Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học – Chuyên đề tiếp tuyến cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại A,B sao cho côsin góc ABI bằng.. Chứng minh rằng C tiếp xúc với[r]
(1)Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học – Chuyên đề tiếp tuyến TIẾP TUYẾN CỦA HÀM SỐ A CHUẨN KIẾN THỨC Ý nghĩa hình học đạo hàm: Đạo hàm hàm số y f(x) điểm x0 là hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị (C) hàm số điểm M x0 ; f(x0 ) Khi đó phương trình tiếp tuyến (C) điểm M x0 ; f(x0 ) là: y – y f (x ).(x – x ) Điều kiện cần và đủ để hai đường C1 : y f(x) y0 f(x0 ) và C2 : y g(x ) tiếp xúc f( x ) g( x0 ) điểm có hoành độ x0 là hệ phương trình có nghiệm x0 f '( x ) g '( x0 ) Nghiệm hệ là hoành độ tiếp điểm hai đường đó Nếu (C1 ) : y px q và C2 : y ax2 bx c thì (C1 ) và C2 iếp xúc phương trình ax bx c px q có nghiệm kép Các dạng tiếp tuyến đồ thị hàm số thường gặp - Viết phương trình tiếp tuyến biết tọa độ tiếp điểm M x0 ; y , hoành độ x0 , tung độ y - Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến qua điểm A x A ; y A cho trước - Viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc nó Phương pháp: Cho hàm số y f x có đồ thị C và M x0 ; y là điểm trên C Tiếp tuyến với đồ thị C M x0 ; y có: - Hệ số góc: k f ' x - Phương trình: y y k x x0 , hay y y f ' x0 x x Vậy, để viết phương trình tiếp tuyến M x0 ; y chúng ta cần đủ ba yếu tố sau: - Hoành độ tiếp điểm: x0 - Tung độ tiếp điểm: y (Nếu đề chưa cho, ta phải tính cách thay x0 vào hàm số y f x ) - Hệ số góc k f ' x B LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Phương trình tiếp tuyến đồ thị điểm x0 ;y0 Phương pháp Hai đồ thị tiếp xúc 1.1 Định nghĩa: Hai đồ thị hai hàm số y f x và y g x gọi là tiếp xúc điểm M M chúng có cùng tiếp tuyến 2.1 Định lí 1: Hai đồ thị hai hàm số y f x và y g x tiếp xúc và hệ phương trình: f(x) g(x) có nghiệm và nghiệm hệ là tọa độ tiếp điểm f '(x) g '(x) Tiếp tuyến đồ thị hàm số Lop12.net (2) Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học – Chuyên đề tiếp tuyến 1.2 Định nghĩa: Cho hàm số y f x Một cát tuyến MM giới hạn đường thẳng M T M dần tới M thì M T gọi là tiếp tuyến đồ thị M gọi là tiếp điểm Định lí 2: Đạo hàm f x x x0 là hệ số góc tiếp tuyến M x0 ; f x0 Nhận xét: Hệ số góc tiếp tuyến có dạng f ' x0 2.2 Các bài toán phương trình tiếp tuyến: Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y f x điểm M(x0 ; f(x )) Phương pháp: Tiếp tuyến đồ thị hàm số y f(x) M(x0 ; y ) là: y f '(x )(x x ) y0 với y f(x0 ) Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y f(x) , biết tiếp tuyến có hệ số góc k Phương pháp: Cách 1: *Phương trình tiếp tuyến có dạng: y kx b f(x) kx b (1) * Điều kiện tiếp xúc là hệ phương trình: (2) f '(x) k Từ (2) ta tìm x , vào (1) ta có b Ta có tiếp tuyến cần tìm Cách 2: * Giải phương trình f '(x) k giải phương trình này ta tìm các nghiệm x1 ,x2 , ,x n * Phương trình tiếp tuyến: y f '(x i )(x x i ) f(xi ) (i 1, 2, ,n) Chú ý: Đối với bài toán này ta cần lưu ý số vấn đề sau: * Số tiếp tuyến đồ thị chính là số nghiệm phương trình : f '(x) k *Cho hai đường thẳng d1 : y k1x b1 