Tính thể tích hình chóp cụt biết rằng cạnh đáy lớn gấp đôi cạnh đáy nhỏ... Theo chương trình chuẩn.[r]
(1)www.MATHVN.com & www.DeThiThuDaiHoc.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỂ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG Môn thi: TOÁN, khối A TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm) Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = f ( x) = 8x − 9x + 1 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số Dựa vào đồ thị (C) hãy biện luận theo m số nghiệm phương trình 8cos x − 9cos x + m = với x ∈ [0; π ] Câu II (2 điểm) log x 1 Giải phương trình: ( x − ) x − = x−2 2 x + y + x − y = 12 Giải hệ phương trình: y x − y = 12 Câu III (1 điểm) Tính diện tích miền phẳng giới hạn các đường y =| x − x | và y = x Câu IV (1 điểm) Cho hình chóp cụt tam giác ngoại tiếp hình cầu bán kính r cho trước Tính thể tích hình chóp cụt biết cạnh đáy lớn gấp đôi cạnh đáy nhỏ Câu V (1 điểm) Định m để phương trình sau có nghiệm π π π 4sin3xsinx + 4cos 3x - cos x + − cos 2x + + m = 4 4 4 PHẦN RIÊNG (3 điểm): Thí sinh làm hai phần (Phần phần 2) Theo chương trình chuẩn Câu VI.a (2 điểm) Cho ∆ ABC có đỉnh A(1;2), đường trung tuyến BM: x + y + = và phân giác CD: x + y − = Viết phương trình đường thẳng BC x = −2 + t Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (D) có phương trình tham số y = −2t z = + 2t Gọi ∆ là đường thẳng qua điểm A(4;0;-1) song song với (D) và I(-2;0;2) là hình chiếu vuông góc A trên (D) Trong các mặt phẳng qua ∆ , hãy viết phương trình mặt phẳng có khoảng cách đến (D) là lớn Câu VII.a (1 điểm) Cho x, y, z là số thực thuộc (0;1] Chứng minh 1 + + ≤ xy + yz + zx + x + y + z Theo chương trình nâng cao Câu VI.b (2 điểm) Cho hình bình hành ABCD có diện tích Biết A(1;0), B(0;2) và giao điểm I hai đường chéo nằm trên đường thẳng y = x Tìm tọa độ đỉnh C và D Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;5;0), B(3;3;6) và đường thẳng ∆ có x = −1 + 2t phương trình tham số y = − t Một điểm M thay đổi trên đường thẳng ∆ , z = 2t M để chu vi tam giác MAB đạt giá trị nhỏ xác định vị trí điểm www.DeThiThuDaiHoc.com Lop12.net (2) www.MATHVN.com & www.DeThiThuDaiHoc.com Câu VII.b (1 điểm) Cho a, b, c là ba cạnh tam giác Chứng minh b c a + + + <2 + 3a + b 3a + c 2a + b + c 3a + c 3a + b Hết Đáp án Câu I Ý Nội dung + Tập xác định: D = ℝ Điểm 2,00 1,00 0,25 + Sự biến thiên: • Giới hạn: lim y = +∞; lim y = +∞ x →−∞ x →+∞ y ' = 32x − 18x = 2x (16x − ) • x = y'= ⇔ x = ± • 0,25 Bảng biến thiên 0,25 • 49 49 3 3 yCT = y − = − ; yCT = y = − ; yC§ = y ( ) = 32 32 4 4 Đồ thị 0,25 1,00 Xét phương trình 8cos x − 9cos x + m = với x ∈ [0; π ] (1) Đặt t = cosx , phương trình (1) trở thành: 8t − 9t + m = (2) Vì x ∈ [0; π ] nên t ∈ [−1;1] , x và t có tương ứng đối một, đó số nghiệm phương trình (1) và (2) www.DeThiThuDaiHoc.com Lop12.net 0,25 (3) www.MATHVN.com & www.DeThiThuDaiHoc.com Ta có: (2) ⇔ 8t − 9t + = − m (3) Gọi (C1): y = 8t − 9t + với t ∈ [−1;1] và (D): y = – m Phương trình (3) là phương trình hoành độ giao điểm (C1) và (D) Chú ý (C1) giống đồ thị (C) miền −1 ≤ t ≤ Dựa vào đồ thị ta có kết luận sau: 81 