NHỊ THỨC NEWTON phần 2 Daïng 2: ĐẠO HAØM HAI VẾ CỦA KHAI TRIỂN NEWTON ĐỂ CHỨNG MINH MỘT ĐẲNG THỨC – Vieát khai trieån Newton cuûa ax + bn.. Chọn giá trị x sao cho thay vào ta được đẳng t[r]
(1)ĐẠI SỐ TỔ HỢP Chöông V NHỊ THỨC NEWTON (phần 2) Daïng 2: ĐẠO HAØM HAI VẾ CỦA KHAI TRIỂN NEWTON ĐỂ CHỨNG MINH MỘT ĐẲNG THỨC – Vieát khai trieån Newton cuûa (ax + b)n – Đạo hàm vế số lần thích hợp – Chọn giá trị x cho thay vào ta đẳng thức phải chứng minh Chuù yù : • Khi cần chứng minh đẳng thức chứa k C nk ta đạo hàm hai vế khai triển (a + x)n • Khi cần chứng minh đẳng thức chứa k(k – 1) Cnk ta đạo hàm lần hai vế khai trieån (a + x)n Bài 136 Chứng minh : a) C1n + 2C2n + 3C3n + nCnn+ n2 n −1 b) C1n − 2C2n + 3C3n + ( 1)−n −− nCnn = = c) n −1 C1n − n −1 C2n + 3.2 n −3 C3n ( 1)n nC−nn n − + − = Giaûi Ta có nhị thức (a + x)n = C0n an + C1n an −1x + C2n an −2 x Cnn x n + + Đạo hàm vế ta : n(a + x)n-1 = C1n an −1 + 2C2n an −2 x + 3C3n an −3 x nCnn x n a) Với a = 1, x = 1, ta : C1n + 2C2n + 3C3n nCnn + n2 n −1 + b) Với a = 1, x = –1, ta : Lop12.net = + − + (2) C1n − 2C2n + 3C3n − + (−1)n −1 nCnn = c) Với a = 2, x = –1, ta : n −1 C1n − n −1 C2n + 3.2 n −3 C3n − + (−1)n −1 nCnn = n Baøi 137 Cho (x – 2)100 = a0 + a1x + a2x2 + … + a100x100 Tính : a) a97 b) S = a0 + a1 + … + a100 c) M = a1 + 2a2 + 3a3 + … + 100a100 Đại học Hàng hải 1998 Giaûi Ta coù : (x – 2)100 = (2 – x)100 k 100 = C100 2100 − C100 99.x + + C100 2100 − k (−x)k + + C100 100 x a) Ứng với k = 97 ta a97 Vaäy 97 a97 = C100 23 (−1)97 = –8 100 ! −8 × 100 × 99 × 98 = = – 293 600 3!97! b) Ñaët f(x) = (x – 2)100 = a0 + a1x + a2x2 + … + a100x100 Chọn x = ta S = a0 + a1 + a2 + … + a100 = (–1)100 = c) Ta coù : f ′(x) = a1 + 2a2x + 3a3x2 + … + 100a100x99 Maët khaùc f(x) = (x – 2)100 ⇒ Vaäy f ′(x) = 100(x – 2)99 100(x – 2)99 = a1 + 2a2x + 3a3x2 + … + 100a100x99 Chọn x = ta M = a1 + 2a2 + … + 100a100 = 100(–1)99 = –100 Bài 138 Cho f(x) = (1 + x)n với n ≥ a) Tính f // (1) Lop12.net (3) b) Chứng minh 2.1.C2n + 3.2.C3n + 4.3.C4n + + n(n − 1)Cnn = n(n − 1)2 n −2 Đại học An ninh 1998 Giaûi a) Ta coù : f(x) = (1 + x)n ⇒ f ′(x) = n(1 + x)n – ⇒ f // (x) = n(n – 1)(1 + x)n – Vaäy f // (1) = n(n – 1)2n – b) Do khai triển nhị thức Newton f(x) = (1 + x)n = Cn0 + C1n x + C2n x + C3n x + Cn4 x + + Cnn x n ⇒ f ′(x) = n(1 + x)n - = C1n + 2xC2n + 3x C3n + 4x 3C4n + + nx n −1Cnn ⇒ f ′′(x) = n(n – 1)(1 + x)n - = 2C2n + 6xC3n + 12x C4n + + n(n − 1)x n −2 Cnn Chọn x = ta n(n – 1)2n – = 2C2n + 6C3n + 12C n4 + + n(n − 1)C nn Bài 139 Chứng minh n −1 C1n + n −1 C2n + 3.2 n −3 C3n + 4.2 n − C4n + + nCnn = n3n −1 Đại học Kinh tế Quốc dân 2000 Giaûi Ta coù : (2 + x)n = C0n n + C1n n −1 x + C2n n −2 x + C3n n −3 x + + C nn x n Đạo hàm vế ta n(2 + x)n – = C1n n −1 + 2xC2n n −2 + 3x C3n n −3 + + nx n −1Cnn Chọn x = ta n3n – = n −1 C1n + n −1 C2n + 3C3n n −3 + + nCnn Bài 140 Chứng minh C1n 3n −1 + 2C2n 3n −2 + 3C3n 3n −3 + + nCnn = n4 n −1 Đại học Luật 2001 Lop12.net (4) Giaûi Ta coù : (3 + x)n = C0n 3n + C1n 3n −1 x + C2n 3n −2 x + C3n 3n −3 x + + Cnn x n Đạo hàm vế ta n(3 + x)n – = C1n 3n −1 + 2xC2n 3n −2 + 3x C3n 3n −3 + + nCnn x n −1 Choïn x = ⇒ n4n – = C1n 3n −1 + 2C2n 3n −2 + 3C3n 3n −3 + + nCnn Baøi 141 Tính A = C1n − 2C2n + 3C3n − 4C4n + + (−1)n −1 nCnn Đại học Bách khoa Hà Nội 1999 Giaûi Ta coù : (1 – x )n = C0n − C1n x + C2n x − C3n x + + (−1)n Cnn x n Lấy đạo hàm hai vế ta –n(1 – x)n – = −C1n + 2xC2n − 3x C3n + + (−1)n nCnn x n −1 Choïn x = ta coù : = −C1n + 2C2n − 3C3n + + (−1)n nCnn ⇒ A = C1n − 2C2n + 3C3n + + (−1)n −1 nCnn = Bài 142 Chứng minh với n ∈ N và n > 1 (Cn + 2C2n + 3C3n + + nCnn ) < n! n Giaûi Ta coù : (1 + x)n = C0n + xC1n + x C2n + + x n Cnn Lấy đạo hàm theo x hai vế ta : n(1 + x)n – = C1n + 2xC2n + + nx n −1Cnn Chọn x = ta n2n – = C1n + 2C2n + + nCnn Lop12.net (*) (5) Vaäy (*) ⇔ (n.2 n −1 ) < n! n ⇔ 2n – < n! (**) Kết (**) chứng minh qui nạp (**) đúng n = Thật = 22 < 3! = Giả sử (**) đúng n = k với k > nghĩa là ta đã có : k! > 2k – Vaäy ⇔ (k + 1)k! > (k + 1)2k – (k + 1)! > 2k – = 2k (do k > neân k + > ) Do đó (**) đúng n = k + Kết luận : 2n – < n! đúng với ∀ n ∈ N và n > Bài 143 Chứng minh a) 1.2C2n + 2.3C3n + + (n − 1)nCnn = n(n − 1)2 n−2 b) 1.2C2n − 2.3C3n + + (−1)n −2 (n − 1)nC nn = c) n −1 C2n + 3.2 n −2 C3n + 3.4.2 n − C n4 + + (n − 1)nCnn = n(n − 1)3n −2 d) n −1 C2n − 3.2 n −2 C3n + 3.4.2 n − Cn4 − + (−1)n −2 (n − 1)nC nn = n(n − 1) Giaûi Ta có nhị thức (a + x)n = C0n an + C1n an −1x + C2n an −2 x + + Cnn x n Đạo hàm vế lần , ta : n(n – 1)(a + x)n – = 