và d : y k x b Khi đó i) tan k1 k k1 k , đó (d1 ,d2 ) k k ii) d1 / /d2 b1 b2 iii) d1 d2 k1 k 1 Bài toán 01: Viết phương trình tiếp tuyến biết tọa độ tiếp điểm Phương pháp Bài toán : Hai đường cong C : y f x và C' : y g x tiếp xúc M x0 ; y Khi điểm M C C' và tiếp tuyến f x0 g x0 M C trùng với tiếp tuyến M C' hệ phương trình sau: có nghiệm x0 f ' x0 g ' x0 Lưu ý : Mệnh đề sau đây không đúng cho trường hợp: C : y f x tiếp xúc f x ax b có nghiệm kép d : y ax b Hàm f x nhận x0 làm nghiệm bội k f x0 f ' x0 f k 1 x0 và f k x0 Nghiệm bội lớn không phải nghiệm kép Phép biến đổi tương đương phương trình nói chung không bảo toàn số bội nghiệm Lop12.net (3) Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học – Chuyên đề tiếp tuyến Ví dụ Đường cong y x không tiếp xúc với trục hoành , tức là phương trình x không nhận làm nghiệm bội lớn Khi đó đồ thị C : y x3 hàm số tiếp xúc với trục hoành x phương trình x3 nhận làm nghiệm bội Ví dụ Đồ thị C : y sin x hàm số tiếp xúc với đường thẳng d : y x x phương trình sin x x thì không thể có nghiệm kép Như vậy, biến đổi tương đương phương trình bảo toàn tập nghiệm, không bảo toàn số bội các nghiệm Đây là sai lầm dễ mắc phải giải bài toán tiếp tuyến Bài toán : * Đường cong C : y f x có tiếp tuyến điểm có hoành độ x0 và hàm số y f x khả vi x0 Trong trường hợp C có tiếp tuyến điểm có hoành độ x0 thì tiếp tuyến đó có hệ số góc f ' x0 * Phương trình tiếp tuyến đồ thị C : y f x điểm M x0 ; f x0 có dạng : y f ' x0 x x f x0 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Tìm trên (C) : y 2x 3x điểm M cho tiếp tuyến (C) M cắt trục tung điểm có tung độ Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y x 6x 11x điểm có tung độ Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y x x 2x , biết tiếp tuyến vuông góc với đường 3 thẳng x 4y Viết phương trình tiếp tuyến d đồ thị C : y 2x biết d cách điểm A 2; và B 4; 2 x1 Tìm m để từ điểm M 1; kẻ tiếp tuyến đến đồ thị Cm : y x3 2x2 m 1 x 2m 3m 1 x m m có đồ thị là Cm , m và m Với giá trị nào m thì giao điểm xm đồ thị với trục hoành, tiếp tuyến đồ thị song song với đường thẳng x y 10 Viết phương trình tiếp Cho hàm số y tuyến đó Chứng minh các tiếp tuyến d , t đồ thị C : y x 6x 9x song song với thì hai tiếp điểm A, B đối xứng qua M 2; Tìm m để tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ Cm : y x3 2x2 m 1 x 2m vuông góc với đường thẳng y x Tìm m để đồ thị : y mx m 1 x 3m x có điểm mà tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng x y 2013 10 Cho hàm số y x 3x có đồ thị là C Giả sử d là tiếp tuyến C điểm có hoành độ x , đồng thời d cắt đồ thị C N, tìm tọa độ N Bài 2: Cho hàm số y x 2x 8x có đồ thị là C Chứng minh không có hai tiếp tuyến nào đồ thị hàm số lại vuông góc với Lop12.net (4) Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học – Chuyên đề tiếp tuyến Cho hàm số y 2x Tìm 0; cho điểm M sin ; nằm trên đồ thị C Chứng minh rằng, tiếp x 1 2 tuyến C điểm M cắt hai tiệm cận C hai điểm A, B đối xứng qua điểm M Cho hàm số y x 2x Tìm phương trình tiếp tuyến hàm số có khoảng cách đến điểm M 0; 3 65 Tìm m để đồ thị y x 3mx có tiếp tuyến tạo với