Đang tải... (xem toàn văn)
-Trong bài làm, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các phần sau có sử dụng kết quả sai đó không được điểm.. -Học sinh được sử dụng kết quả phần trước để làm phần sau.[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC ĐỀ THI CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2012-2013 Môn: TOÁN Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề Ngày thi: 02/11/2012 Câu (2 điểm) Cho hàm số y = x3 − (m + 1) x + x + 2m + , với m là tham số thực, có đồ thị là (C) Tìm m để đường thẳng d : y = x + m + cắt đồ thị (C) ba điểm phân biệt A, B, C cho tổng hệ số góc các tiếp tuyến với (C) A, B, C 12 Câu (2 điểm) Giải phương trình: − x + + x = − x2 , (x ∈ ℝ) 2 y + y + x − x = − x Câu (1,5 điểm) Giải hệ phương trình: (x, y ∈ ℝ) y + + y = + x + Câu (1,5 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác nhọn ABC Đường thẳng chứa đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A và đường thẳng BC có phương trình là x + y − = 0, x − y − = Đường thẳng qua A vuông góc với đường thẳng BC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC điểm thứ hai là D ( 4; −2 ) Viết phương trình các đường thẳng AB, AC; biết hoành độ điểm B không lớn Câu (2 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 2a, tam giác SAB cân S và nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi M là trung điểm SD, mặt phẳng (ABM) vuông góc với mặt phẳng (SCD) và đường thẳng AM vuông góc với đường thẳng BD Tính thể tích khối chóp S.BCM và khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SBC) Câu (1 điểm) Cho các số thực x, y thỏa mãn x + y − = x − + y + Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ biểu thức: S = ( x + y )2 − − x − y + ⋅ x+ y ……… Hết……… - Thí sinh không sử dụng máy tính cầm tay - Giám thị coi thi không giải thích gì thêm - Họ và tên thí sinh Số báo danh Lop12.net (2) SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2012-2013 Môn: TOÁN HƯỚNG DẪN CHẤM (Gồm 04 trang) Lưu ý chấm bài: -Đáp án trình bày cách giải bao gồm các ý bắt buộc phải có bài làm học sinh Khi chấm học sinh bỏ qua bước nào thì không cho điểm bước đó -Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo các ý đáp án điểm -Trong bài làm, bước nào đó bị sai thì các phần sau có sử dụng kết sai đó không điểm -Học sinh sử dụng kết phần trước để làm phần sau -Trong lời giải câu và câu học sinh không vẽ hình thì không cho điểm -Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn Câu (2 điểm) Nội dung Phương trình hoành độ giao điểm (C) và d là: x3 − ( m + 1) x + x + 2m + = x + m + ⇔ x3 − ( m + 1) x + m = (1) ⇔ ( x − 1) ( x − mx − m ) = x = ⇔ x − mx − m = ( ) d cắt (C) điểm phân biệt và phương trình (2) có nghiệm phân biệt khác m + 4m > ∆ = m + 4m > ⇔ ⇔ (*) 1 − m.1 − m ≠ m ≠ Gọi x1 , x2 là nghiệm phương trình (2) Tổng hệ số góc các tiếp tuyến với (C) A, B, C là: y ' (1) + y ' ( x1 ) + y ' ( x2 ) = 12 ⇔ − 2m + ( x12 + x22 ) − ( m + 1)( x1 + x2 ) = 12 ⇔ ( x1 + x2 ) − x1 x2 − ( m + 1)( x1 + x2 ) = + 2m (3) Theo định lí Viet ta có: x1 + x2 = m, x1 x2 = −m , thay vào (3) ta m + 2m − = Giải ta m = −4 (loại) m = (thỏa mãn) Vậy m = là giá trị cần tìm Câu (2 điểm) Điểm Nội dung Điều kiện x ∈ [−1;1] , đặt t = − x + + x (t ≥ ) ⇒ t = + − x2 ⇒ x2 = t − t4 , với t − ≥ Lop12.net (3) 1 t4 Phương trình đã cho trở thành t = − t − ⇔ t − 4t − 16t + 32 = 4 4 ⇔ (t − ) (t + 4t + ) = , suy t = 2 Với t = , ta có − x + + x = ⇔ + − x = ⇔ − x = ⇔ x = ( thỏa mãn) Vậy phương trình có nghiệm x = Câu (1,5 điểm) Điểm Nội dung Điều kiện: −4 ≤ x ≤ 1; y ∈ ℝ Ta có (1) ⇔ y + y = − x − x − x + − x ⇔ y + y = 2(1 − x) − x + − x Xét hàm số f (t ) = 2t + t , ta có f '(t ) = 6t + > 0, ∀t ∈ ℝ ⇒ f (t ) đồng biến trên ℝ Vậy y ≥ (1) ⇔ f ( y ) = f ( − x ) ⇔ y = − x ⇔ y = 1− x Thế vào (2) ta − x + − x = + x + (3) Xét hàm số g ( x) = − x + − x − x + 4, liên tục trên [-4;1], ta có g '( x) = − 1 − − < ∀x ∈ (−4;1) ⇒ g ( x) nghịch biến trên [-4;1] Lại − 2x − x x + có g (−3) = nên x = −3 là nghiệm phương trình (3) x = −3 Với x = −3 suy y = Vậy hệ có nghiệm y = Câu (1,5 điểm) A E H B K C M D Điểm Nội dung Gọi M là trung điểm BC, H là trực tâm tam giác ABC, K là giao điểm BC và AD, E là giao điểm BH và AC Ta kí hiệu nd , ud là vtpt, vtcp đường thẳng d Lop12.net (4) Do M là giao điểm AM và BC nên tọa độ M là nghiệm hệ phương trình: x = x − y − = 7 1 ⇔ ⇒ M ;− 2 2 3 x + y − = y = − AD vuông góc với BC nên nAD = u BC = (1;1) , mà AD qua điểm D suy phương trình AD :1( x − ) + 1( y + ) = ⇔ x + y − = Do A là giao điểm AD và AM nên tọa độ điểm A là nghiệm hệ phương trình 3 x + y − = x = ⇔ ⇒ A (1;1) x + y − = y =1 Tọa độ điểm K là nghiệm hệ phương trình: x − y − = x = ⇔ ⇒ K (3; − 1) x + y − = y = −1 Tứ giác HKCE nội tiếp nên BHK = KCE , mà KCE = BDA (nội tiếp chắn cung AB ) Suy BHK = BDK , K là trung điểm HD nên H ( 2; ) (Nếu học sinh thừa nhận H đối xứng với D qua BC mà không chứng minh, trừ 0.25 điểm) Do B thuộc BC ⇒ B (t ; t − ) , kết hợp với M là trung điểm BC suy C ( − t ;3 − t ) HB (t − 2; t − 8); AC (6 − t ; − t ) Do H là trực tâm tam giác ABC nên t = HB AC = ⇔ (t − )( − t ) + (t − )( − t ) = ⇔ (t − )(14 − 2t ) = ⇔ t = Do t ≤ ⇒ t = ⇒ B ( 2; −2 ) , C (5;1) Ta có AB = (1; −3) , AC = ( 4; ) ⇒ nAB = (3;1) , nAC = ( 0;1) Suy AB : x + y − = 0; AC : y − = Câu (2 điểm) S M K L A D E I H N B C Điểm Nội dung Gọi H, N, L, E là trung điểm AB, CD, SC, HD Gọi I = AN ∩ BD, K = LM ∩ SN ; Dễ thấy tứ giác AHND là hình chữ nhật và IN = Từ giả thiết ta có SH ⊥ ( ABCD ) , ME / / SH ⇒ ME ⊥ BD (1) Lop12.net AN (5) Lại AM ⊥ BD ( ) Từ (1) & ( ) ⇒ BD ⊥ ( AMN ) ⇒ BD ⊥ AN Trong tam giác AND ta NA2 ⇒ NA = ND = a ⇒ AD = NA2 − ND = a Dễ thấy CD ⊥ ( SHN ) , ML / / CD ⇒ ML ⊥ ( SHN ) ⇒ ML ⊥ SN (3) có ND = NI NA = Do ( ABLM ) ⊥ ( SCD ) , ( ABLM ) ∩ ( SCD ) = ML (4), nên từ (3) & ( ) ⇒ SN ⊥ ( ABLM ) ⇒ SN ⊥ HK Lại K là trung điểm SN nên tam giác SHN vuông cân H suy SH = HN = a 4a 11 a Ta có VS ABCD = SH AB AD = ; VS BCM = VS BCD = VS ABCD = ( đvtt) 3 22 Ta có BC ⊥ SH , BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ SB ⇒ S SBC = SB.BC 2 1 a = HB + SH BC = a + 2a a = 2 3V a Mặt khác ta có d ( M ; ( SBC )) = MSBC = S SBC Câu (1 điểm) Nội dung Điều kiện: x ≥ 2; y ≥ −1; < x + y ≤ 9; Ta có ≤ x + y − = x − + y + ≤ 3( x + y − 1) ⇒ ( x + y − 1) ≤ 3( x + y − 1) ⇒ ≤ x + y − ≤ ⇔ ≤ x + y ≤ Đặt t = x + y, t ∈ [1; 4] , ta có S = t − − t + S '(t ) = 2t + t 1 − > 0, ∀t ∈ [1; 4] Vậy S(t) đồng biến trên [1;4] − t 2t t Suy Smax = S (4) = 42 − − + 33 − = ⇔ x = 4; y = 0; Smin = S (1) = − 2 ⇔ x = 2; y = −1 ……… Hết……… Lop12.net Điểm (6)