Giải đề thi môn Toán khối A kỳ thi tuyển sinh ĐH – CĐ năm 2009

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 1, biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc toạ độ O.. Tìm tiÖm cËn ng[r]

GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN KHỐI A KỲ THI TUYỂN SINH ĐH – CĐ NĂM 2009 I Phần chung cho tất thí sinh Câu I: (2,0đ) Cho hàm số: x2 y (1) 2x  Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân gốc toạ độ O Bài giải  3 TXÐ:  \    2 Sù biÕn thiên Tỡm tiệm cận đứng: lim  x  x2    đồ thị hàm số (1) cú tiệm cận đứng x   2x  x2   đồ thị hàm số (1) cú tiệm cận ngang y  2x  3 3   víi x    hàm sè luôn nghÞch biÕn trên  ;   và 2  Tìm tiÖm cËn ngang: lim x  Tính y'  1  2x   Bảng biến thiên Đồ thị: bảng biến thiên phụ Vẽ đồ thị: Lop12.net     ;   không có cùc trÞ   y x -4 -3 -2 -1 -2 -4  1 Nhận xét: Đồ thị nhận giao điểm tiệm cận là điểm I   ,  làm tâm đối xứng  2 Gäi A  a;0   Ox; B  0;b   Oy theo gi¶ thiÕt ta có: |a|  |b| nh­ ng vì hàm sè lu«n nghÞch biÕn nên tiÕp tuyÕn chØ có thÓ có d¹ng y  kx  m víi k < nên a  b  x y Phương trỡnh đường thẳng AB:   a b  x2  2x    x  a x y     y   x  a tiÕp xúc víi (1)   a a  1  1  (2x  3)2  x  1  a  (lo¹i) 1  1  2x   1   (2x  3)  x  2  a  2 Vậy phương trỡnh tiếp tuyến (1) là y   x  Câu II: (2,0 đ) 1  sinx  cosx   sinx 1  sinx  Giải phương trình:  Từ phương trỡnh Lop12.net Giải phương trình: 3x    5x    x    Bài giải    x    k2   1  sinx  7 sinx    §iÒu kiÖn :     k2  x  1  sinx  sinx      x   k2  1  sinx  cosx  1  sinx 1  sinx    cos x  sin x cos x   sinx  2sinx  2sin2 x    cosx  2sinxcosx  2 sin2 x  sinx +1  cos x  sin x  cos 2x  sin 2x 3 cos x  sin x  cos 2x  sin 2x 2 2      sin   x   sin   2x  6  3    6  x     x     2x  k2  2  2x  k2  k2   x   18    x    k2  lo¹i   Lop12.net  2) 3x    5x   ÐÆt 3x   u  3x   u3  5x  v    5x  v  u 4 v  2u  3v      5u  3v  5   v   3v     3   Giải phương trỡnh:   v   3v     135v  1104v  2880v  2496      v   135v  564v  624  v4 Vì 135v  564v  624  u  2   5x  16  x  2 Câu III: (1,0 đ) VN Lop12.net /2  (cos x  1)cos Tính tích phân I  x dx Gi¶i /2 I  /2 cos5 x dx   cos x dx  I1  I2 /2 Tính I1   cos /2 x dx  x.cos x dx /2   cos  1  sin x  2 d(sin x) /2    sin  x  sin2 x  d(sin x)  sin5 x sin3 x  /2    sin x   0   1 15 /2 /2 Tính I2   cos2 x dx   1  cos 2x  dx 0  /2    sin 2x  4 Ta ®­îc : I  I1  I2    15 Câu IV: (1,0điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông A và D ; AB = AD = 2a, CD = a, góc hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) 600 Gọi I là trung điểm cạnh AD Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Bài giải Hình thang ABCD Lop12.net Lop12.net Hình thang ABCD  D   900 A AB  AD  2a  A  D  a AB lµ tam gi¸c vu«ng  B  A  AB2  a2  4a2  5a2  vu«ng DC : C2  a2  a2  2a2 Tõ C kÎ CH  AB  CHB lµ tam gi¸c vu«ng CH  2a, CD  a  HB  a BC2  HC2  HB2  4a2  a2  5a2    BIC lµ tam gi¸c c©n