đường thẳng d : x y góc cho cos 26 Xác định m để hai tiếp tuyến đồ thị y x 2mx 2m A 1; và B 1; hợp với góc cho cos 15 17 2x có đồ thị C x 1 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) a Tiếp tuyến có hệ số góc 1 b Tiếp tuyến song song với đường thẳng d : y 4x Cho hàm số: y c Tiếp tuyến tạo với trục tọa độ lập thành tam giác cân d Tiếp tuyến điểm thuộc đồ thị có khoảng cách đến trục Oy Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số: y 2x , biết: x 1 a Hệ số góc tiếp tuyến 2 b Tiếp tuyến song song với đường thẳng d : x 2y c Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng : 9x 2y d Tạo với đường thẳng d' : 4x 3y 2012 góc 450 e Tạo với chiều dương trục hoành góc cho cos f Tại điểm M thuộc đồ thị và vuông góc với IM ( I là giao điểm tiệm cận ) x4 x2 có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C) song song với đường thẳng : y 2x Bài 3: Cho hàm số y Viết phương trình tiếp tuyến (d) (C) biết khoảng cách từ điểm A(0;3) đến (d) Bài 4: ax b , có đồ thị là C Tìm a, b biết tiếp tuyến đồ thị C giao điểm C và trục Ox x2 có phương trình là y x 2 Cho hàm số y Cho hàm số y ax bx c (a 0) , có đồ thị là C Tìm a, b,c biết C có ba điểm cực trị , điểm cực tiểu C có tọa độ là 0; và tiếp tuyến d C giao điểm C với trục Ox có phương trình là Lop12.net y 8 3x 24 (5) Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học – Chuyên đề tiếp tuyến Bài 5: Cho hàm số y 2x 4x có đồ thị là (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x 48y Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến qua A(1; 3) Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến tiếp xúc với (C) hai điểm phân biệt x3 x 2x Viết phương trình tiếp tuyến (C) giao điểm (C) với trục tung x Viết phương trình tiếp tuyến (C) vuông góc với đường thẳng y 3.Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành , trục tung A, B cho tam giác OAB vuông cân (O là gốc tọa độ ) Bài 6: Gọi (C) là đồ thị hàm số y Bài 7: Cho hàm số y x 2x (m 1)x 2m có đồ thị là (C m ) Tìm m để tiếp tuyến đồ thị (C m ) điểm có hoành độ x song song với đường thẳng y 3x 10 Tìm m để tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ đồ thị (C m ) vuông góc với đường thẳng : y 2x Tìm m để từ điểm M(1; 2) vẽ đến (C m ) đúng hai tiếp tuyến Bài 8: Tìm m để đồ thị : 1 y mx m 1 x 3m x tồn đúng điểm có hoành độ dương mà tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng x 2y x 2mx 2m cắt trục hoành hai điểm phân biệt và các tiếp tuyến với x 1 góc với y Cm hai điểm này vuông 2x cho khoảng cách từ M đến đường thẳng : x 3y đạt x1 giá trị nhỏ Trong trường hợp này, chứng minh song song với tiếp tuyến C M Bài 9: Tìm điểm M trên đồ thị C : y Bài toán 02: TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ CẮT TRỤC HOÀNH Phương pháp Nếu đường thẳng d cắt các trục Ox, Oy A, B thì tan OAB định y ' x tan OAB OB , đó hệ số góc d xác OA CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP 2x Bài tập: Cho hàm số y có đồ thị là C Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị C cho tiếp tuyến x1 này cắt các trục Ox, Oy các điểm A,B thoả mãn OA 4OB Bài toán 03: ĐỒ THỊ CẮT TRỤC