Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến tiếp tuyến của Cm tại giao điểm của Cm với trục tung 2 bằng.. Gọi M là trung điểm của CD, I là giao điểm của AC và BM .Tính thể tích của khối chóp [r]
(1)Sở GD-ĐT Thanh Hóa Trường THPT Hậu Lộc đề kiểm tra chất lượng dạy - học bồi dưỡng n¨m häc 2009-2010 Môn Toán, Khối D (Thời gian làm bài 180 phút) Phần chung cho tất các thí sinh (7,0điểm) 2x + m -1 Câu I(2,0điểm) Cho hàm số : y = (Cm) x - Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến tiếp tuyến (Cm) giao điểm (Cm) với trục tung Câu II(2,0điểm) 1.Giải phương trình : sinx( 2cos2x + ) - cosx( 2sin2x + ) = Giải phương trình : x - + - x - 4 x - x - = -2 ( với x Î R ) p Câu III(1,0điểm) Tính tích phân sau : I = ̣ sin x ( e cos x + sin x ) dx Câu IV (1,0điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ^ (ABCD) và SA = 2a Gọi M là trung điểm CD, I là giao điểm AC và BM Tính thể tích khối chóp I.SAD Câu V(1,0điểm) Chứng minh với số thực dương a, b, c ta luôn có: a b c 1 + + ³ + + b c a a b c Phần riêng(3,0điểm) Thí sinh làm hai phần (phần A phần B) A Theo chương trình chuẩn Câu VIa.(2,0điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ oxy, cho hình bình hành ABCD biết phương trình các đường thẳng AB, BC và AC là : x - 5y - = , x + y - = và x - y + = Tìm tọa độ đỉnh D Trong không gian với hệ tọa độ oxyz cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 , biết D(0;0;0) , A(a;0;0) , C(0;a;0) , D1(0;0;a) Gọi M là trung điểm DD1, G là trọng tâm tam giác ABB1.Viết phương trình mặt cầu đường kính MG Câu VIIa.(1,0 điểm) n æ ö Tìm hệ số x khai triển nhị thức Niu-tơn çç + x ÷÷ , biết C n3+ - C n3+ = (n + 3) è x ø B Theo chương trình nâng cao Câu VIb.(2,0điểm) Trong mặt phẳng (oxy) cho đường thẳng D : x - y + = và điểm I(1 ; -1).Viết phương trình đường tròn tâm I cắt D theo dây cung có độ dài Trong không gian với hệ tọa độ oxyz cho tam giác ABC , biết A(5;1;3) , B(5;0;0) , C(4;0;6) Tìm tọa độ trực tâm H tam giác ABC Câu VIIb(1,0điểm) 1 Tính tổng : S = C n0 + C n1 + C n2 + + C nn , biết C nn + C nn -1 + C nn- = 79 n +1 (với C nk là số tổ hợp chập k n phần tử) Gi¸m thÞ xem thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm! Hä vµ tªn thÝ sinh : SBD : Lop12.net (2) Đáp án - thang điểm Đề kiểm tra chất lượng dạy học bồi dưỡng môn toán khối D-năm 2009-2010 Câu I(2,0đ) Đáp án Điểm 1.(1,25đ) Với m = ta có hàm số : y = 2x - x-2 0,25 Tập xác định : D =R\ {2} Sự biến thiên: -3 < , với "x Î D ( x - 2) ̃ hàm số nghịch biến trên khoảng (-¥;2) và (2 ; + ¥ ) 0,25 cực trị : Hàm số không có cực trị Giới hạn : lim y = lim y = ; lim y = +¥ , lim y = -¥ ̃ đồ thị có tiệm cận Chiều biến thiên: y' = x ® -¥ x ®2 + x ® +¥ x ®2 - đứng là đường thẳng x =2 và tiệm cận ngang là đường thẳng y = 0,25 Bảng biến thiên : x -¥ +¥ y' +¥ y -¥ 1 ) , cắt trục hoành taị ( - ;0) 2 đồ thị nhận điểm I(2 ;2) làm tâm đối xứng Đồ thị : cắt trục tung ( 0; - 0,25 y I O Lop12.net 0,25 x (3) 2.(0,75đ) Gọi A là giao điểm (Cm)với oy ta có A( 0; 1- m ) , và D là tiếp tuyến với 1- m ̃ pt D : (m+3)x + 4y +2m -2 = ém = 2m - 2 = Ûê êm = (m + 3) + 16 ë (Cm) A Ta có pt D : y = y'(0).x + theo gt ta có : d(O; D ) = II.