BC2  B  5a2  KÎ K  CB : TÝnh K a 2 a 9a2  BJ2  B  J2  5a2   2 3a BJ  , BJ.C Ta có BJ.C  K.BC  K  BC 3a a 3a K   a 5  SC  ,  SC    ABCD   S   ABCD  Gäi J lµ trung ®iÓm C  J    600 IK  BC  SK  BC  SKI 3a  S  K.tan 600   AB  CD  AD   2a  a  2a  3a2 DiÖn tÝch ABCD  2 3 3a 3a 3a 15 V  3a2 3  5 Câu V: (1,0 điểm) Chứng minh với số thực dương x, y, z thoả mãn x(x + y + z) = 3yz, ta có : (x + y)3 + (x + z)3 + 3(x + y)(x + z)(y + z)  5(y + z)3 Bài giải Lop12.net §Æt t  y  z, gi¶ thiÕt suy yz   y  z Vì yz  x  xt  x  x  y  z   3yz   x  tx  t   2x  t   4t  2x  t  2t  2x  t  y  z B§T ph¶i chøng minh   2x  y  z    x  y  x  z  2x  y  z    x  y  x  z  y  z    y  z    2x  y  z    x  y  x  z  2x   x  z  3   2x  y  z   6x  x  x  y  z   yz    y  z  3  x  xt  3   2x  t   6x  x  xt    5t      2t 2x  3xt  2t  Vì t 0  2x  3xt  2t  t t 3t  2x  3xt    2t 2 2 2  2x  3xt  2t   ®pcm  Vì  x  DÊu "  " x¶y  x  y  z  Phần riêng (3,0) A Theo chương trình chuẩn Câu VI.a (2.0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm I(6; 2) là giao điểm hai đường chéo AC và BD Điểm M(1; 5) thuộc đường thẳng AB và trung điểm E cạnh CD thuộc đường thẳng: : x + y – = Viết phương trình đường thẳng AB Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – 2y – z – = và mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2x – 4y – 6z – 11 = Chứng minh mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn Xác định toạ độ tâm và tính bán kính đường tròn đó Bài giải Lop12.net PhÇn riêng c©u 6a (1) I là giao AC và BD nờn M' đối xứng với M quaIthỡ M'  CD xM  xM'  xM'    xI  6  2   xM'  11     y  yM  yM' 2   yM'  yM'  1 I  2  ' MÆt khác: ME  IE nên:   EM' IE   (11  uE )(xE  1)  (1  yE )(yE  5)   xE2  12xE  11  yE2  4yE    xE2  yE2  12xE  4yE   (1) Mà E :x + y - =0  xE  yE   (2) Tõ (1) vµ(2) ta cã  xE2  yE2  12xE  4yE     xE   yE 79   yE  18  169 79   E  ; 169 18 18   x   E 18   29 61  '  ME  ;  là vectơ phươngcủa AB  18 18    hay uAB  (29; 61)  nAB  (61;  29)  Phương trỡnh đường AB : 61(x  1)  29(y  5)   61x  29y  84  Lop12.net 6a2 Phương trỡnh (C)   x     y    2  T©m   2 ;   ; b¸n kÝnh R  KÎ H  (  )  H lµ trung ®iÓm AB Víi H  d   /     4m  m2 §­êng th¼ng (  ) c ¾t (C) H  R |  4m |    14m2  8m   1 m   30  30 m 14 14  §Æt H  x §K :  x   Trong  vu«ng HA ta cã : HA  A  H2   x  HA   x H.AB  x  x 2 Áp dông B§T c «si ta cã: SAB   SAB  x  x  x  x  max SAB  2   x2   x2  1  x   x  x   tho¶ m·n  2 m   tho¶ m·n    15m  8m    m  1 m  tho¶ m·n  15 |  4m | Câu VII.a (1,0 điểm) Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức phương trình z2 + 2z + 10 = Tính giá trị biểu thức A = |z1|2 + |z2|2 Bài giải PT : z  2z  10   '   10  9 z1  1  3i  | z1 |  10 z   1 3i  | z |  10  A | z1 |2  | z |2  10  10  20 Lop12.net PhÇn riêng c©u 6a (1) I là giao AC và BD nờn M' đối xứng với M quaIthỡ M'  CD xM  xM'  xM'    xI  6  2   xM'  11     y  yM  yM' 2   yM'  yM'  1 I  2  ' MÆt khác: ME  IE nên:   EM' IE   (11  uE )(xE  1)  (1  yE )(yE  5)   xE2  12xE  11  yE2  4yE    xE2  yE2  12xE  4yE   (1) Mà E :x + y - =0  xE  yE   (2) Tõ (1) vµ(2) ta cã  xE2  yE2  12xE  4yE     xE   yE 79   yE  18  169 79   E  ; 169 18 18   x   E 18   29 61  '  ME  ;  là vectơ phươngcủa AB  18 18    hay uAB  (29; 61)  nAB  (61;  29)  Phương trỡnh đường AB : 61(x  1)  29(y  5)   61x  29y  84  Phương trỡnh (C)   x     y    2  T©m   2 ;   ; b¸n kÝnh R  KÎ H  (  )  H lµ trung ®iÓm AB Víi H  d   /    H  2  2m  2m   m2  4m  m2 Lop12.net §­êng th¼ng (  ) c ¾t (C) H  R |  4m |    1  4m    m2 1 m  14m2  8m     30  30 m 14 14 §Æt H  x §K :  x      Trong  vu«ng HA ta cã : HA  A  H2   x  HA   x SAB  H.AB  x  x 2 Áp dông B§T c «si ta cã:  x  x  x  x 2   x2   x2  1  SAB   max SAB  x   x  x   tho¶ m·n   |  4m | 1 m   |  4m |   m2 m   tho¶ m·n   15m  8m    m  15  tho¶ m·n  Câu VII.a (1,0 điểm) Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức phương trình z2 + 2z + 10 = Tính giá trị biểu thức A = |z1|2 + |z2|2 Bài giải PT : z  2z  10   '   10  9 z1  1  3i  | z1 |  10 z   1 3i  | z |  10  A | z1 |2  | z |2  10  10  20 B Theo chương trình nâng cao Lop12.net Câu VI.b (2.0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 + 4x + 4y + = và đường thẳng : x + my – 2m + = 0, với m là tham số thực Gọi  là tâm đường tròn (C) Tìm m để  cắt (C) hai điểm phân biệt A và B cho diện tích tam giác IAB lớn Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – = và hai đường thẳng 1 : x 1 y z  x 1 y  z 1   , 2 :   1 2 Xác định toạ độ điểm M thuộc đường thẳng 1 cho khoảng cách từ M đến đường thẳng 2 và khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) Bài giải Lop12.net Phương trỡnh (C)   x     y    2  T©m   2 ;   ; b¸n kÝnh R  KÎ H  (  )  H lµ trung ®iÓm AB Víi H  d   /     4m  m2 §­êng th¼ng (  ) c ¾t (C) H  R |  4m |    14m2  8m   1 m   30  30 m 14 14  §Æt H  x §K :  x   Trong  vu«ng HA ta cã : HA  A  H2   x  HA   x H.AB  x  x 2 Áp dông B§T c «si ta cã: SAB   SAB  x  x  x  x  max SAB  2   x2   x2  1  x   x  x   tho¶ m·n  2 m   tho¶ m·n    15m  8m    m  1 m  tho¶ m·n  15 |  4m | Lop12.net  6b.2  Gäi A lµ ®iÓm tr ª n  vµ B lµ ®iÓm tr ª n mÆt ph¼ng (P)  x  1  t  1 :  y  t z  9  6t   x   2t '    :  y   t ' ®i qua A 1 ; ;  1 vµ u2   ; ;   z  1  2t '  M  1  M  1  t ; t ;   6t    2  AM,u2  14  8t   14t  20     t     d M,      u2 d M, (P)   1  t  2t  18  12t  12  ( 2)2  22 Vì d M,    d M, (P)  11t  20  14  8t   11t  20 MA  MB  nª n :  14t  20     t  2  11t  20   14  8t   14t  20     t  2 t   35t  88t  53    53 t   35 Víi t   M1  , ,   Ví i t  53  18 53   M2  , ,  35  35 35 35  Câu VII.b (1,0 điểm) Giải hệ phương trình: log2 x  y   log2 (xy)  x  xy  y  81 3    x, y    Bài giải Lop12.net ®K :x,y  log2 (x  y )  log2 (2xy) HÖ   x  xy  y  34 3  x  y  2xy    x  xy  y   (x  y)2   2  x  xy  y  x  y   x  y  2  x  xy  y  Lop12.net