HOÀNH TẠI ĐIỂM PHÂN BIỆT A,B MÀ TIẾP TUYẾN TẠI A,B THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: 2x Cho hàm số y có đồ thị là C Viết phương trình tiếp tuyến điểm M thuộc C biết tiếp tuyến đó x2 Lop12.net (6) Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học – Chuyên đề tiếp tuyến cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang A,B cho côsin góc ABI 17 , với I là giao tiệm cận 2x Tìm trên hai nhánh đồ thị (C), các điểm M, N cho các tiếp tuyến M và N cắt hai x1 đường tiệm cận điểm lập thành hình thang Bài 2: Cho hàm số y x 3x , tiếp tuyến M cắt C hai điểm x2 A,B tạo với I ( là giao hai tiệm cận ) tam giác có diện tích không đổi ,không phụ thuộc vào vị trí M x3 Cho hàm số y , có đồ thị là (C).Tìm trên đường thẳng d : y 2x các điểm từ đó kẻ x 1 tiếp tuyến tới (C) Chứng minh với điểm M tùy ý thuộc C : y Bài 3: Cho hàm số y x 3x có đồ thị là (C) Chứng minh (C) tiếp xúc với trục hoành 2.Viết phương trình tiếp tuyến (C) các giao điểm (C) với trục hoành Tìm điểm trên trục hoành cho từ đó kẻ ba tiếp tuyến đến đồ thị hàm số và đó có hai tiếp tuyến vuông góc với Bài Cho hàm số y x 2x có đồ thị là (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d : 24x y Tìm M Oy cho từ M vẽ đến (C) đúng ba tiếp tuyến Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến tiếp xúc với (C) hai điểm phân biệt Bài toán 04: TIẾP TUYẾN CÓ HỆ SỐ GÓC NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài tập Cho hàm số y x 3x 9x có đồ thị là (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng d : y x góc thỏa 41 Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến qua điểm A( 1; 6) cos Bài toán 05: TIẾP TUYẾN SONG SONG, VUÔNG GÓC THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN RÀNG BUỘC CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài tập : Cho hàm số y x 2x x Tìm các điểm thuộc đồ thị hàm số mà tiếp tuyến đó vuông góc với tiếp tuyến khác đồ thị Cho hàm số y x 3x có đồ thị là (C) Tìm toạ độ điểm M thuộc d : y 3x cho từ M kẻ đến (C) hai tiếp tuyến và hai tiếp tuyến đó vuông góc với Bài toán 06: TIẾP TUYẾN ĐỒ THỊ VÀ MỐI LIÊN HỆ TÍNH CHẤT TAM GIÁC CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Lop12.net (7) Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học – Chuyên đề tiếp tuyến 2x m ,m là tham số khác – và (d) là tiếp tuyến (C) Tìm m để (d) tạo x2 với hai đường tiệm cận (C) tam giác có diện tích Gọi (C) là đồ thị hàm số y = Cho hàm số y x m(x 1) có đồ thị là (C m ) Tìm m để tiếp tuyến (C m ) giao điểm nó với trục tung tạo với hai trục tọa độ tam giác có diện tích Bài 2: x1 Cho hàm số y Tìm giá trị nhỏ m cho tồn ít điểm M (C) mà tiếp tuyến (C) 2x M tạo với hai trục toạ độ tam giác có trọng tâm nằm trên đường thẳng d : y 2m 2mx Gọi I là giao điểm hai tiệm cận (C) Tìm m để tiếp tuyến diểm bất kì xm (C) cắt hai tiệm cận A và B cho IAB có diện tích S 22 2x 3 Gọi d là tiếp tuyến đồ thị C : y M cắt các đường tiệm cận hai điểm phân biệt A, B Tìm tọa x2 độ điểm M cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ , với I là giao điểm hai tiệm cận Bài 3: 2x Cho hàm số y , có đồ thị là C Tìm điểm M thuộc