,

a) Xác định hệ số co giãn cầu theo giá p1 giá hàng hóa (p1,p2)

b) Xác định hệ số co giãn cầu theo giá p2 giá hàng hóa thứ hai (p1,p2)

c) Xác định hệ số co giãn cầu theo giá (p1,p2), cho biết ý nghĩa điểm (20,30)

2

1

5 6300 2

3

d

GIẢI

Ta có:

Tại điểm (20,30) ta có:

Điều có nghĩa hàng hóa mức giá 20 hàng hóa mức giá 30 tăng giá hàng hóa lên 1% cịn giá hàng hóa khơng đổi cầu hàng hóa giảm 0,4% Tương tự, giá hàng hóa khơng đổi giá hàng hóa tăng thêm 1% cầu hàng hóa giảm 0,75%

1

1

1

1

2 2

1 2

10

4 ;

5 3

6300 6300

3 d d Q Q p p p p p p

p p p p

   

   

1

1 0, 4; 0,75

d d

Q Q

p p

QUY LUẬT LỢI ÍCH CẬN BIÊN GIẢM DẦN Xét hàm kinh tế hai biến số z=f(x,y)

hàm cận biên hàm kinh tế theo biến x

hàm cận biên hàm kinh tế theo biến y

'x z f ( , )

z x y

x x

 

 

 

'y z f ( , )

z x y

y y

 

 

QUY LUẬT LỢI ÍCH CẬN BIÊN GIẢM DẦN

Trong kinh tế học, quy luật lợi ích cận biên giảm dần nói

Giá trị z – cận biên biến x giảm dần x tăng y không đổi

Giá trị z – cận biên biến y giảm dần y tăng x không đổi

QUY LUẬT LỢI ÍCH CẬN BIÊN GIẢM DẦN

Cơ sở toán học:

hàm số giảm

hàm số giảm

2

2 ( , ) 0

z f x y x x       ( , ) z f x y x x      ( , ) z f x y y y      2

2 ( , ) 0

VÍ DỤ 24.

Hàm sản xuất doanh nghiệp có dạng Cobb – Douglas sau:

Tìm điều kiện α, β để hàm số tuân theo quy luật lợi ích cận biên giảm dần

( , , 0)

Q aK L  a

 

HÀM THUẦN NHẤT

Hàm số z=f(x,y) gọi hàm cấp k với t>0 ta có:

Ví dụ: hàm Q=a.Kα.Lβ hàm cấp (α+β) với

t>0 ta có:

( , ) k ( , ) f tx ty t f x y

 

( , ) ( ) ( ) ( , )

Q tK tL a tK  tL  t  aK L  t  Q K L

VÍ DỤ 25.

Các hàm sau có hàm khơng? Tìm cấp tương ứng

0,5 0,5

2

1 4 4

)

9 9 9

2 )

a Q K K L L

xy b z

x y

  



HIỆU QUẢ THEO QUY MÔ SẢN XUẤT

Xét hàm sản xuất Q=f(K;L)

trong K, L yếu tố đầu vào, Q yếu tố đầu

Bài toán đặt là: Nếu yếu tố đầu vào K, L tăng gấp m lần đầu Q có tăng gấp m lần hay không ?

Ta tiến hành so sánh:

( , ) ( , )

HIỆU QUẢ THEO QUY MÔ SẢN XUẤT

Nếu Q(mK; mL)>m.Q(K;L) hàm sản xuất có hiệu tăng theo quy mơ

Nếu Q(mK; mL)<m.Q(K;L) hàm sản xuất có hiệu giảm theo quy mơ

HIỆU QUẢ CỦA QUY MÔ VỚI BẬC THUẦN NHẤT Giả sử hàm sản xuất Q=f(K;L) hàm cấp k + Nếu k>1 hàm sản xuất có hiệu tăng theo quy mơ

+ Nếu k<1 hàm sản xuất có hiệu giảm theo quy mơ

VÍ DỤ 26.

Xét vấn đề hiệu theo quy mô hàm sản xuất sau:

0,5 0,5

1 4 4

)

9 9 9

)

a Q K K L L

b Q aK L 

  

CỰC TRỊ HÀM KINH TẾ – VÍ DỤ 27.

Một xí nghiệp sản xuất độc quyền loại sản phẩm Biết

hàm cầu loại sản phẩm xí nghiệp đơn vị thời gian là:

và hàm tổng chi phí xét đơn vị thời gian

Tìm mức sản lượng để xí nghiệp có lợi nhuận tối đa

1 2

1

1230 1350

,

14 14

P P P P

Q    Q   

2

1 1 2

( , )

VÍ DỤ 27.

Hướng dẫn: Ta có:

Hàm tổng doanh thu:

1

1

1 1

1 2 2

2

1230

5 1230 14 360

14

1350 3 1350 14 570

14

P P

Q P P Q P Q Q

P P P P Q P Q Q

Q                                     

1 2 1 2

2

1 2

360 570

3 360 570

TR PQ P Q Q Q Q Q Q Q

TR Q Q Q Q Q Q

       

VÍ DỤ 27.

Hàm tổng chi phí:

Hàm lợi nhuận:

Hệ pt tìm điểm dừng:

2

1 2

TC Q Q Q Q

2 2

1 2 1 2

2

1 2

3 360 570

4 360 570

TR TC Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q

Q Q Q Q Q Q

                

1 1

1 2

8 360 30

3 12 570 40

Q Q

Q Q Q

Q Q Q

VÍ DỤ 27.