m> : Phương trình đã cho vô nghiệm • 32 81 • m= : Phương trình đã cho có nghiệm 32 81 • 1≤ m < : Phương trình đã cho có nghiệm 32 • < m <1 : Phương trình đã cho có nghiệm • m=0 : Phương trình đã cho có nghiệm • m<0 : Phương trình đã cho vô nghiệm II 0,25 0,50 2,00 1,00 Phương trình đã cho tương đương: x−2 =0 x − = x = log x log3 x 1 1 ln x − ⇔ = ⇔ log x ln x − = − = x 2 2 2 x − > x > x > x = x = x = x = x = log x = ⇔ ⇔ ⇔ 1 3⇔x=2 ln x − = x − = x = 2 2 x > x > x > 0,50 0,50 1,00 Điều kiện: | x | ≥ | y | u = x − y ; u ≥ 1 u2 Đặt ; x = − y không thỏa hệ nên xét x ≠ − y ta có y = v − 2 v v = x + y Hệ phương trình đã cho có dạng: u + v = 12 u2 u v − = 12 2 v u = u = ⇔ v = v = u = x − y = + ⇔ (I) v = x + y = u = x − y = + ⇔ (II) v = x + y = Giải hệ (I), (II) 0,25 0,25 0,25 www.DeThiThuDaiHoc.com Lop12.net (4) www.MATHVN.com & www.DeThiThuDaiHoc.com Sau đó hợp các kết lại, ta tập nghiệm hệ phương trình ban đầu là S = {( 5;3) , ( 5; )} 0,25 III 1,00 Diện tích miền phẳng giới hạn bởi: y =| x − x | (C ) và ( d ) : y = x Phương trình hoành độ giao điểm (C) và (d): x ≥ x ≥ x = 2 | x − x |= x ⇔ x − x = x ⇔ x − x = ⇔ x = x = x − x = −2 x x − 2x = 0,25 Suy diện tích cần tính: ∫( x ) S= − x − x dx + ∫( x 2 ) − x − x dx Tính: I = ∫ (| x − x | −2 x ) dx Vì ∀x ∈ [ 0; 2] , x − x ≤ nên | x − x |= − x + x ⇒ I = ∫ ( − x + x − x ) dx = 0,25 Tính K = ∫ (| x − x | −2 x ) dx Vì ∀x ∈ [ 2; 4] , x − x ≤ và ∀x ∈ [ 4; 6] , x − x ≥ nên 0,25 K = ∫ ( x − x − x ) dx + ∫ ( x − x − x ) dx = −16 52 Vậy S = + 16 = 3 0,25 IV 1,00 0,25 Gọi H, H’ là tâm các tam giác ABC, A’B’C’ Gọi I, I’ là trung điểm AB, AB ⊥ IC A’B’ Ta có: ⇒ AB ⊥ ( CHH ' ) ⇒ ( ABB ' A ' ) ⊥ ( CII ' C ' ) AB ⊥ HH ' Suy hình cầu nội tiếp hình chóp cụt này tiếp xúc với hai đáy H, H’ và tiếp xúc với mặt bên (ABB’A’) điểm K ∈ II ' www.DeThiThuDaiHoc.com Lop12.net (5) www.MATHVN.com & www.DeThiThuDaiHoc.com Gọi x là cạnh đáy nhỏ, theo giả thiết 2x là cạnh đáy lớn Ta có: x x I ' K = I ' H ' = I 'C ' = ; IK = IH = IC = 3 x x = r ⇒ x = 6r Tam giác IOI’ vuông O nên: I ' K IK = OK ⇒ Thể tích hình chóp cụt tính bởi: V = ( h B + B '+ B.B ' ) 2 Trong đó: B = 4x = x = 6r 3; B ' = x = 3r ; h = 2r Từ đó, ta có: V = 0,25 0,25 2r 3r 3r 21r 6r + = + 6r 3 2 V 0,25 1,00 Ta có: +/ 4sin3xsinx = ( cos2x - cos4x ) ; π π π +/ 4cos 3x - cos x + = cos 2x - + cos4x = ( sin 2x + cos4x ) 4 4 2 π 1 π +/ cos 2x + = 1 + cos 4x + = (1 − sin 4x ) 2 Do đó phương trình đã cho tương đương: 1 ( cos2x + sin2x ) + sin 4x + m - = (1) 2 π Đặt t = cos2x + sin2x = 2cos 2x - (điều kiện: − ≤ t ≤ ) 4 Khi đó sin 4x = 2sin2xcos2x = t − Phương trình (1) trở thành: t + 4t + 2m − = (2) với − ≤ t ≤ (2) ⇔ t + 4t = − 2m Đây là phuơng trình hoành độ giao điểm đường ( D ) : y = − 2m (là đường song 0,25 0,25 song với Ox và cắt trục tung điểm có tung độ – 2m) và (P): y = t + 4t với − ≤t ≤ Trong đoạn − 2; , hàm số y = t + 4t đạt giá trị nhỏ là − t = − và đạt giá trị lớn là + t = Do đó yêu cầu bài toán thỏa mãn và − ≤ − 2m ≤ + ⇔ −2 ≤ m ≤ 2 VIa Điểm C ∈ CD : x + y − = ⇒ C ( t ;1 − t ) t +1 − t Suy trung điểm M AC là M ; www.DeThiThuDaiHoc.com Lop12.net 0,25 0,25 2,00 1,00 