C cho tiếp tuyến M C cắt Ox, Oy x 1 A, B cho diện tích tam giác OAB , O là gốc tọa độ Bài 4: Viết phương trình tiếp tuyến d với đồ thị C , để: Cho hàm số y d cắt trục tọa độ các điểm A, B thỏa mãn trọng tâm tam giác OAB thuộc đường thẳng x 4y , O là gốc tọa độ Giao điểm d và t : y x là trọng tâm tam giác ABC biết C : y x x x , A 1;1 , 22 27 B 0; và C ; 5 d cắt trục hoành, trục tung điểm phân biệt cùng với điểm O tạo thành tam giác cân O , biết C : a y x2 2x b y x x2 2x có đồ thị là (C) x 1 Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d : y 4x Bài 5: Cho hàm số y Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ tam giác vuông cân Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến tạo với hai tiệm cận tam giác có chu vi nhỏ Chứng minh không có tiếp tuyến nào (C) qua tâm đối xứng 2x Bài Cho hàm số y có đồ thị (C) x2 Trên đồ thị (C) tồn bao nhiêu điểm mà tiếp tuyến (C) đó song song với đường thẳng y 4x Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ tam giác có diện tích 18 Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết khoảng cách từ tâm đối xứng đến tiếp tuyến lớn Bài 7: Cho hàm số y x ax bx c , c có đồ thị (C) cắt Oy A và có đúng hai điểm chung với trục Ox là M và N Tiếp tuyển với đồ thị M qua A Tìm a; b; c để S AMN Lop12.net (8) Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học – Chuyên đề tiếp tuyến Bài 8: Cho hàm số y 2x có đồ thị là (C) x1 1 Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến có hệ số góc Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến tạo với hai tiệm cận tam giác có chu vi nhỏ Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết khoảng cách từ tâm đối xứng I đến tiếp tuyến tạo lớn Tìm điểm M thuộc (C) cho tiếp tuyến (C) M vuông góc với IM Bài 9: Gọi (C) là đồ thị hàm số y x và (d) là tiếp tuyến (C) , (d) cắt hai trục tọa độ A và B Viết phương trình tiếp tuyến (d) tam giác OAB có diện tích nhỏ ( O là gốc tọa độ ) Gọi (Cm) là đồ thị hàm số y x4 m 1 x2 3m , m là tham số Tìm các giá trị dương tham số m để (Cm) cắt trục hoành bốn điểm phân biệt và tiếp tuyến (Cm) giao điểm có hoành độ lớn hợp với hai trục toạ độ tam giác có diện tích 24 Bài 10: Viết phương trình tiếp tuyến d với đồ thị C , để: d tạo với đường tiệm cận cùng với I 1;1 tạo thành tam giác có chu vi 2 , biết C : y d cắt tiệm cận A, B cho IA IB2 40 với I 1; , biết C : y x x 1 2x x1 2x có đồ thị C ,giao điểm hai tiệm cận là I Lập phương x2 trình tiếp tuyến đồ thị C cho tiếp tuyến cắt đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang đồ thị C lần Cho hàm số y lượt E, F và chu vi IEF 17 Cho hàm số : y 2x có đồ thị là C Tìm điểm M thuộc x1 C cho tiếp tuyến C M cùng với đường tiệm cận C tạo thành tam giác có chu vi 10 Bài 11: 2x có đồ thị là C Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị C , để khoảng cách từ tâm đối x2 xứng đồ thị C đến tiếp tuyến là lớn Cho hàm số y 2x có đồ thị C Tìm trên C điểm M cho tiếp tuyến M C cắt hai x2 tiệm cận C A,B cho AB ngắn Cho hàm số y Bài toán 07: TIẾP TUYẾN ĐỒ THỊ VÀ MỐI LIÊN HỆ ĐƯỞNG TRÒN CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài tập : Tìm m