Đề thi thử ­ kỳ thi thpt quốc gia năm 2015 môn thi: Toán thời gian làm bài: 180 phút

Để giúp các em học sinh có thể giải quyết tốt các bài toán dạng này và có cái nhìn tổng quát về cách giải hệ phương trình đối xứng, bài viết này sẽ đưa một số hệ phương trình đối xứng kh[r]

Giải pháp hữu ích năm 2008 – 2009  Lê Trung Hiếu - Tổ toán HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN CÓ LIÊN QUAN Lí chọn giải pháp hữu ích Hầu hết học sinh phổ thông (chương trình nâng cao) nắm cách giải “quen thuộc” hệ phương trình đối xứng (đối xứng loại và đối xứng loại hai) đó là : - Đối với hệ phương trình đối xứng loại thì đặt S  x  y và P  xy đưa hệ phương trình hệ phương trình theo hai ẩn S và P, giải hệ này, sau đó tìm hai ẩn x và y - Đối với hệ phương trình đối xứng loại hai thì trừ vế hai phương trình hệ dẫn đến phương trình tích ( x  y ) g ( x)  (*) Khi đó việc giải hệ phương trình đã cho đưa giải hệ gồm phương trình (*) với hai phương trình đã cho ban đầu Thực tế có bài toán đúng là hệ phương trình đối xứng áp dụng cách giải “quen thuộc” thì học sinh không thể giải nó Ngoài có nhiều phương trình dùng phép biến đổi tương đương dẫn đến phương trình phức tạp, bậc quá cao chí không giải Để giúp các em học sinh có thể giải tốt các bài toán dạng này và có cái nhìn tổng quát cách giải hệ phương trình đối xứng, bài viết này đưa số hệ phương trình đối xứng không giải theo cách giải “quen thuộc” cách giải “quen thuộc” và đưa số phương trình hệ phương trình đối xứng thông qua việc chọn các ẩn phụ thích hợp Thực tiễn Trong các kì thi tuyển sinh Cao đẳng và Đại học thì bài toán hệ phương trình đối xứng thường có mặt, gần đây đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên số trường phía bắc thì hệ phương trình đối xứng đề cập đến đề thi Nội dung nghiên cứu 3.1 Dùng ẩn phụ để đưa hệ phương trình đối xứng không giải theo cách giải “quen thuộc” hệ phương trình đối xứng giải theo cách giải “quen thuộc”  x y  y x  30 Ví dụ Giải hệ phương trình   x x  y y  35  Đây là hệ phương trình đối xứng loại hai ẩn x và y và không giải theo cách giải “quen thuộc”  Dùng ẩn phụ u  x và v  y đưa hệ phương trình hệ phương trình giải theo cách giải “quen thuộc”  Nghiệm hệ phương trình là (4;9), (9; 4)  x  y   Ví dụ Giải hệ phương trình   y  x   Lop12.net Giải pháp hữu ích năm 2008 – 2009   Lê Trung Hiếu - Tổ toán Đây là hệ phương trình đối xứng loại hai hai ẩn x và y và không giải theo cách giải “quen thuộc”  Dùng ẩn phụ u  x  và v  y  đưa hệ phương trình hệ phương trình giải theo cách giải “quen thuộc”  Nghiệm hệ phương trình là (1;1)  x  y  y Ví dụ Giải hệ phương trình   y  x  x  Đây là hệ phương trình đối xứng loại hai hai ẩn x và y và không giải theo cách giải “quen thuộc”  Dùng ẩn phụ u  x và v  y đưa hệ phương trình hệ phương trình giải theo cách giải “quen thuộc”  Nghiệm hệ phương trình là (0;0), (2; 2), (2; 2), (2; 2), (2; 2) 2 x  y  Ví dụ Giải hệ phương trình  2  x  y  x  y  x  y   Đây là hệ phương trình đối xứng loại hai ẩn x và y và không giải theo cách giải “quen thuộc”  Dùng ẩn phụ u  x  y và v  x  y đưa hệ phương trình hệ phương trình giải theo cách giải “quen thuộc”  3 1 3 3 1 Nghiệm hệ phương trình là ( ; ), ( ; ), ( ;  ), ( ;  ), ( ;  ), ( ; ), ( ;  ), 2 2 2 2 2 2 2 ( ; ) 2 1  x  y   4  x y  Ví dụ Giải hệ phương trình   x2  y     x2 y  Đây là hệ phương trình đối xứng loại hai ẩn x và y và giải theo cách giải “quen thuộc” thì dẫn đến hệ phương