1.2C2n an −2 + 2.3C3n an −3 x + + (n − 1)nCnn x n −2 a) Với a = 1, x = 1, ta : 1.2C2n + 2.3C3n + + (n − 1)nCnn = n(n − 1)2 n −2 b) Với a = 1, x = – 1, ta : 1.2C2n − 2.3C3n + + (−1)n −2 (n − 1)nC nn = c) Với a = 2, x = 1, ta : 1.2.2 n −2 C2n + 2.3.2 n −3 C3n + + (n − 1)nCnn = n(n − 1)3n −2 ⇔ n −1 C2n + 3.2 n −2 C3n + 3.4.2 n − C 4n + + (n − 1)nCnn = n(n − 1)3n −2 d) Với a = 2, x = –1, ta : Lop12.net (6) 1.2.2 n −2 C2n − 2.3.2 n −3 C3n + 3.4.2 n − C 4n − + (−1)n −2 (n − 1)nCnn = n(n − 1) n −1 C2n − 3.2 n −2 C3n + 3.4.2 n − C4n − + (−1)n −2 (n − 1)nC nn = n(n − 1) ⇔ Bài 144 Chứng minh : a) 3C0n + 4C1n + + (n + 3)Cnn = n −1 (6 + n) b) 3C0n − 4C1n + + (−1)n (n + 3)C nn = Giaûi Ta có nhị thức (a + x)n = C0n an + C1n an −1x + C2n an −2 x + + Cnn x n Nhân vế với x3, ta : x3(a + x)n = C0n an x + C1n an −1x + C2n an −2 x + + Cnn x n +3 Đạo hàm vế, ta : 3x2(a + x)n + nx3(a + x)n – = 3C0n an x + 4C1n an −1x + + (n + 3)Cnn x n + a) Với a = 1, x = 1, ta : 3C0n + 4C1n + + (n + 3)Cnn = 3.2 n + n2 n −1 = n −1 (6 + n) b) Với a = 1, x = –1, ta : 3C0n − 4C1n + + (−1)n (n + 3)C nn = - Daïng 3: TÍCH PHÂN HAI VẾ CỦA NHỊ THỨC NEWTON ĐỂ CHỨNG MINH MỘT ĐẲNG THỨC + Vieát khai trieån Newton cuûa (ax + b)n + Lấy tích phân xác định hai vế thường là trên các đoạn : [0, 1], [0, 2] hay [1, 2] ta đẳng thức cần chứng minh Chuù yù : • Cnk ta lấy tích phân với cận thích hợp hai vế Cần chứng minh đẳng thức chứa k +1 khai trieån cuûa (a + x)n Lop12.net (7) • C nk ta lấy tích phân với cận thích hợp k + m +1 hai veá khai trieån cuûa xm(a + x)n Cần chứng minh đẳng thức chứa Baøi 145 Cho n ∈ N vaø n ≥ ∫ x (1 + x ) dx a) Tính I = n b) Chứng minh : 1 1 2 n +1 − Cn + Cn + Cn + + Cnn = 3(n + 1) 3(n + 1) Đại học Mở 1999 Giaûi a) Ta coù : I = ∫ x (1 + x ) dx n = ∫ (1 + x ) d(x n + 1) 1 (1 + x )n +1 ⎤ ⎡⎣2 n +1 − 1⎤⎦ = I= ⎥ 3(n + 1) n + ⎦0 b) Ta coù : (1 + x3)n = C0n + C1n x + C2n x + + Cnn x 3n ⇒ x2(1 + x3)n = x C0n + x 5C1n + x 8C2n + + x n + Cnn Lấy tích phân từ đến hai vế ta : ⎡ x3 x6 x9 x 3n +3 ⎤ I = ⎢ C0n + C1n + C2n + + 3n + ⎥⎦ ⎣3 Vaäy : n +1 − 1 1 = C n + Cn + Cn + + Cnn 3(n + 1) 3n + Bài 146 Chứng minh Cnk n +1 − = ∑ n +1 k =0 k + n Đại học Giao thông Vận tải 2000 Giaûi Ta coù : (1 + x)n = C0n + C1n x + C2n x + + Cnn x n Vaäy ∫ (1 + x) dx = ∫ ( C 1 n 0 n + C1n x + C2n x + + Cnn x n ) dx ⇔ n +1 ⎡ (1 + x)n +1 ⎤ ⎡ ⎤ x x n x = C x C C C + + + + n n n ⎢ n +1 ⎥ ⎢ n n + ⎥⎦ ⎣ ⎦0 ⎣ Lop12.net (8) ⇔ 1 n +1 − = C0n + C1n + C2n + + Cnn n +1 n +1 ⇔ n +1 − = n +1 Baøi 147 Tính : C0n + n Cnk ∑ k +1 k =0 2 − 1 23 − 2 n +1 − n Cn + Cn + + Cn n +1 Tuyển sinh Đại học khối B 2003 Giaûi Ta coù : (1 + x)n = C0n + C1n x + C2n x + C3n x + + Cnn x n Vaäy ∫ (1 + x)n dx = ∫ (C n + C1n x + C2n x + C3n x + + C nn x n ) dx 2 ⇔ n +1 ⎡ (1 + x)n +1 ⎤ ⎡ ⎤ x x x n x = + + + + + C x C C C C n n n n ⎢ n +1 ⎥ ⎢ n n + ⎥⎦1 ⎣ ⎦1 ⎣ ⇔ 2 3n +1 n +1 1 − = C0n [x]12 + C1n ⎡⎣ x ⎤⎦ + C2n ⎡⎣ x ⎤⎦ + + Cnn ⎡⎣ x n +1 ⎤⎦ 1 n +1 n +1 n +1 ⇔ n +1 3n +1 − n +1 −1 −1 2 −1 n + Cn + + Cn = Cn + Cn n +1 n +1 Bài 148 Chứng minh : 1 (−1)n n +1 n + (−1)n 2C0n − 22.C1n + 23.C2n + + Cn = n +1 n +1 Đại học Giao thông Vận tải 1996 Giaûi Ta coù : (1 – x)n = C0n − C1n x + C2n x + + (−1)n Cnn x n ∫ (C − C1n x + C2n x + + (−1)n C nn x n ) dx Vaäy ∫ ⇔ ⎡ (1 − x)n +1 ⎤ ⎡ x3 (−1)n x n +1 n ⎤ − − + + + = C x x C C Cn ⎥ n n ⎢ ⎥ ⎢ n n + + n ⎣ ⎦0 ⎣ ⎦0 ⇔ (−1)n +1 − 2 23 (−1)n n +1 n − = 2Cn − Cn + Cn + + Cn n +1 n +1 ⇔ + (−1)n 2 23 (−1)n n +1 n = 2Cn − Cn + Cn + + Cn n +1 n +1 (1 − x)n dx = 0 n 2 Lop12.net (9) Bài 149 Chứng minh : a) (−1) C + (−1) n n n −1 1 (−1)n n Cn + + Cn = n +1 n +1 1 b) C0n − C1n + + (−1)n Cnn = n +1 n +1 Giaûi Ta có nhị thức (a + x)n = C0n an + C1n an −1x + C2n an −2 x + + Cnn x n Vaäy : ∫ (a + x) dx = ∫ ( C a 0 n n (a + x)n +1 ⇔ n +1 ⇔ n + C1n an −1x + + C nn x n ) dx 1 ⎛ ⎞ = ⎜ C0n an x + C1n an −1x + + Cnn x n +1 ⎟ n +1 ⎝ ⎠0 (a + 1)n +1 − an +1 1 = C0n an + C1n an −1 + + Cnn n +1 n +1 a) Với a = –1 , ta : 1 −(−1)n +1 (−1)n (−1)n C0n + (−1)n −1 C1n + + = Cnn = n +1 n +1 n +1 b) Ta có nhị thức (a + x)n = C0n an + C1n an −1x + C2n an −2 x + + Cnn x n −1 Vaäy ∫ ⇔ (a + x)n +1 n +1 ⇔ (a + x)n dx = −1 ∫ (C a −1 0 n n + C1n an −1x + + C nn x n ) dx −1 1 ⎛ ⎞ = ⎜ C0n an x + C1n an −1x + + Cnn x n +1 ⎟ n +1 ⎝ ⎠0 (a − 1)n +1 − an +1 1 = −C0n an + C1n an −1 − + (−1)n +1 Cnn n +1 n +1 Với a = 1, ta : 1 −1 −C0n + C1n − + (−1)n +1 Cnn = n +1 n +1 ⇔ 1 C0n − C1n + + (−1)n Cnn = n +1 n +1 Lop12.net (10) Baøi 150 Tính ∫ x(1 − x)19 dx Ruùt goïn S = 1 1 1 19 C19 − C19 + C19 + + C18 C19 19 − 20 21 Đại