để tiếp tuyến đồ thị y x mx m điểm M có hoành độ x 1 cắt đường tròn (C) có phương trình (x 2)2 (y 3)2 theo dây cung có độ dài nhỏ Dạng 2: Lop12.net (9) Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học – Chuyên đề tiếp tuyến Phương trình tiếp tuyến đồ thị qua điểm cho trước Phương pháp Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y f(x) , biết tiếp tuyến qua điểm A(xA ; y A ) Phương pháp: Cách 1: Phương trình tiếp tuyến có dạng: y k(x x A ) y A f(x) k(x x A ) y A (1) Điều kiện tiếp xúc: hệ pt có nghiệm (2) f '(x) k Thay (2) vào (1), ta được: f(x) f '(x)(x x A ) y A , giải pt này ta tìm các nghiệm x1 ,x2 , ,x n Thay vào (2) ta tìm k từ đó suy phương trình tiếp tuyến Cách 2: Gọi M(x0 ; y ) là tiếp điểm Khi đó tiếp tuyến có dạng: y f '(x )(x x ) y0 Vì tiếp tuyến qua A nên ta có: y A f '(x0 )(x A x ) y , giải phương trình này ta tìm x0 suy phương trình tiếp tuyến Chú ý: * Nếu giải theo cách thì số tiếp tuyến đồ thị phụ thuộc vào số nghiệm phương trình: f(x) f '(x)(x x A ) y A * Nếu giải theo cách thì số tiếp tuyến phụ thuộc vào số nghiệm phương trình y A f '(x0 )(x A x ) f(x ) (với ẩn là x0 ) Bài toán 01: TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ ĐI QUA ĐIỂM CHO TRƯỚC Phương pháp Phương trình tiếp tuyến đồ thị C : y f x qua điểm M x1 ; y1 Cách : Phương trình đường thẳng d qua điểm M có hệ số góc là k có dạng : y k x x1 y1 d tiếp xúc với đồ thị C N x0 ; y0 f x0 k x0 x1 y1 hệ: có nghiệm x0 f ' x0 k Cách : Gọi N x ; y là tọa độ tiếp điểm đồ thị C và tiếp tuyến d qua điểm M , nên d có dạng y y '0 x x0 y0 d qua điểm M nên có phương trình : y1 y'0 x1 x0 y0 * Từ phương trình * ta tìm tọa độ điểm N x ; y , từ đây ta tìm phương trình đường thẳng d CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP 4 4 Bài 1: Cho hàm số y x 2x 3x có đồ thị là (C) Tìm phương trình các đường thẳng qua điểm A ; và 9 3 tiếp xúc với đồ thị (C) hàm số 3 Bài 2: Cho hàm số y x 3x (C) Tìm phương trình tiếp tuyến qua điểm A 0; và tiếp xúc với đồ thị 2 2 (C) Bài 3: Viết phương trình tiếp tuyến C : Lop12.net (10) Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học – Chuyên đề tiếp tuyến y x3 1 x 3x qua điểm A 0; 3 y x 4x qua điểm cực tiểu đồ thị 23 y x 3x qua điểm A ; 2 y x 2x x qua điểm M 4; 24 Bài 4: x 2x , biết tiếp tuyến qua điểm M(6; 4) x2 x2 Viết phương trình tiếp tuyến d với đồ thị C : y , biết d qua điểm A 6; x2 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y Cho hàm số y x 3x 9x 11 có đồ thị là C Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số biết tiếp tuyến 29 qua điểm I ;184 Bài 5: Gọi (C) là đồ thị hàm số y x 3x Viết phương trình tiếp tuyến (C) song song với đường thẳng y = 9x – Viết phương trình tiếp tuyến (C) qua điểm A(- 2;7) Bài 6: Cho hàm số y (2 x)2 x , có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến giao điểm (C) với Parabol y x Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến qua điểm A(2; 0) Bài toán 02: TÌM ĐIỂM M ĐỂ QUA ĐÓ KẺ ĐƯỢC n TIẾP TUYẾN CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: x3 (m 2)x 2mx tiếp xúc với đường thẳng y = x2 Gọi (C) là đồ thị hàm số y = (0;m) là điểm