0,25 (6) www.MATHVN.com & www.DeThiThuDaiHoc.com t +1 − t Điểm M ∈ BM : x + y + = ⇒ + = ⇔ t = −7 ⇒ C ( −7;8 ) + Từ A(1;2), kẻ AK ⊥ CD : x + y − = I (điểm K ∈ BC ) 0,25 Suy AK : ( x − 1) − ( y − ) = ⇔ x − y + = x + y −1 = Tọa độ điểm I thỏa hệ: ⇒ I ( 0;1) x − y +1 = Tam giác ACK cân C nên I là trung điểm AK ⇒ tọa độ K ( −1;0 ) Đường thẳng BC qua C, K nên có phương trình: 0,25 x +1 y = ⇔ 4x + y + = −7 + 0,25 1,00 Gọi (P) là mặt phẳng qua đường thẳng ∆ , thì ( P ) //( D) ( P ) ⊃ ( D) Gọi H là hình chiếu vuông góc I trên (P) Ta luôn có IH ≤ IA và IH ⊥ AH 0,25 d ( ( D ) , ( P ) ) = d ( I , ( P ) ) = IH Mặt khác H ∈ ( P ) Trong mặt phẳng ( P ) , IH ≤ IA ; đó maxIH = IA ⇔ H ≡ A Lúc này (P) vị trí (P0) vuông góc với IA A Vectơ pháp tuyến (P0) là n = IA = ( 6;0; −3) , cùng phương với v = ( 2; 0; −1) Phương trình mặt phẳng (P0) là: ( x − ) − ( z + 1) = 2x - z - = VIIa Để ý ( xy + 1) − ( x + y ) = (1 − x )(1 − y ) ≥ ; yz + ≥ y + z và tương tự ta có zx + ≥ z + x Vì ta có: 0,25 0,50 1,00 0,50 0,50 www.DeThiThuDaiHoc.com Lop12.net (7) www.MATHVN.com & www.DeThiThuDaiHoc.com 1 x y z + + + + +1+1+1 ( x + y + z) ≤ xy + yz + zx + yz + zx + xy + ≤ x y z + + +3 yz + zx+y xy + z z y = x − − +5 yz + zx + y xy + z z y ≤ x 1 − − +5 z+ y y+z =5 VIb Ta có: AB = ( −1; ) ⇒ AB = Phương trình AB là: 2x + y − = I ∈ ( d ) : y = x ⇒ I ( t ; t ) I là trung điểm AC và BD nên ta có: C ( 2t − 1; 2t ) , D ( 2t ; 2t − ) Mặt khác: S ABCD = AB.CH = (CH: chiều cao) ⇒ CH = 2,00 1,00 0,25 0,25 5 8 8 2 | 6t − | t = ⇒ C ; , D ; Ngoài ra: d ( C ; AB ) = CH ⇔ = ⇔ 5 t = ⇒ C ( −1; ) , D ( 0; −2 ) 5 8 8 2 Vậy tọa độ C và D là C ; , D ; C ( −1;0 ) , D ( 0; −2 ) 3 3 3 3 0,50 1,00 Gọi P là chu vi tam giác MAB thì P = AB + AM + BM Vì AB không đổi nên P nhỏ và AM + BM nhỏ x = −1 + 2t Đường thẳng ∆ có phương trình tham số: y = − t z = 2t Điểm M ∈ ∆ nên M ( −1 + 2t ;1 − t ; 2t ) AM = ( −2 + 2t ) + ( −4 − t ) + ( 2t ) BM = ( −4 + 2t ) + ( −2 − t ) + ( −6 + 2t ) AM + BM = 2 ( 3t ) ( ) + = 9t + 20 = ( 3t − ) ( 3t ) ( + = 9t − 36t + 56 = ( ) ( ) 0,25 ( 3t − ) ( + ) 2 + Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta xét hai vectơ u = 3t ; và v = −3t + 6; + 2 www.DeThiThuDaiHoc.com Lop12.net ) ( ) 0,25 (8) www.MATHVN.com & www.DeThiThuDaiHoc.com | u |= Ta có | v |= ( 3t ) ( + ( 3t − ) ) ( ) + Suy AM + BM =| u | + | v | và u + v = 6; ⇒| u + v |= 29 Mặt khác, với hai vectơ u , v ta luôn có | u | + | v |≥| u + v | ( ) Như AM + BM ≥ 29 Đẳng thức xảy và u , v cùng hướng 3t = ⇔ t =1 −3t + ⇒ M (1;0; ) và ( AM + BM ) = 29 ⇔ Vậy M(1;0;2) thì minP = ( 11 + 29 ) VIIb 0,25 0,25 1,00 a + b > c Vì a, b, c là ba cạnh tam giác nên: b + c > a c + a > b a+b c+a = x, = y , a = z ( x , y , z > ) ⇒ x + y > z , y + z > x, z + x > y 2 Vế trái viết lại: a+b a+c 2a VT = + + 3a + c 3a + b 2a + b + c x y z = + + y+ z z+ x x+ y 2z z Ta có: x + y > z ⇔ z ( x + y + z ) < z ( x + y ) ⇔ > x+ y+ z x+ y x 2x y 2y Tương tự: < ; < y+ z x+ y+ z z+ x x+ y+ z 2( x + y + z) x y z Do đó: + + < = y+z z+x x+ y x+ y+z b c Tức là: a + + + <2 + 3a + b 3a + c 2a + b + c 3a + c 3a + b Đặt www.DeThiThuDaiHoc.com Lop12.net 0,50 0,50 (9)