trình phức tạp  Dùng ẩn phụ u  x  1 và v  y  đưa hệ phương trình hệ phương trình giải theo cách y x giải “quen thuộc”  Nghiệm hệ phương trình là (1;1) Trong số trường hợp gặp hệ phương trình đối xứng ta không thể giải theo cách giải “quen thuộc” và không chọn ẩn phụ nào thích hợp để đưa cách giải “quen thuộc”, Lop12.net Giải pháp hữu ích năm 2008 – 2009 Lê Trung Hiếu - Tổ toán  đó ta dùng phương pháp đánh giá, hay sử dụng tính đơn điệu hàm số để giải Các ví dụ sau đây minh hoạ cho hai trường hợp   x  11  y  Ví dụ Giải hệ phương trình    y  11  x  Giải Điều kiện x, y   7;11 Cộng vế theo vế ta có (  x  11  x )  (  y  11  y )  12 (*) Theo bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki ta có (  x  11  x )  và (  y  11  y )  nên   x  11  x (  x  11  x )  (  y  11  y )  12 Do đó (*)    x  y    y  11  y Vậy hệ phương trình có nghiệm (2; 2)  x   y  Ví dụ Giải hệ phương trình   y   x  Bài toán này không thể giải theo phương pháp đánh giá trên Giải Điều kiện x, y   0; 2 Trừ vế hai phương trình cho ta : x  y  2 y  2 x   x  2 x  đó f (t )  t   t y   y  f ( x)  f ( y ) với  t  Dễ thấy f (t ) là hàm đồng biến trên khoảng (0; 2) Vì f ( x)  f ( y )  x  y Thay x  y vào phương trình x   y  ta x   x   x  x  Vậy nghiệm hệ phương trình là (0;0) và (2; 2) 3.2 Dùng ẩn phụ để đưa phương trình hệ phương trình đối xứng Ví dụ Giải phương trình 6 x  x2   Phương trình này không thể giải phép biến đổi tương đương  Dùng ẩn phụ u   x và v  x  đưa phương trình hệ phương trình đối xứng loại với cách giải “quen thuộc”  Nghiệm phương trình là x  và x   Dạng tổng quát bài toán này là n a  f ( x)  n b  f ( x)  c Ví dụ Giải phương trình x3   x   Phương trình này không thể giải phép biến đổi trực tiếp  Dùng ẩn phụ u  x  đưa phương trình hệ phương trình đối xứng loại hai với cách giải “quen thuộc” Lop12.net Giải pháp hữu ích năm 2008 – 2009  Lê Trung Hiếu - Tổ toán 1  và x   Nghiệm phương trình là x   Dạng tổng quát bài toán này là x n  b  a n ax  b Ví dụ 10 Giải phương trình   x  x  Nếu dùng phép biến đổi tương đương dẫn đến phương trình bậc bốn phức tạp  Dùng ẩn phụ u   x đưa phương trình hệ phương trình đối xứng loại hai với cách giải “quen thuộc” 19  37  Nghiệm phương trình là x   Dạng tổng quát bài toán này là x  a  a  x Ví dụ 11 Giải phương trình x   ( x  3)3   Nếu dùng phép biến đổi tương đương dẫn đến phương trình phức tạp  Dùng ẩn phụ u   x  đưa phương trình hệ phương trình đối xứng loại hai với cách giải “quen thuộc”  Nghiệm phương trình là x   Dạng tổng quát bài toán này là n ax  b  c(dx  e) n   x   đó d  ac   và e  bc   Ta sử dụng ẩn phụ du  e  n ax  b Ví dụ 12 Giải phương trình x  log (6 x  1)3   Bài toán này khó giải không dùng ẩn phụ  Dùng ẩn phụ u  log (6 x  1) đưa phương trình hệ phương trình đối xứng loại hai  Nghiệm phương trình là x  và x   Dạng tổng quát bài toán này là a1x  1  p log a ( x   )  qx  r Ví dụ 13 Giải phương trình  2(1  x )  x  Dùng ẩn phụ u   x đưa phương trình hệ phương trình đối xứng loại hai  Nghiệm phương trình là x   Dạng tổng quát bài toán này là a  b(a  bx )  x 1 , x và x  1 4 Kết luận Thông qua 13 ví dụ trên học sinh có cách nhìn tổng quát cách giải hệ phương trình đối xứng các bài toán phương trình mà việc giải nó gắn liền với việc giải hệ phương trình đối xứng Hy vọng qua bài viết này các em học sinh không còn gặp khó khăn phải đối mặt với các bài toán hệ phương trình đối xứng và số bài toán có liên quan đến nó Lop12.net