thuộc trục Oy , m Chứng minh luôn tồn ít 2x tiếp tuyến (C) qua M và tiếp điểm tiếp tuyến này với (C) có hoành độ dương Bài 2: Tìm m để (Cm): y Cho hàm số y x 3x Tìm trên đường thẳng d : y các điểm mà từ đó kẻ đúng tiếp tuyến với (C) Cho hàm số y x 3x Tìm trên đường thẳng (d): y = các điểm mà từ đó kẻ tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C) Chứng minh từ điểm thuộc đường thẳng x luôn kẻ tiếp tuyến đến đồ thị hàm số y x 6x 9x Viết phương trình tiếp tuyến d tiếp xúc với đồ thị H : y x hàm số đúng điểm phân biệt Cho hàm số y x 2x , có đồ thị là C a Tìm trên đồ thị C điểm B mà tiếp tuyến với C điểm đó song song với tiếp tuyến với C điểm A 1; 10 Lop12.net (11) Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học – Chuyên đề tiếp tuyến b Tìm trên đường thẳng y điểm mà qua đó ta kẻ tiếp tuyến phân biệt với đồ thị C Cho hàm số : y x 2x có đồ thị là C a Viết phương trình tiếp tuyến C biết tiếp tuyến qua gốc tọa độ b Tìm điểm M trên trục Oy để từ M kẻ tiếp tuyến đến C c Tìm điểm N trên đường thẳng d : y để từ N kẻ tiếp tuyến đến C Bài 3: 1 Cho hàm số y mx (m 1)x (4 3m)x có đồ thị là Cm Tìm các giá trị m cho trên đồ thị Cm tồn điểm có hoành độ âm mà tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng d : x 2y Cho hàm số y mx (m 1)x (4 3m)x có đồ thị là Cm Tìm các giá trị m cho trên đồ thị Cm tồn đúng hai điểm có hoành độ dương mà tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng d : x 2y x2 có đồ thị là C Cho điểm A(0;a) Tìm a để từ A kẻ tiếp tuyến tới đồ thị C x1 cho tiếp điểm tương ứng nằm phía trục hoành x 1 Cho hàm số y có đồ thị là C Tìm trên Oy tất các điểm từ đó kẻ tiếp tuyến tới x 1 C Cho hàm số: y 2x x 4x , gọi đồ thị hàm số là (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C) có hệ số góc lớn Viết phương trình tiếp tuyến (C) qua điểm A(2;9) Gọi M, N là hai điểm thuộc (C) có hoành độ là x1 , x ( x1 x2 ) , tìm hệ thức x1 , x cho hai tiếp Bài 4: Cho hàm số y tuyến (C) M,N song song với nhau, đó chứng minh đường thẳng M1M qua điểm cố định Bài 5: Gọi (C) là đồ thị hàm số y x2 2x Viết phương trình tiếp tuyến (C) vuông góc với đường thẳng y x1 Viết phương trình tiếp tuyến (C) qua điểm A(2; - 2) Gọi M là điểm thuộc (C) có khoảng cách từ M đến trục hoành hai lần khoảng cách từ M đến trục tung, M không trùng với gốc tọa độ O Viết phương trình tiếp tuyến (C) M Bài 6: Gọi (Cm) là đồ thị hàm số y = 2x 3(m 1)x mx m và (d) là tiếp tuyến (Cm) điểm có hoành độ x = - Tìm m để (d) qua điểm A(0;8) (d) tạo với hai trục tọa độ tam giác có diện tích Bài 7: Cho hàm số y x4 2x , có đồ thị là ( C ) Tìm tham số m để đồ thị (C) tiếp xúc với parabol P : y x2 m 11 Lop12.net (12) Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học – Chuyên đề tiếp tuyến Gọi (d) là tiếp tuyến (C) điểm M có hoành độ x = a Tìm a để (d) cắt lại (C) hai điểm E, F khác M và trung điểm I đoạn E, F nằm trên parabol (P’): y x Bài 8: x2 x tiếp xúc với Parabol y x m x 1 Tìm m để đồ thị hai hàm số sau tiếp xúc với Tìm m để đồ thị hàm số y (C1 ) : y mx (1 2m)x 2mx và (C ) : y 3mx 3(1 2m)x 4m Tìm tham số m để đồ thị (Cm) hàm số y x 4mx 7mx 3m tiếp xúc