Ta có:

Vậy lợi nhuận đạt cực đại Q1=30; Q2=40

     

1 1 2

2

8 12

8 0; 12 87

Q Q Q Q Q Q

A

     

VÍ DỤ 28.

Cho hàm lợi nhuận công ty sản phẩm là:

trong lợi nhuận, R doanh thu, C chi phí, L

lượng lao động, w tiền lương cho lao động, K

tiền vốn, r lãi suất tiền vốn, P đơn giá bán sản phẩm

Giả sử Q là hàm sản xuất Cobb – Douglas dạng:

Ta tìm L, K để lợi nhuận đạt tối đa cho trường hợp w = 1,

r = 0,02, P =

w

R C PQ L rK

     

1/3. 1/3

VÍ DỤ 29.

Cho biết hàm lợi nhuận doanh nghiệp sản xuất loại sản phẩm là:

Hãy tìm mức sản lượng Q1, Q2, Q3 để doanh nghiệp thu lợi nhuận tối đa

Đáp số: Q1=400; Q2=50; Q3 =200

2 2

1 3 7 300 1200 4 20

Q Q Q Q Q Q Q

VÍ DỤ 30.

Một hãng độc quyền sản xuất loại sản phẩm Cho biết hàm cầu hai loại sản phẩm sau:

Với hàm chi phí kết hợp là:

Hãy cho biết mức sản lượng Q1, Q2 giá bán tương ứng để doanh nghiệp thu lợi nhuận tối đa

1 1300 675 0,5

Q   p Q   p

2

1 3 2

ĐÁP ÁN

Ta có:

1

2

250; 1050

100; 1150

Q p

Q p

 

VÍ DỤ 31.

Một công ty độc quyền sản xuất loại sản phẩm hai sở với hàm chi phí tương ứng là:

Q1, Q2 lượng sản xuất sở 1,2 Hàm cầu ngược sản phẩm cơng ty có dạng:

A) Xác định lượng sản phẩm cần sx sở đề tối đa hóa lợi nhuận

B) Tại mức sản lượng tối đa hóa lợi nhuận, tính độ co giãn cầu theo giá

2

1 128 0, 2 ; 156 0,1

TC   Q TC   Q

1

600 0,1 ; do 600

ĐÁP ÁN

A) Q1=600; Q2=1200

VÍ DỤ 32.

Một doanh nghiệp có hàm sản xuất:

Giả sử giá thuê đơn vị vốn 6$, giá thuê đơn vị lao động 4$ Giá bán sản phẩm 2$

Tìm mức sử dụng vốn lao động để lợi nhuận doanh nghiệp tối đa

Đáp số: K=1/36; L=1/16

 

0,5 0,5 0; 0

VÍ DỤ 33.

Cho hàm lợi ích tiêu dùng loại hàng hóa:

(x số đơn vị hàng hóa 1, y là số đơn vị hàng hóa 2; x>0, y>0)

Giả sử giá mặt hàng tương ứng 2USD, 3USD thu nhập dành cho người tiêu dùng 130USD Hãy xác định lượng cầu mặt hàng để người tiêu dùng thu lợi ích tối đa

 ,  0,4. 0,6

VÍ DỤ 34.

Một trung tâm thương mại có doanh thu phụ thuộc vào thời lượng

quảng cáo đài phát (x phút) đài truyền hình (y phút) Hàm doanh thu:

Chi phí cho phút quảng cáo đài phát triệu đồng, đài truyền hình triệu đồng Ngân sách chi cho quảng cáo B=180 triệu đồng

a) Tìm x, y để cực đại doanh thu

b) Nếu ngân sách chi cho quảng cáo tăng triệu đồng doanh thu cực đại tăng lên ?

 ,  320 2 3 5 540 2000

VÍ DỤ 35.

Một doanh nghiệp có hàm sản xuất Q=40K0,75L0,25 trong

Q_sản lượng; K_vốn; L_lao động Doanh nghiệp thuê đơn vị vốn 3$; đơn vị lao động 1$ Ngân sách chi cho yếu tố đầu vào B=160$

A) Với hàm sản xuất tăng quy mô sản xuất

VÍ DỤ 35.

B) Xác định mức sử dụng vốn lao động để sản lượng tối đa Nếu tăng ngân sách chi cho yếu tố đầu vào 1$ sản lượng tối đa tăng lên đơn vị?

C) Hàm số có tn theo quy luật lợi ích cận biên giảm dần hay không?

ĐÁP ÁN

A) Hiệu không đổi Sản lượng tăng 1,5% B) K=L=40; Qmax=1600

VÍ DỤ 36.

Một doanh nghiệp có hàm sản xuất Q=K0,4L0,3 (Q: sản lượng, K:

vốn L: lao động)

A) Hãy đánh giá hiệu việc tăng quy mô sản xuất

B) Giả sử thuê tư 4$, giá thuê lai động 3$ doanh nghiệp tiến hành sản xuất với ngân sách cố định 1050$ Hãy cho biết doanh nghiệp sử dụng đơn vị tư đơn vị lao động thu sản lượng tối đa

Đáp án