2.Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số 1 cắt trục hoành tại duy nhất một điểm.. Tính thể tích của hình chóp đó theo a..[r]
(1)Trường THPT chuyên Lương Văn Chánh ĐỀ Ử TU YỂ ỂN N SI NH H ĐẠ C ĐỀ TH THII TH THỬ TUY SIN ĐẠII HỌ HỌC NĂM HỌC 2009 2010 MÔN TOÁN - KHỐI B Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề) PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 7điểm ) Câu I ( điểm) Cho hàm số y = f ( x) = x - mx + 2m (1) ( m tham số) 1.Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số m = 2.Tìm tất các giá trị m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành điểm Câu II ( điểm) 1.Giải phương trình : 2sin x + sin x + = sin x + cos x ìï ( x - y ) = xy 2.Giải hệ phương trình : í Câu III ( điểm) Câu IV ( điểm) ïî2 x - y = p /6 sin x Tính tích phân : ò dx cos x Cho các số thực x , y thuộc đoạn [ 2; ] , chứng minh : æ1 1ö £ ( x + y)ç + ÷ £ èx yø Câu V (1 điểm) Cho hình chóp tam giác S.ABC có các cạnh bên độ dài a và các mặt bên hợp với mặt đáy góc 450 Tính thể tích hình chóp đó theo a PHẦN RIÊNG (3điểm) Thí sinh làm hai phần (phần phần 2) Theo chương trình Chuẩn: Câu VI.a (2 điểm) 1.Trong mặt phẳng có hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng d1 :2 x + y + = ; d :5 x - y - = cắt A và điểm P(-7;8) Viết phương trình đường thẳng d3 qua P 29 tạo với d1 , d thành tam giác cân A và có diện tích 2.Trong không gian với hệ trục Oxyz , lập phương trình mặt cầu (S) biết mặt phẳng Oxy và mặt phẳng (P) : z = cắt (S) theo hai đường tròn có bán kính và Câu VII.a (1 điểm) Tìm a và n nguyên dương thỏa : aCn0 + a a3 a n +1 n 127 Cn + Cn + + Cn = và An3 = 20n (n + 1) Theo chương trình Nâng cao: Câu VI.b (2 điểm) 1.Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy , lập phương trình đường thẳng (D) qua gốc tọa độ và cắt đường tròn (C) có phương trình : x + y - x + y - 15 = thành dây cung có độ dài 2.Trong không gian với hệ trục Oxyz ,cho mặt phẳng (a) chứa đường thẳng (D): x -1 y z = = và tạo với mặt phẳng (P) : x - y - z + = góc 600 Tìm tọa độ giao điểm - -2 M mặt phẳng (a) với trục Oz Câu VII.b (1 điểm) Tìm giá trị tham số m phương trình ( x - m.3 x ) (1+ x)(2- x ) = có nghiệm HẾT Lop12.net (2) TRƯỜNG THPT CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH ĐÁP ÁN THANG ĐIỂM KỲ THI THỬ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 20092010 MÔN TOÁN – KHỐI B Câu I Đáp án Điểm 2,00 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số m = (1,00 điểm) y = x3 - 3x2 + Tập xác định D = R Sự biến thiên: y ' = x - x y ' = Û x = hay x = Bảng biến