với parabol P : y x2 – x x2 x có đồ thị (C) x 1 Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng : 3x 4y Bài 9: Cho hàm số y Viết phương trình tiếp tuyến (C) xuất phát từ M(1; 3) Viết phương trình tiếp tuyến (C) qua giao điểm hai đường tiệm cận (C) Biện luận theo m số tiếp tuyến (C) mà tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng m : x my m Bài 10: x2 có đồ thị là (C) và điểm A 0; m Xác định m để từ A kẻ tiếp tuyến đến (C) x1 cho hai tiếp điểm tương ứng nằm hai phía trục Ox Cho hàm số: y Tìm tham số m để đồ thị (C) : y x 2(m 1)x 5mx 2m hàm số tiếp xúc với trục hoành Gọi Cm là đồ thị hàm số y = x (m 1)x 4m Tìm tham số m để Cm tiếp xúc với đường thẳng (d): y = hai điểm phân biệt 2x Bài 11: Cho hàm số y (1) x1 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số (1) Gọi (d) là tiếp tuyến (C) , A, B là giao điểm (d) với trục hoành và trục tung Viết phương trình (d) cho i) HB = 4.HA với H là hình chiếu vuông góc gốc tọa độ O lên (d) ii) Diện tích tam giác OAB x 3x (1) 1x Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số (1) Bài 12: Cho hàm số y Viết phương trình tiếp tuyến (d) (C) biết (d) cắt trục tung điểm A cho OA = 3.Cho hai điểm M(1;0) , N(0;3) a) Chứng tỏ đường thẳng MN và (C) không có điểm chung b) Viết phương trình tiếp tuyến (D)của (C) song song với đường thẳng MN và tìm E trên (C) cho tam giác EMN có diện tích nhỏ Bài 13: Tìm tất các điểm trên Oy cho từ đó ta có thể vẽ ít tiếp tuyến đến đồ thị hàm số y x 4x2 2x có đồ thị là ( C ) x1 Chứng minh không có tiếp tuyến nào (C) qua giao điểm hai đường tiệm cận (C) Bài 14: Cho hàm số y 2x 12 Lop12.net (13) Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học – Chuyên đề tiếp tuyến Gọi M1M là hai điểm thuộc (C) có hoành độ là x1 ,x2 (x1 x ) Tìm hệ thức liên hệ x1 ,x2 cho hai tiếp tuyến (C) M1M song song với Chứng minh đó giao điểm I hai đường tiệm cận (C) là trung điểm đoạn M1M Bài 15: Cho hàm số: y 4x 3x , có đồ thị là C Tìm a để phương trình 4x 3x 2a 3a có hai nghiệm âm và nghiệm dương; Tìm điểm trên đường thẳng y để từ đó có thể vẽ ba đường thẳng tiếp xúc với đồ thị C Bài 16: x2 x m với m cắt trục hoành điểm phân biệt A, B x 1 cho tiếp tuyến điểm A, B vuông góc với Tìm tham số m để đồ thị hàm số Cm : y 2x có đồ thị là C Tìm trên đường thẳng y x điểm mà từ đó có thể kẻ tiếp x2 tuyến đến C , đồng thời tiếp tuyến đó vuông góc với Cho hàm số y Cho hàm số y x 3x có đồ thị là C a Viết phương trình tiếp tuyến C kẻ từ điểm 1; b Tìm trên đường thẳng y 9x , điểm có thể kẻ đến C ba tiếp tuyến Dạng 3: Phương trình tiếp tuyến chung hai đồ thị Phương pháp Cho hai đường cong C : y f x và C' : y g x Hãy tìm tất các tiếp tuyến chung C và C' Giả sử T là tiếp tuyến chung C và C' T tiếp xúc với C và C' các điểm có hoành độ x1 ,x2 Khi đó: T : y f ' x1 x x1 f x1 T : y f ' x2 x x2 f x2 f ' x1 f ' x Ta có hệ * f x1 x1f ' x1 f x x f ' x Giả sử xi là nghiệm hệ * với i 1,2,3, , n thì các tiếp tuyến cần tìm là Ti : y f ' xi x xi f x i CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài tập Tìm tham số m để đồ thị y x 4mx 7mx 3m tiếp xúc với parabol: y x x 13 Lop12.net và (14)