(2,0đ) Û 1.(1,0đ) pt Û 2(sinx.cos2x - cosx.sin2x) + sinx - cosx = Û -2sinx + sinx - cosx = p Û sinx + cosx = -1 Û sin( x + ) = - p 7p 5p é é ê x + = + k 2p ê x = + k 2p ; (k Î Z) Ûê Ûê ê x + p = - p + k 2p ê x = - p + k 2p êë êë 2.(1,0đ) Đk : £ x £ t2 - đặt t = x - + - x (t ³ 0) ̃ x - x - = 2 t -2 ta có phương trình: t - = -2 Û 2t - t - = ét = , t ³ ,nên t = Ûê êt = - ë x -1 + - x = Û 4x - x - = Û x2 - 4x + = Û x = t=2 ̃ III.(1,0đ) p Ta có : I = ̣e 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 p cos x sin xdx + ̣ sin x.dx p 0,5 p = - ̣ e cos x d (cos x) + = -e 0,25 cos x p (1 - cos x)dx ̣0 p 1 p / + ( x - sin x) / = + e - 0 2 Lop12.net 0,5 (4) IV.(1,0đ) Gọi O là giao điểm AC và BD, ta có : a a 2a AI = AO + OI = AO + OC = + = 3 1 2a 2 a ̃ SAID = AI.AD.sinDAI = a = 2 3 1 a 2a = (đvtt) ̃ VI.SAD = VS.ADI = SA SAID = 2a 3 0,5 0,25 0,25 S A B O I D V.(1,0đ) M Theo bđt TBC-TBN ta có : C a a 1 + + ³3 b b a b b b 1 + + ³3 c c b c c c 1 + + ³3 a a c a cộng theo vế bđt trên ̃ đpcm VIa.(2,0đ) 0,75 0,25 1.(1,0đ) Ta có : A = AB Ç AC ̃ tọa độ A là nghiệm hệ phương ́x - y - = ́ x = -3 trình: í Ûí ̃ A(-3 ; -1) îx - y + = î y = -1 0.5 Tương tự ta có B(7 ; 1) và C(3; 5) Gọi I là giao điểm AC và BD ,ta có : là trung điểm AC nên I(0 ; 2) và Lop12.net (5) I là trung điểm BD, nên D(-7; 3) 0,5 2.(1,0đ) Ta có : B( a ;a ;0 ) ; B1(a;a;a) ; A(a ;0 ;0) 0,25 z D1 A1 C1 B1 M G D A x C B y vì G là trọng tâm tam giác ABB1 , nên G(a; 2a a ; ) 3 0,25 a và M là trung điểm DD1 nên M(0;0; ) Gọi I là trung điểm MG ̃ a a 5a 2a a a 53 I( ; ; ) ; MG = a + ( ) + ( ) = 12 2 0,5 aö æ aö æ 5a ö 53a æ ̃ pt mặt cầu đường kính MG : ç x - ÷ + ç y - ÷ + ç z - ÷ = 2ø è 3ø è 12 ø 144 è VIIa.(1,0đ) Từ C n3+ - C n3+ = (n + 3) Û ( n + 4)! ( n + 3)! = 7( n + 3) 3! (n + 1)! 3!.n! 0,5 Û (n + 4)(n + 2) - (n + 2)(n + 1) = 42 Û n = 12 12 n æ -1 ö æ ö Khi đó ta có : çç + x ÷÷ = çç x + x ÷÷ , có số hạng tổng quát là : è x ø è ø k 12 - k k 12 - k C12k ( x )12-k ( x ) k = C12k x ; ứng với số hạng chứa x, ta có : =1 Û k = ̃ hệ số là C125 = 792 VIb.(2,0đ) 1.(1,0đ) R là bán kính đường tròn cần tìm.giả sử đường tròn tâm I cắt D theo dây cung AB, với AB = Gọi H là trung điểm AB; ta có R = Lop12.net 0,5 (6) IH + AH ; với IH = d(I; D ) = ̃R= 13 , AH = AB =4 244 13 0,75 2 ̃ pt đường tròn : ( x - 1) + ( y - 1) = 244 13 0,25 (1,0đ) Ta có AB = (0;-1;-3) , AC = ( -1;-1;3) ̃ n = AC , AB = (6;-3;1) [ ] đó mp(ABC) qua điểm A(5 ;1;3) , và nhận n làm vtpt ,nên có pt: 6(x - 5) - 3(y - 1) + z - = Û pt(ABC): 6x - 3y + z - 30 = Gọi H(x;y) Do H là trực tâm nên ta có : 187 ́ ï x = 23 ́ H Î ( ABC ) ́6 x - y + z - 30 = ï ï 171 187 171 81 ï ï Û x + y z = Û ̃ H( ; ; ) BH AC = í íy = í 23 23 23 23 ï y + z - 18 = ï ï î îCH AB = 81 ï ï z = 23 î VIIb.(1,0đ Từ C nn + C nn -1 + C nn- = 79 Û + n + 0,25 0,75 n( n - 1) = 79 Û n + n - 156 = Û n = 12 Theo công thức nhị thức Niu-Tơn ta có: (1 + x) n = C n0 + C n1 x + C n2 x + + C nn x n 0,5 ̃ ̣ (C n0 + C 1n x + C n2 x + + C nn x n )dx = ̣ (1 + x) n dx 0 1 n+1 - C nn = ; mà n = 12, nên: ̃ S = C n0 + C n1 + C n2 + + n +1 n +1 213 - 8191 S= = 13 13 Lop12.net 0,5 (7)