thiên x y’ y –¥ + 0 – +¥ 0,25 + +¥ –¥ 0,25 yCD = y ( ) = 6, yCT = y ( ) = Đồ thị: 0,25 0,25 Tìm m để đồ thị (1) cắt Ox điểm (1,00 điểm) y ' = 3x - 2mx = x (3 x - 2m) Khi m = thì y ' = 3x ³ Þ (1) đồng biến trên R Þ yêu cầu bài toán thỏa 2m Do đó đồ thị cắt Ox điểm f ( x1 ) f ( x2 ) > Khi m ¹ thì (1) có cực trị x1 = , x2 = Û 2m(2m - 0,25 0,25 4m3 2m ) > Û 4m2 (1 )>0 27 27 ìm ¹ ï Ûí 6 <m< ïî 2 0,25 æ 6ö Kết luận : m Î çç ; ÷÷ thì đồ thị (1) cắt Ox 2 è ø điểm II 0,25 2,00 Giải phương trình lượng giác (1,00 điểm) 2sin x + sin x + = sin x + cos x 0,25 Û ( sin x + cos x) = sin x + cos x Khi đó: Û ( sin x + cos x )( Û sin x + cos x = ( a ) hay Lop12.net ) sin x + cos x - = sin x + cos x - = (b) 0,25 (3) p Û x = - + kp pö p 2p æ (b) Û sin ç x + ÷ = sin Û x = k 2p ; x = + k 2p 6ø è Kết luận : phương trình có các nghiệm : p 2p x = - + kp ; x = + k 2p ; x = k 2p , k Î Z Giải hệ phương trình (1,00 điểm) Với điều kiện : x y ³ ; x ³ y ( a ) Û tanx = - Pt 3( x - y ) = xy Û 3( x - y ) = xy Û (3 x - y )( x - y ) = y Với x = y , vào Pt x - y = : y - y + = Û y = ; y = ì x = ì x = 12 Hệ có nghiệm í ;í îy = îy = y Với x = , vào Pt x - y = : y - y + 24 = Vô nghiệm ì x = ì x = 12 Kết luận : hệ phương trình có nghiệm là : í ;í îy = îy = Tính tích phân p /6 p /6 sin x sin x I= ò dx = ò dx cos x cos x - 0 0,25 0,25 0,25 Û x = y hay x = III 0,25 0,25 0,25 1,00 0,25 Đặt t = cos x Þ dt = - sin xdx Đổi cận: x = Þ t = 1; x = 3/2 Ta I = - ò = IV p Þt = 1 2t - dt = ln 2t - 2 2t + ln 0,25 3/2 3- 2 5-2 Chứng minh bất đẳng thức æ1 1ö æx yö Gọi A = ( x + y ) ç + ÷ = + ç + ÷ èx yø è y xø x Đặt t = thì A = f (t ) = + t + y t ì2 £ x £ x ï é1 ù Với x, y Î [ 2; 4] Þ í 1 Þ £ £ Þ t Î ê ; ú y ë2 û ï4 £ y £ î t2 -1 é1 ù = ; f ' (t ) = Û t = Î ê ; ú t t ë2 û 9 æ1ö Ta có : f ç ÷ = f (2) = ; f (1) = Þ £ A £ (điều phải chứng minh) 2 è 2ø Tính thể tích Ta có f ' (t ) = - V 0,25 Lop12.net 0,25 1,00 0,25 0,25 0,25 0,25 1,00 (4) Kẻ đường cao SH, gọi I là trung điểm BC · = 450 Giả thiết cho SIH x x x Gọi x là cạnh Dđều ABC , suy : AI = , AH = , HI = æx 3ö DSAH vuông H Þ SH = SA - AH = a - çç ÷÷ è ø x DSHI vuông cân H Þ SH = HI = 2 2 0,25 2 0,25 æx 3ö æx 3ö 15a Suy : çç ÷÷ = a - çç ÷÷ Þ x = è ø è ø 0,25 1 5a 3a a 15 Do đó VS ABC = SH dt ( ABC ) = = 3 5 25 0,25 VI.a 2,00 Viết phương trình đường thẳng (1,00 điểm) Ta có A(1; -1) và d1 ^ d d3 tạo với d1 , d tam giác vuông cân Þ d3 vuông góc với phân giác góc tạo d1 , d có phương trình : x + y - = ; x - y - 10 = 0,25 Nên d3 có phương trình x + y + C = hay x - y + C / = 0,25 d3 qua P(-7;8) nên C = 25 ; C/ = 77 Suy : d3 : x + y + 25 = hay d3 :3 x - y + 77 = 29 Theo giả thiết D vuông cân có diện tích cạnh huyền 58 0,25 58 Suy độ dài đường cao A H = = d ( A, d3 ) 58 Với d3 : x + y + 25 = thì d ( A; d3 ) = ( thích hợp) 0,25 87 Với d3 : x - y + 77 = thì d ( A; d3 ) = ( loại ) 58 Viết phương trình mặt cầu (S) (1,00 điểm) Từ giả thiết ta có vô số mặt cầu (S) thỏa yêu cầu bài toán Gọi (S0) là mặt cầu 0,25 có tâm I (0, 0, m) thuộc trục Oz , đó (Oxy) và mp: z = cắt (S0) theo đường tròn tâm O1 (0, 0, 0) , bán kính R1 = và tâm O2 (0, 0, 2) , R2 = ìï R = 22 + m 2 R là bán kính mặt cầu thì : í Þ + m = 64 + m - 2 2 ïî R = + m - Ta m = 16 và R = 65 , I0 (0.0.16) VII.a Suy (S) có tâm I (a; b;16) ( a, b Î R ) và R = 65 Vậy pt (S) : ( x - a )2 + ( y - b)2 + ( z - 16)2 = 260 , ( a, b Î R ) Tìm số nguyên dương a và n An3 = 20n Û n ( n - 1)( n - 2) = 20 n Û n - 3n - 18 = Suy : n = và n = – ( loại ) a2 a 127 Giả thiết còn lại trở thành : a.C6 + C6 + + C6 = 7 Lop12.net 0,5 0,25 1,00 0,25 (5) Ta có : (1 + x ) = C60 + C61 x + C62 x + C63 x + C64 x + C65 x + C66 x a a a é x2 ù é x7 ù Nên ò (1 + x) dx = C [ x ]0 + C ê ú + + C66 ê ú ë û0 ë û0 6 a a 0,25 0,25 é (1 + x) ù a a = a.C60 + C61 + + C66 Û ê ú ë û0 (1 + a ) 127 Theo giả thiết ta : - = Þ (1 + a)7 = 128 Þ (1 + a )7 = 27 7 Vậy a = và n = VI.b 0,25 2,00 Viết phương trình đường thẳng (1 điểm) (C) có tâm I (1; -3) và bán kính R = Gọi H là trung điểm dây cung AB thì AH = và IH = R - AH = - = hay d ( I , D) = (*) (D) qua gốc tọa độ nên có pt : Ax + By = ; A2 + B ¹ Từ (*) cho : A - 3B = Û A(4 A + 3B) = A2 + B Do đó A = hay A + 3B = Với A + B = , chọn A = ; B = – : (D) có pt là x - y = Với A = chọn B = : (D) có pt là y = Kết luận : PT (D) là x - y = hay y = Tìm tọa độ giao điểm M ( điểm) ur (D) qua điểm A(1;0;0) và có vectơ phương u = (1; -1; -2) uuuur Giao điểm M(0;0;m) cho AM = ( -1;0; m) ur uuuur ur (a) có vectơ pháp tuyến n = éë AM , u ùû = (m; m - 2;1) 0.25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 (a) và (P): x - y - z + = tạo thành góc 60 nên : r ur 1 cos n, n ' = Û = Û 2m - 4m + = 2 2m - 4m + ( ) 0,25 Ta m = - hay m = + Kết luận : M (0; 0; - 2) hay M (0; 0; + ) VII.b Tìm giá trị tham số m ì -1 £ x £ ì -1 £ x £ ï (1+ x)(2- x) x Ûí =0 Ûí x ( x - m.3 ).2 x î x - m.3 = ïîm = 3x x - x.ln Đặt : f ( x ) = x , f ' ( x) = ; f ' ( x) = Û x = Î [ -1; ] x 3 ln 1 æ ö f (-1) = -3 ; f (2) = ; f ç Þ -3 £ f ( x) £ ; x Î [ -1; ] ÷= e.ln è ln ø e.ln Kết luận : Khi -3 £ m £ thì pt trên có nghiệm e.ln Lop12.net 0,25 1,00 0,25 0,25 0,25 0,25 (6) S A C H 450 I B Lop12.net (7)