học Nông nghiệp Hà Nội 1999 Giaûi • Ñaët t=1–x ⇒ dt = –dx x t Đổi cận • ∫ I= ⇔ 1 1 20 21 ⎤ = I = ∫ (t − t )dt = − t − t ⎥ = 20 21 ⎦ 20 21 420 x(1 − x)19 dx = ∫ Vaäy (1 − t)t19 (−dt) 19 20 2 18 19 19 Ta coù : (1 – x)19 = C19 − C119 x + C19 x + + C18 19 x − C19 x ⇒ 18 19 20 x(1 – x)19 = xC19 − C119 x + C19 x + + C19 x − C19 19 x Vaäy ⎡ x x3 x 20 18 x 21 19 ⎤ − C19 + + C19 − C19 ⎥ I = ∫ x(1 − x) dx = ⎢ C19 20 21 ⎦0 ⎣2 ⇔ 1 1 1 19 = C19 − C19 + + C18 C19 19 − 420 20 21 Vaäy S= 1 19 420 Baøi 151 a) Tính ∫ x(1− x )n dx b) Chứng minh 1 1 (−1)n n C n − C n + C n − C n + + Cn = 2n + 2(n + 1) Đại học Bách khoa Hà Nội 1997 Giaûi Lop12.net (11) a) Ta coù : I = ∫ x(1 − x )n dx = − 1 (1 − x )n d(1 − x ) ∫ ⇔ 1 ⎡ (1 − x )n +1 ⎤ ⎡ − 1n +1 ⎤⎦ I= − ⎢ = − ⎥ 2(n + 1) ⎣ ⎣ n + ⎦0 ⇔ I= 2(n + 1) b) Ta coù : (1 – x2)n = C0n − C1n x + C2n x − C3n x + + (−1)n Cnn x 2n ⇒ x(1 – x2)n = xC0n − C1n x + C2n x − C3n x + + (−1)n Cnn x 2n +1 Vaäy ⎡ x2 x4 x6 x8 (−1)n 2n + n ⎤ x Cn ⎥ I = ∫ x(1 − x ) dx = ⎢ C0n − C1n + C2n − C3n + + 2n + ⎣2 ⎦0 ⇔ 1 1 (−1)n n = C0n − C1n + C2n − C3n + + Cn 2(n + 1) 2n + 1 n Bài 152* Chứng minh : 1 1 n +1 (n + n + 2) − Cn + C n + + C nn = (n + 1)(n + 2)(n + 3) n+3 Giaûi a) Ta có nhị thức (a + x)n = C0n an + C1n an −1x + + C nn x n Suy : x2(a + x)n = C0n an x + C1n an −1x + + Cnn x n + Vaäy ∫ x (a + x)n dx = = ∫ (C a x 0 n n + C1n an −1x + + C nn x n + )dx n 1 n −1 Cn a + Cn a + + Cnn n+3 Để tính tích phân vế trái, đặt t=a+x ⇒ dt = dx Đổi cận : x t a a+1 Lop12.net (12) Suy : ∫ ∫ a +1 = a x (a + x)n dx = ∫ a +1 a (t − a)2 t n dt a +1 (t n +2 − 2at n +1 ⎛ t n +3 2at n + a2 t n +1 ⎞ + a t )dt = ⎜ − + ⎟ n +1 ⎠ a ⎝ n+3 n+2 n (a + 1)n +3 − an +3 2a ⎡⎣(a + 1) − a − n+3 n+2 n+2 = n +2 ⎤⎦ a2 ⎡⎣(a + 1)n +1 − a n +1 ⎤⎦ + n +1 Với a = 1, ta : ∫ x (a + x)n dx = n +3 − 2(2 n + − 1) n +1 − − + n+3 n+2 n +1 = ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ − + − − n +1 ⎜ ⎟+⎜ ⎟ ⎝ n + n + n +1⎠ ⎝ n + n + n +1⎠ = n +1 = n +1 (n + n + 2) − (n + 1)(n + 2)(n + 3) n2 + n + 2 − (n + 1)(n + 2)(n + 3) (n + 1)(n + 2)(n + 3) Suy : 1 1 n +1 (n + n + 2) − Cn + Cn + + C nn = n+3 (n + 1)(n + 2)(n + 3) PHAÏM HOÀNG DANH - NGUYEÃN VAÊN NHAÂN - TRAÀN MINH QUANG (Trung tâm Bồi dưỡng văn hóa và luyện thi đại học Vĩnh Viễn) Lop12.net (13)